2025版高考數(shù)學一輪復習練案67第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第七講離散型隨機變量的分布列期望與方差含解析新人教版

第七講離散型隨機變量的分布列、期望與方差A組基礎鞏固一、單選題1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，隨意抽取2個球，設2個球號碼之和為X，則X的全部可能取值個數(shù)為(C)A．25 B．10C．7 D．6[解析]X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．設隨機變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1,2)時，F(xiàn)(x)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．(2024·江西贛州模擬)一袋中裝有5個球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取出3球，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(C)A．Ξ123Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)B．ξ1234Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)C．ξ123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)D.ξ123Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)[解析]隨機變量ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故選C．4．(2024·孝感模擬)已知袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，其中取出1個白球計1分，取出1個紅球計2分，記X為取出3個球的總分值，則E(X)＝(B)A．eq\f(18,5) B．eq\f(21,5)C．4 D．eq\f(24,5)[解析]由題意知，X的全部可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).5．(2024·廣東深圳二模)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為a，方差為b，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為(D)A．2a,2b B．2a,4bC．2a＋3,2b D．2a＋3,4b6．(2024·柯城區(qū)模擬)已知某7個數(shù)的期望為6，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)6，此時這8個數(shù)的期望為記為E(X)，方差記為D(X)，則(B)A．E(X)＝6，D(X)>4 B．E(X)＝6，D(X)<4C．E(X)<6，D(X)>4 D．E(X)<6，D(X)<4[解析]E(X)＝eq\f(1,8)(7×6＋6)＝6，D(X)＝eq\f(1,8)[7×4＋(6－6)2]＝eq\f(7,2)<4.故選B.7．(2024·山東濰坊模擬)已知甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準件，X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時間，X，Y的分布列分別是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此判定(A)A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法判定[解析]E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙質(zhì)量好．8．(2024·貴州遵義聯(lián)考)2024年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將實行“3＋1＋2”模式即語文、數(shù)學、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學、生物中選擇2門，一名同學隨機選擇3門功課，則該同學選到歷史、地理兩門功課的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,2)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故選A.二、多選題9．(2024·福建福州質(zhì)檢)一盒中有8個乒乓球，其中6個未運用過，2個已運用過．現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已運用過的球的個數(shù)為X，則下列結論正確的是(ACD)A．X的全部可能取值是3,4,5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為eq\f(3,28)D．X的數(shù)學期望是eq\f(17,4)[解析]記未運用過的乒乓球為A，已運用過的為B，任取3個球的全部可能是：1A2B,2A1B,3A；A運用后成為B，故X的全部可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)，∴X最有可能的取值是4，E(X)＝3×eq\f(3,28)＋4×eq\f(30,56)＋5×eq\f(20,56)＝eq\f(17,4).故選ACD.10．(2024·決勝高考名校溝通卷)設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，E(ξ)，D(ξ)分別為隨機變量ξ的均值與方差，則下列結論正確的是(ABC)A．P(0<ξ<3.5)＝eq\f(5,6) B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6[解析]由分布列的性質(zhì)可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)，A選項正確；E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B選項正確；D(ξ)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故C選項正確，D選項不正確．故選ABC．三、填空題11．(2024·吉林質(zhì)檢)設隨機變量ξ的概率分布列為ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2,3)p則ξ的數(shù)學期望的最小值是eq\f(1,2).[解析]E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2,3)p≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴當p＝eq\f(3,2)時，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．(2024·南寧二模改編)設隨機變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).[解析]∵eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).13．(2024·泉州模擬)在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，登記它的顏色，然后放回，再取一球，又登記它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為.[解析]Η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)14.袋中裝有3個紅球2個白球，從中隨機取球，每次一個，直到取得紅球為止，則取球次數(shù)ξ的數(shù)學期望為eq\f(3,2).[解析]由題意得ξ的全部可能值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).四、解答題15．(2024·湖北模擬)隨著網(wǎng)絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化．某調(diào)查機構隨機抽取10名購物者進行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于網(wǎng)購，2名傾向于實體店購物，5名女性購物者中有2名傾向于網(wǎng)購，3名傾向于實體店購物．(1)若從這10名購物者中隨機抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名傾向于實體店購物的概率；(2)若從這10名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．[解析](1)設“隨機抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名傾向于實體店購物”為事務A，則eq\x\to(A)表示“隨機抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于網(wǎng)購”，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)×C\o\al(1,5))＝eq\f(19,25).(2)X全部可能的取值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，則P(X＝0)＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(1,120).所以X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).16．(2024·重慶巴蜀中學月考)為慶祝新中國成立七十周年，巴蜀中學將實行“歌頌祖國，喜迎國慶”歌詠競賽活動，《歌頌祖國》《精忠報國》《我和我的祖國》等一系列歌曲深受同學們的青睞，高二某班就是否選擇《精忠報國》作為本班參賽歌曲進行投票表決，投票狀況如下表.小組12345678贊成人數(shù)45665643總人數(shù)77887766(1)若從第1組和第8組的同學中各隨機選取兩人進行調(diào)查，求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報國》作為本班參賽曲目的概率；(2)若從第五組和第七組的同學中各隨機選取2人進行調(diào)查，選取的4人中不贊成《精忠報國》作為本班參賽曲目的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．[解析](1)P1＝1－eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(27,35).(2)各小組人員狀況：小組12345678贊成人數(shù)45665643不贊成人數(shù)32222123總人數(shù)77887766X的可能取值為0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,4),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(32,105)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(2,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,315)，隨機變量X的分布列為X01234Peq\f(4,21)eq\f(4,9)eq\f(32,105)eq\f(2,35)eq\f(1,315)E(X)＝0＋eq\f(4,9)＋2×eq\f(32,105)＋3×eq\f(2,35)＋4×eq\f(1,315)＝eq\f(26,21).B組實力提升1．(2024·河北“五個一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,4，m，n出現(xiàn)的頻率分別為0.1,0.1,0.4,0.4，且樣本平均值為2.5，則m＋n＝(A)A．5 B．6C．7 D．8[解析]由題意知0.1×1＋0.1×4＋0.4m＋0.4n＝2.5，可得m＋n＝5.2．(2024·西安質(zhì)檢)已知隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為(B)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]由題意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．(2024·廣西柳州模擬)下圖為四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，則對應樣本的標準差最大的是(D)[解析]由圖可知D中數(shù)據(jù)最離散，故選D.4．設離散型隨機變量X的分布列為X－10123P0.20.10.10.3m則|X－1|的分布列為.[解析]∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，|X－1|的取值為0,1,2，P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，∴|X－1|的分布列為|X－1|012P0.10.40.55.(2024·湖北隨州調(diào)研)某高校為了調(diào)查該校學生性別與身高的關系，對該校1000名學生根據(jù)101的比例進行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：男生身高頻數(shù)分布表男生身高(單位：厘米)[160，165)[165，170)[170，175)[175，180)[180，185)[185，190]頻數(shù)710191842女生身高頻數(shù)分布表女生身高(單位：厘米)[150，155)[155，160)[160，