2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)中科院上海實驗學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)中科院上海實驗學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共有6題，每題3分，共18分）1．（3分）下列函數(shù)中，是的一次函數(shù)的是A． B． C． D．2．（3分）下列關(guān)于的方程中，屬于分式方程的是A． B． C． D．3．（3分）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠判定△△的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）下列說法中，正確的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么5．（3分）在中，點、分別在、上，如果，，那么由下列條件能夠判定的是A． B． C． D．6．（3分）已知四邊形中，對角線與相交于點，，下列判斷中錯誤的是A．如果，，那么四邊形是矩形 B．如果，，那么四邊形是矩形 C．如果，，那么四邊形是菱形 D．如果，，那么四邊形是菱形二、填空題（本大題共有12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果，那么．8．（4分）方程的根是．9．（4分）已知直線，直線，與直線，，分別交于點，，，，，，，，，則．10．（4分）已知點是線段的黃金分割點，，那么．11．（4分）用換元法解方程，如果設(shè)，那么原方程可以化為關(guān)于的整式方程為．12．（4分）若直角△中，兩條直角邊長為6和8，為△的重心，則的長為．13．（4分）布袋中有2個紅球和1個白球，它們除顏色外其他都一樣，如果從布袋中一次摸出兩個球，那么一次摸出的兩個球都是紅球的概率為．14．（4分）若菱形的邊長為10，一條對角線長為12，則另一條對角線長為．15．（4分）如圖，在中，、分別是、的中點，的平分線交于點，如果，，那么的長為．16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分線交于點，交于點，聯(lián)結(jié)，，那么四邊形的面積等于．17．（4分）如果一個四邊形的一條對角線把它分成兩個等腰三角形，那么我們就稱這條對角線是四邊形的“美麗線”．已知是四邊形的“美麗線”，如果，，那么．18．（4分）如圖矩形中，，，點為上一個動點，把沿折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點落在的角平分線上時，的長為．三、簡答題（本大題共有3題，第19題題10分，第20題16分，第21題8分，滿分34分）19．（10分）計算：．20．（16分）（1）解方程：．（2）解方程組：．21．（8分）如圖，在中，點為邊的中點，設(shè)，．（1）試用向量，表示下列向量：；；（2）求作：．（畫圖表示并寫出結(jié)論，不必寫作法）四、解答題（本大題共4題，第22題10分，第23題12分，第24、25題每題14分，滿分50分）22．（10分）如圖，在矩形中，點是邊上任意一點（點與點、不重合），過點作，交邊的延長線于點，聯(lián)結(jié)交邊于點，連接．（1）求證：；（2）如果平分，聯(lián)結(jié)，求證：四邊形為菱形．23．（12分）如圖，四邊形是菱形，過點作、，垂足分別為點、，、分別交于點、．（1）求證：；（2）延長、相交于點，當(dāng)時，求證：．24．（14分）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．教材第九章探索整式乘法法則時，我們用不同方法表示同一個圖形的面積，直觀地理解乘法法則．如圖1，現(xiàn)有4張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是、、，將它們拼成如圖2的大正方形．（1）觀察：圖2中，大正方形的面積可以用表示，也可以用含、、的代數(shù)式表示為，那么可以得到等式：．整理后，得到、、之間的數(shù)量關(guān)系：，這就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三邊關(guān)系，即直角三角形的兩直角邊、與斜邊所滿足的關(guān)系式．（2）思考：愛動腦的小明通過圖2得到啟示，發(fā)現(xiàn)其它圖形也能驗證“勾股定理”，請你幫助小明畫出該圖形．（畫出一種即可）（3）應(yīng)用：如圖3，在直角三角形中，，，，那么，點為射線上一點，將沿所在直線翻折，點的對應(yīng)點為點，如果點在射線上，那么．（直接寫出答案）25．（14分）在矩形中，，，是邊上一點，交于點，過點作，交射線于點，交射線于點．（1）如圖，當(dāng)點與點重合時，求的長；（2）如圖，當(dāng)點在線段上時，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）連接，當(dāng)△與△相似時，求線段的長．

參考答案一、單項選擇題（本大題共有6題，每題3分，共18分）1．（3分）下列函數(shù)中，是的一次函數(shù)的是A． B． C． D．解：．不是一次函數(shù)，不符合題意；．不是一次函數(shù)，不符合題意；、不是一次函數(shù)，不符合題意；、是一次函數(shù)，符合題意；故選：．2．（3分）下列關(guān)于的方程中，屬于分式方程的是A． B． C． D．解：中方程的分母中不含未知數(shù)，則不符合題意；中方程的分母中不含未知數(shù)，則不符合題意；中方程不是有理方程，則不符合題意；中方程符合分式方程的定義，則符合題意；故選：．3．（3分）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠判定△△的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4解：由圖可得，，添加，滿足兩組對應(yīng)角相等，可以判定△△，故①符合題意；添加，滿足兩組對應(yīng)角相等，可以判定△△，故②符合題意；添加，不能滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，不能判定△△，故③不符合題意；添加，即，滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可以判定△△，故④符合題意；故選：．4．（3分）下列說法中，正確的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么解：如果和是相反向量，那么，故選項錯誤；如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故選錯誤；由無法得到，因為方向不一定相同，故選項錯誤；如果，那么，正確，故選項正確；故選：．5．（3分）在中，點、分別在、上，如果，，那么由下列條件能夠判定的是A． B． C． D．解：當(dāng)或時，，即或．故選：．6．（3分）已知四邊形中，對角線與相交于點，，下列判斷中錯誤的是A．如果，，那么四邊形是矩形 B．如果，，那么四邊形是矩形 C．如果，，那么四邊形是菱形 D．如果，，那么四邊形是菱形解：、如果，，那么四邊形是等腰梯形，不一定矩形，符合題意；、如果，，則四邊形是平行四邊形，又，那么四邊形是矩形；不符合題意；、如果，，則四邊形是平行四邊形，又，那么四邊形是菱形；不符合題意；、如果，，則四邊形是平行四邊形，又，那么四邊形是菱形；不符合題意；故選：．二、填空題（本大題共有12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）如果，那么．解：，，設(shè)，，．故答案為．8．（4分）方程的根是．解：兩邊都除以3，得，開立方，得，故答案為：．9．（4分）已知直線，直線，與直線，，分別交于點，，，，，，，，，則7.5．解：，，即，解得，，故答案為：7.5．10．（4分）已知點是線段的黃金分割點，，那么．解：由于為線段的黃金分割點，且，則．；故答案為：11．（4分）用換元法解方程，如果設(shè)，那么原方程可以化為關(guān)于的整式方程為．解：設(shè)，則原方程化為：，方程兩邊乘得：，即，故答案為：．12．（4分）若直角△中，兩條直角邊長為6和8，為△的重心，則的長為．解：，兩條直角邊長為6和8，，斜邊上的中線長為．為△的重心，．故答案為：．13．（4分）布袋中有2個紅球和1個白球，它們除顏色外其他都一樣，如果從布袋中一次摸出兩個球，那么一次摸出的兩個球都是紅球的概率為．解：畫樹狀圖如圖：共有6個等可能的結(jié)果，摸到的兩個紅球的有2種結(jié)果，摸到的兩個紅球的概率是．故答案為：．14．（4分）若菱形的邊長為10，一條對角線長為12，則另一條對角線長為16．解：設(shè)菱形的兩條對角線交于點，如圖所示：四邊形是菱形，邊長是10，，，，，，；故答案為16．15．（4分）如圖，在中，、分別是、的中點，的平分線交于點，如果，，那么的長為3．解：是的平分線，，點、分別為邊、的中點，，，，，，．故答案為：3．16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分線交于點，交于點，聯(lián)結(jié)，，那么四邊形的面積等于．解：如圖所示：連接，，四邊形是矩形，，，，，是的垂直平分線，，，，，，，設(shè)，則，是的垂直平分線，，在中，，，，，，，，，，，，，故答案為：．17．（4分）如果一個四邊形的一條對角線把它分成兩個等腰三角形，那么我們就稱這條對角線是四邊形的“美麗線”．已知是四邊形的“美麗線”，如果，，那么135或90．解：是四邊形的美麗線，△是等腰三角形．，如圖1，當(dāng)時，，，△是正三角形，．，，，．如圖2，當(dāng)時，．，四邊形是正方形，．故答案為：135或90．18．（4分）如圖矩形中，，，點為上一個動點，把沿折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點落在的角平分線上時，的長為或．解：如圖，連接，過作，交于點，于點，作交于點點的對應(yīng)點落在的角平分線上，，設(shè)，則，，又折疊圖形可得，，解得或4，即或4．在中，設(shè)，①當(dāng)時，，，，，解得，即，②當(dāng)時，，，，，解得，即．故答案為：或．三、簡答題（本大題共有3題，第19題題10分，第20題16分，第21題8分，滿分34分）19．（10分）計算：．解：原式．20．（16分）（1）解方程：．（2）解方程組：．【解答】（1）解：將原方程變形為：，設(shè)，原方程化為，解得：，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，無解，故原方程的解是；（2）解：，，，解得：或．21．（8分）如圖，在中，點為邊的中點，設(shè)，．（1）試用向量，表示下列向量：；；（2）求作：．（畫圖表示并寫出結(jié)論，不必寫作法）解：（1），；（2）作圖如下：．四、解答題（本大題共4題，第22題10分，第23題12分，第24、25題每題14分，滿分50分）22．（10分）如圖，在矩形中，點是邊上任意一點（點與點、不重合），過點作，交邊的延長線于點，聯(lián)結(jié)交邊于點，連接．（1）求證：；（2）如果平分，聯(lián)結(jié)，求證：四邊形為菱形．【解答】證明：（1）四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，；（2）如圖：平分，，，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形為菱形．23．（12分）如圖，四邊形是菱形，過點作、，垂足分別為點、，、分別交于點、．（1）求證：；（2）延長、相交于點，當(dāng)時，求證：．【解答】證明：（1）四邊形是菱形，，，，，，，，，，，；（2），是直角三角形斜邊的中點，，由（1）知：，，是等邊三角形，，，，，，，，如圖，連接，，，是等邊三角形，，，．24．（14分）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．教材第九章探索整式乘法法則時，我們用不同方法表示同一個圖形的面積，直觀地理解乘法法則．如圖1，現(xiàn)有4張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是、、，將它們拼成如圖2的大正方形．（1）觀察：圖2中，大正方形的面積可以用表示，也可以用含、、的代數(shù)式表示為，那么可以得到等式：．整理后，得到、、之間的數(shù)量關(guān)系：，這就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三邊關(guān)系，即直角三角形的兩直角邊、與斜邊所滿足的關(guān)系式．（2）思考：愛動腦的小明通過圖2得到啟示，發(fā)現(xiàn)其它圖形也能驗證“勾股定理”，請你幫助小明畫出該圖形．（畫出一種即可）（3）應(yīng)用：如圖3，在直角三角形中，，，，那么，點為射線上一點，將沿所在直線翻折，點的對應(yīng)點為點，如果點在射線上，那么．（直接寫出答案）解：（1）由圖形可知：正方形的面積也可表示成4個直角三角形的面積加中間小正方形的面積，即，用不同的方法表示同一個圖形的面積，面積不變，，故答案為：，；（2）答案不唯一，比如：（3）在直角三角形中，，，，由勾股定理，得，點為射線上一點，分兩種情況：①點在上時，如圖，設(shè)，由翻折可知，，，在中，由勾股定理，得，即，解得；②點在的延長線上時，如圖，設(shè)，由翻折可知，，，在中，由勾股定理，得，即，解得．故答案為