《琴生不等式的應(yīng)用綜述》

琴生不等式的應(yīng)用綜述1三角應(yīng)用【例12】在?ABC中，求證：8cosA+cosB+cosC≤9+cos≤csc212證：令f(x)=cscx,則f(x)是3=（ 從上式，有csc≥9+cosA?B+cosB?C（利用余弦函數(shù)的絕對值小于1）下面證明前一個不等式cos=2cos=2cos=4利用上式，有9+=8利用不等式(14),有8cosA+cosB+cosC=要證明前一個不等式成立，只需證明8sin不等式兩端同時乘以正實數(shù),即等價證明sinAsinBsinC≤cos而cos1=1==完全類似的，有coscos將上述三個不等式相乘，可得sinAsinBsinC≤所以，原不等式成立。2信息論應(yīng)用設(shè)f(x)是∪型凸函數(shù)，隨機(jī)矢量x的數(shù)學(xué)期望EE在信息論中，利用琴生不等式證明了離散源的最大離散熵定理、連續(xù)源的最大差分熵定理、平均互信息的凸性等幾個重要定理。最大離散熵定理是一個非常重要的結(jié)論。它告訴我們，在離散信源中，當(dāng)信源符號具有等概率分布時，信源的熵最大。差分熵在連續(xù)源中也有一個最大值。在這兩種情況下，一種是源的輸出值有限，另一種是源的輸出平均功率有限，并利用琴生不等式證明了相應(yīng)的最大差分熵定理[17]。下面我們來證明最大離散熵定理【例13】證明最大離散熵定理：H證：設(shè)概率矢量p=(p1,p2,…，pq),并且有已知logY在正實數(shù)集上是∩型函數(shù)，所以根據(jù)琴生不等式，有E即又yi所以得H只有當(dāng)pi3熱力學(xué)應(yīng)用Tykodi導(dǎo)出琴生不等式的例子，用的是物理方法，這種處理方法的先驅(qū)者是Landsberg,他在熱力學(xué)的基礎(chǔ)上給出了不等式的推導(dǎo)，在一個由不同初溫的N個物體構(gòu)成的系統(tǒng)進(jìn)行熱接觸達(dá)到溫度相等的過程中可以使Landsberg結(jié)果更普遍化[18]。Tykodi還可以從其他物理現(xiàn)象，如液體高度相等、濃度相等和球形微滴在一組相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系中聚集的過程，推導(dǎo)出琴生不等式。雖然這些研究沒有建立通常的數(shù)學(xué)證據(jù)，但這種推導(dǎo)建立了數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象之間的簡單關(guān)系。下面給出琴生不等式的一個簡單的物理推導(dǎo)?？紤]由N個組成完全相同但質(zhì)量不相等、初溫不同的物體構(gòu)成的系統(tǒng)。設(shè)S=f(u)是單位質(zhì)量的熵，u是單位質(zhì)量的內(nèi)能，對于這樣一個擁有固定質(zhì)量m的熱力學(xué)系統(tǒng)，熱容量CC其中T是系統(tǒng)的熱力學(xué)溫度，從定義很容易證明?因為T2和Cv都為正量，所以f''<0，因此系統(tǒng)的總內(nèi)能和總熵分別為其中,即為系統(tǒng)的總質(zhì)量，且p在t0假設(shè)n個物體的熱接觸達(dá)到相同溫度的過程發(fā)生在定容的情況下，且系統(tǒng)是絕熱的。系統(tǒng)在t0時刻達(dá)到熱平衡，設(shè)新的單位質(zhì)量的熱能是u然而，我們可以把時間的系統(tǒng)看作一個質(zhì)量為M的單一均勻物