數(shù)學示范教案：第二章第一節(jié)平面向量的實際背景及基本概念

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第一節(jié)平面向量的實際背景及基本概念1．豐富多彩的背景，引人入勝的內(nèi)容．教材首先從力、位移等量講清向量的實際背景以及研究向量的必要性,接著介紹了平面向量的有關(guān)知識．學生將了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言與方法表述和解決數(shù)學、物理中的一些問題,發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎(chǔ)，從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律及坐標表示．向量數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來，這樣為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便，特別能有效地解決線段的垂直問題．最后介紹了平面向量的應(yīng)用．2．教學的最佳契機,全新的思維視角．向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，這一概念是由物理學和工程技術(shù)抽象出來的．反過來，向量的理論和方法,又成為解決物理學和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題．這一章的內(nèi)容雖然概念多，但大都有其物理上的來源，雖然抽象，卻與圖形有著密切的聯(lián)系,向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明顯的．全新的思維視角，恰當?shù)慕膛c學,使得向量不僅生動有趣，而且是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機．3．本章充分體現(xiàn)出新教材特點．以學生已有的物理知識和幾何內(nèi)容為背景,直觀介紹向量的內(nèi)容，注重向量運算與數(shù)的運算的對比，特別注意知識的發(fā)生過程．對概念、法則、公式、定理等的處理主要通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論．這一章中的一些例題，教科書不是先給出解法,而是先進行分析，探索出解題思路，再給出解法．解題后有的還總結(jié)出解決該題時運用的數(shù)學思想和數(shù)學方法，有的還讓學生進一步考慮相關(guān)的問題．對知識的處理,都盡量設(shè)計成讓學生自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式，從而培養(yǎng)學生的思維能力．向量的坐標實際上是把點與數(shù)聯(lián)系起來,進而可把曲線與方程聯(lián)系起來,這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題，同時也可以用幾何的觀點處理某些代數(shù)問題．4．本章教學約需12課時，具體分配如下，僅供參考.節(jié)次標題課時2.1平面向量的實際背景及基本概念1課時2.2向量的線性運算3課時2。3平面向量的基本定理及坐標表示2課時2.4平面向量的數(shù)量積2課時2.5平面向量的應(yīng)用舉例2課時本章復(fù)習2課時作者：趙勇，永安三中教師,本教學設(shè)計獲福建省教學設(shè)計大賽三等獎eq\o（\s\up7（),\s\do5（整體設(shè)計))教學理念新的課程標準要求我們創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，創(chuàng)設(shè)教學情境，讓學生通過主動參與、積極思考、合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得知識、能力、情感的全面發(fā)展．本節(jié)課將充分體現(xiàn)以“學生為本”的教學觀念，實現(xiàn)課程理念、教學方式和學生學習方式的轉(zhuǎn)變．教學目標1．通過力的分析等實例,了解向量的實際背景；理解向量的概念．2．理解向量的幾何表示;掌握零向量、單位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共線向量等概念，并會辨認圖形中的相等向量或作出與某一已知向量的相等向量．教學重點、難點1．通過學生自主探究，并在教師的引導(dǎo)下，使學生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示等是本節(jié)課的重點．2．難點是學生對向量的概念和共線向量的概念的理解．學情和教材分析《向量》是高中數(shù)學新教材必修四第二章第1節(jié)．向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具．向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減)法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算,從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系．向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學和物理學科中具有廣泛的應(yīng)用．所以，向量是高考必考的重點內(nèi)容,又因為其抽象性,它還是學生在學習中的一個難學內(nèi)容．本節(jié)內(nèi)容是向量一章的第一節(jié)課，因此，是十分關(guān)鍵、重要的一節(jié)課．教學準備多媒體課件eq\o(\s\up7（),\s\do5(教學過程))導(dǎo)入新課位置是幾何學研究的重要內(nèi)容之一，幾何中常用點表示位置，研究如何由一點的位置確定另外一點的位置．如圖1,如何由點A確定點B的位置？圖1一種常用的方法是,以A為參照點，用B點A點之間的方位和距離確定B點的位置．如，B點在A點東偏南45°，30千米處．這樣，在A點與B點之間,我們可以用有向線段AB表示B點相對于A點的位置．有向線段AB就是A點與B點之間的位移．位移簡明地表示了位置之間的相對關(guān)系．像位移這種既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我們本章要研究的向量．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究））本章引言中，我們知道，位移是既有大小，又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？圖2請大家閱讀課本2。1.1向量的物理背景與概念;2.1.2向量的幾何表示．并回答下面問題：（1）什么是向量?向量和數(shù)量有何不同?(2)向量如何表示?(3）什么是零向量和單位向量？（4)什么是平行向量？待學生閱讀完后，老師總結(jié)并展示課件：1．什么是向量？向量和數(shù)量有何不同？（數(shù)量：只有大小,沒有方向的量)在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些量中，哪些是數(shù)量？哪些是向量?數(shù)量有：質(zhì)量、身高、面積、體積向量有：重力、速度、加速度提問:角度，海拔，溫度是向量嗎？2．向量如何表示?（1）幾何表示——向量常用有向線段表示:有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向．圖3注：以A為起點,B為終點的有向線段記為eq\o（AB,\s\up6(→)),線段AB的長度記作|eq\o(AB,\s\up6（→)）|(讀為模)；（2)也可以表示為a，b，c,…,大小記作：|a|、|b｜、|c｜、…說明一:我們所說的向量,與起點無關(guān)，用有向線段表示向量時，起點可以取任意位置．所以數(shù)學中的向量也叫自由向量．如圖4:它們都表示同一個向量．圖4練習:向量eq\o(AB,\s\up6(→））和eq\o（BA，\s\up6(→))是同一個向量嗎？為什么？不是，方向不同．探究：向量就是有向線段嗎？有向線段就是向量嗎？說明二：有向線段與向量的區(qū)別：有向線段：有固定起點、大小、方向．向量：可選任意點作為向量的起點、有大小、有方向．圖5有向線段eq\o(AB,\s\up6（→）)、eq\o(CD，\s\up6(→)）是不同的．圖6向量eq\o（AB，\s\up6（→）)、eq\o(CD，\s\up6(→）)是同一個向量．3．什么是零向量和單位向量？零向量：長度為0的向量，記為0；單位向量:長度為1的向量．注：零向量，單位向量都是只限制大小，不確定方向的．向量之間的關(guān)系:4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量．注：1。若是兩個平行向量,則記為a∥b。2．我們規(guī)定，零向量與任一向量平行，即對任意向量a，都有0∥a。練習：判斷下列各組向量是否平行？圖7向量的平行與線段的平行有什么區(qū)別？練習：已知下列命題：（1）向量eq\o(AB，\s\up6(→）)和向量eq\o（BA,\s\up6（→))長度相等；(2）方向不同的兩個向量一定不平行；(3)向量就是有向線段；（4)向量0＝0；（5)向量eq\o（AB,\s\up6（→))大于向量eq\o(CD，\s\up6(→）)。其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2答案：B例1試根據(jù)圖8中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用向量表示A地至B、C兩地的位移,并求出A地至B、C兩地的實際距離（精確到1圖8請同學們閱讀課本2.1.3相等向量與共線向量，并回答問題：什么是相等向量和共線向量？待學生回答后，老師總結(jié)并展示課件:5．什么是相等向量和共線向量？長度相等且方向相同的向量叫相等向量．a(chǎn)＝b＝ceq\o（A1B1,\s\up6（→））＝eq\o(A2B2，\s\up6(→))＝eq\o(A3B3,\s\up6(→）)＝eq\o（A4B4，\s\up6（→））圖9注：1.若向量a，b相等，則記為a＝b；2．任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．平行向量也叫共線向量．注:任一組平行向量都可以平移到同一直線上．練習：判斷下列命題是否正確：（1)兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同;(2)若|a｜＝｜b｜，則a＝b;(3)若eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，則四邊形ABCD是平行四邊形;(4）平行四邊形ABCD中，一定有eq\o（AB，\s\up6(→）)＝eq\o(DC，\s\up6(→）)；（5）若m＝n,n＝k，則m＝k；(6）若a∥b，b∥c，則a∥c。其中不正確命題的個數(shù)是()A．2B．3C．4答案：C練習：下列說法正確的是（）A．若|a|>|b|，則a>bB．若|a｜＝0，則a＝0C．若|a｜＝|b|，則a＝b或a＝－bD．若a∥b，則a＝bE．若a＝b，則|a｜＝｜b|F．若a≠b，則a與b不是共線向量G．若a＝0，則－a＝0答案:EG例2如圖10，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與eq\o(OA，\s\up6（→））、eq\o（OB，\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→））相等的向量．圖10解：eq\o（OA,\s\up6(→)）＝eq\o(CB,\s\up6（→)）＝eq\o（DO,\s\up6(→))，eq\o（OB,\s\up6(→））＝eq\o(DC，\s\up6（→））＝eq\o(EO，\s\up6(→）），eq\o(OC，\s\up6（→))＝eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o（ED,\s\up6（→）)＝eq\o(FO,\s\up6（→))。練習：如圖11，EF是△ABC的中位線，AD是BC邊上的中線，在以A、B、C、D、E、F為端點的有向線段表示的向量中請分別寫出：圖11（1)與向量eq\o（CD,\s\up6(→）)共線的向量有________個,分別是________________________________;（2)與向量eq\o（DF，\s\up6(→))的模一定相等的向量有________個，分別是______________________；(3）與向量eq\o(DE,\s\up6（→))相等的向量有________個，分別是__________．答案：(1)7eq\o(DC,\s\up6(→））、eq\o（DB,\s\up6(→)）、eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(FE，\s\up6(→））、eq\o(EF,\s\up6（→）)、eq\o(CB，\s\up6（→))、eq\o(BC,\s\up6（→））(2）5eq\o(FD,\s\up6(→))、eq\o(EB,\s\up6（→））、eq\o(BE,\s\up6（→）)、eq\o（EA,\s\up6(→)）、eq\o（AE，\s\up6(→））（3)2eq\o（CF,\s\up6（→））、eq\o(FA,\s\up6（→)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))通過本節(jié)課的學習，要求大家能夠理解向量的概念；掌握向量的幾何表示;理解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，并能進行簡單的應(yīng)用．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)習題2。1A組2，5eq\o(\s\up7()，\s\do5（設(shè)計思路））1．首先先對本節(jié)課教材內(nèi)容進行分析2．教材內(nèi)容的安排和處理根據(jù)我所教學生的特點,我對教材進行了如