專項15-分式方程的應用-八大題型

分式方程的應用-八大題型【題型1行程問題】【例1】（河南許昌·八年級期末）小麗和小穎相約周末到時代廣場看電影，她們的家分別距離時代廣場1800m和2400m.兩人分別從家中同時出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3，結(jié)果小麗比小穎晚4min到達劇院．（1）求兩人的速度．（2）要想同時達到，小穎速度不變，小麗速度需要提高m/min.【變式1-1】（重慶·四川外國語大學附屬外國語學校九年級期中）某天運動員小偉沿平路從家步行去銀行辦理業(yè)務，到達銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時間忽略不計），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘．(1)求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時間僅剩半小時，為了節(jié)約時間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時9分鐘到達銀行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5【變式1-2】（全國·八年級）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一半時，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時離表演開始還有23分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館．已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行速度的5倍，小明進家取票時間共用4分鐘．（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？（2）請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計算說明理由．【變式1-3】（湖北襄陽·八年級期末）小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大道進行跑步鍛煉．（1）周六早上6點，小明和小強同時從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時到達.若小明每分鐘比小強多行220米，求小明和小強的速度分別是多少米/分？（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的m倍，兩人在同起點，同時出發(fā)，結(jié)果小強先到目的地n分鐘．①當m=3，n=6時，求小強跑了多少分鐘？②小明的跑步速度為_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．【題型2工程問題】【例2】（全國·七年級專題練習）湖州市在2017年被評為“全國文明城市”，在評選過程中，湖州市環(huán)衛(wèi)處每天需負責市區(qū)范圍420千米城市道路的清掃工作，現(xiàn)有環(huán)衛(wèi)工人直接清掃和道路清掃車兩種馬路清掃方式.已知20名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時可以清掃20千米馬路，30名環(huán)衛(wèi)工人和3輛道路清掃車每小時可以清掃42千米的馬路.（1）1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時各能清掃多長的馬路？（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日的420千米清掃工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車每天工作時間為6小時）？（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，同時又增加了若干個環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作．2018年6月市環(huán)衛(wèi)處擴大清掃范圍60千米，同時又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時環(huán)衛(wèi)工人和清掃車每日工作時間仍與5月份相同，那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃？【變式2-1】（黑龍江·哈爾濱德強學校七年級階段練習）某工廠制作一批零件，由一名工人做要80h完成，現(xiàn)計劃由一部分工人先做2h然后增加5名工人與他們一起做8小時，完成這項工作的34【變式2-2】（遼寧·大石橋市石佛中學八年級期末）大石橋市政府為了落實“暖冬惠民工程”，計劃對城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設(shè)施進行全面更新改造．該工程乙隊單獨完成所需天數(shù)是甲隊單獨完成所需天數(shù)的1.5倍，若甲隊先做10天，剩下兩隊合作30天完成．（1）甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙對每天的施工費用為5.6萬元，工程施工的預算費用為500萬元，為了縮短工期并高效完成工程，擬預算的費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請說明理由．【變式2-3】（廣西貴港·八年級期中）某校改造維修田徑運動場所，項目承包單位派遣了一號施工隊進場施工，計劃用30天完成整個工程．當一號施工隊施工10天后，由于實際需要，要求整個工程比原計劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號施工隊與一號施工隊共同施工，結(jié)果按實際需要如期完成整個工程(1)如果二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？(2)如果一號、二號施工隊同時進場共同施工，完成整個工程需要多少天？【題型3銷售利潤問題】【變式3-1】（四川南充·八年級期末）超市用2500元購進某品牌蘋果，以每千克8元的單價試銷．銷售良好，超市又安排4500元補貨．補貨進價比上次每千克少0.5元，數(shù)量是上次的2倍．（1）求兩次進貨的單價分別是多少元．（2）當售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利．【變式3-2】（湖南·邵陽市第六中學八年級階段練習）在落實“精準扶貧”戰(zhàn)略中，三峽庫區(qū)某駐村干部組織村民依托著名電商平臺“拼多多”組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進貨自本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國各地．2020年10月份，該專賣店第一次購進A商品40件，B商品60件，進價合計8400元；第二次購進A商品50件，B商品30件，進價合計6900元．（1）求該專賣店10月份A、B兩款商品進貨單價分別為多少元？（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部售出．由于季節(jié)原因，B商品缺貨，該專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價比10月份上漲了m元，進價合計49000元；12月份的進貨單價又比11月份上漲了0.5m元，進價合計61200元，12月份的進貨數(shù)量是11月份進貨數(shù)量的1.2倍．為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為多少元？【變式3-3】（浙江·八年級期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和40000購兩批口罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購進數(shù)量的2倍．（1）求7月份購進了口罩多少盒？（2）該藥店在7，8月份均將當月購進的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每盒口罩的標價為150元．已知7月份兩店按標價各賣出a盒后，甲店剩余口罩按標價的八折出售；乙店剩余口罩先按標價的九折售出b盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同．①用含b的代數(shù)式表示a．②8月份，乙店計劃將分到的口罩按標價出售n箱后，剩余口罩全部捐獻給醫(yī)院．若至少捐贈96盒口罩，且預計乙店7，8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求a,b,n所有可能的值．【題型4航行問題】【例4】（福建省福州教育學院附屬中學模擬預測）已知A,B兩港之間的距離為150千米，水流速度為5千米/時．(1)若一輪船從A港順流航行到B港所用的時間是從B港逆流航行到A港所用時間的23(2)記某船從A港順流航行到B港，再從B港逆流航行返回到A港所用的時間為t1；若該船從A港航行到B港再返回到A港均為靜水航行，所用時間為t2，請比較t1【變式4-1】（新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為40千米/時，它沿江以最大航速順流航行70千米所用時間，與以最大航速逆流航行30千米所用時間相等．求江水的流速為多少千米/時．【變式4-2】（吉林四平·七年級期末）兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．（1）2h后兩船相距多遠？（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是．【變式4-3】（全國·八年級單元測試）一小船由A港到B港順流航行需6小時，由B港到A港逆流航行需8小時.小船從早晨6時由A港到B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小時后找到救生圈.問：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小時？（2）救生圈是何時掉入水中的？【題型5和、差、倍、分問題】【例5】（江蘇淮安·八年級期末）第5代移動通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？【變式5-1】（江蘇·儀征市實驗中學東區(qū)校九年級階段練習）某生態(tài)示范村種植基地計劃種植一批葡萄，原計劃總產(chǎn)量要達到36萬斤．為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了8萬斤，種植畝數(shù)減少了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬斤？【變式5-2】（北京八中八年級期中）“綠色環(huán)保，健康出行”新能源汽車越來越占領(lǐng)汽車市場，以“北汽”和“北汽新能源EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的電費均為300元，而續(xù)航里程之比則為1∶4．經(jīng)計算新能源汽車相比燃油車節(jié)約0.6元/公里．

（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價（每公里費用）；

（2）隨著更多新能源車進入千家萬戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受0.48元/度的優(yōu)惠專用電費．以新能源EV500為例，充電55度可續(xù)航400公里，試計算每公里所需電費，并求出與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比．【變式5-3】（浙江舟山·七年級期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導小組在5月30日發(fā)布了常態(tài)化核酸檢測工作的通知，6月3日起我市居民進入公共場所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢測陰性證明．根據(jù)文件要求，學生在校期間每周要組織核酸檢測一次，某校積極響應，安排校醫(yī)甲和教師乙進行核酸采集培訓．經(jīng)過培訓后，甲采集的速度是乙的兩倍，且甲采集52人用時比乙采集30人用時少2分鐘．(1)求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？(2)該校七年級學生人數(shù)比八年級少18人，其中七年級有7個班，每班m人，8八年級有6個班，每班n人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級學生核酸采集工作，求m和n的值；(3)該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個試管不浪費情況下，有哪幾種分裝方案？【題型6數(shù)字問題】【例6】（貴州·銅仁市第十一中學八年級期中）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是47【變式6-1】（全國·八年級課時練習）有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個兩位數(shù)被個位數(shù)字除時，商是8，余數(shù)是2，求這個兩位數(shù)．【變式6-2】（山東濰坊·八年級期末）一個二位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為47【變式6-3】（全國·八年級專題練習）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4，用個位上的數(shù)去除這個兩位數(shù)商是3，求這個兩位數(shù).【題型7圖形問題】【例7】（全國·七年級單元測試）已知一個長方形的長是40，寬是30，現(xiàn)要把它的長和寬減少相同的長度后，使新的長方形的長和寬之比是7:5，減少的長度是______.【變式7-1】（福建省泉州第一中學八年級期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am(a>1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a-(1)“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為kgm2，“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為kgm(2)若“豐收2號”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”的單位面積產(chǎn)量的1.5倍，求a的值．【變式7-2】（浙江·七年級階段練習）李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚，如圖，現(xiàn)有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設(shè)計圖的規(guī)律進行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為_______米，寬為_______米．【變式7-3】（浙江杭州·七年級期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務，用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2所示的豎式和橫式兩種無蓋的長方體紙箱.（加工時接縫材料不計）圖1

圖2（1）若該廠倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板．問豎式和橫式紙箱各加工多少個，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？（2）該工廠原計劃用若干天加工紙箱2400個，后來由于對方急需要貨，實際加工時每天加工速度是原計劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務，問原計劃每天加工紙箱多少個？【題型8方案問題】【例8】（四川成都·八年級期末）某河流防污治理工程已正式啟動，由甲隊單獨做5個月后，乙隊再加入合作3個月就可以完成這項工程．已知若甲隊單獨做需要10個月可以完成．（1）乙隊單獨完成這項工程需要幾個月？（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必須在一年內(nèi)竣工（包括12個月）．為了確保經(jīng)費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？【變式8-1】（河南南陽·三模）某市為了做好“全國文明城市”驗收工作，計劃對市區(qū)S米長的道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊進行施工．（1）已知甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同．若甲工程隊每天比乙工程隊多改造30米，求甲、乙兩工程隊每天改造道路的長度各是多少米．（2）若甲工程隊每天可以改造a米道路，乙工程隊每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程隊改造，后方案二：完成整個道路改造前一半時間由甲工程隊改造，后一半時間由乙工程隊改造．根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時間少？并說明理由．【變式8-2】（云南大理·八年級期末）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場，現(xiàn)甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的23（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個廠家單獨完成，也可以由兩個廠家合作完成．在加工過程中，公司派一名工程師每天到廠進行技術(shù)指導，并負擔每天15元的午餐補助費，請你幫公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．【變式8-3】（江西·南昌市第八中學八年級階段練習）某商場購進甲、乙兩種空調(diào)共50臺．已知購進一臺甲種空調(diào)比購進一臺乙種空調(diào)進價少0.3萬元；用20萬元購進甲種空調(diào)數(shù)量是用40萬元購進乙種空調(diào)數(shù)量的2倍．請解答下列問題：（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺進價各是多少萬元？（2）若商場預計投入資金不少于10萬元，且購進甲種空調(diào)至少31臺，商場有哪幾種購進方案？（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺售價1100元，乙種空調(diào)每臺售價4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺樣機按八折出售，其余全部標價售出，商場從銷售這50臺空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤恰好又可以購進以上空調(diào)共2臺．請直接寫出該商場購進這50臺空調(diào)各幾臺．

分式方程的應用-八大題型（解析版）【題型1行程問題】【例1】（河南許昌·八年級期末）小麗和小穎相約周末到時代廣場看電影，她們的家分別距離時代廣場1800m和2400m.兩人分別從家中同時出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3，結(jié)果小麗比小穎晚4min到達劇院．（1）求兩人的速度．（2）要想同時達到，小穎速度不變，小麗速度需要提高m/min.【答案】（1）小麗和小穎的速度分別為50m/min和75m/min；（2）6.25.【分析】（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2xm/min和3xm/min，根據(jù)題意，小麗所用時間-小穎蘇勇時間=4分鐘，列出分式方程，解答即可.（2）設(shè)小麗速度需要提高am/min，根據(jù)題意，小麗所用時間=小穎所用時間，列出分式方程，解答即可.【詳解】解：（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為2xm/min和3xm/min,根據(jù)題意，得:1800解得：x=25經(jīng)檢驗x=25是原分式方程的解，則2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）

答：小麗和小穎的速度分別為50m/min和75m/min

（2）設(shè)小麗速度需要提高am/min，根據(jù)題意，得：180050+a解得：a=6.25經(jīng)檢驗a=6.25是原分式方程的解答：小麗速度需要提高6.25m/min.故答案為6.25【點睛】本題考查了分式方程的應用，分析題干，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.【變式1-1】（重慶·四川外國語大學附屬外國語學校九年級期中）某天運動員小偉沿平路從家步行去銀行辦理業(yè)務，到達銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時間忽略不計），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回家共用50分鐘．(1)求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時間僅剩半小時，為了節(jié)約時間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀行，小偉先上坡再下坡，用時9分鐘到達銀行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5【答案】(1)280米/分鐘(2)2100米【分析】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，根據(jù)小偉在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返時間共用50分鐘，列方程2800x+28004x=50（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，根據(jù)小偉上坡的平均速度是280×57=200，下坡的平均速度是280×54=350，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用時9分鐘，列方程【詳解】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘,根據(jù)題意得，2800x解得，x=70，經(jīng)檢驗，x=70是所列方程的解，且符合題意，∴4x=280，答：小偉在平路上跑步的平均速度是280米/分鐘；（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，∵上坡的平均速度是，280×57=200∴根據(jù)題意得，2y200解得，y=700，∴700+2×700=2100，答：這段坡路的總路程是2100米．【點睛】本題主要考查了分式方程與一元一次方程的應用——行程問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握路程和速度與時間的關(guān)系，列代數(shù)式列方程解答，解分式方程注意檢驗，應用題注意設(shè)未知數(shù)和回答問題．【變式1-2】（全國·八年級）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一半時，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時離表演開始還有23分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館．已知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行速度的5倍，小明進家取票時間共用4分鐘．（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？（2）請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計算說明理由．【答案】（1）小明步行的速度為76米/分鐘；（2）小明能在表演開始前趕到科技館，理由見詳解．【分析】（1）設(shè)小明步行的速度是每分鐘x米，則小明騎車的速度是每分鐘5x米，根據(jù)時間＝路程÷速度結(jié)合小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）利用時間＝路程÷速度結(jié)合小明進家取票時間共用4分鐘，即可得出小明回家取票后到達科技館所需時間，將其與23分鐘比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：1設(shè)小明步行的速度為x米/分鐘，則小明騎車的速度為5x米/分鐘．根據(jù)題意，得1900解得：x=76經(jīng)檢驗，x=76答：小明步行的速度為76米/分鐘．（2）19005×76所以小明能在表演開始前趕到科技館．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（湖北襄陽·八年級期末）小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大道進行跑步鍛煉．（1）周六早上6點，小明和小強同時從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時到達.若小明每分鐘比小強多行220米，求小明和小強的速度分別是多少米/分？（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的m倍，兩人在同起點，同時出發(fā)，結(jié)果小強先到目的地n分鐘．①當m=3，n=6時，求小強跑了多少分鐘？②小明的跑步速度為_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．【答案】（1）小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分；（2）①小強跑的時間為3分；②1000(m?1)mn【分析】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)路程除以速度等于時間得到方程，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，由m＝3，n＝6，根據(jù)小明的時間-小強的時間=6列方程解答；②根據(jù)路程一定，時間與速度成反比，可求小強的時間進而求出小明的時間，再根據(jù)速度=路程除以時間得到答案.【詳解】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)題意得：1200x＝4500解得：x＝80．經(jīng)檢驗，x＝80是原方程的根，且符合題意．∴x+220＝300．答：小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分．（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，∵m＝3，n＝6，∴1000y?1000經(jīng)檢驗，y=1000∴小強跑的時間為：1000÷(3×1000②小強跑的時間：nm?1分鐘，小明跑的時間：n小明的跑步速度為：1000÷mn故答案為：1000(m?1)mn【點睛】此題考查分式方程的應用，正確理解題意根據(jù)路程、時間、速度三者的關(guān)系列方程解答是解題的關(guān)鍵.【題型2工程問題】【例2】（全國·七年級專題練習）湖州市在2017年被評為“全國文明城市”，在評選過程中，湖州市環(huán)衛(wèi)處每天需負責市區(qū)范圍420千米城市道路的清掃工作，現(xiàn)有環(huán)衛(wèi)工人直接清掃和道路清掃車兩種馬路清掃方式.已知20名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時可以清掃20千米馬路，30名環(huán)衛(wèi)工人和3輛道路清掃車每小時可以清掃42千米的馬路.（1）1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時各能清掃多長的馬路？（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日的420千米清掃工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車每天工作時間為6小時）？（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，同時又增加了若干個環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作．2018年6月市環(huán)衛(wèi)處擴大清掃范圍60千米，同時又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時環(huán)衛(wèi)工人和清掃車每日工作時間仍與5月份相同，那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃？【答案】（1）1名環(huán)衛(wèi)工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；（2）派出5輛道路清掃車參與工作；（3）2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.【分析】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和y千米，由題意可得20x+y=2030x+3y=42（2）設(shè)派出m輛道路清掃車參與工作，則(50×0.6+8m)×6=420，進行求解即可；（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了n名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意寫出分式方程進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和y千米，由題意可得20x+y=2030x+3y=42，解得x=0.6答：1名環(huán)衛(wèi)工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；（2）設(shè)派出m輛道路清掃車參與工作,則(50×0.6+8m)×6=420，解得m=5，答：派出5輛道路清掃車參與工作；（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了n名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意得4200.650+n+6×8答：2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次方程的應用，分式方程的應用.綜合性強，有一定難度.關(guān)鍵是理解題文，列出方程求解.這里涉及到工作效率問題以及合作問題，要求學生對這類模型比較熟練.【變式2-1】（黑龍江·哈爾濱德強學校七年級階段練習）某工廠制作一批零件，由一名工人做要80h完成，現(xiàn)計劃由一部分工人先做2h然后增加5名工人與他們一起做8小時，完成這項工作的34【答案】應該先安排2名工人工作．【分析】設(shè)安排x人先做2h，然后根據(jù)先后兩個時段完成這項工作的34【詳解】解：設(shè)應該先安排x名工人工作，由題意得：2x解得x=2，經(jīng)檢驗x=2是原方程的解且符合題意，∴應該先安排2名工人工作，答：應該先安排2名工人工作．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關(guān)鍵在于準確理解題意列出方程求解．【變式2-2】（遼寧·大石橋市石佛中學八年級期末）大石橋市政府為了落實“暖冬惠民工程”，計劃對城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設(shè)施進行全面更新改造．該工程乙隊單獨完成所需天數(shù)是甲隊單獨完成所需天數(shù)的1.5倍，若甲隊先做10天，剩下兩隊合作30天完成．（1）甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙對每天的施工費用為5.6萬元，工程施工的預算費用為500萬元，為了縮短工期并高效完成工程，擬預算的費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請說明理由．【答案】（1）甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天；（2）工程預算的施工費用不夠用，需追加預算4萬元．【分析】（1）設(shè)甲單獨完成這項工程所需天數(shù)，表示出乙單獨完成這項工程所需天數(shù)及各自的工作效率．根據(jù)工作量＝工作效率×工作時間列方程求解；（2）根據(jù)題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時間，然后計算費用，作出判斷．【詳解】（1）設(shè)此工程甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成這項工程需1.5x天．由題意：10+30解得：x=60．經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解，且適合題意．1.5x=1.5×60=90．答：甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天．（2）因為需要縮短工期并高效完成工程，所以需兩隊合作完成，設(shè)兩隊合作這項工程需y天，根據(jù)題意得：y60解得：y=36．所以需要施工費用36×（8.4+5.6）=504（萬元）．因為504＞500，所以工程預算的施工費用不夠用，需追加預算4萬元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，涉及方案決策問題，綜合性較強．【變式2-3】（廣西貴港·八年級期中）某校改造維修田徑運動場所，項目承包單位派遣了一號施工隊進場施工，計劃用30天完成整個工程．當一號施工隊施工10天后，由于實際需要，要求整個工程比原計劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號施工隊與一號施工隊共同施工，結(jié)果按實際需要如期完成整個工程(1)如果二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？(2)如果一號、二號施工隊同時進場共同施工，完成整個工程需要多少天？【答案】(1)x=45(2)若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天【分析】（1）設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天，根據(jù)題意列出分式方程進行求解即可；（2）直接列算式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二號施工隊單獨施工需要x天，根據(jù)題意得：30?830解得：x=45，經(jīng)檢驗，x=45是原分式方程的解．答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天．（2）根據(jù)題意得：1÷1答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天．【點睛】本題考查分式方程的應用．根據(jù)題意正確的列出分式方程是解題的關(guān)鍵．注意驗根.【題型3銷售利潤問題】【例3】（重慶巴蜀中學九年級階段練習）飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強的團體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛．某商家購進了海綿和橡膠兩種飛盤進行銷售，已知一個橡膠飛盤比一個海綿飛盤的進價多30元，其中購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍．(1)求一個海綿飛盤的進價是多少元；(2)商家第一次購進的飛盤很快售完，決定再次購進同種類型的海綿和橡膠兩種飛盤共80個，但海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%，而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎(chǔ)上打9折，如果商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，那么此次最多可購買多少個橡膠飛盤？【答案】(1)50元，；(2)11.【分析】（1）設(shè)一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，由題意：購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)此次可購買a個橡膠飛盤，則購買(80?a（1）解：設(shè)一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，由題意得：4000x解得：x=50，經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意，答：一個海綿飛盤的進價為50元；（2）設(shè)此次可購買a個橡膠飛盤，則購買(80?a由題意得：50×(1+16%)(80?解得：a∵a是整數(shù)，∴a最大值為11，答：此次最多可購買11個橡膠飛盤．【點睛】此題考查分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系與不等關(guān)系，正確列出分式方程和一元一次不等式．【變式3-1】（四川南充·八年級期末）超市用2500元購進某品牌蘋果，以每千克8元的單價試銷．銷售良好，超市又安排4500元補貨．補貨進價比上次每千克少0.5元，數(shù)量是上次的2倍．（1）求兩次進貨的單價分別是多少元．（2）當售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利．【答案】（1）第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元；（2）4600【分析】（1）設(shè)第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是(x?0.5)元，根據(jù)題意，列方程求解即可；（2）求出兩次的購進數(shù)量，根據(jù)毛利=收入-成本，可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）設(shè)第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是(x?0.5)元，根據(jù)題意，得2500解得x=5經(jīng)檢驗：x=5是原方程的解第二次進貨的單價是：5?0.5=4.5(π答：第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元.（2）兩次銷售蘋果的毛利：(2500答：兩次銷售蘋果的毛利為4600元.【點睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是根據(jù)這次進貨價比上次每千克少0.5元，購進蘋果的數(shù)量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后總千克數(shù)，根據(jù)毛利公式，從而求出解．【變式3-2】（湖南·邵陽市第六中學八年級階段練習）在落實“精準扶貧”戰(zhàn)略中，三峽庫區(qū)某駐村干部組織村民依托著名電商平臺“拼多多”組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進貨自本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國各地．2020年10月份，該專賣店第一次購進A商品40件，B商品60件，進價合計8400元；第二次購進A商品50件，B商品30件，進價合計6900元．（1）求該專賣店10月份A、B兩款商品進貨單價分別為多少元？（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部售出．由于季節(jié)原因，B商品缺貨，該專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價比10月份上漲了m元，進價合計49000元；12月份的進貨單價又比11月份上漲了0.5m元，進價合計61200元，12月份的進貨數(shù)量是11月份進貨數(shù)量的1.2倍．為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為多少元？【答案】（1）該店A、B兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元．【分析】（1）設(shè)每件A種商品的進價為x元，每件B種商品的進價為y元，根據(jù)“若購進A種商品40件，B種商品60件，需要8400元；若購進A種商品50件，B種商品30件，需要6900元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，可以得到相應的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計算出商店銷售這兩批A商品的銷售總金額．【詳解】（1）設(shè)10月份A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，由題意得：40x+60y=840050x+30y=6900解得，x=90y=80答：該店A、B兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）由題意可得，4900090+m解得，m=8，經(jīng)檢驗，m=8是原分式方程的解，故11月份購進的A商品數(shù)量為4900090+812月份購進的A商品數(shù)量為500×1.2=600（件），（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．答：該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元．【點睛】本題考查了分式方程的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗．【變式3-3】（浙江·八年級期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和40000購兩批口罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購進數(shù)量的2倍．（1）求7月份購進了口罩多少盒？（2）該藥店在7，8月份均將當月購進的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每盒口罩的標價為150元．已知7月份兩店按標價各賣出a盒后，甲店剩余口罩按標價的八折出售；乙店剩余口罩先按標價的九折售出b盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同．①用含b的代數(shù)式表示a．②8月份，乙店計劃將分到的口罩按標價出售n箱后，剩余口罩全部捐獻給醫(yī)院．若至少捐贈96盒口罩，且預計乙店7，8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求a,b,n所有可能的值．【答案】（1）200盒；（2）①a=100?2b；②a=100，b=0，n=100或a=90，b=5，n=102或a=80，b=10，n=104【分析】（1）設(shè)7月份購進了口罩x盒，根據(jù)8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元列出方程，解之即可；（2）①根據(jù)7月份乙店利潤與甲店相同列出關(guān)于a，b的方程，化簡即可；②首先求出兩個月乙店的利潤，根據(jù)總利潤為2000元列出方程，得到n=100+2b5，再根據(jù)至少捐贈96盒口罩，求出n的范圍，得到【詳解】解：（1）設(shè)7月份購進了口罩x盒，由題意可得：16000x解得：x=200，∴7月份購進了口罩200盒；（2）①由（1）可得7月份口罩每盒16000200由題意可得：100?a150×80%?80整理得：a=100?2b；②由題意可得：8月份購進了口罩400盒，8月份口罩進價為每盒100元，7月份乙店獲得的利潤為：a=45a+30b+25008月份乙店獲得的利潤為：150?100n?100200?n=∴45a+30b+2500+150n?20000=2000，即3a+2b+10n=1300，∵a=100?2b，∴3100?2b+2b+10n=1300，即5n?2b=500，即∵至少捐贈96盒口罩，∴200?n≥96，∴n≤104，∴100+2b5≤104∴b可以取0，5，10，當b=0時，a=100，n=100；當b=5時，a=90，n=102；當b=10時，a=80，n=104．【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，列代數(shù)式，二元一次方程的解以及不等式，解體的關(guān)鍵是理清題意，本題條件較多，一定要仔細讀題．【題型4航行問題】【例4】（福建省福州教育學院附屬中學模擬預測）已知A,B兩港之間的距離為150千米，水流速度為5千米/時．(1)若一輪船從A港順流航行到B港所用的時間是從B港逆流航行到A港所用時間的23(2)記某船從A港順流航行到B港，再從B港逆流航行返回到A港所用的時間為t1；若該船從A港航行到B港再返回到A港均為靜水航行，所用時間為t2，請比較t1【答案】(1)輪船在靜水中的航行速度為25千米/時(2)t1【分析】（1）設(shè)輪船在靜水中的航行速度為x千米/時，故可知順流速度為x+5千米/時，逆流速度為x?5千米/時，列分式方程150x?5（2）設(shè)船在靜水中的航行速度為v千米/時，由題意可知t1=150v+5+（1）解：設(shè)輪船在靜水中的航行速度為x，則順流速度為x+5千米/時，逆流速度為x?5千米/時；故有150解得x=25經(jīng)檢驗得x=25是原方程的解∴該輪船在靜水中的航行速度為25千米/時．（2）解：設(shè)船在靜水中的航行速度為v千米/時由題意知ttt==∴∴t【點睛】本題考查了分式方程與異分母分式的加減．解題的關(guān)鍵在于正確的列分式方程與分式的比較大?。咀兪?-1】（新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為40千米/時，它沿江以最大航速順流航行70千米所用時間，與以最大航速逆流航行30千米所用時間相等．求江水的流速為多少千米/時．【答案】16千米/時【分析】設(shè)江水的流速為x千米/時，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)江水的流速為x千米/時，根據(jù)題意得，70x+40解得x=16，經(jīng)檢驗，x=16是原方程的解，答：江水的流速為16千米/時．【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（吉林四平·七年級期末）兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．（1）2h后兩船相距多遠？（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是．【答案】（1）2h后兩船相距200千米（2）2h后甲船比乙船多航行4a千米；（3）v=2a【分析】（1）分別求得甲乙兩船行駛的路程，即可求解；（2）用甲船行駛的路程減去乙船行駛的路程，即可求解；（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設(shè)碼頭之前的距離為s，列方程求解即可．【詳解】解：（1）2h后，甲船行駛的路程為2×(50+a)(km)兩船相距為2×(50+a)+2×(50?a)=200(答：2h后兩船相距200千米（2）由（1）得2h后，甲船行駛的路程為2×(50+a)(km)甲船比乙船多航行2×(50+a)?2×(50?a)=4a(答：2h后甲船比乙船多航行4a千米（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設(shè)碼頭之前的距離為s則去程時間為t1=由題意可得t1=3t2快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關(guān)系是為v=2a故答案為v=2a【點睛】此題考查了列代數(shù)式，以及分式的應用，解題的關(guān)鍵是掌握船順流航行和逆流航行的速度公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（全國·八年級單元測試）一小船由A港到B港順流航行需6小時，由B港到A港逆流航行需8小時.小船從早晨6時由A港到B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小時后找到救生圈.問：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小時？（2）救生圈是何時掉入水中的？【答案】（1）48；（2）10時.【分析】（1）先設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，求出x的值，在進行檢驗即可；（2）先設(shè)救生圈是在x點鐘落下水中的，則救生圈每小時順水漂流的距離等于全程的148，根據(jù)小船早晨6時從港出發(fā)，順流航行需6小時，得出它在中午12點鐘到達B港，根據(jù)救生圈在y點鐘就已掉下水，到這時已漂流的時間為（12-x）小時，在這段時間里，每小時船行駛?cè)痰?6，救生圈沿著航行方向漂流全程的1【詳解】（1）設(shè)船由A港漂流到B港需要x小時，依題意得，16?1經(jīng)檢驗，x=48是原方程的解，且有意義.（2）設(shè)救生圈在x時落入水中，由（1）知水的速度為148，則(6+6?x)(16經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解，且符合實際意義.【點睛】此題考查分式方程的應用，一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵在于列出方程【題型5和、差、倍、分問題】【例5】（江蘇淮安·八年級期末）第5代移動通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？【答案】60兆【分析】設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，根據(jù)“小明比小強所用的時間快140秒”列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆由題意得：600解得：x=4，經(jīng)檢驗：x=4是原分式方程的解，且符合題意，15×4=60，答：該地5G的下載速度是每秒60兆．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)列出方程．【變式5-1】（江蘇·儀征市實驗中學東區(qū)校九年級階段練習）某生態(tài)示范村種植基地計劃種植一批葡萄，原計劃總產(chǎn)量要達到36萬斤．為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了8萬斤，種植畝數(shù)減少了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬斤？【答案】改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬斤【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：原計劃種植的畝數(shù)－改良后種植的畝數(shù)=20畝，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設(shè)原計劃每畝產(chǎn)量x萬斤，改良后每畝產(chǎn)量1.5x萬斤，36x解得，x=1經(jīng)檢驗，x=1∴1.5x=0.5，答：改良后平均每畝產(chǎn)量是0.5萬斤．【點睛】此題主要考查了分式方程的應用，正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（北京八中八年級期中）“綠色環(huán)保，健康出行”新能源汽車越來越占領(lǐng)汽車市場，以“北汽”和“北汽新能源EV500”為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的電費均為300元，而續(xù)航里程之比則為1∶4．經(jīng)計算新能源汽車相比燃油車節(jié)約0.6元/公里．

（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價（每公里費用）；

（2）隨著更多新能源車進入千家萬戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受0.48元/度的優(yōu)惠專用電費．以新能源EV500為例，充電55度可續(xù)航400公里，試計算每公里所需電費，并求出與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比．【答案】（1）燃油車0.8；新能源汽車0.2；（2）8.25%【分析】（1）設(shè)新能源汽車續(xù)航單價為x元/公里，則燃油車續(xù)航單價為（x+0.6）元/公里，根據(jù)等量關(guān)系式：新能源汽車續(xù)航里程：燃油車續(xù)航里程=4∶1，列出方程，解之即可.（2）根據(jù)總價=單價×數(shù)量可得新能源汽車400公里所需費用，再用此費用÷總公里數(shù)即可得新能源汽車每公里所需電電費；由（1）知燃油汽車每公里費用，用此費用乘以總公里數(shù)可得燃油汽車總費用，再用新能源汽車的總費用÷燃油車相同里程下的所需費用即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)新能源汽車續(xù)航單價為x元/公里，則燃油車續(xù)航單價為（x+0.6）元/公里，依題可得：300x：300+0.6解得：x=0.2，∴燃油車續(xù)航單價為：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），答：新能源汽車續(xù)航單價為0.2元/公里，燃油車續(xù)航單價為0.8元/公里.（2）依題可得新能源汽車400公里所需費用為：0.48×55=26.4（元），∴新能源汽車每公里所需電電費為：26.4÷400=0.066（元/公里），依題可得燃油汽車400公里所需費用為：400×0.8=320（元），∴新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比為：26.4÷320=0.0825=8.25%.答：新能源汽車每公里所需電電費為0.066元；新能源汽車與燃油車相同里程下的所需費用（油電）百分比為8.25%.【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（浙江舟山·七年級期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導小組在5月30日發(fā)布了常態(tài)化核酸檢測工作的通知，6月3日起我市居民進入公共場所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢測陰性證明．根據(jù)文件要求，學生在校期間每周要組織核酸檢測一次，某校積極響應，安排校醫(yī)甲和教師乙進行核酸采集培訓．經(jīng)過培訓后，甲采集的速度是乙的兩倍，且甲采集52人用時比乙采集30人用時少2分鐘．(1)求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？(2)該校七年級學生人數(shù)比八年級少18人，其中七年級有7個班，每班m人，8八年級有6個班，每班n人，兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級學生核酸采集工作，求m和n的值；(3)該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個試管不浪費情況下，有哪幾種分裝方案？【答案】(1)甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；(2)m=36(3)有4種方案：①5個10人試管，1個20人試管；②3個10人試管，2個20人試管；③1個10人試管，3個20人試管；④7個10人試管，0個20人試管．【分析】（1）可設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，甲為2x人，根據(jù)所用的時間可列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解方程組即可；（3）設(shè)10人試管有x個，20人試管有y個，從而得到10x+20y=70，根據(jù)x與y都是正整數(shù)，從而可求解．（1）解：設(shè)乙速度為平均每分鐘采集x人，則甲為每分鐘采集2x人，依題意得：522x解得x=2，2×2=4人，經(jīng)檢驗：x=2是方程的解且符合題意，答：甲平均每分鐘采集4人，乙平均每分鐘采集2人；（2）解：依題意得：7m=6n?187m+6n=87×(2+4)解得m=36n=45（3）解：設(shè)10人試管有x個，20人試管有y個，依題意得：10x+20y=70，即x=7-2y，則有：x=5y=1或x=3y=2或x=1y=3有4種方案：①5個10人試管，1個20人試管；②3個10人試管，2個20人試管；③1個10人試管，3個20人試管；④7個10人試管，0個20人試管．【點睛】本題主要考查分式方程的應用，二元一次方程組的應用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到等量關(guān)系．【題型6數(shù)字問題】【例6】（貴州·銅仁市第十一中學八年級期中）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是47【答案】63【分析】設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗并作答．【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)為x，則可列方程：10x+66×10+x整理得66x＝198，解得x＝3，經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，則60+x＝63，故答案為：63．【點睛】本題主要考查分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．【變式6-1】（全國·八年級課時練習）有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個兩位數(shù)被個位數(shù)字除時，商是8，余數(shù)是2，求這個兩位數(shù)．【答案】34【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+1，兩位數(shù)是10x+x+1，利用兩位數(shù)減2除以個位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗后求出兩位數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+1，則：10x+(x+1)?2x+1解方程得：x=3，經(jīng)檢驗：x=3是原方程的根，所以個位上的數(shù)字為：x+1＝3＋1＝4，所以這個兩位數(shù)是：3×10＋4＝34．答：這個兩位數(shù)是34．【點睛】本題考查數(shù)字問題分式方程應用題，掌握分式方程解應用題的步驟與解法，關(guān)鍵是抓住兩位數(shù)減2除以個位數(shù)字，商是8列出方程．【變式6-2】（山東濰坊·八年級期末）一個二位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為47【答案】84【分析】設(shè)這個二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)“如果交換十位數(shù)字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為47”，即可得出關(guān)于x【詳解】設(shè)這個二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)題意得：1012?x+x10x+解得：x＝8，經(jīng)檢驗，x＝8是所列分式方程的解，且符合題意，∴12﹣x＝4．故答案為84．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（全國·八年級專題練習）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4，用個位上的數(shù)去除這個兩位數(shù)商是3，求這個兩位數(shù).【答案】15.【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為x+4，這個兩位數(shù)為：10x+（x+4），根據(jù)用個位上的數(shù)去除這個兩位數(shù)商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．【詳解】解：x+4+10xx+4解得：x=1，經(jīng)檢驗，x=1是分式方程的解，10x+（x+4）=10×1+1+4=15．答：這個兩位數(shù)為15．【點睛】本題主要考查分式方程的應用，利用個位與十位的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．在解答本題的過程中根據(jù)條件從而得到本題的結(jié)果．【題型7圖形問題】【例7】（全國·七年級單元測試）已知一個長方形的長是40，寬是30，現(xiàn)要把它的長和寬減少相同的長度后，使新的長方形的長和寬之比是7:5，減少的長度是______.【答案】5【分析】設(shè)減少的長度是x，根據(jù)題意列出方程，解方程，檢驗即可.【詳解】解：設(shè)減少的長度是x，由題意，得40?x去分母得：5(40?x)=7(30?x)去括號得：200?5x=210?7x移項得：7x?5x=210?200合并同類項得：2x=10系數(shù)化為1得：x=5經(jīng)檢驗，x=5是該方程的解故填：5.【點睛】本題考查分式方程的應用.能根據(jù)題意列出方程是解決此題的關(guān)鍵，還需注意對方程的解要進行檢驗.【變式7-1】（福建省泉州第一中學八年級期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am(a>1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a-(1)“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為kgm2，“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為kgm(2)若“豐收2號”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”的單位面積產(chǎn)量的1.5倍，求a的值．【答案】(1)500a2(2)5【分析】（1）分別求出“豐收1號”、“豐收2號”的面積，再用500除以面積即可；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于a等式求解即可，注意需要驗根．(1)解：“豐收1號”的面積為：a2∴單位面積產(chǎn)量為：500a“豐收2號”的面積為：(a?1)2∴單位面積產(chǎn)量為：500(a?1)故答案為：500a2?1(2)解：由題意，可得500a解得a=5，經(jīng)檢驗，a=5是原分式方程的解，∴a的值為5．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應的分式方程．【變式7-2】（浙江·七年級階段練習）李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚，如圖，現(xiàn)有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設(shè)計圖的規(guī)律進行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為_______米，寬為_______米．【答案】

1

34或【分析】設(shè)A款瓷磚邊長為a米，B款瓷磚長為a米、寬為b米，則2×7a×9?b2a+b=2(9?b2a+b+1)×7a【詳解】解：設(shè)A款瓷磚邊長為a米，B款瓷磚長為a米、寬為b米，則2×7解得：a=1，經(jīng)檢驗，a=1是原方程的解，由題意得：9?b2+b設(shè)9?b2+b解得：b=9?2k當k=1時，b=7當k=2時，b=5當k=3時，b=3當k=4時，b=1故答案為：1，34或1【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，正確理解題意，根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（浙江杭州·七年級期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務，用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2所示的豎式和橫式兩種無蓋的長方體紙箱.（加工時接縫材料不計）圖1

圖2（1）若該廠倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板．問豎式和橫式紙箱各加工多少個，恰好將庫存的兩種紙板全部用完？（2）該工廠原計劃用若干天加工紙箱2400個，后來由于對方急需要貨，實際加工時每天加工速度是原計劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務，問原計劃每天加工紙箱多少個？【答案】（1）加工豎式紙盒200個，橫式紙盒400個；（2）原計劃每天加工紙箱400個【分析】（1）設(shè)加工豎式紙箱x個，橫式紙箱y個，根據(jù)豎式紙箱需要4張長方形紙板，1張正方形紙板，橫式紙箱需要3張長方形紙板，2張正方形紙板列出方程組，然后求解方程組即可；（2）設(shè)原計劃每天加工紙箱a個，根據(jù)“實際加工時每天加工速度是原計劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務”列出關(guān)于a的分式方程，然后求解方程驗根即可.【詳解】解：（1）設(shè)加工豎式紙箱x個，橫式紙箱y個，由題意，得4x+3y=2000x+2y=1000解得x=200y=400答：加工豎式紙盒200個，橫式紙盒400個；（2）設(shè)原計劃每天加工紙箱a個，由題意，得2400a解得a=400，經(jīng)檢驗：a=400是所列方程的根，且符合題意.答：原計劃每天加工紙箱400個.【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，分式方程的應用，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，找到題中相等關(guān)系的量列出方程（組）.【題型8方案問題】【例8】（四川成都·八年級期末）某河流防污治理工程已正式啟動，由甲隊單獨做5個月后，乙隊再加入合作3個月就可以完成這項工程．已知若甲隊單獨做需要10個月可以完成．（1）乙隊單獨完成這項工程需要幾個月？（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必須在一年內(nèi)竣工（包括12個月）．為了確保經(jīng)費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？【答案】（1）15（2）方案一：甲隊作4個月，乙隊作9個月；方案二：甲隊作2個月，乙隊作12個月【分析】(1)設(shè)完成本項工程的工作總量為1,由題意可知510+3(2)根據(jù)題目關(guān)鍵信息：該工程總費用不超過141萬元、采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數(shù)）分工合作的方式施工可以列出關(guān)于a、b方程組，從而得出a、b的取值范圍，根據(jù)a、b的取值范圍及a、b均為整數(shù)的關(guān)系得出b為3的倍數(shù)，則b=9或b=12．從而得出a的取值.確定工程方案.【詳解】（1）設(shè)乙隊需要x個月完成，根據(jù)題意得：5經(jīng)檢驗x=15是原方程的根答：乙隊需要15個月完成；（2）根據(jù)題意得：15a+9b≤141a10+∵a≤12，b≤12且a，b都為正整數(shù)，∴9≤b≤12又a=10﹣23∴b為3的倍數(shù)，∴b=9或b=12．當b=9時，a=4；當b=12時，a=2∴a=4，b=9或a=2，b=12．方案一：甲隊作4個月，乙隊作9個月；方案二：甲隊作2個月，乙隊作12個月；【點睛】本題主要考查列方程解決工程問題，工程問題是中考?？贾R點.根據(jù)a、b的取值范圍及a、b均為整數(shù)的關(guān)系得出b為3的倍數(shù)是本題的難點.【變式8-1】（河南南陽·三模）某市為了做好“全國文明城市”驗收工作，計劃對市區(qū)S米長的道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊進行施工．（1）已知甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同．若甲工程隊每天比乙工程隊多改造30米，求甲、乙兩工程隊每天改造道路的長度各是多少米．（2）若甲工程隊每天可以改造a米道路，乙工程隊每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程隊改造，后方案二：完成整個道路改造前一半時間由甲工程隊改造，后一半時間由乙工程隊改造．根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時間少？并說明理由．【答案】（1）甲工程隊每天道路的長度為180米，乙工程隊每天道路的長度為150米；（2）方案二所用的時間少【分析】（1）設(shè)乙工程隊每天道路的長度為x米，根據(jù)“甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同”