2023屆云南省高三第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三模擬試題PAGEPAGE12023年云南省第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的學(xué)校、準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號，在規(guī)定的位置貼好條形碼及填涂準(zhǔn)考證號.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A.i B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的乘法可求運(yùn)算結(jié)果.〖詳析〗,故選：A2.設(shè)集合，，．若，，則（）A. B. C.1 D.3〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求的值.〖詳析〗因?yàn)?，故，故或，若，則，，此時，符合；若，則，，此時，不符合；故選：B3.甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用組合可求基本事件的總數(shù)，再根據(jù)排列可求隨機(jī)事件含有的基本事件的總數(shù)，從而可求對應(yīng)的概率.〖詳析〗設(shè)“甲、乙在同一組”事件，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人的分法為，而甲、乙在同一組的分法有，故，故選：A.4.平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)，則由題意得，解出方程，檢驗(yàn)即可.〖詳析〗設(shè)，則由題意得，即，解得或，設(shè)，當(dāng)時，此時，又因?yàn)橄蛄繆A角范圍為，故此時夾角為銳角，舍去；當(dāng)時，此時，故此時夾角為鈍角，故選：D.5.已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先由題得到，結(jié)合，即可求得.〖詳析〗無論橢圓焦點(diǎn)位于軸或軸，根據(jù)點(diǎn),,為橢圓的三個頂點(diǎn),若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.6.三棱錐中，平面，．若，，則該三棱錐體積的最大值為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理依次證得平面、與，從而利用基本不等式求得，進(jìn)而得到，由此得解.〖詳析〗因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在中，，，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，不妨設(shè)，則由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以，所以該三棱錐體積的最大值為.故選：D..7.設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當(dāng)時（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗對于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.〖詳析〗對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因?yàn)?，在上的?dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C.8.已知a，b，c滿足，，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，分，，討論即可.〖詳析〗由題意得，即，則，則，令，根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論知：在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，可得，，兩邊同取以5為底的對數(shù)得，對通過移項(xiàng)得，兩邊同取以3為底的對數(shù)得，所以，所以，所以，且，故此時，，故C,D選項(xiàng)錯誤，時，，，且，故A錯誤,下面嚴(yán)格證明當(dāng)時，，，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，有，，，下面證明：，要證：，即證：，等價于證明，即證：，此式開頭已證明，對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得，則故當(dāng)時，，則當(dāng)時，可得，，兩邊同取以5為底的對數(shù)得，對通過移項(xiàng)得，兩邊同取以3為底的對數(shù)得，所以，所以，所以，且，故，故此時，，下面嚴(yán)格證明當(dāng)時，，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)，且其在上單調(diào)遞減，可知，則，則，根據(jù)函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，，下面證明：，要證：即證：，等價于證，即證：，此式已證明，對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得，則，故時，，則當(dāng)時，，則，，綜上，，故選：B.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性及，從而得到之間的大小關(guān)系，同時需要先求出的范圍，然后再對進(jìn)行分類討論.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可.〖詳析〗因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯誤；若，則，A錯誤.故選：BD10.已知平面平面，B，D是l上兩點(diǎn)，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯誤的有（）A.若，，且，則ABCD是平行四邊形B.若M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，則C.若，，，則CD在上的射影是BDD.直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗由空間中線線、線面及面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得解.〖詳析〗對于A，由題意，AB，CD為異面直線，所以四邊形ABCD為空間四邊形，不能為平行四邊形，故A錯誤；對于B，取BC的中點(diǎn)H,連接HM,則HM是的中位線，所以，因?yàn)镠M與MN相交，所以MN與AC不平行，B錯誤；對于C，若，所以由線面垂直的判定可得平面ABC，所以，由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，所以點(diǎn)C在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)D,所以CD在平面內(nèi)的投影為BD，故C正確；對于D,由二面角定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時，直線AB，CD所成的角或其補(bǔ)角才為二面角的大小，故D錯誤.故選：ABD.11.質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上逆時針作勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā)．P的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．則當(dāng)Q與P重合時，Q的坐標(biāo)可以為（）A B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗確定點(diǎn)Q的初始位置，由題意列出重合時刻t的表達(dá)式，進(jìn)而可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，通過賦值對比選項(xiàng)即可得解.〖詳析〗由題意，點(diǎn)Q的初始位置的坐標(biāo)為，銳角，設(shè)t時刻兩點(diǎn)重合，則,即，此時點(diǎn)，即，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，即，故B正確；當(dāng)時，，即，故D正確.由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合.故選：ABD.12.下圖改編自李約瑟所著的《中國科學(xué)技術(shù)史》，用于說明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算．圖中的，，，都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK是為計算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，，．記，，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，，結(jié)合條件中，，從而在各直角三角形中得到的正余弦表示，對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.〖詳析〗因?yàn)樵诰匦沃校?，又，，面，所以面，又面，所以，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，即，因?yàn)?，，，面，所以面，又在矩形中，，所以面，又面，所以，同時，易知在矩形中，，對于A，在中，，在中，，在中，，所以，故A正確；對于B，在中，，在中，，又，且在中，為的斜邊，則，所以，故B錯誤；對于C，在中，，在中，，又，所以，故C正確；對于D，在中，，又，，，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的突破口是利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，，從而得到的正余弦表示，由此得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為________．(若，則)〖答案〗##0.5〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，即可根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，從而得解．〖詳析〗依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多為．故〖答案〗為：．14.若P，Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗設(shè)點(diǎn)，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．〖詳析〗依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因?yàn)?，，設(shè)，，由于恒成立，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．故〖答案〗為：．15.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率．由，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計算，……．若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，已知，則________；________．〖答案〗①.6②.〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意不斷計算即可解出．〖詳析〗因?yàn)闉閺?qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率，所以；由可得，，即為弱率；由可得，．故〖答案〗為：6；．16.圖為一個開關(guān)陣列，每個開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài)．例如，按將導(dǎo)致，，，，改變狀態(tài)．如果要求只改變的狀態(tài)，則需按開關(guān)的最少次數(shù)為________．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗方法一：根據(jù)題意可知，如果要求只改變的狀態(tài)，只有在以及周邊按動開關(guān)才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少，利用表格即可分析求出．〖詳析〗方法一：根據(jù)題意可知，只有在以及周邊按動開關(guān)才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少.具體原因如下：假設(shè)開始按動前所有開關(guān)閉合，要只改變的狀態(tài)，在按動（1,1）后，（1,2），（2,1）也改變，下一步可同時恢復(fù)或逐一恢復(fù)，同時恢復(fù)需按動（2,2），但會導(dǎo)致周邊的（2,3），（3,2）也改變，因此會按動開關(guān)更多的次數(shù)，所以接下來逐一恢復(fù)，則至少按開關(guān)3次，這樣沿著周邊的開關(guān)再按動，可以實(shí)現(xiàn)最少的開關(guān)次數(shù)，即按動5次可以滿足要求．如下表所示：（按順時針方向開關(guān)，逆時針也可以）按動開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)按動開關(guān)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)按動開關(guān)關(guān)開開關(guān)關(guān)關(guān)開按動開關(guān)關(guān)開開關(guān)開開關(guān)按動開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)方法二：要滿足題意，按動開關(guān)次數(shù)必須為奇數(shù)，且連續(xù)兩次按一個方格等于無操作，按開關(guān)順序無影響，由對稱性按表格順序可設(shè)各方格按動次數(shù)為abcbdecef方格改變狀態(tài)的次數(shù)為奇數(shù)，其它方格改變狀態(tài)的次數(shù)為偶數(shù)，所以，對：a+2b為奇數(shù)；對或：a+b+c+d為偶數(shù)；對：b+c+e為偶數(shù)；對：2b+2e+d為偶數(shù)；對或：c+d+e+f為偶數(shù)；對：2e+f為偶數(shù)，根據(jù)以上情況，為使開關(guān)次數(shù)最少，，，，即1+b+c為偶數(shù)，b+c+e為偶數(shù)，c+e為偶數(shù)，所以可取，，即各方格開關(guān)次數(shù)如下：101001110具體開閉狀態(tài)可參照方法一，故按開關(guān)的最少次數(shù)為5．故〖答案〗為：5．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決知識遷移問題的綜合能力，利用表格分析法簡單清晰直觀．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，E是AC與BD的交點(diǎn)，，．（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設(shè)點(diǎn)F在線段AP上，，求二面角的余弦值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用平面幾何的知識推得，進(jìn)而得到與，從而利用柱體與錐體的體積公式求得關(guān)于的表達(dá)式，由此得解；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合（1）中結(jié)論與（2）中所給條件得到所需向量的坐標(biāo)表示，從而求得平面與平面的法向量與，由此利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.〖小問1詳析〗因?yàn)榕c是底面圓弧所對的圓周角，所以，因?yàn)?，所以在等腰中，，所以，因?yàn)槭菆A柱的底面直徑，所以，則，所以，則，即，所以在等腰，，平分，則，所以，則，故在中，，，則，在中，，因?yàn)槭菆A柱的母線，所以面，所以，，所以．〖小問2詳析〗以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，則，所以，，，因?yàn)?，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，設(shè)二面角的平面角為，易知，所以，因此二面角的余弦值為．18.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中為正整數(shù)，，且．（1）求圖像的一條對稱軸；（2）若，求．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性確定最小正周期的范圍，再由函數(shù)值相等即可確定對稱軸；（2）根據(jù)對稱軸及函數(shù)值確定的表達(dá)式，再結(jié)合最小正周期確定的可能取值，即可得解.〖小問1詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)，所以函數(shù)的最小正周期，又因?yàn)?，所以直線即為圖象的一條對稱軸；〖小問2詳析〗由（1）知，故，由，得或3．由為的一條對稱軸，所以．因?yàn)椋曰?，若，則，即，不存在整數(shù)，使得或3；若，則，即，不存在整數(shù)，使得或3．當(dāng)時，．此時，由，得．19.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對任意，，求m的最小值．〖答案〗（1）（2）7〖解析〗〖祥解〗（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)可得解；（2）利用錯位相減法求出，結(jié)合范圍即可得解.〖小問1詳析〗因?yàn)?，所以，?dāng)時，，故，且不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為〖小問2詳析〗設(shè)，則，當(dāng)時，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7．20.一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識的魚的數(shù)目．（1）若，求的數(shù)學(xué)期望；（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識，試給出N的估計值（以使得最大的N的值作為N的估計值）．〖答案〗（1）20（2）6666〖解析〗〖祥解〗（1）首先求出標(biāo)魚占總體的比例，再分析其符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布期望的計算公式即可得到〖答案〗.（2）首先計算出當(dāng)時，，當(dāng)時，，記，計算，從而得到的單調(diào)性，最后得到其最大值.〖小問1詳析〗依題意X服從超幾何分布，且，故．〖小問2詳析〗當(dāng)時，，當(dāng)時，，記，則．由，當(dāng)且僅當(dāng)，則可知當(dāng)時，；當(dāng)時，，故時，最大，所以N的估計值為6666．21.已知雙曲線過點(diǎn)，且焦距為10．（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意列方程組求出，即可得出C的方程；（2）根據(jù)四點(diǎn)共線，要證即證，設(shè)出直線，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出，將其代入，計算結(jié)果為零，即證出．〖小問1詳析〗由題意可得，故，所以C的方程為．〖小問2詳析〗設(shè)，，當(dāng)時，即，解得，則，雙曲線的漸近線方程為，故當(dāng)直線與漸近線平行時，此時和雙曲線僅有一個交點(diǎn)，此時直線方程為，令，則，故．則直線．由得，所以，．．所以，所以即．〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題第二問不能直接計算長度，否則計算量過大，而是轉(zhuǎn)化為證明向量數(shù)量積之間的關(guān)系，采取設(shè)，從而得到直線方程，再使用經(jīng)典的聯(lián)立法，得到韋達(dá)定理式，然后證明即可.22.橢圓曲線加密算法運(yùn)用于區(qū)塊鏈．橢圓曲線．關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)記為．C在點(diǎn)處的切線是指曲線在點(diǎn)P處的切線．定義“”運(yùn)算滿足：①若，且直線PQ與C有第三個交點(diǎn)R，則；②若，且PQ為C的切線，切點(diǎn)為P，則；③若，規(guī)定，且．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）已知“”運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，若，且PQ為C的切線，切點(diǎn)為P，證明：；（3）已知，且直線PQ與C有第三個交點(diǎn)，求的坐標(biāo)．參考公式：〖答案〗（1）見〖解析〗（2）證明見〖解析〗（3）〖解析〗〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性后求出極值，從而可判斷零點(diǎn)的個數(shù).（2）利用“”運(yùn)算的性質(zhì)計算后可得證明.（3）設(shè)直線的斜率，利用點(diǎn)在曲線上結(jié)合因式分解可求第三個點(diǎn)的坐標(biāo).〖小問1詳析〗由題設(shè)可知，有，若，則，則，此時僅有一個零點(diǎn)；若，令，解得．當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在，上為單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，若，則，此時，而故此時有2個零點(diǎn)；若，則，此時，而故此時有2個零點(diǎn)；綜上，當(dāng)，所以有2個零點(diǎn)．當(dāng)，所以有2個零點(diǎn)．當(dāng)，有，則有1個零點(diǎn)．〖小問2詳析〗因?yàn)闉镃在點(diǎn)P處的切線，且，所以，故，故，因“”運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，故，故.〖小問3詳析〗直線的斜率，設(shè)與C的第三個交點(diǎn)為，

則，代入得，而，故，整理得到：，故即，同理可得，兩式相減得：，故，所以，故，故，所以，因此的坐標(biāo)為：．〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：函數(shù)新運(yùn)算問題，需根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)選擇合理的計算順序來處理等式，而三次函數(shù)的零點(diǎn)問題，注意結(jié)合極值的符號處理零點(diǎn)的個數(shù).高三模擬試題PAGEPAGE12023年云南省第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的學(xué)校、準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號，在規(guī)定的位置貼好條形碼及填涂準(zhǔn)考證號.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A.i B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的乘法可求運(yùn)算結(jié)果.〖詳析〗,故選：A2.設(shè)集合，，．若，，則（）A. B. C.1 D.3〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求的值.〖詳析〗因?yàn)?，故，故或，若，則，，此時，符合；若，則，，此時，不符合；故選：B3.甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用組合可求基本事件的總數(shù)，再根據(jù)排列可求隨機(jī)事件含有的基本事件的總數(shù)，從而可求對應(yīng)的概率.〖詳析〗設(shè)“甲、乙在同一組”事件，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人的分法為，而甲、乙在同一組的分法有，故，故選：A.4.平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)，則由題意得，解出方程，檢驗(yàn)即可.〖詳析〗設(shè)，則由題意得，即，解得或，設(shè)，當(dāng)時，此時，又因?yàn)橄蛄繆A角范圍為，故此時夾角為銳角，舍去；當(dāng)時，此時，故此時夾角為鈍角，故選：D.5.已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先由題得到，結(jié)合，即可求得.〖詳析〗無論橢圓焦點(diǎn)位于軸或軸，根據(jù)點(diǎn),,為橢圓的三個頂點(diǎn),若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.6.三棱錐中，平面，．若，，則該三棱錐體積的最大值為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理依次證得平面、與，從而利用基本不等式求得，進(jìn)而得到，由此得解.〖詳析〗因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在中，，，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，在中，不妨設(shè)，則由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以，所以該三棱錐體積的最大值為.故選：D..7.設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當(dāng)時（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗對于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.〖詳析〗對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因?yàn)?，在上的?dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C.8.已知a，b，c滿足，，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，分，，討論即可.〖詳析〗由題意得，即，則，則，令，根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論知：在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，可得，，兩邊同取以5為底的對數(shù)得，對通過移項(xiàng)得，兩邊同取以3為底的對數(shù)得，所以，所以，所以，且，故此時，，故C,D選項(xiàng)錯誤，時，，，且，故A錯誤,下面嚴(yán)格證明當(dāng)時，，，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，有，，，下面證明：，要證：，即證：，等價于證明，即證：，此式開頭已證明，對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得，則故當(dāng)時，，則當(dāng)時，可得，，兩邊同取以5為底的對數(shù)得，對通過移項(xiàng)得，兩邊同取以3為底的對數(shù)得，所以，所以，所以，且，故，故此時，，下面嚴(yán)格證明當(dāng)時，，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)，且其在上單調(diào)遞減，可知，則，則，根據(jù)函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，，下面證明：，要證：即證：，等價于證，即證：，此式已證明，對，左邊同除分子分母同除，右邊分子分母同除得，則，故時，，則當(dāng)時，，則，，綜上，，故選：B.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性及，從而得到之間的大小關(guān)系，同時需要先求出的范圍，然后再對進(jìn)行分類討論.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗由奇偶函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系確定兩函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可.〖詳析〗因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯誤；若，則，A錯誤.故選：BD10.已知平面平面，B，D是l上兩點(diǎn)，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯誤的有（）A.若，，且，則ABCD是平行四邊形B.若M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，則C.若，，，則CD在上的射影是BDD.直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗由空間中線線、線面及面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得解.〖詳析〗對于A，由題意，AB，CD為異面直線，所以四邊形ABCD為空間四邊形，不能為平行四邊形，故A錯誤；對于B，取BC的中點(diǎn)H,連接HM,則HM是的中位線，所以，因?yàn)镠M與MN相交，所以MN與AC不平行，B錯誤；對于C，若，所以由線面垂直的判定可得平面ABC，所以，由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，所以點(diǎn)C在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)D,所以CD在平面內(nèi)的投影為BD，故C正確；對于D,由二面角定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時，直線AB，CD所成的角或其補(bǔ)角才為二面角的大小，故D錯誤.故選：ABD.11.質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上逆時針作勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā)．P的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．則當(dāng)Q與P重合時，Q的坐標(biāo)可以為（）A B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗確定點(diǎn)Q的初始位置，由題意列出重合時刻t的表達(dá)式，進(jìn)而可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，通過賦值對比選項(xiàng)即可得解.〖詳析〗由題意，點(diǎn)Q的初始位置的坐標(biāo)為，銳角，設(shè)t時刻兩點(diǎn)重合，則,即，此時點(diǎn)，即，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，即，故B正確；當(dāng)時，，即，故D正確.由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合.故選：ABD.12.下圖改編自李約瑟所著的《中國科學(xué)技術(shù)史》，用于說明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算．圖中的，，，都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK是為計算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，，．記，，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，，結(jié)合條件中，，從而在各直角三角形中得到的正余弦表示，對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.〖詳析〗因?yàn)樵诰匦沃?，，又，，面，所以面，又面，所以，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，即，因?yàn)?，，，面，所以面，又在矩形中，，所以面，又面，所以，同時，易知在矩形中，，對于A，在中，，在中，，在中，，所以，故A正確；對于B，在中，，在中，，又，且在中，為的斜邊，則，所以，故B錯誤；對于C，在中，，在中，，又，所以，故C正確；對于D，在中，，又，，，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的突破口是利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，，從而得到的正余弦表示，由此得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布．質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品，為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為________．(若，則)〖答案〗##0.5〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，即可根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，從而得解．〖詳析〗依題可知，，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多為．故〖答案〗為：．14.若P，Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗設(shè)點(diǎn)，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．〖詳析〗依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因?yàn)?，，設(shè)，，由于恒成立，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．故〖答案〗為：．15.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率．由，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計算，……．若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，已知，則________；________．〖答案〗①.6②.〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意不斷計算即可解出．〖詳析〗因?yàn)闉閺?qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率，所以；由可得，，即為弱率；由可得，．故〖答案〗為：6；．16.圖為一個開關(guān)陣列，每個開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài)．例如，按將導(dǎo)致，，，，改變狀態(tài)．如果要求只改變的狀態(tài)，則需按開關(guān)的最少次數(shù)為________．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗方法一：根據(jù)題意可知，如果要求只改變的狀態(tài)，只有在以及周邊按動開關(guān)才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少，利用表格即可分析求出．〖詳析〗方法一：根據(jù)題意可知，只有在以及周邊按動開關(guān)才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少.具體原因如下：假設(shè)開始按動前所有開關(guān)閉合，要只改變的狀態(tài)，在按動（1,1）后，（1,2），（2,1）也改變，下一步可同時恢復(fù)或逐一恢復(fù)，同時恢復(fù)需按動（2,2），但會導(dǎo)致周邊的（2,3），（3,2）也改變，因此會按動開關(guān)更多的次數(shù)，所以接下來逐一恢復(fù)，則至少按開關(guān)3次，這樣沿著周邊的開關(guān)再按動，可以實(shí)現(xiàn)最少的開關(guān)次數(shù)，即按動5次可以滿足要求．如下表所示：（按順時針方向開關(guān)，逆時針也可以）按動開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)按動開關(guān)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)按動開關(guān)關(guān)開開關(guān)關(guān)關(guān)開按動開關(guān)關(guān)開開關(guān)開開關(guān)按動開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)方法二：要滿足題意，按動開關(guān)次數(shù)必須為奇數(shù)，且連續(xù)兩次按一個方格等于無操作，按開關(guān)順序無影響，由對稱性按表格順序可設(shè)各方格按動次數(shù)為abcbdecef方格改變狀態(tài)的次數(shù)為奇數(shù)，其它方格改變狀態(tài)的次數(shù)為偶數(shù)，所以，對：a+2b為奇數(shù)；對或：a+b+c+d為偶數(shù)；對：b+c+e為偶數(shù)；對：2b+2e+d為偶數(shù)；對或：c+d+e+f為偶數(shù)；對：2e+f為偶數(shù)，根據(jù)以上情況，為使開關(guān)次數(shù)最少，，，，即1+b+c為偶數(shù)，b+c+e為偶數(shù)，c+e為偶數(shù)，所以可取，，即各方格開關(guān)次數(shù)如下：101001110具體開閉狀態(tài)可參照方法一，故按開關(guān)的最少次數(shù)為5．故〖答案〗為：5．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決知識遷移問題的綜合能力，利用表格分析法簡單清晰直觀．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，E是AC與BD的交點(diǎn)，，．（1）記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；（2）設(shè)點(diǎn)F在線段AP上，，求二面角的余弦值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用平面幾何的知識推得，進(jìn)而得到與，從而利用柱體與錐體的體積公式求得關(guān)于的表達(dá)式，由此得解；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合（1）中結(jié)論與（2）中所給條件得到所需向量的坐標(biāo)表示，從而求得平面與平面的法向量與，由此利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.〖小問1詳析〗因?yàn)榕c是底面圓弧所對的圓周角，所以，因?yàn)?，所以在等腰中，，所以，因?yàn)槭菆A柱的底面直徑，所以，則，所以，則，即，所以在等腰，，平分，則，所以，則，故在中，，，則，在中，，因?yàn)槭菆A柱的母線，所以面，所以，，所以．〖小問2詳析〗以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，則，所以，，，因?yàn)?，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，故，設(shè)二面角的平面角為，易知，所以，因此二面角的余弦值為．18.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其中為正整數(shù)，，且．（1）求圖像的一條對稱軸；（2）若，求．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性確定最小正周期的范圍，再由函數(shù)值相等即可確定對稱軸；（2）根據(jù)對稱軸及函數(shù)值確定的表達(dá)式，再結(jié)合最小正周期確定的可能取值，即可得解.〖小問1詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)，所以函數(shù)的最小正周期，又因?yàn)?，所以直線即為圖象的一條對稱軸；〖小問2詳析〗由（1）知，故，由，得或3．由為的一條對稱軸，所以．因?yàn)?，所以或，若，則，即，不存在整數(shù)，使得或3；若，則，即，不存在整數(shù)，使得或3．當(dāng)時，．此時，由，得．19.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對任意，，求m的最小值．〖答案〗（1）（2）7〖解析〗〖祥解〗（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)可得解；（2）利用錯位相減法求出，結(jié)合范圍即可得解.〖小問1詳析〗因?yàn)?，所以，?dāng)時，，故，