廣西壯族自治區(qū)玉林市2024屆高三高中畢業(yè)班第一次摸底測試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆高中畢業(yè)班第一次摸底測試數(shù)學(xué)注意事項：1.滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得集合M，利用余弦函數(shù)值域可得N，結(jié)合交集的概念計算即可.【詳解】由，即，由余弦函數(shù)的值域可知，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運算法則直接計算，結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的概念即可求解.【詳解】因，所以，所以的虛部為.故選：A.3.已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】圓的方程可化為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離，此時直線與圓相切，故充分性成立；當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，所以，故必要性成立，所以“”是“直線與圓相切”的充要條件.故選：C.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由切弦互換公式、二倍角公式結(jié)合已知求得，然后由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，化簡并整理得，又因為，所以，所以，所以.故選：B.5.若函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為（）A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】分類參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出其大致函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最值即可.【詳解】函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點，即方程在內(nèi)有且僅有一個實根，分離參數(shù)可得，令，則函數(shù)只有一個交點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖，作出函數(shù)的大致圖像，由圖可知，所以，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上的最大值為，最小值為，所有在上的最大值與最小值之和為.故選：C.6.已知的外心為，且，，向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，并求出角C，再利用投影向量的意義求解作答.【詳解】在中，由，得點為線段的中點，而為的外心，則，即有，又，則為正三角形，因此，，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A7.已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性以及可知的周期為2，且在上單調(diào)遞減，將表達式化簡可得，，，又易知即可得.詳解】根據(jù)題意可知，即可得，所以函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增；根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，又顯然，所以可得，即；因此可得.故選：A8.如圖所示，是雙曲線的左、右焦點，的右支上存在一點滿足與雙曲線左支的交點滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應(yīng)用勾股定理列方程求得，進而求離心率.【詳解】中，中，所以，，又，則，又，所以，令，則，，而，由，則，，可得，即.故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為深入學(xué)習(xí)宣傳黨二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知識競賽.其中高一年級選派了10名同學(xué)參賽，且該10名同學(xué)的成績依次是：，.則下列說法正確的有（）A.中位數(shù)為90，平均數(shù)為89B.分位數(shù)為93C.極差為30，標(biāo)準(zhǔn)差為58D.去掉一個最低分和一個最高分，平均數(shù)變大，方差變小【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)和極差的概念，逐項進行計算驗證即可求解.【詳解】對于A，由題意中位數(shù)為，平均數(shù)為，故A正確；對于B，因為，所以分位數(shù)為，故B正確；對于C，極差為，方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯誤；對于D，去掉一個最低分和一個最高分，則平均數(shù)為，方差為，所以去掉一個最低分和一個最高分，平均數(shù)變大，方差變小，故D正確.故選：ABD.10.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為16 B.的最小值為9 C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判斷A；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷B；利用消元法即可判斷C；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為16，故A正確；對于B，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為9，故B正確；對于C，由B得，則，則，故C錯誤；對于D，，當(dāng)，即時，取得最小值，所以當(dāng)時，的最小值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.函數(shù)在的值域為D.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位【答案】ACD【解析】【分析】先由圖象信息求出表達式，從而即可判斷A；注意到是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對比即可判斷.【詳解】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項正確；由A選項分析可知，而是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項錯誤；當(dāng)時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在的值域為，故C選項正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項正確.故選：ACD.12.如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，且，，若G是線段上的動點，則()A.與所成角的正切值最大為B.在上存在點G，使得C.當(dāng)G為上的中點時，三棱錐的外接球半徑最小D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】對于A，由面面垂直性質(zhì)定理得BC⊥面ABEF，得△BCG是直角三角形，再根據(jù)AD∥BC可知∠BCG即為所求角，結(jié)合幾何關(guān)系即可判斷；對于B，假設(shè)結(jié)論成立，證明AG⊥面BCG，從而可得△ABG為直角三角形，判斷三角形是否有解即可；對于C，△ABG的外接圓半徑為r，由BC⊥面ABEF可得三棱錐的外接球半徑R滿足：，要求R的最小，即求r最小，由正弦定理得，要求r最小，即求sin∠AGB最大，要求sin∠AGB最大，可求tan∠AGB，結(jié)合幾何關(guān)系即可判斷；對于D，設(shè)FG＝x，用x表示出AG＋CG，利用兩點間距離公式數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】∵平面平面，且交線為AB，BC面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥面ABEF，因為BG面ABEF，所以BC⊥BG，∥，故與所成角為∠BCG，，當(dāng)G和F重合時，BG最長，且為5，故最大為，故選項A正確；假設(shè)在上存在點G，使得，因為BC⊥面ABEF，因為AG面ABEF，所以BC⊥AG，又∵，CG，BC面BCG，所以AG⊥面BCG，又因為BG面BCG，所以AG⊥BG，設(shè)，，，則，，在直角△AGB中，，可得方程，該方程無解，故假設(shè)不成立，即在上不存在點G，使得，故選項B錯誤；設(shè)△ABG的外接圓半徑為r，因為BC⊥面ABG，故三棱錐的外接球半徑R滿足：．設(shè)，由正弦定理得，∵，所以，因為，故，故θ為銳角，當(dāng)時，G為EF的中點，取得最小值，tanθ取得最大值，sinθ取得最大值，r取得最小值，三棱錐的外接球半徑R取得最小值，故選項C正確；，，設(shè)M(x,0)，N(0,3)，P(4,5)，如圖，設(shè)N(0,3)關(guān)于x軸對稱的點為，則，直線方程為，令得，即當(dāng)時，的最小值為，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，則__________【答案】7【解析】【分析】若公差為且，易得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求結(jié)果.【詳解】若公差為且，則，由.故答案為：714.1886年5月1日，芝加哥的二十一萬六千余名工人為爭取實行八小時工作制而舉行大罷工，經(jīng)過艱苦的流血斗爭，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運動，1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是_____________【答案】##【解析】【分析】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，根據(jù)題目條件先分別求出，然后由條件概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，因為已知甲在五一長假期間值班2天，所以丙和乙分別值班一天、兩天或兩天、一天，所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有種，又因為甲在五一長假期間連續(xù)值班兩天，可以是第1，2兩天或第2，3兩天或第3，4兩天或第4，5兩天，所以甲在五一長假期間值班2天且甲連續(xù)值班的方案共有種，所以由條件概率公式得.故答案為：.15.已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，再根據(jù)點關(guān)于線對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合從而得解.詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為B，設(shè)B坐標(biāo)為，則，解得，故B，因為，可得，當(dāng)P，B，A三點共線，即P點為時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.16.若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，滿足，，且（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），則可用牛頓切線法求在區(qū)間上的根的近似值：取初始值，依次求出圖象在點處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)與的誤差估計值（m為的最小值）在要求范圍內(nèi)時，可將相應(yīng)的作為的近似值．用上述方法求方程在區(qū)間上的根的近似值時，若誤差估計值不超過0.01，則滿足條件的k的最小值為______，相應(yīng)的值為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)牛頓切線法，求解切線方程為，進一步得到，代入檢驗與的誤差估計值不超過0.01即可求解.【詳解】設(shè)則，，當(dāng)，故可用牛頓切線法求在區(qū)間上的根的近似值.由于在單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為2，即，圖象在點處的切線方程為，化簡得，令，則，由于，所以，，，，，，故作為的近似值，故答案為：2，四、解答題：本題共6小題，井70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在（1）；（2）；（3）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足（1）求角；（2）若的外接圓周長為，求邊上的中線長.【答案】（1）所選條件見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形面積公式、向量數(shù)量積定義、三角恒等變換化簡條件求角；（2）由已知易得為頂角為的等腰三角形，是中點，則，利用向量數(shù)量積的運算律求中線長度.【小問1詳解】選（1），則，所以，而，則，所以；選（2），則，所以，而，則；選（3），則，，所以，所以，則，而，則.【小問2詳解】由，則，故，，即，結(jié)合（1）易知：為頂角為的等腰三角形，如下圖，是中點，的外接圓周長為，若外接圓半徑為，則，所以，而，所以，則，即求邊上的中線長為.18.設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，都有，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先可以根據(jù)已知得到，其次注意到，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解.（2）由（1）可知，先將數(shù)列的通項公式裂項得，從而可求得其前項和為，若，都有，則只需，研究的單調(diào)性即可得到其最小值，從而解不等式即可求解.【小問1詳解】一方面：因為，所以，所以，即；另一方面：又時，有，即，且，所以此時；結(jié)合以上兩方面以及等比數(shù)列的概念可知數(shù)列是首先為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可知，又由題意，數(shù)列的前項和為，又，都有，故只需，而關(guān)于單調(diào)遞增，所以關(guān)于單調(diào)遞減，關(guān)于單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有，因此，即，解得，綜上所述：的取值范圍為.19.后疫情時代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)，國家先后出臺了多項減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進行了個人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機抽樣，獲得500位在職員工的個人所得稅(單位：百元)數(shù)據(jù)，按，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：假設(shè)每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的.（1）求這500名在職員工的個人所得稅的中位數(shù)(保留到小數(shù)點后一位)；（2）從個人所得稅在三組內(nèi)的在職員工中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有在職員工中隨機抽取100名員工，記年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.【答案】（1）百元（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，利用中位數(shù)計算公式計算即可.（2）求得的所有可能取值和對應(yīng)的概率即可得到分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式計算即可.（3）由題意得，由二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式直接計算即可.【小問1詳解】設(shè)這500名在職員工的個人所得稅的中位數(shù)為，則由頻率分布直方圖得，解得，所以這500名在職員工的個人所得稅的中位數(shù)為百元.【小問2詳解】由題意抽取的10人中，年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，若現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記年個稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，則的所有可能取值為，所以，，，，所以的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望為：.【小問3詳解】由頻率分布直方圖可知年個稅在內(nèi)的概率為，從該地區(qū)所有在職員工中隨機抽取100名員工，恰有個員工的年個稅在內(nèi)的分布列服從二項分布，由二項分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式可得，即的數(shù)學(xué)期望與方差分別為.20.如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，沿將翻折至，使二面角為直二面角.（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進而可證；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系由空間法求二面角的正弦值.【小問1詳解】因為，，，所以，，，因為，所以，因二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】取的中點，在上取點使，由得，，故，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由得，故，又，，則，故，，，，則，，由題知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，，設(shè)二面角的平面角為，則，故，即二面角的正弦值為.21.已知平面上動點到點與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.（1）說明是什么曲線，并求的方程；（2）設(shè)是上關(guān)于軸對稱的不同兩點，點在上，且異于兩點，為原點，直線交軸于點，直線交軸于點，試問是否為定值?若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）（2）為定值，這個值為【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程可知圓心，半徑，再利用橢圓定義即可求得的軌跡曲線的方程為；（2）依題意設(shè)出,可得，求出直線的直線方程解出其與軸的交點坐標(biāo)，，即可得出的表達式，再進行化簡即可知.【小問1詳解】根據(jù)題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點關(guān)于原點對稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)，，且，；則易知；易知直線的斜率都存在，如下圖所示：所以直線的斜率為，其方程