證明（學(xué)生版+解析）-2022-2023學(xué)年浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義

第3課證明

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解證明的含義，理解證明的必要性及一般格式

2.掌握三角形外角的性質(zhì)

視知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01證明

1.證明：要判定一個(gè)命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實(shí)、定理（包括

推論）一步一步推出結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做證明

2.幾何證明的一般：

（1）按題意畫出圖形.

（2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論.

⑶在“證明”中寫出推理過程.

注：（1）證明過程中的每一步推理都要有依據(jù)，依據(jù)作為推理的理由，可以寫在每一步后的括號(hào)內(nèi)；

（2）在解決幾何問題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線，添輔助線的過程要寫入證明中.輔助線通常畫成虛線

知識(shí)點(diǎn)02三角形外角的性質(zhì)

L定義:三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角

2.特點(diǎn)：

C1）外角的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；

（2）外角的一條邊是三角形的一邊；

（3）外角的另一條邊是三角形某條邊的

3.性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

能力拓展

考點(diǎn)01證明

【典例1］補(bǔ)全解題過程.

己知：如圖，BZ）_LAC于點(diǎn)。，EF_LAC于點(diǎn)RN1=N2.

求證：GD//BC.

證明：'：BD±AC,EFLAC,

/BDC=/EFC=90°.

C.BD//EF（）（填推理依據(jù)）.

/.Z2=Z（）（填推理依據(jù)）.

又：N1=N2,

.\Z1=Z.

C.GD//BC（）（填推理依據(jù)）.

【即學(xué)即練1】如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZA=ZC,延長(zhǎng)至E,DE與相交于尸.求證:

ZADF^ZE.（注意：證明過程要注明理由）

考點(diǎn)02三角形外角的性質(zhì)

【典例2】如圖，△ABC中，NA=56°,8。平分/ABC,CD平分△ABC的外角/ACE,BD、CD交于點(diǎn)

D,則NO的度數(shù)（）

A

A.28°B.56°C.30°D.26°

【即學(xué)即練2］如圖，ZABC=ZACB,AD,5。分別平分3c的外角N￡AC,內(nèi)角NA3C,求證：AD//

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，在△A3C中，ZB=40°,ZC=20°,延長(zhǎng)3A到。，則NC4。的度數(shù)為（

2.在△ABC中，ZB=45°,NC的外角等于100°,則NA的度數(shù)是（

A.65°B.55°C.54°D.35°

3.如圖，直線4、b被直線C所截，a//b,N2=35°,則N1的度數(shù)是（)

A.135°B.140°C.145°D.150°

4.如圖，下列判斷中正確的是（）

F

4

E

A.如果Nl+N5=180°,那么AB〃CDB.如果/1=N5,那么AB〃CD

C.如果N3+/4=180°,那么A8〃C。D.如果/2=/4,那么A8〃C。

5.如圖，以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.若/EAD=NB,則A￡?〃BCB.若/加。+/。=180°,則A8〃C。

C.若N8AC=NOCA,貝ijAO〃C8D.若ND=/EAD,則48〃CO

6.如圖，在AABC中，ZB=50°,ZC=70°，直線。E經(jīng)過點(diǎn)A,/D48=55°,則/E4c的度數(shù)是（

C.65°D.70°

7.如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,A。平分NBAC交BC邊于點(diǎn)。，若NC=26°,則NAOB的度

數(shù)是（）

A.61°B.64°C.71°D.109°

8.如圖，AB//CD,BC//AD,若/EBC=72°30',那么/。的度數(shù)是

9.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).

如圖，已知NA=/3,DELBC,ABA.BC.求證。E平分/CZJ8.

證明：DELBC,(已知)

：.ZDEC=ZABC=90°(垂直的定義)

J.DE//AB()

；./2=/3()

Zl=(兩直線平行，同位角相等)

又：NA=N3(已知)

______________()

:.DE平分/CDB

題組B能力提升練

10.如圖，"是△ABC的外角NACQ的平分線，若N8=30°,ZACE=60°,則NA=()

A.40°B.100°C.90°D.80°

11.如圖，點(diǎn)。、E分別在線段5C、AC上，連接A。、BE.若NA=35°，ZB=30°，ZC=45°，則N

AFB的大小為（）

A.75°B.80°C.100°D.110°

其中說法不正確的是（)

D.Z4+Z5=180°

13.如圖，AB//CD.CELAD,垂足為E,若NC=50°,則NA的度數(shù)為（)

CD

A.40°B.50°C.60°D.90°

14.如圖，直線直線c分別交Z?于點(diǎn)A,。，點(diǎn)5在直線b上，ABLAC,若N1=130°則N2

的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

15.三角形的一個(gè)外角是100°,則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角（鈍角）是

A

16.如圖，AB//FD,Z1=ZB.

（1）求證：EF//BC；

(2)若尸D平分NEFC,ZCDF^48°,求NA.

題組c培優(yōu)拔尖練

17.如圖,已知若NB=120°,ZD=20°,那么NOCE的度數(shù)為（）

C.100°D.110°

18.小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若NA=60°,ZB=40°,ZC=30°,則N0+NE等于()

C.120°D.130°

C、。在直線b上，_aABLBC,5。平分NA3C,若Nl=32

,則N2的度數(shù)是（）

A

a

A.13°B.15°C.14°D.16°

20.已知AB〃CD,AB和CO都不經(jīng)過點(diǎn)P,探索NP與/A,/C的數(shù)量關(guān)系,

Cl)在圖1中,小明發(fā)現(xiàn)：ZAPC^ZA+ZC.

小明是這樣證明的：過點(diǎn)尸作

NAPQ=ZA

"JPQ//AB,AB//CD.

：.PQ//CD(

：.ZCPQ=ZC

：.ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC

即NAPC=ZA+ZC

(2)應(yīng)用：在圖2中,若NA=120°,NC=140。，則NAPC的度數(shù)為

21.【概念認(rèn)識(shí)】

如圖①，在/ABC中,若/ABD=/DBE=/EBC,貝!]BD,BE叫做/ABC的“三分線”.其中，BD

是“鄰BA三分線”，BE是“鄰2C三分線”.

【問題解決】

(1)如圖②，在△ABC中，ZA=70°,ZABC=45°,若NABC的鄰BA三分線3。交AC于點(diǎn)。，則

ZBDC的度數(shù)為

(2)如圖③，在△ABC中，BP,CP分別是NABC鄰8C三分線和NAC8鄰CB三分線，且NBPC=135

°,求/A的度數(shù);

【延伸推廣】

(3)在△ABC中，/AC。是△ABC的外角，的鄰BC三分線所在的直線與NACO的三分線所在的

直線交于點(diǎn)P.若NA=M,NB=60：直接寫出NBPC的度數(shù).（用含機(jī)的代數(shù)式表示）

圖①

第3課證明

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解證明的含義，理解證明的必要性及一般格式

2.掌握三角形外角的性質(zhì)

知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01證明

1.證明：要判定一個(gè)命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事

實(shí)、定理（包括推論）一步一步推出結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做證明

2.幾何證明的一般：

（1）按題意畫出圖形.

（2）分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“己知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論.

（3）在“證明”中寫出推理過程.

注：（1）證明過程中的每一步推理都要有依據(jù)，依據(jù)作為推理的理由，可以寫在每一步后

的括號(hào)內(nèi)；

（2）在解決幾何問題時(shí)，有時(shí)需要添加輔助線，添輔助線的過程要寫入證明中.輔助線通常

畫成虛線

知識(shí)點(diǎn)02三角形外角的性質(zhì)

1.定義:三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角

2.特點(diǎn)：

（1）外角的頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；

（2）外角的一條邊是三角形的一邊；

（3）外角的另一條邊是三角形某條邊的

3.性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

能力拓展

考點(diǎn)01證明

【典例1］補(bǔ)全解題過程.

已知：如圖，BO_LAC于點(diǎn)。，EP_LAC于點(diǎn)RZ1=Z2.

求證：GD//BC.

證明：,：BD±AC,EFLAC,

■NBDC=NEFC=90°.

J.BD//EF（同位角相等，兩直線平行）（填推理依據(jù)）.

Z.Z2=ZDBC（兩直線平行，同位角相等）（填推理依據(jù)）.

又；N1=N2,

?.Z1=ZDBC.

：.GD//BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理依據(jù)）.

【思路點(diǎn)撥】先判斷2?！?，可證得N1=ND2C,利用內(nèi)錯(cuò)角相等可證明GO〃BC.

【解析】證明：VBDXAC,EF±AC,

：.ZBDC=ZEFC=90°,

（同位角相等，兩直線平行）（填推理依據(jù)），

.?.N2=Nr>BC（兩直線平行，同位角相等）（填推理依據(jù)），

XVZ1=Z2,

：.Z1=ZDBC,

...GO〃BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（填推理依據(jù)）.

故答案為：90°；同位角相等，兩直線平行；DBC；兩直線平行，同位角相等；DBC；

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，

平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，

內(nèi)錯(cuò)角相等.平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是

由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和

結(jié)論，切莫混淆.

【即學(xué)即練1】如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZA=ZC,延長(zhǎng)CB至E,DEAB

相交于尸.求證：NADF=NE.（注意：證明過程要注明理由）

【思路點(diǎn)撥】欲證明只需推知AD〃BC即可.

【解析】證明：（已知），

.../ABE=NC（兩直線平行，同位角相等）.

又?.?/A=NC（已知）,

：.ZABE=ZA（等量代換）.

.?.4Z）〃2C（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

.?.NAZ）P=NE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩

直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

考點(diǎn)02三角形外角的性質(zhì)

【典例2】如圖，ZVIBC中，ZA=56°,BD平分/ABC,C。平分△ABC的外角NACE,

A.28°B.56°C.30°D.26°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：設(shè)NB=2a,

根據(jù)外角性質(zhì)可知：ZACE=ZA+ZABC^56°+2a,

平分NABC,C￡＞平分△ABC的外角NACE

**-Z￡，BC=yZABC=Cl-ZDCE=yZACE=28°+a-

根據(jù)外角性質(zhì)：NDCE=NDBC+ND,

：.ZD=ZDCE-ZDBC=28°+a-a=28".

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角和角平分線的定義，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形結(jié)合三角形外角

的性質(zhì)進(jìn)行角的計(jì)算.

【即學(xué)即練2】如圖，NA8C=NAC3,AD分別平分△ABC的外角NEAC,內(nèi)角NA8C,

求證：AD//BC.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到NEAC=NABC+/ACB,根據(jù)角平分線的定

義得至U/E4c=2ND4C,求得/D4C=NAC8,根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解析】解：4c為△ABC的外角，

ZEAC=ZABC+ZACB,

ZABC=ZACB,

：.ZEAC=2ZACB,

'：AD平分NEAC,

ZEAC=2ZDAC,

：.ZDAC^ZACB,

：.AD//BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定

理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，在△ABC中，NB=40°,/C=20°,延長(zhǎng)54到。，則NCA。的度數(shù)為（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可.

【解析】解：是△ABC的外角，

：.ZCAD^ZB+ZC,

?；/2=40°，ZC=20

J.ZCAD^60°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩

個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

2.在△A8C中，ZB=45°,/C的外角等于100°,則NA的度數(shù)是（）

A.65°B.55°C.54°D.35°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【解析】解：：/5=45°,/C的外角等于100°,

ZA=100°-45°=55°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，直線a、b被直線c所截，a//b,Z2=35°,則/I的度數(shù)是（）

A.135°B.140°C.145°D.150°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得N3的度數(shù)，又由鄰補(bǔ)角的定義,

即可求得N1的度數(shù).

【解析】解：如圖：

'：a//b,Z2=35

；./3=/2=35°

VZl+Z3=180°,

AZI=145°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的定義.解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行,

同位角相等定理的應(yīng)用.

4.如圖，下列判斷中正確的是（）

F

4

E

A.如果/l+/5=180°,那么AB〃CZ)B.如果Nl=/5,那么A8〃CD

C.如果N3+N4=180°,那么4B〃CDD.如果N2=/4,那么

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可.

【解析】解：如果Nl+N5=180°,不能判定A8〃C。，

故A錯(cuò)誤，不符合題意；

如果/1=/5,那么AB〃C。，

故B正確，符合題意；

如果/3+/4=180°,不能判定A3”。，

故C錯(cuò)誤，不符合題意；

如果/2=/4,不能判定AB〃CD

故。錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，以下說法錯(cuò)誤的是()

A.若貝！|AO〃BCB.若/朋/)+/￡(=180°,則A8〃C￡>

C.若/BAC=/OCA,則D.若ND=NEAD,則AB〃CD

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可.

【解析】解：若NEA￡)=NB,則A￡>〃2C,

故A說法正確，不符合題意；

若/胡。+/￡)=180°,則AB〃CZ),

故2說法正確，不符合題意；

若則AB〃C。，

故C說法錯(cuò)誤，符合題意；

若/D=/EAD,則AB〃CD,

故。說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在△ABC中，ZB=5Q°,ZC=70°,直線。E經(jīng)過點(diǎn)A,ZDAB=55°,則/

EAC的度數(shù)是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和可以先求出NBAC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，可知/

DAB+ZBAC+ZEAC=180°,從而可以求得NEAC的度數(shù).

【解析】解：：NB=50°,ZC=70°,

：.ZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-70°=60°,

"：ZDAB=55°,ZDAB+ZBAC+ZEAC=180°,

AZ￡AC=180°-ZDAB-ZBAC=180°-55°-60°=65°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和、平角的定義、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出

/BAC的度數(shù).

7.如圖，在Rt^ABC中，/BAC=90°,AD平分N8AC交2C邊于點(diǎn)。，若NC=26°,

則/AO8的度數(shù)是（）

A.61°B.64°C.71°D.109°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義可得NZMC=45°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

=Z￡）AC+ZC,即可求出NAOB的度數(shù).

【解析】解：；NBAC=90°,AZ）平分N2AC,

：.ZDAC=45°,

VZC=26°,

/.ZADB=ZDAC+ZC=450+26°=71°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，涉及三角形的角平分線，熟練掌握三角形外角

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AB//CD,BC//AD,若NEBC=72°30',那么川。的度數(shù)是107°30,.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)BC//AD,可知/A=NEBC=72°30',再根據(jù)AB//CD,可得ND+

ZA=180°,進(jìn)而可求出/￡）.

【解析】解：

ZA=ZEBC=72°30',

'JAB//CD,

.,.ZZ）+ZA=180°.

—180°-72°30'=107°30,.

故答案為：107°30,.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化

和計(jì)算.

9.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的根據(jù).

如圖，己知NA=N3,DEIBC,AB±BC.求證DE平分NCD3.

證明：DELBC,AB±BC（已知）

：.ZDEC=ZABC=9Q°（垂直的定義）

J.DE//AB（同位角相等，兩直線平行）

??.Z2=Z3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

Zl=ZA（兩直線平行，同位角相等）

又=（已知）

AZ1=Z2（等量代換）

二.DE平分/CDB

c

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的判定和平行線的性質(zhì)解答即可.

【解析】證明：DELBC,AB±BC（已知）,

：.ZDEC=ZABC=90°（垂直的定義），

J.DE//AB（同位角相等，兩直線平行），

；./2=/3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

Z1=ZA（兩直線平行，同位角相等），

又=（已知），

.-.Z1=Z2（等量代換），

二.DE平分NCDB.

故答案為：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ZA；Z1=Z2；等量

代換.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)

系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用平行

線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

題組B能力提升練

10.如圖，CE是△A8C的外角乙4。的平分線，若/8=30°,ZACE=60°，則乙4=（）

A.40°B.100°C.90°D.80°

【思路點(diǎn)撥】由角平分線的定義可得/ACO=120°,再利用三角形外角性質(zhì)即可求/A

的度數(shù).

【解析】解：是△ABC的外角NAC。的平分線，ZACE=60°,

/.ZACD=2ZACE=120°,

ZACD=ZB+ZA,

：.ZA=ZACD-ZB=120°-30°=90°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角

形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

11.如圖，點(diǎn)。、E分別在線段8C、AC上，連接A。、BE.若/A=35°,ZB=30°,Z

C=45°,則/AFB的大小為（）

A.75°B.80°C.100°D.110°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)NA=35°,NC=45°,ZFDB=ZA+ZC,可以得到/尸QB的度數(shù),

再根據(jù)啰，即可得到/AF8的度數(shù).

【解析】解：：NA=35°,NC=45°,

尸。B=/A+NC=35°+45°=80°,

VZB=30°,

ZAFB=ZB+ZFDB=300+80°=110°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵.

12.如圖，將一直角三角尺與兩邊平行的紙條按如圖所示放置，其中說法不正確的是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線性質(zhì)直接求解即可.

【解析】解：根據(jù)平行線性質(zhì)可知，

Z1=Z2,Z3=Z4,Z4+Z5=180°,

AA,B,。選項(xiàng)正確.

VZ4+Z2=90°,

Z4+Zl=90°,

；.C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：c,

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握平行線性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

13.如圖，AB//CD.CELAD,垂足為若NC=50°,則NA的度數(shù)為（）

/-------------------B

X

CD

A.40°B.50°C.60°D.90°

【思路點(diǎn)撥】先利用三角形內(nèi)角和定理的推論求出ND的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)求

出NA的度數(shù).

【解析】解：

：.ZCED=90°,

.*.ZZ）+ZC=90°.

VZC=50°,

：.ZD=90°-ZC=40°.

9

：AB//CDf

：.ZA=ZD=40°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”、“兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解決本題的關(guān)鍵.

14.如圖，直線?！?直線。分別交〃，人于點(diǎn)A,C,點(diǎn)5在直線b上，AB±ACf若N1

=130°,則N2的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【思路點(diǎn)撥】首先利用平行線的性質(zhì)得到N1=ND4C然后利用A3LAC得到N84C=

90°,最后利用角的和差關(guān)系求解.

【解析】解：如圖所示，

???直線4〃。，

：.Z1=ZDAC,

VZl=130°,

：.ZDAC=130°,

：.ZBAC=90°,

：.Z2=ZDAC-ZBAC=130°-90°=40°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行線的性質(zhì)，求出NZMC的

度數(shù).

15.三角形的一個(gè)外角是100°,則與它不相鄰的兩內(nèi)角平分線夾角(鈍角)是130°.

【思路點(diǎn)撥】由三角形的外角性質(zhì)可得/BAC+/ABC=100。，再由角平分線的定義得

Z1=1ZBAC,Z3=1ZABC,從而可求得Nl+N3=50°,再利用三角形的內(nèi)角和定

22

理即可求解.

【解析】解：：/AC。是△ABC的外角，且/ACQ=100°,

：.ZBAC+ZABC=100°,

平分N54C,30平分/ABC,

.\ZI=AZBAC,Z3=AZABC,

22

.,.Z1+Z3=A(ZBAC+ZABC)=50°,

2

—180°-(Z1+Z3)=130°.

故答案為：130°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖

形分析清楚各角之間的關(guān)系.

16.如圖，AB//FD,Nl=/B.

(1)求證：EF//BC-,

(2)若陽(yáng)平分NEPC,ZCZ)F=48°,求/A.

A

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義得到NEFC=2N1=96°,根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)論得到結(jié)論.

【解析】（1）證明：

:,/B=/CDF,

VZ1=ZB,

:?/\=/CDF,

：.EF//BC；

（2）解：由（1）知N1=NC。尸=48°,

;尸。平分NEFC,

：.ZEFC=2Z1=96°,

?:EF〃BC,

AZC=180°-ZEFC=84°,

,：AB//DF,

：.ZB=ZCDF=4S°,

AZA=180°-ZB-ZC=48°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和

性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

17.如圖，已知若N2=120°,/。=20°,那么4DCE的度數(shù)為（）

C.100°D.110°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)先求出/E的度數(shù)，然后根據(jù)內(nèi)角和定理

求出NOCE的度數(shù)即可.

【解析】-JAB//DE,

.-.ZB+Z￡=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

:/2=120°,

ZE=60°,

VZD=20°,

.,.ZDCE=180°-Z￡-Z￡>=180°-60°-20°=100°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練掌握平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.平

行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等.平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由

平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)

論，切莫混淆.

18.小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若/A=60°,N2=40°,NC=30°,則/D+/E

等于（）

A

c

A.100°B.110°C.120°D.130°

【思路點(diǎn)撥】設(shè)AE交BC于G,交CD于F,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出NA尸C,再根

據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可求得也的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出ND+NE即可.

【解析】解：如圖，

VZA=60°,ZB=40°,

ZBGF=ZC+ZAFC=ZA+ZB=100°,

VZC=30°,

ZAFC=100°-30°=70°,

：.ZEFD=ZAFC=yO°,

VZE+ZD+ZEFD^180°,

.,.ZD+Z￡=180°-70°=110°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記三角形的外角性質(zhì)

是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

19.如圖，直線a〃6,點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C、。在直線6上，S.AB1BC,8。平分/ABC,

若/1=32°,則N2的度數(shù)是（）

A.13°B.15°C.14°D.16°

【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)C8交直線a于點(diǎn)E,由題意可求得NAEC=58°,NCBD=45°,再

由平行線的性質(zhì)得NEB=/AEC=58°,再由角平分線的定義得/CBD=45°,利用

三角形的外角性質(zhì)即可求N2的度數(shù).

【解析】解：延長(zhǎng)交直線“于點(diǎn)E,如圖，

'：AB±BC,Nl=32°,

/.ZABC=90°,

：.ZA￡C=90°-Zl=58°,

'：a//b,

：.ZECF=ZAEC=58°,

平分NABC,

AZCB￡）=AZABC=45°,

2

,/ZECF是ABCD的外角，

：.Z2=ZECF-ZCBD=13°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線.

20.已知A8〃CD,43和CQ都不經(jīng)過點(diǎn)P,探索/尸與NA,/C的數(shù)量關(guān)系,

（1）在圖1中，小明發(fā)現(xiàn)：ZAPC=ZA+ZC.

小明是這樣證明的：過點(diǎn)P作尸Q〃A8

ZAPQ=ZA

'：PQ//AB,AB//CD.

J.PQ//CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）

:./CPQ=NC

：.ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC

即/APC=NA+/C

(2)應(yīng)用：在圖2中，若/A=120°,NC=140°,則/APC的度數(shù)為100°

【思路點(diǎn)撥】(1)過點(diǎn)P作PQ//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAPQ=NA,ZC=Z

CPQ,即可得出答案；

(2)過點(diǎn)P作P?！?8,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA+/4PQ=180°,ZC+ZCPQ=180

°,求出/AP。和NCPQ,即可得出答案；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NC=NPE2,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出NAPC=NPEB-Z

4代入求出即可.

【解析】解:(1)過點(diǎn)尸作尸Q〃AB,

ZAPQ^ZA,

'：PQ//AB,AB//CD,

：.PQ//CD(平行于同一條直線的兩條直線互相平行)，

：.ZCPQ=ZC,

：.ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC,

BPZAPC=ZA+ZC.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

(2)如圖，過P作尸?！?2,

'：AB//CD,

：.PQ//AB//CD,

：.ZA+ZAPQ=180°,ZC+ZCPQ=180°,

VZA=120°,ZC=140°,

AZAPQ=6Q°,ZCPQ=40°,

：.ZAPC=ZAPQ+ZCPQ=100°,

故答案為：100°；

(3)ZAPC=ZC-NA,

理由是：'JAB//CD,

：.ZC=ZPEB,

：.ZAPC=ZPEB-ZA=ZC-ZA.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助