作業(yè)10 中位線與多邊形內（外）角和-2021年八年級數學暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)10中位線與多邊形的內（外）角和

注意事項：

本試卷滿分120分，完成時間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

基礎過關（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2021?廣西河池市?八年級期末）已知一個〃邊形的每一個外角都相等，一個內角與其相鄰的一個外角

的度數之比是7:2,則”的值是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】根據題意利用內角與外角的比值可以求出這個外角，再利用外角和公式即可計算出”的值.

【詳解】設這個〃邊形的一個內角為7x,則與這個內角相鄰的外角的度數為2%,

根據題意可知7x+2%=180°,解得：X=2O°.

則與這個內角相鄰的外角的度數為2x=2x20°=40°.

40°xn=360°,.解得：n=9.故選：B.

【點睛】本題考查多邊形內角與其相鄰外角的關系，多邊形外角和公式.掌握多邊形外角和為360。是解答

本題的關鍵.

2.（2021?江蘇蘇州市?九年級零模）一個n邊形的每個外角都是45。，則這個n邊形的內角和是（）

A.1080°B.540°C.2700°D.2160°

【答案】A

【分析】根據多邊形外角和及內角和可直接進行求解.

360°

【詳解】解：由個n邊形的每個外角都是45。，可得：n=--=8,

45°

.?.這個多邊形的內角和為：（8-2）x1800=1080°,故選A.

【點睛】本題主要考查多邊形的內角和及外角和，熟練掌握多邊形的內角和及外角和是解題的關鍵.

3.（2021?山東濰坊市?八年級期末）如圖，在AABC中，。是上一點，A￡>=AC,AE，CD于點七，

點廠是8c的中點，若比>=10,則石五的長為（）

A.8B.6C.5D.4

【分析】首先根據AD=AC可得AACD為等腰三角形，再由AE，CD結合“三線合一”性質可得E為CD

的中點，從而得到EF為ACBD的中位線，最終根據中位線定理求解即可.

【詳解】???AO=AC，.??△ACD為等腰三角形，

?..AE_LCD,.IE為CD的中點，（三線合一）

又?.?點F是BC的中點，，EF為ACBD的中位線，.?.故選：C.

2

【點睛】本題考查等腰三角形三線合一的性質以及中位線的性質，準確判斷出中位線是解題關鍵.

4.（2021?邢臺市第六中學九年級零模）嘉淇用一些完全相同的AABC紙片，己知六個AA6c紙片按照

圖1所示的方法拼接可得外輪廓是正六邊形圖案，若用〃個AABC紙片按圖2所示的方法拼接，那么可以

得到外輪廓的圖案是（）

圖1圖2

A.正十二邊形B.正十邊形C.正九邊形D.正八邊形

【答案】C

【分析】由題意可得N4CB=40。，由此可求解問題.

【詳解】解：由圖1可得：圖案是一個正六邊形，由正六邊形的每個內角為720。+6=120。,

；.NACB=40。,AZBAC=60°,.?.圖2中每個內角為80。+60。=140。，

...用“個△MC紙片按圖2所示的方法拼接，可得這個正多邊形的每一個外角為40。，

，這個正多邊形的邊數為360。+40。=9；故選C.

【點睛】本題主要考查正多邊形，熟練掌握正多邊形的概念是解題的關鍵.

5.（2021?河北滄州市?八年級期末）一個凸多邊形的每一個內角都等于140°,則這個多邊形的對角線的條

數是（）

A.9條B.54條C.27條D.6條

【答案】C

【分析】先求出多邊形的邊數，再求從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數即可.

【詳解】解：；多邊形的每一個內角都等于140。，.,.每個外角是180。-140。=40。,

,這個多邊形的邊數是360。+40。=9,

,這個多邊形所有對角線的條數是：n（n-3）+2=9x（9-3）+2=27.故選：C.

【點睛】本題考查多邊形的外角和，外角和，以及對角線的知識點，找出它們之間的關系是本題解題關鍵.

6.（2021?全國九年級）如圖，已知四邊形A3CD中，R、P分別是8C、CO上的點，E、F分別是AP、

降的中點，當點P在C￡＞上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（）

A.線段所的長逐漸增大B.線段族的長逐漸減小

C.線段EF的長不變D.以上說法都不對

【答案】C

【分析】連接AR,E、F分別是從尸、RP的中點，AR不變，根據中位線定理可得EF//AR,Eb='AR,

2

據此解題.

【詳解】連接AR,如圖，

因為AR不變，E、F分別是AP、RP的中點，由中位線的性質得，EF//AR,EF=-AR

2

，當點P在。。上從C向D移動而點R不動時，線段EF的長不變故選：C.

【點睛】本題考查三角形中位線定理，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

7.（2021?陜西西安市?西北工業(yè)大學附屬中學九年級一模）從正多邊形一個頂點最多可以作7條對角線，

這個正多邊形每個內角的大小是.

【答案】144°

【分析】先由〃邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可求出多邊形的邊數，再根據正多邊形的

內角和定理可得答案.

【詳解】解：設這個正多邊形的邊數為，?，貝I：3=7解得：〃=10

這個多邊形有10條邊，此正多邊形的內角和為：（10-2）x1800=1440。，

1440

,這個正多邊形每個內角的大小是：-=144°.故答案為：144。.

【點睛】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.熟記”

邊形從一個頂點出發(fā)可引出（〃-3）條對角線是解題的關鍵.

8.（2021?廣東汕尾市?九年級期末）如圖，N1+N2+N3+N4的度數為.

【分析】根據多邊形的外角和定理即可求解.

【詳解】解：由多邊形的外角和定理知，Zl+Z2+Z3+Z4=360°,故答案是：360。.

【點睛】本題考查/多邊形的外角和定理，理解定理是關鍵.

9.（2021?山東泰安市?九年級期末）如圖：在AA3C中，A3=13,8。=12,點。、E分別是的中

ADB

【答案】30

【分析】根據三角形的中位線性質，求出AC的長，再求出AABC的周長.

【詳解】：點D、E分別是AB、BC的中點，；.DE是AABC的中位線，DE=-AC,

2

DE=2.5,：.AC=5,*.*AB=13,BC=12,，CAABC=AB+BC+AC=13+12+5=30.故答案為：30.

【點睛】本題考查了三角形的中位線性質定理，解題的關鍵是掌握，三角形的中位線平行于第三邊，并且

等于第三邊的一半.

10.（2020?山西晉中市?八年級期末）如圖所示，OE為AA8C的中位線，點尸在。E上，且/ABB=90。，

若AB=4,8c=10,則EF的長為.

【分析】先根據三角形中位線定理求得DE,然后再根據直角三角形的性質求出DF,最后運用線段的和差

計算即可.

【詳解】解：為△ABC的中位線，.??O￡=，BC=5,

2

VZAFB=90°,。是AB的中點，：.DF=-AB^2,：.EF=DE-DF=3.故答案為3.

2

【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理、直角三角形的性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等

于第三邊的一半是解答本題的關鍵.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

11.（2020?浙江八年級期末）已知：如圖，是△ABC的中位線，Ab是8C邊上的中線，。石和從產

交于點O.求證：DE與4b互相平分.

【答案】見解析

【分析】連接DF、EF,根據DE是中位線、AF是中線證DF、EF是AABC的中位線，據此知DF〃AC,

EF〃AB,從而得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可得證.

【詳解】解：證明：如圖所示，連接DF、EF,

???DE是AABC的中位線，.?.點D是AB中點、點E是AC中點,

又：AF是BC邊上的中線，，F(xiàn)是BC中點，.?.DF、EF是AABC的中位線，

，DF〃AC,EF〃AB,四邊形ADFE是平行四邊形，DE與AF互相平分.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定與性質及三角形中

位線定理的運用.

12.（2021?山東煙臺市?八年級期末）如圖，在AABC中，8是A3邊的中線，E是CO的中點，連接AE

【答案】見解析

【分析】取AE的中點M，連接則DM是AABF的中位線，利用中位線定理結合全等三角形的判

定即可證得.

【詳解】證明：取Ab的中點M，連接

：C￡＞是AB邊的中線，是A3邊的中點，=DM//BC.

:./MDE=NFCE,/DME=NCFE.,:E是CD的中點、，；.DE=CE,

NMDE=NFCE

在AMDE和AFCE中，＜NDME=NCFE：.^MDEmAFCE.DM=CF,:.BF=2CF.

DE=CE

【點睛】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

13.(2021?山東德州市?八年級期中)如圖，在五邊形48CDE中，AP平分NE46，BP平分NA3C.

(1)五邊形ABCDE的內角和為度；

(2)若NC=100°,ZD=75°,NE=135°,求NP的度數.

【分析】(1)根據多邊形內角和公式計算即可；(2)用內角和減去NC=100°,NO=75。，ZE=135°

得到NE46，NCBA的和，再根據角平分線的性質、三角形的內角和即可計算.

【詳解】解：(I)五邊形ABCOE的內角和為(5—2)xl8(r=540。，

(2)???在五邊形A8CQE中，ZEAB+ZABC+ZC+ZD+ZE=540°.

ZC=1(X)°,ZD=75°,ZE=135°AZEAB+ZABC=230°,

平分/EAR,8P平分ZA8C，；.=ZPBA=-ZABC,

22

/.ZPAB+/PBA=115。，；."=180°-(ZPAB+NPBA)=65°.

【點睛】本題考查了多邊形的內角和計算，根據角平分線性質和三角形內角和定理計算角的度數；掌握相

關的基礎知識是本題的關鍵.

14.(2020?濟南模擬)我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，

能夠拼成一個平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫做平面密鋪(鑲嵌).我們知道，

當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角的和為360°時，就能夠拼成一個平面圖形.某校研究性學習小組

研究平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長相等的正多邊形做平面密鋪的情形時用了以下方法：

如果用x個正三角形、y個正六邊形進行平面密鋪，可得60°?x+120°DUBGO。，化簡得x+2y=6.因為x、

y都是正整數，所以只有當x=2,y=2或x=4,y=l時上式才成立，即2個正三角形和2個正六邊形或4

個正三角形和1個正六邊形可以拼成一個無縫隙、不重疊的平面圖形，如圖（1）、（2）、（3）.

（1）請你仿照上面的方法研究用邊長相等的x個正三角形和y個正方形進行平面密鋪的情形，并按圖（4）

中給出的正方形和正三角形的大小大致畫出密鋪后圖形的示意圖（只要畫出一種圖形即可）；

（2）如果用形狀、大小相同的如圖（5）方格紙中的三角形，能進行平面密鋪嗎？若能，請在方格紙中畫

出密鋪的設計圖.

【解析】解：（1）據題意，可有60°”+90°?y=360°化簡得2x+3y=12,.,.當x=3,y=2時,有圖:

15.（2020?黑龍江大慶市?八年級期末）如圖，四邊形ABC。四條邊上的中點分別為E、F、G、“，順

次連接麻、FG、GH、HE,得到四邊形EEGH.求證：四邊形EFG"是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析【連接AC,根據三角形的中位線定理得到HG//AC,HG=\AC,同理推出跖〃AC,

EF=-AC,根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形

2

【詳解】證明：連接AC.

?」G是DC的中點，H是AD的中點，且”G=《AC,

2

同理可知印〃AC,且EF」AC,:.EF//HG，且所="G,二四邊形ERSH是平行四邊形.

2

【點睛】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，解題的關鍵是正確的構造三角形病正

確的運用中位線定理，難度不大.

能力培優(yōu)（50分）

一、選擇題（本大題共2小題，每小題3分，共6分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2021?云南昆明市?九年級月考）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則NABC

等于（）

35°C.45°D.60°

【答案】A

【分析】利用全等三角形的性質和正六邊形的定義可判斷六邊形花環(huán)為正六邊形，根據多邊形的內角和定

理可計算出/ABD=120。，然后把/ABD減去90。得到NABC的度數.

?..六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，六邊形花環(huán)為正六邊形,

(6-2)x180°v

AZABD------------------=120°,而/CBD=NBAC=90°,AZABC-I2O°-9O°=3O°.故選：A.

6

【點睛】本題考查了多邊形內角與外角：多邊形內角和定理：（n-2）780。（nN3且n為整數）；多邊形的

外角和等于360。.

2.（2021?河北邢臺市?八年級期末）如圖，在正八邊形汨中，AC是對角線，則NC45的大小

是（）

C.23.5°D.24.5°

【答案】A

【分析】求出正八邊形的內角和，算出每個內角的度數，再根據△ABC為等腰三角形以及內角和為180。,

可求出NC48的大小

【詳解】解：?.?正八邊形的內角和為：(&2)xl80°=1080°,每個內角的度數為10800+8=135°

又是等腰三角形NC4B=g(180°-135°)=225°故選：A

【點睛】本題考查多邊形內角和與等腰三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解決本題的關鍵

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上)

3.(2021?長春市格致中學九年級期末)如圖，有一塊形狀為放△ABC的斜板余料，ZA=90°,AB=

6cm,AC=8c加，要把它加工成一個形狀為口DEFG的工件，使GF在邊BC上,。、E兩點分別在邊AB、

AC上，若點。是邊AB的中點，則口OEFG的面積為cm2.

【答案】12

【分析】作交BC于H點，交DE于I點，根據？490?,AB6a%AC=8加可得3c=/Oan,

根據￡＞是邊A」B的中點可知0E是AABC的中位線，得A/=///=[AH,利用三角形面積

2

I124110

S、甌=^ACgAB=；BC部H,可得A"=彳，IH=獷=￡,則根據5丫詆°=DE^H，計算可得結果.

【詳解】如圖示，作交BC于H點，交DE于I點，

?A90?,AB6cm,AC=8cm/.BC=10cm

?。是邊AS的中點，￡>E〃BC，.、OE是△ABC的中位線，DE=5cm：.AI=IH=^AH,

ii24

又yS\SBC=,BCgA"，即有6?8\0AH,Z.AH=-f

ii24121?

1H=_AH=—?—,SYDEFG~DEg/H=5?12cw,故答案為：12.

【點睛】本題考查了三角形中位線的應用，勾股定理，三角形的面積和平行四邊形的面積，熟悉相關性質

定理是解題的關鍵.中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

4.（2020?四川遂寧市?射洪中學九年級月考）如圖，AABC中，AD是中線，AE是角平分線，CELAE于

F,AB=13,AC=8,則OF的長為.

【答案】2.5

【分析】延長CF交AB于H,證明AAFH四△AFC,根據全等三角形的性質得到AH=AC=7,CF=FH,求

出HB,根據三角形中位線定理計算即可.

【詳解】解：延長CF交AB于H,

,.?AE平分NBAC,；.NHAF=NCAF,

NHAF=ZCAF

在AAFH和AAFC中，（A/7=AE,

ZAFH=ZAFC=90°

AAAFH^AAFC（ASA）,，AH=AC,CF=FH,

VAB=13,AC=8,；.AH=AC=8,AHB=AB-AH=13-8=5,

VCF=FH,CD=DB,ADF=—HB=2.5,故答案為:2.5.

2

【點睛】本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，

且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

5.（2021?山東東營市?八年級期末）如圖，在AABC中，已知AB=8,BC=6,AC=7,依次連接AABC■的

三邊中點，得到△A4G，再依次連接"46的三邊中點，得到△&約C?,???,按這樣的規(guī)律下去，

△AO2O^202（）^2020的周長為----

c

【分析】由JABC=AB+BC+AC=21,再利用中位線的性質可得：

12112121

=不，總結規(guī)律可得：二上,從而運用規(guī)律可得答案.

cABC=-c^ABC=—,CAAB^=-C,BCCAABC

【詳解】解：探究規(guī)律：：A8=8,BC=6,AC=7,C^ABC=AB+BC+AC=21,

???A，4，G分別為BC,AC,AB的中點，A4=；AB,4G=；3cA￡=；4C,

,rlr211￡2121

'瓦C[2AABC2，「'’"?A282c22A4AGr^'222，

212121

總結規(guī)律：6卡￡=萬7,運用規(guī)律：當〃=202()時，Q&g。/20cmn=方針故答案為：^2020-

【點睛】本題考查的是圖形周長的規(guī)律探究，三角形中位線的性質，掌握探究規(guī)律的方法與三角形中位線

的性質是解題的關鍵.

6.(2020?浙江杭州市?八年級其他模擬)在QABCD中，E是A￡＞邊上的中點，連接5E,并延長BE交CO

的延長線于點F.已知48=3，NA=120°,BF=5：則ED=,SaAliCD=.

【分析】結合題意，通過證明△AEBgAPEE，得到A5=￡D，即可得到FD；過點F作EH_LBC于

點H,延長AD交FH于點G,結合題意，根據平行四邊形、對頂角、直角三角形兩銳角互余的性質，計算

得N￡>RG=30°，從而得CH的值；再根據勾股定理計算，得FH和BC的值，結合平行四邊形ABCD性

質以及FD=CD,DG是△CFH中位線，從而得到DG,通過計算即可得到答案.

【詳解】；E是AD邊上的中點；.AE=ED

?.?平行四邊形ABCDAAB//CD：.ZBAE=ZEDF

ZAEB=ZDEF二^AEB^ADEF二AB=FD

■:AB=?。?FD=AB=6過點F作FH_L3C于點H,延長AD交FH于點G

aABCD：.AD//BC:.AG上FH，即N￡）GR=90

'：ZA=l20°，且口ABCD二ZADC=180-ZA=60°

???ZFDG=ZADC=60ANDFG=900-NFDG=30°CH=-CF

2

?.?平行四邊形ABCD；.CD=AB=6,CF=CD+DF=26

2

CH=gcF=gpH=^CF-CH-=V12-3=3

:*BH=\lBF2-FH2=V25-9=4BC=BH-CH=4-6

i3

■:AD//BC,FD=CD</.DG是自CFH中位線；.FG=GH=—FH=—

22

?^?5。"a，=BCxG”=（4一石）x|=6-隹故答案為：66-亭.

【點睛】本題考查了平行四邊形、勾股定理、直角三角形、三角形中位線、全等三角形的知識：解題的關

鍵是熟練掌握平行四邊形、勾股定理、直角三角形、三角形中位線、全等三角形的性質，從而完成求解.

7.(2021?江蘇鹽城市?八年級期末)如圖，在AABC中，AB=AC,3c=1().

A

（1）尺規(guī)作圖：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

①作/a4c的平分線交8C于點D；

②作邊AC的中點E,連接。E；

（2）在（1）所作的圖中，若4）=12,則OE的長為.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）6.5

【分析】（1）①以A為圓心，小于AB的長度為半徑畫圓，交AB、AC于兩個點，再分別以這兩個點為圓

心，一樣的半徑畫弧，交于一點，連接這個點與點A,即可得到44c的平分線，再畫出它與BC的交點D；

②作線段AC的垂直平分線，即可找到線段AC的中點E,連接DE；

（2）由等腰三角形“三線合一”的性質得8。=5,AD1BC,用勾股定理求H1AB的長，再根據中

2

位線的性質得到DE的長.

【詳解】解：（1）①如圖所示：

②如圖所示:

(2)：AB=AC，AD平分N8AC,ABD=-BC=5,ADIBC,

2

在RtZXABD中，AB=y/AD2+BD2=13,

：E、D分別是AC和BC的中點，，OE=—AB=6.5,故答案是：6.5.

2

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，中位線的定理，以及角平分線和垂直平分線的作法，解題的關鍵是

熟練掌握這些幾何的性質定理以及作圖方法.

三、解答題（本大題共3小題，共29分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

8.（2021?溫州外國語學校九年級三模）如圖，在ATWC和△DBC中，AB^AC,DB=DC,點E，

E分別為邊AB，AC的中點，連結。尸，OE.（1）求證：ABDE當KDF（2）若NEDF=60°,ED=5,

求的長.

【答案】（1）見詳解；（2）BC=10

【分析】（1）由題意易得BE=b,NABC=ZACB,NDBC=NDCB,則有N4BD=4CD,然后問

題可求證；（2）連接EF,由題意易得尸是等邊三角形，則EF=EQ=5,然后根據三角形中位線可進行

求解.

【詳解】（1）證明：：AB=AC,DB=DC,/ABC=ZACB,ZDBC=ZDCB,

：.ZABD^ZACD,BP?EBD?FCD,點、E，口分別為邊A3，AC的中點，，BE=CF,

BD=CD

在△E8O和△〃（;￡）中，，NEBD=NFCD,：.△BDEmACDF（SAS）；

BE=CF

（2）解：連接EF,如圖所示:

A

山（1）可得ABDEACDF,：.DE=DF，

VZEDF=60°,尸是等邊三角形，?:ED=5,：.EF=ED=5,

;點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點，.?.3C=2￡F=10.

【點睛】本題主要考查三角形中位線、全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質，熟練掌握三角形中

位線、全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質是解題的關鍵.

9.（2021?北京九年級二模）已知等邊AAbC,。為邊BC中點，M為邊AC上一點（不與A,C重合），

連接DM.

圖1圖2

（1）如圖1,點E是邊AC的中點，當M在線段AE上（不與A,E重合）時，將ZW繞點。逆時針旋

轉120。得到線段。/，連接BE.①依題意補全圖1；

②此時與BE的數量關系為：,ZDBF=°.

（2）如圖2,若DM=2MC,在邊A3上有一點N,使得NAOW=120。.直接用等式表示線段BN,ND,

CO之間的數量關系，并證明.

【答案】（1）①見解析；②EM=BF，120：（2）CD=BN+、ND,證明見解析

2

【分析】（1）①根據提示畫出圖形即可；②連接OE,證明△DME絲△QF8即可得到結論；

（3）取線段4。中點E，連接￡￡）.由三角形中位線定理得。七=,區(qū)4,CE=-CA,

22

BD=CD=-BC.根據△A6C是等邊三角形可證明DE=BD=CD=CE，

2

NCED=NEDC=NB=6（）0,再證明△EDM三△3DN得助V=EM,ND=MD=2MC,進一步可

得結論.

【詳解】解：（1）①補全圖形如圖1.

圖1

②線段與BE的數量關系為=5尸；ZDfiF=120°.

連接DE,???￡）為BC的中點，E為AC的中點，

.?.DE為△ABC的中骯線，：.DE=—AB,DE//AB

2

AABC是等邊三角形，...AB=3C=AC，ZA=Zfi=ZC=60°.

?.?力為BC的中點，BO=LBC=OE

2

VDEIIAB:.NCDE=ZABC=60。，NCE￡>=ZA=60°

ZBDE=120°=ZBDM+NEDM

VZBDM+ZBDF=nO°,DM=DF,/RDF=/FDM

：.ADME2DFB：.EM=BF；ZDBF=ZDEM.

ZCED=60°...ADEM=120°，/DBF=120°.

故答案為：EM=BF；/DBF=120。.

（2）證明：取線段AC中點E，連接EZ）.如圖2.

???點。是邊的中點，點E是邊4c的中點，

DE=-BA,CE^-CA,BD=CD=>BC.

222

；△AfiC是等邊三角形，A8=BC=4C，ZB=NC=60°.

/.DE=BD=CD=CE,4CED=NEDC=ZB=60°./.ZBDE=120°.

ZNDM=120°,A/EDM=/BDN.：.4EDM=ABDN.

:.BN=EM,ND=MD=2MC，EC=EM+MC，：.CD=BN+-ND.

2

B

圖2

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質以及三角形中位線定理，正確作出

輔助線構造全等三角形是解答此題的關鍵.

10.（2021?陜西西安市?西北工業(yè)大學附屬中學九年級月考）問題提出

（1）如圖①，在AABC中，。、E分別是A3和AC的中點，連接DE，則DE與BC的數量關系是,

位置關系是；

問題探究：（2）如圖②，在四邊形ABC。中，ZBAC=9Q°,AB=4C=4jL8=4,E為AO中

點，連接5E,求BE的最大值；

問題解決：（3）如圖③，某小區(qū)計劃在一片足夠大的空地上修建四邊形的花園A8CO,其中3c=20米,

AD=CD，ADVCD,AB"CD,由于受地理位置的影響，ZABC<90°.根據要求，現(xiàn)計劃給該花園

修建條筆直的綠色長廊，且綠色長廊的入口。定為BC的中點，出口定為點。，為了盡可能地提高觀賞體

驗，要求綠色長廊0。最長，試求綠色長廊00最長為多少米？

A

A

【答案】（1）DE=3BC,DEIIBCy（2）2如