5.1 投影 第1課時(shí) 數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊學(xué)案

第五章投影與視圖1投影第1課時(shí)【舊知再現(xiàn)】1．三角形相似判定方法：有兩個角__相等__的三角形相似．2．相似三角形的對應(yīng)邊__成比例__．【新知初探】閱讀教材P125—P126完成下面問題：1．投影現(xiàn)象：物體在__光線__的照射下，會在地面或其他平面上留下它的__影子__，這就是投影現(xiàn)象．__影子__所在的平面稱為__投影面__．2．中心投影：手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從__一個點(diǎn)____發(fā)出的，這樣的光線所形成的__投影____稱為中心投影．3．點(diǎn)光的確定：過物體的__頂端____與影子的__頂端____作一條直線即光線，這樣兩條光線的__交點(diǎn)____，就是點(diǎn)光．【圖表導(dǎo)思】1．光可以看出是什么線的交點(diǎn)？【解析】光線．2．物體一樣高影子一樣長嗎？物體的影長不同，它們的高度也不同嗎？【解析】不一定，不一定．3．計(jì)算影子的長度，利用的數(shù)學(xué)知識是什么？【解析】相似三角形對應(yīng)邊成比例．中心投影【教材P126例1拓展】——中心投影的應(yīng)用如圖，學(xué)校平房的窗外有一路燈AB，路燈光能通過窗戶CD照到平房內(nèi)EF處，經(jīng)過測量得：窗戶距地面高OD＝1.5m，窗戶高度DC＝0.8m，OE＝1m，OF＝3m，求路燈AB的高．【完善解答】連接DC，設(shè)路燈AB高為xm，BO的長度為ym，∵AB∥OC，∴∠B＝∠DOE，∠DEO＝∠AEB，∠AFB＝∠CFO，∴△ABE∽__△DOE__，△ABF∽__△COF__，……相似三角形的判定∴eq\f(AB,DO)＝__eq\f(BE,OE)__，eq\f(AB,CO)＝__eq\f(BF,OF)__，……………………相似三角形對應(yīng)邊成比例∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,1.5)＝\f(1＋y,1)，,\f(x,2.3)＝\f(3＋y,3)，))………………列方程組解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(69,22)，,y＝\f(12,11)，))………………解方程組答：路燈AB的高度為__eq\f(69,22)__m．………………作答【歸納提升】利用三角形相似解決中心投影問題的思路變式一：鞏固(2021·深圳質(zhì)檢)如圖，小欣站在燈光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下來，則身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下時(shí)的高度等于站立高度的一半，求燈離地面的高度PH.【解析】∵AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC(M是AD的中點(diǎn))，∴AB∶HB＝AD∶PH，AC∶AM＝HC∶PH，即2.4∶(2.4＋AH)＝1.6∶PH，1.05∶0.8＝(1.05＋HA)∶PH，解得：PH＝7.2m.即燈離地面的高度為7.2m．變式二：提升(2021·惠州質(zhì)檢)如圖，王琳同學(xué)在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他行到P處時(shí)發(fā)現(xiàn)，他在路燈B下的影長為2米，且恰好位于路燈A的正下方，接著他又走了6.5米到Q處，此時(shí)他在路燈A下的影子恰好位于路燈B的正下方(已知王琳身高1.8米，路燈B高9米).(1)標(biāo)出王琳站在P處在路燈B下的影子；(2)計(jì)算王琳站在Q處在路燈A下的影長；(3)計(jì)算路燈A的高度．【解析】(1)線段CP為王琳站在P處在路燈B下的影子(圖略).(2)由題意得Rt△CEP∽Rt△CBD，∴eq\f(EP,BD)＝eq\f(CP,CD)，∴eq\f(1.8,9)＝eq\f(2,2＋6.5＋QD)，解得：QD＝1.5米．(3)∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，∴eq\f(FQ,AC)＝eq\f(QD,CD)，∴eq\f(1.8,AC)＝eq\f(1.5,1.5＋6.5＋2)，解得：AC＝12米．答：路燈A的高度為12米．中心投影中影子的變化規(guī)律【教材P126“議一議”補(bǔ)充】——中心投影的性質(zhì)如圖，某小區(qū)內(nèi)有一條筆直的小路．路的旁邊有一盞路燈，晚上小紅由A處走到B處．表示她在燈光照射下的影長l與行走的路程S之間關(guān)系的大致圖象是(B)【歸納提升】中心投影的“三個特點(diǎn)”1．等高物體垂直地面放置eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）離點(diǎn)光源越近，影子越短,（2）離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越長))2．等長物體平行地面放置eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）離點(diǎn)光源越近，影子越長,（2）離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會小于物體本身,的長度))3．點(diǎn)光、物體邊緣的點(diǎn)及其在物體影子上的對應(yīng)點(diǎn)在同一條__直線__上．變式一：鞏固小陽和小明兩人從遠(yuǎn)處沿直線走到路燈下，他們規(guī)定：小陽在前，小明在后，兩人之間的距離始終與小陽的影長相等．在這種情況下，他們兩人之間的距離(D)A．始終不變B．越來越遠(yuǎn)C．時(shí)近時(shí)遠(yuǎn)D．越來越近變式二：提升(2021·太原質(zhì)檢)如圖，一人在兩等高的路燈之間走動，GB為人AB在路燈EF照射下的影子，BH為人AB在路燈CD照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)C走向點(diǎn)E時(shí)兩段影子之和GH的變化趨勢是(C)A．先變長后變短B．先變短后變長C．不變 D．先變短后變長再變短【一題多變】(貌似神異)1.(2021·鄂州質(zhì)檢)如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上．(1)請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子．(2)如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子長AC＝1.4m，且他到路燈的距離AD＝2.1m，求燈泡的高．【解析】(1)如圖，點(diǎn)O為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子．(2)由已知可得，eq\f(AB,OD)＝eq\f(CA,CD)，∴eq\f(1.6,OD)＝eq\f(1.4,1.4＋2.1)，∴OD＝4.∴燈泡的高為4m．2．(2021·襄陽質(zhì)檢)如圖所示，甲物體高4米，影長3米，乙物體高2米，影長4米，兩物體相距5米．(1)在圖中畫出燈的位置，并畫出丙物體的影子．(2)若燈桿，甲、乙都與地面垂直并且在同一直線上，試求出燈的高度．【解析】(1)點(diǎn)O為燈的位置，QF為丙物體的影子．(2)作OM⊥QH，設(shè)OM＝x，BM＝y(tǒng)，由△GAB∽△GOM，∴eq\f(AB,OM)＝eq\f(GB,GM)，即：eq\f(4,x)＝eq\f(3,3＋y)，①由△CDH∽△OMH，∴eq\f(CD,OM)＝eq\f(DH,HM)，即：eq\f(2,x)＝eq\f(4,4＋5＋y)，②由①②得，x＝4.8，y＝0.6.答：燈的高度為4.8米．3.高高的路燈掛在路邊的上方，高傲而明亮，小明拿著一根2米長的竹竿，想量一量路燈的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路燈旁的一個地方，豎起竹竿(即AE)，這時(shí)，他量了一下竹竿的影長(AC)正好是1米，他沿著影子的方向走，向遠(yuǎn)處走出兩根竹竿的長度(即AB＝4米)，他又豎起竹竿，這時(shí)竹竿的影長正好是一根竹竿的長度(即BD＝2米).此時(shí)，小明抬頭瞧瞧路燈，若有所思地說：“噢，我知道路燈有多高了！”同學(xué)們，請你和小明一起解答這個問題：(1)在圖中作出路燈O的位置，并作OP⊥l于P.(2)求出路燈O的高度，并說明理由．【解析】(1)(2)由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，所以，DP＝OP＝燈高，△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，∴△CEA∽△COP，eq\f(CA,EA)＝eq\f(CP,OP)，設(shè)AP＝x，OP＝h，則eq\f(1,2)＝eq\f(1＋x,h)①DP＝OP表達(dá)為2＋4＋x＝h②，聯(lián)立①②兩式得：x＝4，h＝10，∴路燈有10米高．思想體現(xiàn)——分類討論思想【應(yīng)用】在物體位置不確定的情況下，常常需要對物體的位置進(jìn)行分類討論，進(jìn)而結(jié)