2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)增分強(qiáng)化練二十空間位置關(guān)系的判斷與證明理含解析

PAGE增分強(qiáng)化練(二十)一、選擇題1．已知直線(xiàn)l⊥平面α，直線(xiàn)m∥平面β，若α⊥β，則下列結(jié)論正確的是()A．l∥β或l?β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m解析：當(dāng)直線(xiàn)l⊥平面α，α⊥β時(shí)，假設(shè)l∩β＝A，過(guò)A在平面β內(nèi)作a⊥l，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知：a⊥α，這樣過(guò)一點(diǎn)A有兩條直線(xiàn)a，l與平面α垂直，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直相沖突，故假設(shè)不成立，所以l∥β或l?β，故本題選A.答案：A2．設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若m⊥α，m⊥n，則n⊥αC．若m⊥α，m∥n，則n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，則m∥β解析：設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若m∥α，m∥β，則α與β相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故B錯(cuò)誤；在C中，若m⊥α，m∥n，則由線(xiàn)面垂直的判定定理得n⊥α，故C正確；在D中，若α⊥β，m⊥α，則m∥β或m?β，故D錯(cuò)誤．故選C.答案：C3．(2024·蚌埠模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1＝2，E，F(xiàn)分別在AB，BCA．直線(xiàn)AD與A1C1所成的角為eq\f(π,4)B．當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，平面A1D1E⊥平面B1C1C．當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，EF⊥BD1D．當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，BD1⊥平面B1EF解析：對(duì)于A選項(xiàng)，將A1C1平移到AC如圖所示，由于四邊形ABCD為正方形，故AD，AC所成角為eq\f(π,4)，也即AD，A1C1所成角為eq\f(π,4)，故A選項(xiàng)正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由于A1E＝B1E＝eq\r(2)，A1B1＝2，滿(mǎn)意勾股定理，故A1E⊥B1E，而A1E⊥B1C1，故A1E⊥平面B1C1E，所以平面A1D1E⊥平面B1C1E，故B選項(xiàng)正確．對(duì)于C選項(xiàng)，由于EF∥AC，故EF⊥BD，EF⊥BB1，由此證得EF⊥平面BDD1B1，故EF⊥BD1，故C選項(xiàng)正確．對(duì)于D選項(xiàng)，雖然EF⊥BD1，但是BD1與B1E，B1F不垂直，故D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤．綜上所述，本小題選D.答案：D4．(2024·咸陽(yáng)模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、B1C1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A1E、A.eq\f(\r(10),5) B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(10),2) D.eq\f(4,5)解析：取C1D1的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G(圖略)，因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1，且E，G分別是AB，C1D1的中點(diǎn)，所以A1E∥CG，所以∠FCG即為異面直線(xiàn)A1E、FC所成角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，則FC＝CG＝eq\r(5)，F(xiàn)G＝eq\r(2)，在△FCG中由余弦定理得cos∠FCG＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，所以異面直線(xiàn)A1E、FC所成角的余弦值為eq\f(4,5)，故選D.答案：D5．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1、BC1A．EF⊥BB1 B．EF⊥平面BCC1B1C．EF∥平面D1BC D．EF∥平面ACC1A解析：連接B1C交BC1于F，由于四邊形BCC1B1是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)平分，故F是B1C的中點(diǎn)．因?yàn)镋是AB1的中點(diǎn)，所以EF是△B1AC的中位線(xiàn)，故EF∥AC，所以EF∥平面ACC1A1.故選D.答案：D6．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，將△ADE，ΔBEF，△CDF分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，若四面體A′-EDF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．5π B．6πC．8π D．11π解析：由題意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF.三棱錐的底面A′EF擴(kuò)展為邊長(zhǎng)為1的正方形，然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，正四棱柱的體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，直徑為eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).∴球的半徑為eq\f(\r(6),2)，∴球的表面積為4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝6π.故選B.答案：B二、填空題7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1則異面直線(xiàn)BA1與AC1解析：延長(zhǎng)CA到D(圖略)，使得AD＝AC，則ADA1C1為平行四邊形，∠DA1B就是異面直線(xiàn)BA1與AC1所成的角，又A1D＝A1B＝DB＝eq\r(2)AB，則△A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B＝60°.答案：60°8．(2024·桂林、崇左模擬)在大小為75°的二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)M到兩個(gè)半平面的距離分別為1和eq\r(2)，則點(diǎn)M到棱l的距離等于________．解析：由題意，設(shè)垂足分別為A，B，則在△MAB中，MA＝1，MB＝eq\r(2)，∠AMB＝105°，∴AB2＝1＋2－2×1×eq\r(2)×cos∠AMB＝2＋eq\r(3)，∴AB＝eq\r(2＋\r(3)).設(shè)M到棱的距離為l，則l＝eq\f(AB,sin105°)＝eq\f(\r(2＋\r(3)),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝2.答案：2三、解答題9．(2024·汕頭模擬)如圖，等邊△PAC所在平面與梯形ABCD所在平面相互垂直，且有AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2，BC＝4.(1)證明：AB⊥平面PAC；(2)求點(diǎn)D到平面PAB的距離．解析：(1)證明：取BC中點(diǎn)M，連接AM，則四邊形AMCD為菱形，即有AM＝MC＝eq\f(1,2)BC,所以AB⊥AC，又AB?平面ABCD，平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，∴AB⊥平面PAC.(2)由(1)可得PA＝AC＝2eq\r(3)，所以∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，取AC中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AC，PO＝3，又PO?平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC∴PO⊥平面ABCD；所以VD-PAB＝VP-ABD＝eq\f(1,3)SABD·PO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×sin120°×3＝eq\r(3)，由(1)有AB⊥平面PAC，得AB⊥PA，∴SΔPAB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為d，由VD-PAB＝eq\f(1,3)SΔPAB·d.∴d＝eq\f(3,2).10.如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于A、B的點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面垂直于該半圓所在的平面，且AB＝2AD＝2.(1)求證：EA⊥EC；(2)設(shè)平面ECD與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為F.①試證：EF∥AB；②若EF＝1，求三棱錐E-ADF的體積．解析：(1)證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ABE.又∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE.∵E在以AB為直徑的半圓上，∴AE⊥BE，又∵BE∩BC＝B，BC、BE?平面BCE，∴AE⊥平面BCE.又∵CE?平面BCE，∴EA⊥EC.(2)①證明：∵AB∥CD，AB?平面CED，CD?平面CED，∴AB∥平面CED.又∵AB?平面ABE，平面ABE∩平面CED＝EF，∴AB∥EF.②取AB中點(diǎn)O，EF的中點(diǎn)O′，(圖略)在Rt△OO′F中，OF＝1，O′F＝eq\f(1,2)，∴OO′＝eq\f(\r(3),2).由(1)已證得BC⊥平面ABE，又已知AD∥BC，∴AD⊥平面ABE.故VE-ADF＝VD-AEF＝eq\f(1,3)·S△AEF·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·EF·OO′·AD＝eq\f(\r(3),12).11．如圖1，在△ABC中，C＝90°，AC＝2BC＝4，E，F(xiàn)分別是AC與AB的中點(diǎn)，將△AEF沿EF折起，連接AC與AB得到四棱錐A-BCEF(如圖2)，G為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．(1)求證：FG∥平面ACE；(2)當(dāng)四棱錐A-BCEF體積最大時(shí)，求F與平面ABC的距離．解析：(1)證明：取AC的中點(diǎn)H，連接EH，GH，由于G是AB的中點(diǎn)，∴GH∥BC，且GH＝eq\f(1,2)BC，又E，F(xiàn)分別為圖1中AC與AB的中點(diǎn)，∴FE∥BC，且FE＝eq\f(1,2)BC，∴FE∥GH，F(xiàn)E＝GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴FG∥EH，又FG?平面ACE，EH?