2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.68.6.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α【答案】D【解析】由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確．2．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定【答案】C【解析】因為l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可證m⊥平面ABC，所以l∥m.故選C．3．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個 B．至多一個C．有一個或多數(shù)個 D．不存在【答案】B【解析】若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在．4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)【答案】B【解析】如圖所示，連接BD交AC于點O，連接D1O.由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．設(shè)D到平面ACD1的距離為d，DD1與平面ACD1所成的角為θ.由VD-ACD1＝VD1-ACD得eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2·d＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(1,2)×1，解得d＝eq\f(\r(3),3).所以sinθ＝eq\f(d,DD1)＝eq\f(\r(3),3).5．(2024年石嘴山月考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列推斷正確的是()A．A1C⊥平面AB1D1B．A1C⊥平面AB1C1DC．A1B⊥平面AB1D1D．A1B⊥AD1【答案】A【解析】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，則A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，則A1C⊥平面AB1D1，故A正確，B不正確；連接D1C，AC，則∠AD1C為A1B與AD1所成角，為60°，故C，D不正確．故選A．6．(多選)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD【答案】ABD【解析】PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正確；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD?PA⊥BC,平面ABCD為矩形?AB⊥BC))?BC⊥平面PAB?BC⊥PB．故A正確；同理B正確；C不正確．7．若a，b表示直線，α表示平面，給出下列命題：①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.其中正確的命題為________．(填序號)【答案】①④【解析】由線面垂直的性質(zhì)知①、④正確．②中b可能滿意b?α，故②錯誤；③中b可能與α相交(不垂直)，也可能平行，故③錯誤．8．如圖所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)有________．【答案】4【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊥AC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．9．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，∴AE⊥BC．∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.10．如圖所示，三棱錐A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC．求直線AS與平面SBC所成的角．解：因為∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB與△SAC都是等邊三角形．因此AB＝AC．如圖所示，取BC的中點D，連接AD，SD，則AD⊥BC．設(shè)SA＝a，則在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.則AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD．又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC．因此∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直線AS與平面SBC所成的角為45°.B級——實力提升練11．(2024年汕頭期末)在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是()A．① B．①②C．②③ D．④【答案】A【解析】如圖．在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB?平面ABE，∴AB⊥CD，故①正確；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等邊三角形，∴AB與CD異面，且所成角為60°，故②錯誤；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB與CD異面，且所成角為45°，故③錯誤；在④中，CD∥BE，tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\r(2)，∴AB與CD異面，且不垂直，故④錯誤．故選A．12．(2024年延邊月考)已知三棱錐P-ABC中，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，作PO⊥平面ABC，垂足為O，則點O是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】D【解析】連接AO并延長，交BC于D，連接BO并延長，交AC于E.因為PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．因為PO⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可證BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故選D．13．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝________.【答案】1【解析】在三棱錐P-ABC中，因為PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC．因為EF?平面PAC，所以EF⊥AB．因為EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF.因為F是AC的中點，E是PC上的點，所以E是PC的中點，所以eq\f(PE,EC)＝1.14．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，則直線BE和平面ADF所成的角的正弦值為________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】連接EF，依據(jù)題意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直線BE和平面ADF所成的角．設(shè)BC＝2，則BF＝1，BE＝eq\r(3)，∴sin∠BEF＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).15．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________.【答案】13【解析】如圖，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝eq\r(52＋122)＝13.16．如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有______個．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．【答案】4【解析】因為SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正確．因為AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正確．因為AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正確．因為AB∥CD，所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，故④正確．17．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求證：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D為B1C1的中點，求AD與平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)證明：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B．又∵AB1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)連接A1D．設(shè)AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD與平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D為斜邊B1C1的中點，∴A1D＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(\r(2),2).在Rt△A1DA中，AD＝eq\r(A1D2＋A1A2)＝eq\f(\r(6),2).∴sin∠A1DA＝eq\f(A1A,AD)＝eq\f(\r(6),3)，即AD與平面A1B1C1所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3).C級——探究創(chuàng)新練18．(多選)如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把△ABC折起來，則()A．在折起的過程中始終有AD⊥平面DB′CB．三棱錐A-DB′C的體積的最大值為eq\f(\r(3),48)C．當(dāng)∠B′DC＝60°時，點A到B′C的距離為eq\f(\r(15),4)D．當(dāng)∠B′DC＝90°時，點C到平面ADB′的距離為eq\f(1,2)【答案】ABCD【解析】因為AD⊥DC，AD⊥DB′，且DC∩DB′＝D，所以AD⊥平面DB′C，故A正確；當(dāng)DB′⊥DC時，△DB′C的面積最大，此時三棱錐A-DB′C的體積也最大，最大值為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),48)，故B正確；當(dāng)∠B′DC＝60°時，△DB′C是等邊三角形，設(shè)B′C的中點為E，連接AE，DE，則AE⊥B′C，即AE為點A到B′C的距離，AE＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)))2)＝eq\f(\r(15),4)，故C正確；當(dāng)∠B′DC＝90°時，CD⊥DB′，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB′，則CD就是點C到平面ADB′的距離，則CD＝eq\f(1,2)，故D正確．19．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中點．(1)求證C1D⊥平面AA1B1B；(2)當(dāng)點F在BB1上的什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．證明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1.又∵AA1⊥平面A1B1