2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點(diǎn)突破專題五解析幾何第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)含解析

PAGE第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)高考定位1.圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，多以選擇題、填空題或解答題的第一問的形式命題.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是命題的熱點(diǎn)，尤其是有關(guān)弦長計(jì)算及存在性問題，運(yùn)算量大，實(shí)力要求高，突出方程思想、轉(zhuǎn)化、化歸與分類探討思想方法的考查.真題感悟1.(2024·全國Ⅰ卷)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A.2 B.3 C.6 D.9解析設(shè)A(x，y)，由拋物線的定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為12，即x＋eq\f(p,2)＝12.又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，即x＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，解得p＝6.故選C.答案C2.(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) C.(1，0) D.(2，0)解析將x＝2與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨設(shè)D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以拋物線C的方程為y2＝2x.其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故選B.答案B3.(2024·全國Ⅰ卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2) B.3 C.eq\f(5,2) D.2解析法一由題知a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，如圖，因?yàn)閨OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，故PF1⊥PF2，則|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由雙曲線的定義知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝3.故選B.法二由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且|F1F2|＝2eq\r(1＋3)＝4.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)－\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，,\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝2，))解得|y0|＝eq\f(3,2).所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,2)＝3.故選B.答案B4.(2024·全國Ⅱ卷)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn).若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.解(1)由已知可設(shè)C2的方程為y2＝4cx，其中c＝eq\r(a2－b2).不妨設(shè)A，C在第一象限，由題設(shè)得A，B的縱坐標(biāo)分別為eq\f(b2,a)，－eq\f(b2,a)；C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，|CD|＝4c.由|CD|＝eq\f(4,3)|AB|得4c＝eq\f(8b2,3a)，即3×eq\f(c,a)＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2).解得eq\f(c,a)＝－2(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以C1的離心率為eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，故C1：eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.設(shè)M(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3c2)＝1，yeq\o\al(2,0)＝4cx0，故eq\f(xeq\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(4x0,3c)＝1.①因?yàn)镃2的準(zhǔn)線為x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，又|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得eq\f(（5－c）2,4c2)＋eq\f(4（5－c）,3c)＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.考點(diǎn)整合1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).溫馨提示應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤.2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(2)雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)①雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0).②雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c).(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程①拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2).②拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線方程y＝－eq\f(p,2).4.弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交的弦設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入.即當(dāng)斜率為k，直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).(2)過拋物線焦點(diǎn)的弦拋物線y2＝2px(p>0)過焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】(1)(2024·浙江卷)已知點(diǎn)O(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).設(shè)點(diǎn)P滿意|PA|－|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖象上的點(diǎn)，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7) D.eq\r(10)(2)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1解析(1)由|PA|－|PB|＝2＜|AB|＝4，得點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支.又a＝1，c＝2，知b2＝c2－a2＝3.故點(diǎn)P的軌跡方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)①，由于y＝3eq\r(4－x2)②，聯(lián)立①②，得x2＝eq\f(13,4)，y2＝eq\f(27,4)，故|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10).(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓定義，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝|F1A|＝a，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).如圖，不妨設(shè)A(0，－b)，依題意，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由點(diǎn)B在橢圓上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案(1)D(2)B探究提高1.兩題求解的關(guān)鍵在于精確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，另外留意焦點(diǎn)在不同的坐標(biāo)軸上，橢圓、雙曲線、拋物線方程各有不同的表示形式.2.求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”.所謂“定型”，就是指確定類型，所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值，最終代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【訓(xùn)練1】(1)(2024·天津卷)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D.x2－y2＝1(2)(2024·長郡中學(xué)檢測)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0，6eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＞\f(p,2)))是拋物線上一點(diǎn)，以M為圓心的圓與直線x＝eq\f(p,2)交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，若sin∠MFA＝eq\f(5,7)，則此拋物線的方程為________.解析(1)由y2＝4x，知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，則過點(diǎn)(1，0)和點(diǎn)(0，b)的直線方程為x＋eq\f(y,b)＝1.易知eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0.由l與一條漸近線平行，與一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1.故雙曲線C的方程為x2－y2＝1.(2)如圖所示，過M點(diǎn)作CM⊥AF，垂足為C，交準(zhǔn)線于D，∴sin∠MFA＝eq\f(5,7)＝eq\f(|MC|,|MF|).由拋物線定義|MF|＝|MD|＝x0＋eq\f(p,2)，∴eq\f(|MC|,|MF|)＝eq\f(x0－\f(p,2),x0＋\f(p,2))＝eq\f(5,7)，得x0＝3p.∵點(diǎn)M(x0，6eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＞\f(p,2)))是拋物線上一點(diǎn)，∴(6eq\r(6))2＝2px0，36×6＝6p2，∴p＝6，∴y2＝12x.答案(1)D(2)y2＝12x熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例2】(1)(2024·全國Ⅰ卷)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為________.(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則C的離心率為________.解析(1)設(shè)B(c，yB)，因?yàn)锽為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上的點(diǎn)，所以eq\f(c2,a2)－eq\f(yeq\o\al(2,B),b2)＝1，所以yeq\o\al(2,B)＝eq\f(b4,a2)，則yB＝eq\f(b2,a).因?yàn)锳B的斜率為3，所以eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，則b2＝3ac－3a2.所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a.所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.(2)因?yàn)閑q\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如圖.所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因?yàn)閑q\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA.因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝eq\f(1,tan∠AOF1)＝eq\f(a,b)，tan∠BOF2＝eq\f(b,a).因?yàn)閠an∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))\s\up12(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c.所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案(1)2(2)2探究提高1.第(1)題的易錯點(diǎn)有兩處：一是忽視題眼“AB的斜率為3”，由yeq\o\al(2,B)＝eq\f(b4,a2)得yB＝±eq\f(b2,a)；二是將雙曲線中a，b，c的關(guān)系式與橢圓中a，b，c的關(guān)系式搞混.2.確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后用a，c代換b，進(jìn)而求eq\f(c,a)的值.3.求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到.【訓(xùn)練2】(1)(多選題)(2024·青島統(tǒng)測)已知橢圓Ω：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則下列結(jié)論正確的是()A.若a＝2b，則橢圓Ω的離心率為eq\f(\r(2),2)B.若橢圓Ω的離心率為eq\f(1,2)，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)C.若點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓Ω的左、右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F1且與橢圓Ω交于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為4aD.若點(diǎn)A1，A2分別為橢圓Ω的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓Ω上異于點(diǎn)A1，A2的隨意一點(diǎn)，則直線PA1，PA2的斜率之積為－eq\f(b2,a2)(2)(多選題)(2024·德州質(zhì)檢)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是()A.雙曲線C的離心率為eq\f(\r(6),2)B.雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1與雙曲線C的漸近線相同C.若PO⊥PF，則△PFO的面積為eq\r(2)D.|PF|的最小值為2解析(1)若a＝2b，則c＝eq\r(3)b，所以e＝eq\f(\r(3),2)，A不正確；若e＝eq\f(1,2)，則a＝2c，b＝eq\r(3)c，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，B正確；依據(jù)橢圓的定義易知C正確；設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直線PA1，PA2的斜率之積是eq\f(y0,x0＋a)·eq\f(y0,x0－a)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),a2))),xeq\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，D正確.故選BCD.(2)對于A，因?yàn)閍＝2，b＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，所以雙曲線C的離心率為eq\f(\r(6),2)，所以A正確；對于B，它們的漸近線都是直線y＝±eq\f(\r(2),2)x，所以B正確；對于C，結(jié)合PO⊥PF，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，不妨設(shè)點(diǎn)P在漸近線y＝eq\f(\r(2),2)x上，則直線PF的方程為y－0＝－eq\r(2)(x－eq\r(6))，即y＝－eq\r(2)(x－eq\r(6))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)（x－\r(6)），,y＝\f(\r(2),2)x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(6),3)，,y＝\f(2\r(3),3)，))所以點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，\f(2\r(3),3)))，所以△PFO的面積S＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\r(2)，所以C正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)F(eq\r(6)，0)，雙曲線C的一條漸近線為直線y＝eq\f(\r(2),2)x，所以|PF|的最小值就是點(diǎn)F到漸近線的距離，為eq\r(2)，所以D錯誤.故選ABC.答案(1)BCD(2)ABC熱點(diǎn)三有關(guān)弦的中點(diǎn)、弦長問題【例3】(2024·全國Ⅰ卷)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解設(shè)直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由題設(shè)得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，即t<eq\f(1,2)，則x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9).從而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)(滿意Δ>0).所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2.②由①②聯(lián)立，得y1＝3，且y2＝－1.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\f(4\r(13),3).探究提高1.涉及弦長的問題，應(yīng)嫻熟地利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|，設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解，以簡化運(yùn)算，當(dāng)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)易求時也可以干脆用|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)求解.2.對于弦的中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系時，要留意運(yùn)用條件Δ>0，在用“點(diǎn)差法”時，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.【訓(xùn)練3】(2024·衡水質(zhì)檢)已知橢圓C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)若△F1AB的面積為eq\f(20\r(3),11)，求直線l的方程；(2)若eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2A,\s\up6(→))，求|AB|.解(1)當(dāng)直線l斜率為0時，不滿意題意.當(dāng)直線l斜率不為0時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，代入橢圓C的方程消去x，得(5m2＋6)y2＋10my－25＝0，Δ＞0?m∈R，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝eq\f(－10m,5m2＋6)，①y1y2＝eq\f(－25,5m2＋6)，②則S△F1AB＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(\f(100m2,（5m2＋6）2)－4×\f(（－25）,5m2＋6))＝eq\f(20\r(3),11).整理得50m4－m2－49＝0，解得m2＝1或m2＝－eq\f(49,50)(舍去)，故直線l的方程為x±y－1＝0.(2)若eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2A,\s\up6(→))，則(1－x2，－y2)＝2(x1－1，y1)，所以y2＝－2y1.代入上式①②得y1＝eq\f(10m,5m2＋6)，2yeq\o\al(2,1)＝eq\f(25,5m2＋6)，消去y1，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10m,5m2＋6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,5m2＋6)，解得m＝±eq\r(2)，所以|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(3)|y1－y2|＝3eq\r(3)|y1|＝3eq\r(3)×eq\f(10\r(2),5×2＋6)＝eq\f(15\r(6),8).熱點(diǎn)四與直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的綜合問題【例4】(2024·北京卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1過點(diǎn)A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)B(－4，0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線x＝－4于點(diǎn)P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值.解(1)由橢圓過點(diǎn)A(－2，－1)，得eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.又a＝2b，∴eq\f(4,4b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝2，∴a2＝4b2＝8，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，明顯不合題意.設(shè)直線l：y＝k(x＋4)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋4），,x2＋4y2＝8))得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.由Δ＞0，得－eq\f(1,2)＜k＜eq\f(1,2).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－32k2,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(64k2－8,4k2＋1).又∵直線AM：y＋1＝eq\f(y1＋1,x1＋2)(x＋2)，令x＝－4，得yP＝eq\f(－2（y1＋1）,x1＋2)－1.將y1＝k(x1＋4)代入，得yP＝eq\f(－（2k＋1）（x1＋4）,x1＋2).同理yQ＝eq\f(－（2k＋1）（x2＋4）,x2＋2).∴yP＋yQ＝－(2k＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋4,x1＋2)＋\f(x2＋4,x2＋2)))＝－(2k＋1)·eq\f(2x1x2＋6（x1＋x2）＋16,（x1＋2）（x2＋2）)＝－(2k＋1)·eq\f(\f(2（64k2－8）,4k2＋1)＋\f(6×（－32k2）,4k2＋1)＋16,（x1＋2）（x2＋2）)＝－(2k＋1)·eq\f(128k2－16－192k2＋64k2＋16,（4k2＋1）（x1＋2）（x2＋2）)＝0.∴|PB|＝|BQ|，∴eq\f(|PB|,|BQ|)＝1.探究提高1.求解此類問題往往要設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.2.推斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)時，可干脆求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需留意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.【訓(xùn)練4】(2024·天津卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個頂點(diǎn)為A(0，－3)，右焦點(diǎn)為F，且|OA|＝|OF|，其中O為原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)C滿意3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，點(diǎn)B在橢圓上(B異于橢圓的頂點(diǎn))，直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.解(1)由已知得b＝3.記半焦距為c，由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.由a2＝b2＋c2，得a2＝18.所以橢圓的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因?yàn)橹本€AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以AB⊥CP.依題意，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx－3.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(12k,2k2＋1).依題意，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，故直線CP的斜率kCP＝eq\f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq\f(3,2k2－6k＋1).又因?yàn)锳B⊥CP，所以k·eq\f(3,2k2－6k＋1)＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝1.所以，直線AB的方程為y＝eq\f(1,2)x－3或y＝x－3.即直線AB的方程為x－2y－6＝0或x－y－3＝0.A級鞏固提升一、選擇題1.(2024·北京卷)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線()A.經(jīng)過點(diǎn)O B.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OP D.垂直于直線OP解析如圖所示，連接PF，則|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分線過點(diǎn)P.故選B.答案B2.(多選題)(2024·新高考山東、海南卷)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD.若m＝0，n＞0，則C是兩條直線解析對于A，當(dāng)m＞n＞0時，有eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，方程化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，由m＝n＞0，方程變形為x2＋y2＝eq\f(1,n)，該方程表示半徑為eq\r(\f(1,n))的圓，B錯誤；對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))x，C正確；對于D，當(dāng)m＝0，n＞0時，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，D正確.答案ACD3.(多選題)(2024·青島一模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是()A.p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|＝p，由直線l的斜率為eq\r(3)，可得其傾斜角為60°.∵AE∥x軸，∴∠EAF＝60°.由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正確.∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F為AD的中點(diǎn)，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，B正確.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正確.由C選項(xiàng)知|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，D錯誤.故選ABC.答案ABC4.(2024·東北三省三校聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且有eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，若點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(1,4)|F1F2|，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析因?yàn)閑q\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以PF1⊥PF2，則∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.由雙曲線定義，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,4)|F1F2|·|F1F2|＝c2.代入①式，得2(c2－a2)＝c2，則c2＝2a2，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(2).答案A5.(2024·成都診斷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))解析依題設(shè)x0≥0時，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的上(下)頂點(diǎn)時，∠PF1F2最大.若在橢圓C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，則90°＞(∠PF1F2)max≥30°，∴tan(∠PF1F2)max≥tan30°＝eq\f(\r(3),3)，則eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即b≥eq\f(\r(3),3)c.又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))≤eq\r(\f(3,4))＝eq\f(\r(3),2).故橢圓離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).答案B二、填空題6.(2024·北京卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是__________.解析由eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0).雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(3),\r(6))x，即x－eq\r(2)y＝0，所以焦點(diǎn)(3，0)到漸近線的距離為d＝eq\f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq\r(3).答案(3，0)eq\r(3)7.(2024·全國Ⅲ卷改編)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\r(5).P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝________.解析法一設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，從而c2＝a2＋4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，從而a＝1.法二由題意得，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan45°)＝4，得b2＝4，又e2＝eq\f(c2,a2)＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.答案18.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________.解析不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，則|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2eq\r(36－20)＝8，因?yàn)椤鱉F1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2為底邊的等腰三角形.故點(diǎn)M在以F1為圓心、焦距為半徑長的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以聯(lián)立方程可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，eq\r(15)).答案(3，eq\r(15))三、解答題9.(2024·湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)定義：由橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的一個端點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.假如兩個橢圓的“特征三角形”是相像的，那么稱這兩個橢圓是“相像橢圓”，并將“特征三角形”的相像比稱為橢圓的相像比.已知橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，橢圓C2與C1是“相像橢圓”，且橢圓C2的短半軸長為b.(1)寫出橢圓C2的方程；(2)若在橢圓C2上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y＝x＋1對稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解(1)依題意，設(shè)橢圓C2的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則由橢圓C2與C1是“相像橢圓”，可得eq\f(4,a2)＝eq\f(1,b2)，即a2＝4b2.所以橢圓C2的方程為eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1(b＞0).(2)設(shè)直線MN的方程為y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點(diǎn)為(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋t，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4t,5)，y0＝eq\f(t,5).由題意知線段MN的中點(diǎn)在直線y＝x＋1上，所以eq\f(t,5)＝eq\f(4t,5)＋1，解得t＝－eq\f(5,3)，則直線MN的方程為y＝－x－eq\f(5,3)，將t＝－eq\f(5,3)代入①式，解得b＞eq\f(\r(5),3).所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，＋∞)).10.(2024·全國Ⅲ卷)已知曲線C：y＝eq\f(x2,2)，D為直線y＝－eq\f(1,2)上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.(1)證明設(shè)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，則xeq\o\al(2,1)＝2y1.因?yàn)閥′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.所以直線AB過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)解由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1).設(shè)d1，d