2025年中考數(shù)學考點分類專題歸納之 二元一次方程組

年中考數(shù)學考點分類專題歸納二元一次方程組知識點一、二元一次方程組的相關概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（x和y），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.備注：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.備注：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).備注：（1）它的一般形式為（其中a1，a2，b1，b2不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.備注：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.知識點二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y（或x），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x），得到一個關于x（或y）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入（或），求y（或x）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.備注：(1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.備注：當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.知識點三、實際問題與二元一次方程組備注：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.1．（2024?杭州）某次知識競賽共有20道題，規(guī)定：每答對一道題得+5分，每答錯一道題得﹣2分，不答的題得0分，已知圓圓這次競賽得了60分，設圓圓答對了x道題，答錯了y道題，則（）A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝602．（2024?黑龍江）為獎勵消防演練活動中表現(xiàn)優(yōu)異的同學，某校決定用1200元購買籃球和排球，其中籃球每個120元，排球每個90元，在購買資金恰好用盡的情況下，購買方案有（）A．4種 B．3種 C．2種 D．1種3．（2024?宜昌）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一題，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何．”意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？請解答．4．（2024?常德）閱讀理解：a，b，c，d是實數(shù)，我們把符號稱為2×2階行列式，并且規(guī)定：a×d﹣b×c，例如：3×（﹣2）﹣2×（﹣1）＝﹣6+2＝﹣4．二元一次方程組的解可以利用2×2階行列式表示為：；其中D，Dx，Dy．問題：對于用上面的方法解二元一次方程組時，下面說法錯誤的是（）A．D7 B．Dx＝﹣14 C．Dy＝27 D．方程組的解為5．（2018?樂山）方程組x+y﹣4的解是（）A． B． C． D．6．（2024?桂林）若|3x﹣2y﹣1|0，則x，y的值為（）A． B． C． D．7．（2024?本溪）為了美化校園，學校計劃購買甲、乙兩種花木共200棵進行綠化，其中甲種花木每棵80元，乙種花木每棵100元，若購買甲、乙兩種花木共花費17600元，求學校購買甲、乙兩種花木各多少棵？設購買甲種花木x棵、乙種花木y棵，根據(jù)題意列出的方程組正確的是（）A． B． C． D．8．（2024?荊州）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學名著，其中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛，2只羊，值金10兩；2頭牛，5只羊，值金8兩．問每頭牛、每只羊各值金多少兩？”若設每頭牛、每只羊分別值金x兩、y兩，則可列方程組為（）A． B． C． D．9．（2024?河南）《九章算術》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B． C． D．10．（2024?福建）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載”繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．11．（2024?新疆）某文具店一本練習本和一支水筆的單價合計為3元，小妮在該店買了20本練習本和10支水筆，共花了36元．如果設練習本每本為x元，水筆每支為y元，那么根據(jù)題意，下列方程組中，正確的是（）A． B． C． D．12．（2024?十堰）我國古代數(shù)學著作《九章算術》卷七有下列問題：“今有共買物，人出八，盈三：人出七，不足四，問人數(shù)、物價幾何？”意思是：現(xiàn)在有幾個人共同出錢去買件物品，如果每人出8錢，則剩余3錢：如果每人出7錢，則差4錢．問有多少人，物品的價格是多少？設有x人，物品的價格為y元，可列方程（組）為（）A． B． C． D．13．（2024?泰安）夏季來臨，某超市試銷A、B兩種型號的風扇，兩周內共銷售30臺，銷售收入5300元，A型風扇每臺200元，B型風扇每臺150元，問A、B兩種型號的風扇分別銷售了多少臺？若設A型風扇銷售了x臺，B型風扇銷售了y臺，則根據(jù)題意列出方程組為（）A． B． C． D．14．（2024?牡丹江）如圖，在長為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個小矩形，則圖中陰影部分的面積為（）A．35 B．45 C．55 D．6515．（2024?東營）小巖打算購買氣球裝扮學?！爱厴I(yè)典禮”活動會場，氣球的種類有笑臉和愛心兩種，兩種氣球的價格不同，但同一種氣球的價格相同．由于會場布置需要，購買時以一束（4個氣球）為單位，已知第一、二束氣球的價格如圖所示，則第三束氣球的價格為（）A．19 B．18 C．16 D．1516．（2024?淮安）若關于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一個解是，則a＝_______．17．（2024?沙坪壩區(qū)）某廠家以A、B兩種原料，利用不同的工藝手法生產出了甲、乙、丙三種袋裝產品，其中，甲產品每袋含1千克A原料、3千克B原料；乙產品每袋含2千克A原料、1千克B原料；丙產品每袋含有1千克A原料、1千克B原料．若丙產品每袋售價42元，則利潤率為20%．某節(jié)慶日，該電商進行促銷活動，將甲、乙、丙各一袋合裝成禮品盒，每購買一個禮品盒可免費贈送一袋乙產品，這樣即可實現(xiàn)利潤率為30%，則禮盒售價為_____元．18．（2024?沙坪壩區(qū)）一間手工作坊，分成了兩塊區(qū)域，第一塊區(qū)域里擺了一張四方桌（四條腿）和若干圓凳（三腳凳），第二塊區(qū)域里擺了一張圓形桌（六條腿）和若干方凳（四腳凳）現(xiàn)有若干學生來到作坊進行手工創(chuàng)作比賽，每人分別落座后，將多余的凳子撤出手工作坊，他們分別圍坐在方桌和圓桌旁開始今天的創(chuàng)作．此時，一位在場的學生發(fā)現(xiàn)整個手工作坊里人腳加桌腳加凳腳共有38條（包括觀察者本身）．最后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)第一塊區(qū)域的參賽學生平均每人完成了10件作品，第二塊區(qū)域的參賽學生平均每人完成了5件作品，那么所有參加本次比賽的學生平均每人完成___件作品．19．（2024?黃石）小光和小王玩“石頭、剪子、布”游戲，規(guī)定：一局比賽后，勝者得3分，負者得﹣1分，平局兩人都得0分，小光和小王都制訂了自己的游戲策略，并且兩人都不知道對方的策略．小光的策略是：石頭、剪子、布、石頭、剪子、布、……小王的策略是：剪子、隨機、剪子、隨機……（說明：隨機指石頭、剪子、布中任意一個）例如，某次游戲的前9局比賽中，兩人當時的策略和得分情況如下表局數(shù)123456789小光實際策略石頭剪子布石頭剪子布石頭剪子布小王實際策略剪子布剪子石頭剪子剪子剪子石頭剪子小光得分33﹣100﹣13﹣1﹣1小王得分﹣1﹣13003﹣133已知在另一次游戲中，50局比賽后，小光總得分為﹣6分，則小王總得分為____分．20．（2024?重慶）為實現(xiàn)營養(yǎng)套餐的合理搭配，某電商推出兩款適合不同人群的甲、乙兩種袋裝的混合粗糧．甲種袋裝粗糧每袋含有3千克A粗糧，1千克B粗糧，1千克C粗糧；乙種袋裝粗糧每袋含有1千克A粗糧，2千克B粗糧，2千克C粗糧．甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本分別等于袋中的A、B、C三種粗糧成本之和．已知每袋甲種粗糧的成本是每千克A種粗糧成本的7.5倍，每袋乙種粗糧售價比每袋甲種粗糧售價高20%，乙種袋裝粗糧的銷售利潤率是20%．當銷售這兩款袋裝粗糧的銷售利潤率為24%時，該電商銷售甲、乙兩種袋裝粗糧的袋數(shù)之比是________（商品的銷售利潤率100%）21．（2024?隨州）已知是關于x，y的二元一次方程組的一組解，則a+b＝___．22．（2024?寧波）已知x，y滿足方程組，則x2﹣4y2的值為_____．23．（2024?黃岡）在端午節(jié)來臨之際，某商店訂購了A型和B型兩種粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的數(shù)量比A型粽子的2倍少20千克，購進兩種粽子共用了2560元，求兩種型號粽子各多少千克．24．（2024?青島）5月份，甲、乙兩個工廠用水量共為200噸．進入夏季用水高峰期后，兩工廠積極響應國家號召，采取節(jié)水措施.6月份，甲工廠用水量比5月份減少了15%，乙工廠用水量比5月份減少了10%，兩個工廠6月份用水量共為174噸，求兩個工廠5月份的用水量各是多少．設甲工廠5月份用水量為x噸，乙工廠5月份用水量為y噸，根據(jù)題意列關于x，y的方程組為__________．25．（2024?濟南）本學期學校開展以“感受中華傳統(tǒng)美德”為主題的研學活動，組織150名學生參觀歷史博物館和民俗展覽館，每一名學生只能參加其中一項活動，共支付票款2000元，票價信息如下：地點票價歷史博物館10元/人民俗展覽館20元/人（1）請問參觀歷史博物館和民俗展覽館的人數(shù)各是多少人？（2）若學生都去參觀歷史博物館，則能節(jié)省票款多少元？26．（2024?隴南）《九章算術》是中國古代數(shù)學專著，在數(shù)學上有其獨到的成就，不僅最早提到了分數(shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題．如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何？譯文為：現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢；如果每人出6文錢，又會缺16文錢．問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少？請解答上述問題．27．（2024?常德）某水果店5月份購進甲、乙兩種水果共花費1700元，其中甲種水果8元/千克，乙種水果18元/千克．6月份，這兩種水果的進價上調為：甲種水果10元/千克，乙種水果20元/千克．（1）若該店6月份購進這兩種水果的數(shù)量與5月份都相同，將多支付貨款300元，求該店5月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克？（2）若6月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克，且甲種水果不超過乙種水果的3倍，則6月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應是多少元？28．（2024?長沙）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元