2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章預(yù)備知識(shí)第1節(jié)集合學(xué)案含解析新人教B版

預(yù)備學(xué)問課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀1．通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的“屬于”關(guān)系，能夠用符號(hào)語言刻畫集合．2．理解集合之間包含與相等的含義．3．理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，能求兩個(gè)集合的并集、交集及補(bǔ)集．4．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系、判定定理與充分條件的關(guān)系、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．5．理解全稱量詞與存在量詞的意義．6．理解等式和不等式的概念與性質(zhì)，能用均值不等式解決簡(jiǎn)潔的求最大值或最小值的問題．7．能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式.考查形式：一般為一個(gè)選擇題或兩個(gè)選擇題．考查內(nèi)容：集合的概念及集合的運(yùn)算、充分必要條件的判定、一元二次不等式的解法．備考策略：(1)嫻熟駕馭集合的基本運(yùn)算，以及相關(guān)不等式的解法．(2)重視基礎(chǔ)學(xué)問的復(fù)習(xí)，熟識(shí)在不同學(xué)問背景下對(duì)充分必要條件的判定．(3)留意對(duì)利用均值不等式求最值方法的總結(jié)和歸納．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.第1節(jié)集合一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、維恩圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR2．集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號(hào)語言維恩圖子集集合A中的隨意一個(gè)元素都是集合B的元素A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于AAB(或BA)集合相等組成集合A與組成集合B的元素完全相同或集合A，B互為子集A＝B與子集有關(guān)的性質(zhì)(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有(2n－1)個(gè)，非空真子集有(2n－2)個(gè)．(2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.3．集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語言符號(hào)語言維恩圖交集給定兩個(gè)集合A，B，由既屬于集合A又屬于集合B的全部元素(即A和B的公共元素)組成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集給定兩個(gè)集合A，B，由這兩個(gè)集合的全部元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}補(bǔ)集假如集合A是全集U的一個(gè)子集，則由全集U中不屬于集合A的全部元素組成的集合?UA＝{x|x∈U，且x?A}集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：A∪?＝?∪A＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.(2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?∩A＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(2)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0或1.(×)(3)對(duì)于隨意兩個(gè)集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．(×)(4)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)真子集．(√)(5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(×)(6)若a屬于集合A，則可用符號(hào)表示為a?A.(×)2．(2024·濰坊市高三上期中)已知U＝{2,4,6,8,10}，A＝{4,6,8}，B＝{6,10}，則下列結(jié)論正確的是()A．B?A B．A∪B＝{6}C．A∩B＝{4,8,10} D．?UA＝{2,10}D解析：由于A，B沒有包含關(guān)系，故A錯(cuò)；A∪B＝{4,6,8,10}，A∩B＝{6}，故B，C錯(cuò)；?UA＝{2,10}，故D正確．3．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下面結(jié)論中正確的是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?AD解析：因?yàn)?eq\r(2)不是自然數(shù)，所以a?A.4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，則A∪B＝()A．[－1,4] B．(0,3]C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪[1,4]A解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．5．若{x|ax＋1＝0}?{x|x2－1＝0}，則實(shí)數(shù)a的值為________．0或－1或1解析：{x|x2－1＝0}＝{－1,1}．當(dāng)a＝0時(shí)，{x|ax＋1＝0}＝?，滿意{x|ax＋1＝0}?{x|x2－1＝0}．當(dāng)a≠0時(shí)，{x|ax＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))).由題意知，－eq\f(1,a)＝1或－1，此時(shí)a＝－1或1.綜上所述，a的值為0或－1或1.考點(diǎn)1集合的概念——基礎(chǔ)性1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A．eq\f(9,2) B．eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)D解析：當(dāng)a＝0時(shí)，明顯成立；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).故選D.2．(2024·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三)集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈N*\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(12,x)∈Z))))中含有的元素個(gè)數(shù)為()A．4 B．6C．8 D．12B解析：因?yàn)榧蟚q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈N*\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(12,x)∈Z))))中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，所以集合中的元素為1,2,3,4,6,12.故選B.3．設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2C解析：因?yàn)閧1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故選C.4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3個(gè)元素，則k的取值范圍為________．(5,6]解析：因?yàn)镻中恰有3個(gè)元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范圍為(5,6]．與集合中的元素有關(guān)問題的求解思路(1)確定集合的元素特征，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集．(2)看清元素的限制條件．(3)依據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，但要檢驗(yàn)參數(shù)是否滿意集合元素的互異性．考點(diǎn)2集合的基本關(guān)系——綜合性(1)設(shè)全集U＝R，則集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的關(guān)系可表示為()(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B?A，則m的取值范圍為________．(1)A解析：因?yàn)镹＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故選A.(2)(－∞，1]解析：當(dāng)m≤0時(shí)，B＝?，明顯B?A.當(dāng)m>0時(shí)，A＝{x|－1<x<3}，若B?A，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m，))所以0<m≤1.綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1]．1．若本例(1)中M不變，則滿意NM的集合N的個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．7 D．8C解析：因?yàn)镸＝{0,1,2}，NM，所以N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，?，共7個(gè)．2．若本例(2)中，把條件“B?A”變?yōu)椤癆?B”，其他條件不變，則m的取值范圍為________．[3，＋∞)解析：若A?B，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3))得m≥3，所以m的取值范圍為[3，＋∞)．1．推斷兩集合關(guān)系的方法(1)列舉法：先用列舉法表示集合，再?gòu)脑刂袑で箨P(guān)系．(2)化簡(jiǎn)集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較困難，往往需對(duì)表達(dá)式變形、化簡(jiǎn)，再尋求兩個(gè)集合間的關(guān)系．2．依據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)含參數(shù)的集合是否為空集進(jìn)行分類探討，做到不漏解．(1)若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解，此時(shí)留意集合中元素的互異性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解，此時(shí)需檢驗(yàn)端點(diǎn)值能否取到．1．(2024·八省聯(lián)考)已知M，N均為R的子集，且?RM?N，則M∪(?RN)＝()A．? B．MC．N D．RB解析：因?yàn)?RM?N，所以M??RN，據(jù)此可得M∪(?RN)＝M.2．(2024·哈爾濱市高三調(diào)研)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，則滿意A∪C＝B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1A解析：由A∪C＝B可知集合C中肯定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4種狀況．故選A.3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}．若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．[－2,2)解析：若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意．若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時(shí)B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．考點(diǎn)3集合的運(yùn)算——應(yīng)用性考向1集合的運(yùn)算(1)(2024·泰安一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分表示的集合是()A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)D．(－3，－1)D解析：陰影部分表示M∩?UN.由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得?UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3<x<1}，所以M∩?UN＝{x|－3<x<－1}．故選D.(2)若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，則A∩B＝________，(?RA)∪B＝________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))[0，＋∞)解析：因?yàn)锳＝{xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－9x＞0}))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＞\f(9,2)或x＜0))))，所以?RA＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(9,2))))).又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))，(?RA)∪B＝[0，＋∞)．已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則如圖所示的陰影區(qū)域表示的集合為()A．{3} B．{7}C．{3,7} D．{1,3,5}B解析：由題圖可知，陰影區(qū)域?yàn)?U(A∪B)．由并集的概念知，A∪B＝{1,3,5}．又U＝{1,3,5,7}，于是?U(A∪B)＝{7}．故選B.集合基本運(yùn)算的方法技巧考向2集合運(yùn)算的應(yīng)用(1)(2024·岳陽市高三質(zhì)量檢測(cè))已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的值不行以為()A．2 B．1C．0 D．－2A解析：因?yàn)锳＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}且A∪B＝R，所以a≤1,所以a的值不行以為2.故選A.(2)(2024·南昌適應(yīng)性測(cè)試)已知集合M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若M∩N＝{x|3<x<n}，則m＋n等于()A．9 B．8C．7 D．6B解析：因?yàn)镸∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝5.因此m＋n＝8.故選B.依據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或范圍的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．若集合中的元素能一一列舉，則用視察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系；若集合是與不等式有關(guān)的集合，則一般利用數(shù)軸解決，要留意端點(diǎn)值能否取到．(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解．(3)依據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍．1．設(shè)集合A＝{x∈N|5－x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，則?AB＝()A．{0,3,4} B．{0,3,4,5}C．{3,4} D．{3,4,5}B解析：因?yàn)榧螦＝{x∈N|5－x≥0}＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以?AB＝{0,3,4,5}．故選B.2．(2024·濰坊一中月考)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，則A∩(?RB)＝()A．(2,4) B．(－2,4)C．(－2,2) D．(－2,2]D解析：B＝{x|y＝lg(x－2)}＝{x|x>2}，所以?RB＝{x|x≤2}．所以A∩(?RB)＝{x|－2<x≤2}＝(－2,2]．故選D.3．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．6C解析：由題意，A∩B中的元素滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y＝8，))且x，y∈N*.由x＋y＝8≥2x，得x≤4，所以滿意x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4.4．(多選題)已知全集U＝R，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域?yàn)镸，集合N＝{x|x2－x＜0}，則()A．M∩N＝N B．M∩(?UN)≠?C．M∪N＝U D．M??UNAB解析：由題意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又?UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(?UN)＝{x|x≤0}≠?，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M?(?UN)．故選AB.全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，則集合A＝________