數(shù)學(xué)示范教案：兩角和與差的余弦

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析本節(jié)是結(jié)合第一章，以圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)作引子，從中提出問題，引入本節(jié)的研究課題．在教學(xué)中要結(jié)合教科書中提供的問題背景,充分展示公式推導(dǎo)的思維過程．在正式推導(dǎo)之前，可組織學(xué)生談?wù)勛约簩?duì)推導(dǎo)公式的想法，討論、研究和分析可能出現(xiàn)的思路，使學(xué)生更好地經(jīng)歷和參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展與創(chuàng)造過程．同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)運(yùn)算，復(fù)習(xí)單位向量的三角表示，并嘗試自己推導(dǎo)兩角和的余弦公式．在公式推出之后，還可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過程進(jìn)行反思，欣賞用向量方法推導(dǎo)公式的美妙，歸納、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以便掌握和靈活運(yùn)用．在公式應(yīng)用的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生充分注意變形中角的變化，靈活運(yùn)用“角的代換”的方法，體會(huì)化歸思想在三角恒等變換中的應(yīng)用．利用向量知識(shí)探索兩角差的余弦公式時(shí)要注意推導(dǎo)的層次性：①在回顧求角的余弦有哪些方法時(shí)，聯(lián)系向量知識(shí)，體會(huì)向量方法的作用；②結(jié)合有關(guān)圖形，完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備；③探索過程不應(yīng)追求一步到位，可以先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié)，抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索，然后再反思,予以完善；④補(bǔ)充完善的過程，既要運(yùn)用分類討論的思想,又要用到誘導(dǎo)公式．本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué)，教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律，應(yīng)注意以下幾方面：①要使學(xué)生了解公式的由來；②使學(xué)生認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征加以記憶；③使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明；④通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題．三維目標(biāo)1．通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．2．通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、證明，體會(huì)化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)探究的樂趣，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式．教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的靈活運(yùn)用．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)如果知道了α,β的三角函數(shù),如何計(jì)算α＋β，α－β的三角函數(shù)呢?下面我們從向量的角度來探究這一問題，接著導(dǎo)入新課．思路2。（復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道cos45°＝eq\f（\r(2),2)，cos30°＝eq\f（\r（3），2),由此我們能否得到cos15°＝cos（45°－30°）＝?這里是不是等于cos45°－cos30°呢?教師可讓學(xué)生驗(yàn)證，經(jīng)過驗(yàn)證可知，我們的猜想是錯(cuò)誤的．那么究竟是什么關(guān)系呢?cos（α－β)等于什么呢?這時(shí)學(xué)生急于知道答案,由此展開新課．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧兩個(gè)向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)運(yùn)算，復(fù)習(xí)單位向量的三角表示:eq\o(OP，\s\up6（→)）＝(cosα，sinα），eq\o(OQ,\s\up6(→))＝（cosβ，sinβ)并進(jìn)一步講解．我們知道cos（x－eq\f(π,4））可以看作是向量(cosx，sinx)與向量（1，1)的夾角的余弦值，那么cos(α－β)能否也看成是兩個(gè)向量夾角的余弦值呢?把cos（α－β）看成兩個(gè)向量夾角的余弦,考慮用向量的數(shù)量積來研究．如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊分別作角α，β,其終邊分別與單位圓交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，則∠P1OP2＝α－β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α－β≤π的情況．圖1設(shè)向量a＝eq\o(OP1,\s\up6（→))＝（cosα，sinα)，b＝eq\o（OP2，\s\up6（→)）＝(cosβ，sinβ)，則a·b＝｜a||b｜c(diǎn)os（α－β）＝cos(α－β)．另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ,所以cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.這就是兩角差的余弦公式．教師引導(dǎo)學(xué)生探究“用－β代替β”的換元方法就可以得到cos（α＋β）＝cos[α－(－β)］＝cosαcos（－β)＋sinαsin(－β)，即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ,這就是兩角和的余弦公式．這兩個(gè)公式分別記為Cα－β,Cα＋β.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例）)思路1例1求cos105°及cos15°的值．解：cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝eq\f（1,2)·eq\f（\r（2)，2)－eq\f(\r（3），2)·eq\f(\r（2)，2）＝eq\f（\r（2）－\r(6)，4）；cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r（2），2）·eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r（2)，2)·eq\f(1,2）＝eq\f(\r（6)＋\r(2),4）.變式訓(xùn)練1．不查表求sin75°，sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos（45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2)，2）×eq\f（\r(3），2)＋eq\f(\r（2),2)×eq\f(1,2）＝eq\f（\r（6)＋\r(2），4）。sin15°＝eq\r(1－cos215°）＝eq\r（1－\f(\r(6）＋\r(2),4)2)＝eq\r(\f(8－2\r(6)×\r（2），16))＝eq\f（\r(6)－\r(2)，4）.2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.例2已知cosα＝－eq\f(4，5)(eq\f（π,2)〈α〈π)，求cos(eq\f(π，6)－α)，cos（eq\f(π，6）＋α)．解:因?yàn)閏osα＝－eq\f（4，5），且eq\f(π,2）〈α<π，所以sinα＝eq\r（1－－\f(4，5）2）＝eq\f（3，5).因此cos（eq\f(π，6)－α)＝coseq\f（π,6)cosα＋sineq\f(π，6）sinα＝eq\f(\r（3),2）（－eq\f(4,5））＋eq\f(1，2）·eq\f(3,5)＝eq\f（3－4\r（3）,10);cos(eq\f（π，6）＋α）＝coseq\f(π,6）cosα－sineq\f(π,6）sinα＝eq\f(\r（3），2)（－eq\f(4,5)）－eq\f（1,2)·eq\f(3，5）＝－eq\f（3＋4\r（3）,10)。變式訓(xùn)練已知sinα＝eq\f（4，5），α∈(0，π)，cosβ＝－eq\f(5，13)，β是第三象限角，求cos(α－β）的值．解:①當(dāng)α∈[eq\f（π，2)，π)時(shí)，且sinα＝eq\f(4,5),得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4，5)2)＝－eq\f(3,5），又由cosβ＝－eq\f(5，13），β是第三象限角,得sinβ＝－eq\r（1－cos2β)＝－eq\r（1－－\f(5,13）2）＝－eq\f（12，13)。所以cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝（－eq\f(3，5））×（－eq\f(5,13))＋eq\f（4，5）×（－eq\f（12,13)）＝－eq\f(33,65）。②當(dāng)α∈(0，eq\f(π，2)）時(shí)，且sinα＝eq\f（4,5），得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f（4,5）2)＝eq\f(3,5），又由cosβ＝－eq\f(5，13）,β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r（1－－\f(5,13)2）＝－eq\f（12，13）.所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f（3,5)×(－eq\f（5，13））＋eq\f(4，5）×(－eq\f(12，13）)＝－eq\f（63，65).點(diǎn)評(píng)：由于α∈（0,π)，這樣cosα的符號(hào)可正、可負(fù),需討論，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類的思想，對(duì)角α進(jìn)行分類討論，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性．教師強(qiáng)調(diào)分類時(shí)要不重不漏.例3利用公式Cα＋β證明：cos［α＋(2k＋1）π]＝－cosα。證明：cos［α＋（2k＋1)π］＝cosαcos［（2k＋1)π]－sinαsin［（2k＋1）π］＝－cosα.思路2例1計(jì)算：(1）cos(－15°）；（2）cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin（x＋y）＋cosxcos（x＋y)．活動(dòng)：教師可以大膽放給學(xué)生自己探究，點(diǎn)撥學(xué)生分析題目中的角－15°，思考它可以拆分為哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°）＝cos15°再求值．讓學(xué)生細(xì)心觀察（2)（3）可知，其形式與公式Cα－β的右邊一致，從而化為特殊角的余弦函數(shù)．解:（1)原式＝cos15°＝cos（45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r（2),2）×eq\f（\r（3）,2）＋eq\f（\r（2)，2)×eq\f(1，2)＝eq\f（\r（6)＋\r（2),4).（2)原式＝cos（15°－105°）＝cos（－90°)＝cos90°＝0.（3）原式＝cos［x－(x＋y）］＝cos（－y)＝cosy.點(diǎn)評(píng)：本例重點(diǎn)是訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行計(jì)算求值，從不同角度培養(yǎng)學(xué)生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力，為后面公式的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).變式訓(xùn)練函數(shù)f（x)＝sinx－cosx的最大值為（)A．1B.eq\r（2)C。eq\r（3)D．2答案:B例2已知cosα＝eq\f(1,7）,cos（α＋β)＝－eq\f(11，14），且α、β∈（0，eq\f（π，2)），求cosβ的值．解:∵α、β∈（0，eq\f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝eq\f（1，7)，cos(α＋β)＝－eq\f（11，14)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f（4\r（3)，7）,sin(α＋β）＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f（5\r(3)，14)。又∵β＝（α＋β)－α，∴cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin(α＋β)sinα＝（－eq\f（11，14）)×eq\f（1，7)＋eq\f（5\r（3）,14)×eq\f(4\r（3),7)＝eq\f(1,2）.變式訓(xùn)練1．求值：cos15°＋sin15°.解：原式＝eq\r（2)(eq\f(\r（2）,2)cos15°＋eq\f（\r（2)，2)sin15°）＝eq\r（2）（cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝eq\r（2)cos（45°－15°）＝eq\r（2）cos30°＝eq\f(\r（6),2)。2．已知銳角α、β滿足cosα＝eq\f（4,5），tan(α－β)＝－eq\f(1,3）,求cosβ.解：∵α為銳角,且cosα＝eq\f（4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)。又∵0〈α<eq\f（π，2），0〈β<eq\f(π，2)，∴－eq\f（π,2)〈α－β〈eq\f(π,2）.又∵tan（α－β)＝－eq\f(1,3）〈0,∴cos（α－β)＝eq\f（3,\r(10))。從而sin（α－β）＝tan(α－β）cos（α－β）＝－eq\f(1,\r（10)）.∴cosβ＝cos［α－(α－β）]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4，5)×eq\f(3，\r(10))＋eq\f(3,5）×(－eq\f（1,\r（10）））＝eq\f（9\r(10）,50）.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生自己思考回顧公式的推導(dǎo)過程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用，還可變形用,并掌握運(yùn)用變角和拆角的思想方法解決問題．然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下幾點(diǎn)小結(jié)：（1)怎么聯(lián)系有關(guān)知識(shí)進(jìn)行新知識(shí)的探究?（2)利用差角余弦公式方面：對(duì)公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識(shí)，三角變換的特點(diǎn)．2．教師畫龍點(diǎn)睛：本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo)，要正確熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行解題，在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．多對(duì)題目進(jìn)行一題多解,從中比較最佳解決問題的途徑,以達(dá)到優(yōu)化解題過程,規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本本節(jié)練習(xí)B組1～5.eq\o(\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計(jì)感想））1．本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，因此本節(jié)課的設(shè)計(jì)流程從“實(shí)際問題→猜想→探索推導(dǎo)→記憶→應(yīng)用”．它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體,進(jìn)行主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程．同時(shí)充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識(shí)推導(dǎo)證明新知識(shí)，并學(xué)會(huì)記憶公式的方法，靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題．從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．2．教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心，會(huì)學(xué)是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的知識(shí)特點(diǎn)，讓學(xué)生真正嘗試到探索的喜悅,真正成為教學(xué)的主體．學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，產(chǎn)生一種成功感，從而提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．eq\o（\s\up7(),\s\do5（備課資料)）備用習(xí)題1．若－eq\f（π,2)<α<β〈eq\f（π,2）,則α－β一定不屬于的區(qū)間是（)A．(－π，π）B．(－eq\f（π，2)，eq\f(π,2)）C．（－π,0）D．(0,π)2．已知α、β為銳角，cosα＝eq\f（3\r(10），10),cosβ＝eq\f(\r（10)，10），則α＋β＝________.3．不查表求值：（1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°;(2）cos80°cos20°＋sin100°sin380°.4．已知:sinθ＝eq\f(1，5），θ∈(eq\f(π，2）,π)，求cos(θ－eq\f（π，3））的值．5．已知:sinα＝eq\f(2,3)，α∈（eq\f（π,2)，π），cosβ＝－eq\f(3,4),β∈(π，eq\f（3π，2)），求cos(α－β)的值．6．已知函數(shù)f(x)＝Asin（x＋φ）(A>0，0<φ〈π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點(diǎn)M(eq\f(π,3),eq\f(1，2)）．(1)求f(x)的解析式；（2)已知α、β∈(0，eq\f（π，2）),且f(α)＝eq\f（3，5），f(β）＝eq\f（12,13)，求f(α－β）的值．參考答案：1．D2。eq\f(π,2）3．(1）原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos（80°－35°）＝cos45°＝eq\f(\r(2），2）.（2）原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝eq\f(1,2）.4．解：∵sinθ＝eq\f(1,5），θ∈（eq\f(π,2），π)，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ）＝－eq\r(1－\f(1,25)）＝－eq\f（2\r（6),5）.∴cos(θ－eq\f(π,3））＝cosθcoseq\f（π，3)＋sinθsineq\f(π，3)＝－eq\f（2\r（6）,5）×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×