江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2023-2024學(xué)年高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.點P（5，-5）到直線4x-3y=0的距離為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解．【詳解】解：設(shè)點P（5，-5）到直線4x-3y=0的距離為d，則．故選：D．2.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再求出圓心距，然后與兩圓的半徑和差比較可得答案【詳解】由，得，所以圓的圓心，半徑，由，得，所以圓的圓心，半徑，所以，所以兩圓內(nèi)切，故選：A3.記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.4.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的標準方程結(jié)合充分、必要條件的定義計算即可.【詳解】易知時，，但時有，此時方程表示圓，所以不滿足充分性，若方程表示的曲線為橢圓，則，顯然成立，滿足必要性，故“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B5.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推公式一一計算可得.【詳解】因為，，所以，，，.故選：C6.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則的最大值為A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】【詳解】由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋∵P為橢圓上一點，∴＋＝1.∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6.7.已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓C于點D，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由題意設(shè)橢圓的焦點在軸上，，，設(shè)，由解得點坐標，代入橢圓方程，化簡即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的焦點在軸上，方程為，，，設(shè)，由，且，故，，由點在橢圓上，故，整理得，故離心率，故選：A.【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．8.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A.16 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】【詳解】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當且僅當（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.9.數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項分別為，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先得出遞推公式，疊加法求通項公式，再用基本不等式求最小值即可.【詳解】數(shù)列前六項分別為，依題知，疊加可得：，得，當時，，滿足，所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，又，所以等號取不了，所以最小值在取得，當時，，所以最小值為.故選：C二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）10.（多選）下列說法正確的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為C.已知直線，則直線的傾斜角為D.若兩直線與平行，則【答案】CD【解析】【分析】直接利用直線間的位置關(guān)系以及直線平行和垂直的充要條件可得A錯誤，D正確；分別討論截距是否為零可判斷B錯誤，由直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系可得C正確.【詳解】對于A：“直線與直線互相垂直”的充要條件是，解得或，故A錯誤；對于B：經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，故B錯誤；對于C：已知直線，則直線的傾斜角為滿足，故傾斜角，故C正確；對于D：若兩直線與平行，所以，解得或，當時，兩直線重合，故舍去，故D正確．故選：CD．11.已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A.數(shù)列的公差為 B.C.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而求出，，得到公差，A正確；利用等差數(shù)列求通項公式求出B正確；由，得到當時，，結(jié)合，從而得到C正確；在C選項的基礎(chǔ)上，求出，結(jié)合，求出答案.【詳解】由題意知，又，故可看出方程的兩根，∵數(shù)列為遞減數(shù)列，，．公差，故A正確；又，，故B正確；由上可知，則當時，，當時，，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故C正確；由C選項知：，故，∵，，故D錯誤．故選：ABC12.已知是左右焦點分別為的橢圓上的動點，,下列說法正確的有（）A. B.的最大值為C.存在點，使 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于選項由橢圓的定義可得選項正確；對于選項由橢圓的性質(zhì)可知，故選項正確；對于選項，又由橢圓的性質(zhì)可知：當點為橢圓的上頂點或下頂點時，最大，所以，即，故選項錯誤；對于選項設(shè)，則，當時，，故選項正確，【詳解】對于選項由題設(shè)可得：，，由橢圓的定義可得：，故選項正確；對于選項由橢圓的性質(zhì)可知：（當為橢圓的右頂點時取““，故選項正確；對于選項，又由橢圓的性質(zhì)可知：當點為橢圓的上頂點或下頂點時，最大，此時，所以，即，故選項錯誤；對于選項設(shè)，則，當時，，故選項正確，故選：ABD【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）幾何法：結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系或曲線之間位置關(guān)系列不等式，再解不等式.（2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.（3）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構(gòu)思；（4）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.（5）利用數(shù)形結(jié)合分析解答.13.已知圓，點是直線上一動點，過點作圓的切線，切點分別是和，下列說法正確的為（）A.圓上恰有一個點到直線的距離為 B.四邊形面積的最小值為1C.切線長的最小值為1 D.直線恒過定點【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用圓心到直線的距離公式，即可求解；對于B，由圓的性質(zhì)，切線長，當PC最小時，有最小值，即可求解；對于C，四邊形的面積為，即可求解；對于D，由題可知在以為直徑的圓上，利用兩圓方程求得直線的方程，即可求解.【詳解】對于A，因為圓，所以圓心，半徑，則圓心到直線的距離為22=2所以圓上任意一點到直線的距離的取值范圍為，而，所以圓上有兩個點到直線的距離為，故A錯誤；對于C，由圓的性質(zhì)，切線長，當PC最小時，有最小值，此時，即，則，故C正確；對于B，四邊形的面積為：，因為，故四邊形的面積為1，故B正確；對于D，設(shè)，因為為過點作圓的切線，所以，則在以為直徑的圓上，又，，即，又圓，即，上述兩式相減，得直線的方程為，即，由，得，即直線恒過定點，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項的關(guān)鍵是分析得在以為直徑的圓上，進而兩圓方程相減得到直線的方程，再利用直線過定點問題的求解方法即可得解.三、填空題：本大題共5小題，共20分．14.直線過定點為_____．【答案】【解析】【分析】先把直線化為點斜式，從而可確定定點.【詳解】直線可化為點斜式，所以直線過定點.故答案為：.15.與雙曲線共漸近線且過點的雙曲線方程是___________.【答案】【解析】【分析】據(jù)題意可設(shè)所求方程為,代入點坐標可得到，進而求得雙曲線方程.【詳解】據(jù)題意可設(shè)所求方程，把)代入易得，故所求雙曲線方程為.答案：【點睛】求雙曲線方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；離心率相同的方程可設(shè)為.16.在數(shù)列中，，則______．【答案】【解析】【分析】利用構(gòu)造法構(gòu)造數(shù)列，即可求解．【詳解】解：因為，所以，所以，所以數(shù)列是一個等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：．17.已知為橢圓上的左右頂點，設(shè)點為橢圓上異于的任意一點，直線的斜率分別為，若橢圓離心率為，則為______．【答案】##-0.25【解析】【分析】由題意可得，設(shè)Px0,y0【詳解】解：由題意可得，設(shè)Px0,y則由在橢圓上可得，直線與的斜率之積為，橢圓離心率為，可得，即，故．即．故答案為：．18.已知橢圓和直線，若對任意的，直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】．【解析】【分析】由已知直線過定點0,1，可得0,1在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，然后分類討論得答案．【詳解】直線恒過定點0,1，要使直線與橢圓恒有公共點，則0,1在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，若橢圓是焦點在軸上的橢圓，則；若橢圓是焦點在軸上的橢圓，則．實數(shù)的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題：本題共8小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19.已知數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通項an；(2)求{an}前n項和Sn的最大值．【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4【解析】【詳解】（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，由已知條件，，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2時，Sn取到最大值4．20.如圖，已知等腰直角三角形的斜邊所在直線方程為，其中點在點上方，直角頂點的坐標為．（1）求邊上的高線所在直線的方程；（2）求三角形的面積.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件可得的斜率，再利用點斜式寫出直線的方程；（2）利用點到直線的距離公式求得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與面積公式，求解即可．【小問1詳解】設(shè)的斜率為，因為斜邊所在直線方程為，所以，又經(jīng)過點，所以，即的直線方程為．【小問2詳解】由題意知，，因為是等腰直角三角形，所以，所以的面積為．21.已知橢圓的焦點為，該橢圓經(jīng)過點P（5,2）（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求y0的值.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義得a，再根據(jù)c求b（2）由得,再與橢圓方程聯(lián)立解得y0的值.試題解析：（1）依題意，設(shè)所求橢圓方程為其半焦距c=6.因為點P（5,2）在橢圓上，所以所以故所求橢圓的標準方程是（2）由得即代入橢圓方程得：故22.如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB＝10米．現(xiàn)有一船只運送一堆由小貨箱碼成的長方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．（1）問船只能否順利通過該橋？（2）已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm．若每層小貨箱高3cm，且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央通過？【答案】（1）貨箱能順利通過該橋；（2）需要增加26層可恰好能從橋下中央通過.【解析】【分析】（1）以O(shè)為原點，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系：設(shè)拋物線方程為x2＝my，根據(jù)題意知點B（5，﹣4）在拋物線上，求解拋物線方程，設(shè)C（3，﹣4），過C作AB的垂線，交拋物線于D（3，y0），求出CD，即可判斷貨箱是否能順利通過該橋．（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）的結(jié)論進行求解即可．【小問1詳解】以O(shè)為原點，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系：設(shè)拋物線方程為x2＝my，根據(jù)題意知點B（5，﹣4）在拋物線上；∴25＝﹣4m；∴；∴；可設(shè)C（3，﹣4），過C作AB的垂線，交拋物線于D（3，y0），則；∴；∵；∴貨箱能順利通過該橋．【小問2詳解】由題（1）知，貨物超出高度為，每增加一層，則船體連貨物高度整體上升，由貨物與橋壁需留下2cm間隙．則需要增加層數(shù)為層，答：船只能順利通過該橋，可以增加26層可恰好能從中央通過．23.某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預(yù)計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.（2）若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.【答案】（1）；

（2）x=348

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意直接得，，進而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合即可計算出d的值.【小問1詳解】由題意知，，，；【小問2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當時，，解得，當時，萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.24.已知直線與雙曲線C：交于A，B兩點，F(xiàn)是C的左焦點，且，.（1）求雙曲線C的方程；（2）若P，Q是雙曲線C上的兩點，M是C的右頂點，且直線MP與MQ的斜率之積為，證明直線PQ恒過定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，直線PQ恒過定點（-2，0）【解析】【分析】（1）利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出a、b、c，即可求出雙曲線C的方程；（2）設(shè)直線MP與MQ的斜率分別為，，分類討論：①當直線PQ不垂直于x軸時，利用“設(shè)而不求法”求出，判斷出直線PQ過定點（-2，0）.②當直線PQ垂直于x軸時，設(shè)，解得，判斷出直線PQ過定點（-2，0）小問1詳解】因為，所以，，設(shè)雙曲線C的焦距為2c，由雙曲線的對稱性知設(shè)雙曲線C的右焦點為F'，則，得，則，故雙曲線C的方程為.【小問2詳解】由已知得，設(shè)直線MP與MQ的斜率分別為，，①當直線PQ不垂直于x軸時：設(shè)直線PQ的斜率為k，PQ的方程為，，，由得，當時，，，那么，得，符合題意.所以直線PQ的方程為，恒過定點（-2，0）.②當直線PQ垂直于x軸時：設(shè)，因為P是C上的點，所以，則，解得，故直線