第十三章 軸對(duì)稱(chēng)（4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）

第十三章軸對(duì)稱(chēng)（易錯(cuò)點(diǎn)）【易錯(cuò)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：已知是等腰三角形，如果它的兩條邊的長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【變式訓(xùn)練】1．若的三邊長(zhǎng)分別為，7，6，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的值為_(kāi)_________．2．用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的1.5倍，則它的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【易錯(cuò)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是______．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．2．在中，，，點(diǎn)D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為_(kāi)__________．【易錯(cuò)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：已知中，，，若沿射線方向平移m個(gè)單位得到，頂點(diǎn)A，B，C分別與頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是______．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長(zhǎng)是______．【易錯(cuò)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為和兩部分,則此三角形的底邊長(zhǎng)為()A． B． C．或 D．無(wú)法確定【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)三角形的頂角為（）A． B． C． D．或2．在中，，是邊上的高，，則____________．3．在中，，上的中線把三角形的周長(zhǎng)分成和兩部分，則底邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

第十三章軸對(duì)稱(chēng)（易錯(cuò)點(diǎn)）答案全解全析易錯(cuò)專(zhuān)練【易錯(cuò)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：已知是等腰三角形，如果它的兩條邊的長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系分別求解，即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為時(shí)，，能構(gòu)成三角形，的周長(zhǎng)為；綜上所述，的周長(zhǎng)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式訓(xùn)練】1．若的三邊長(zhǎng)分別為，7，6，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的值為_(kāi)_________．【答案】3或4##4或3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵為等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，解得，∴三邊長(zhǎng)為6，6，7∵，∴符合三角形三邊的條件，當(dāng)時(shí)，解得，∴三邊長(zhǎng)為7，7，6∵，∴符合三角形三邊的條件，∴的值為4和3．故答案為：4和3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．2．用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的1.5倍，則它的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】12或7【分析】可設(shè)一邊為，則另一邊為，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長(zhǎng)，解出x，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：設(shè)一邊為，則另一邊為，①當(dāng)長(zhǎng)為的邊為腰時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，由題意可列方程：，解得，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：、和，滿足三角形三邊之間的關(guān)系，符合題意；②當(dāng)長(zhǎng)為的邊為底時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：、、，由題意可列方程：，解得：，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：、、，滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，符合題意；∴這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為或．故答案為：12或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進(jìn)行三邊驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是______．【答案】或【分析】分的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，則底角為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．【答案】或或【分析】設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，①是頂角，是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時(shí)，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò)．2．在中，，，點(diǎn)D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】或【分析】在中，根據(jù)，，得到，再根據(jù)是等腰三角形及三角形外角公式分類(lèi)討論即可得到答案．【詳解】解：如圖所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題關(guān)鍵是分析出的腰．【易錯(cuò)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：已知中，，，若沿射線方向平移m個(gè)單位得到，頂點(diǎn)A，B，C分別與頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是______．【答案】或或【分析】分，，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，，∴，沿射線方向平移m個(gè)單位得到，∴，，點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況①當(dāng)時(shí)：如圖，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)：如圖，

則：，在中，，即：，解得：；③當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，∵，∴，∴；綜上：，或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意，準(zhǔn)確的畫(huà)圖，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長(zhǎng)是______．【答案】或或【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到的值．【詳解】解：，，，，，分三種情況討論：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，，，即是等腰三角形，此時(shí)，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，

，由折疊可得，，，又，是等腰直角三角形，設(shè)，則，中，，解得，舍去，；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，即是等腰三角形，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)是等腰三角形，畫(huà)出圖形進(jìn)行分類(lèi)討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．【易錯(cuò)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為和兩部分,則此三角形的底邊長(zhǎng)為(

)A． B． C．或 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：．可設(shè)，∴．由題意得：或，解得：或．當(dāng)時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立；當(dāng)時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立．綜上可知這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)．利用分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時(shí)，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時(shí)，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．2．在中，，是邊上的高，，則____________．【答案】或/或【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)然后再求出的度數(shù)；【詳解】如圖，當(dāng)在內(nèi)時(shí)

如圖當(dāng)在外時(shí)

故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰