專題13.7 等邊三角形（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（學生版） 2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題13.7等邊三角形（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】等邊三角形定義

三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【要點提示】由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．【知識點二】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.【知識點三】等邊三角形的判定

（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識點四】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【要點提示】這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用等邊三角形性質(zhì)求值與證明【例1】（23-24八年級下·河南鄭州·期末）如圖所示，是等邊三角形，點是的中點，延長到，使．（1）求的度數(shù)？（2）用尺規(guī)作圖的方法，過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）求證：．【變式1】（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，是等邊的邊上的中線，以點D為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于E，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·廣東清遠·一模）如圖，等邊三角形和等邊三角形的邊長都是，點，，在同一條直線上，點在線段上，則的最小值為．【題型2】利用等邊三角形判定求值與證明【例2】（21-22八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，的垂直平分線分別交和于點，．（1）求證：；（2）連接，請判斷的形狀，并說明理由．【變式1】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習）在中，，，則是（

）A．銳角且不等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式2】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）在中，，，點在邊上，連接．給出下列四種說法：①當時，一定為等邊三角形；②當時，一定為等邊三角形；③當是等腰三角形時，一定為等邊三角形；④當是等腰三角形時，一定為等腰三角形．其中正確的說法是．（填序號）【題型3】利用含30度的直角三角形邊的關(guān)系求值與證明【例3】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在等邊中，點D為上一點，．（1）求證：；（2）延長交于點F，連接，若，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式1】（22-23八年級下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，是高，，，則的長是（

）A．12 B．8 C．6 D．【變式2】（22-23八年級下·廣東佛山·期中）如圖，在中，，，以為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點再分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點連接并延長，交于點有下列說法：①線段是的平分線；②；③點到邊的距離與的長相等；④．其中正確結(jié)論的序號是．【題型4】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求值與證明【例4】（22-23八年級上·廣東湛江·期中）已知：如圖，、都是等邊三角形，、相交于點，點、分別是線段、的中點．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）求證：是等邊三角形．【變式1】（23-24七年級下·山東淄博·期末）如圖，，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點A，D，再以點A為圓心，長為半徑畫弧，與弧交于點B，連接、，的延長線交于點C，若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（22-23八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在中，，，是內(nèi)的兩點，平分，．（1）°；（2）若，，則的長為cm．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【例2】（2020·新疆·中考真題）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值為．2、拓展延伸【例1】（22-23八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在等邊中，點E為邊上任意一點，點D在邊的延長線上，且．（1）當點E為的中點時（如圖1），則有__________（填“>”“<”或“=”）；（2）如圖2，若點E為上任意一點，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）在等邊三角形中，點E在直線上，點D在直線上，且，若的邊長為2，，直接寫出的長．【例2】（23-24八年級上·