曲面及其方程二次曲面

08十一月20241第三節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念一般地，若曲面S與三元方程F(x,y,z)=0滿足：（1）曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0；則稱：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖像。兩個基本問題：（2）已知F(x,y,z)=0，問它表示什么曲面？（1）已知曲面S，求曲面方程F(x,y,z)=0？08十一月20242一些特殊曲面例3

方程表示什么圖形？用截痕法討論幾種特殊曲面（特別二次曲面）例1

求球心在點半徑為R的球面方程。例2

已知空間兩點A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線段AB的垂直平分面的方程。一般地，三元二次方程（不含交叉項且平方項系數(shù)相同）表示空間的一張球面。08十一月20243例4

方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底。解08十一月20244二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線分別稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。播放08十一月20245例5

證明以oz軸為旋轉軸，yoz坐標面上的已知曲線為母線所產生的旋轉曲面S的方程為：證明：旋轉曲面如圖設M(x,y,z)為旋轉曲面S上任意一點，顯然，M一定是由母線C上某點M1(0,y1,z1)旋轉得到，(0,0,z)代入母線方程即得證明。即08十一月20246注意：1.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉得旋轉曲面2.yoz平面上的母線繞oy軸旋轉得旋轉曲面3.xoy平面上的母線繞ox軸旋轉得旋轉曲面08十一月20247例6求xoz坐標面的上雙曲線C：分別繞x軸和z軸旋轉雙曲面解：一周生成的旋轉曲面的方程。直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫圓錐面，兩直線的交點叫圓錐面的頂點，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角。08十一月20248解:

圓錐面方程例7

試建立頂點在坐標原點，旋轉軸為z軸，半頂角為α的圓錐面方程。圓錐面的母線方程為08十一月20249播放定義三、柱面觀察柱面的形成過程:沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。08十一月202410柱面舉例拋物柱面平面08十一月202411一般地，已知準線方程母線平行于z軸的柱面方程為：注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母線平行于z軸的柱面。一般地，在空間直角坐標下（缺z），表示母線∥？，準線為？的柱面。（缺y），表示母線∥？，準線為？的柱面。（缺x），表示母線∥？，準線為？的柱面。08十一月202412問：（1）表示什么曲面？（2）表示什么曲面？回顧1.三元方程F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面S。2.表示一張球面。3.表示空間的一張平面。4.yoz平面上的母線繞oz軸旋轉得旋轉曲面08十一月202413四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。目的：利用截痕法討論二次曲面的形狀。即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的準線方程母線平行于z軸的柱面方程為：08十一月202414（一）橢球面橢球面與三個坐標面的交線：橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面x=x1和y=y1

的交線也是橢圓08十一月202415橢球面的幾種特殊情況：旋轉橢球面由橢圓或繞z軸旋轉而成。球面方程可寫為08十一月202416（二）拋物面（p與q同號）（1）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標面xoy(z=0)去截；設p與q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐標面xoz或yoz去截；（4）用平面去截；yoxz08十一月202417zxyo橢圓拋物面的圖形如下：xyzo特殊地：當p=q時，方程變?yōu)樾D拋物面08十一月202418（2）雙曲拋物面（馬鞍面）(p與q同號)用截痕法討論：設xzyo08十一月202419（三）雙曲面單葉雙曲面xyoz（1）zoxy.08十一月202420雙葉雙曲面xyo（2）xoyz08十一月202421習題8－34，5，7，8，9，10，1108十一月202422二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202423二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202424二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202425二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202426二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202427二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202428二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202429二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202430二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202431二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202432二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202433二、旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面。這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的母線和旋轉軸。08十一月202434播放定義三、柱面觀察柱面的形成過程:沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。08十一月202435定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202436定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202437定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202438定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202439定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202440定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202441定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202442定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C

叫柱面的準線，動直線L叫柱面的母線。觀察柱面的形成過程:08十一月202443定義三、柱面沿定曲線C移動的動直線L所形成的