證明（學生版+解析）-2022-2023學年浙教版八年級數學上冊同步講義

第3課證明

號目標導航

學習目標

1.了解證明的含義，理解證明的必要性及一般格式

2.掌握三角形外角的性質

視知識精講

知識點01證明

1.證明：要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，根據已知的定義、基本事實、定理（包括

推論）一步一步推出結論成立，這樣的推理過程叫做證明

2.幾何證明的一般：

（1）按題意畫出圖形.

（2）分清命題的條件和結論，結合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結論.

⑶在“證明”中寫出推理過程.

注：（1）證明過程中的每一步推理都要有依據，依據作為推理的理由，可以寫在每一步后的括號內；

（2）在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線，添輔助線的過程要寫入證明中.輔助線通常畫成虛線

知識點02三角形外角的性質

L定義:三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角

2.特點：

C1）外角的頂點在三角形的一個頂點上；

（2）外角的一條邊是三角形的一邊；

（3）外角的另一條邊是三角形某條邊的

3.性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

能力拓展

考點01證明

【典例1］補全解題過程.

己知：如圖，BZ）_LAC于點。，EF_LAC于點RN1=N2.

求證：GD//BC.

證明：'：BD±AC,EFLAC,

/BDC=/EFC=90°.

C.BD//EF（）（填推理依據）.

/.Z2=Z（）（填推理依據）.

又：N1=N2,

.\Z1=Z.

C.GD//BC（）（填推理依據）.

【即學即練1】如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZA=ZC,延長至E,DE與相交于尸.求證:

ZADF^ZE.（注意：證明過程要注明理由）

考點02三角形外角的性質

【典例2】如圖，△ABC中，NA=56°,8。平分/ABC,CD平分△ABC的外角/ACE,BD、CD交于點

D,則NO的度數（）

A

A.28°B.56°C.30°D.26°

【即學即練2］如圖，ZABC=ZACB,AD,5。分別平分3c的外角N￡AC,內角NA3C,求證：AD//

fii分層提分

題組A基礎過關練

1.如圖，在△A3C中，ZB=40°,ZC=20°,延長3A到。，則NC4。的度數為（

2.在△ABC中，ZB=45°,NC的外角等于100°,則NA的度數是（

A.65°B.55°C.54°D.35°

3.如圖，直線4、b被直線C所截，a//b,N2=35°,則N1的度數是（)

A.135°B.140°C.145°D.150°

4.如圖，下列判斷中正確的是（）

F

4

E

A.如果Nl+N5=180°,那么AB〃CDB.如果/1=N5,那么AB〃CD

C.如果N3+/4=180°,那么A8〃C。D.如果/2=/4,那么A8〃C。

5.如圖，以下說法錯誤的是（）

A.若/EAD=NB,則A￡?〃BCB.若/加。+/。=180°,則A8〃C。

C.若N8AC=NOCA,貝ijAO〃C8D.若ND=/EAD,則48〃CO

6.如圖，在AABC中，ZB=50°,ZC=70°，直線。E經過點A,/D48=55°,則/E4c的度數是（

C.65°D.70°

7.如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,A。平分NBAC交BC邊于點。，若NC=26°,則NAOB的度

數是（）

A.61°B.64°C.71°D.109°

8.如圖，AB//CD,BC//AD,若/EBC=72°30',那么/。的度數是

9.在下面的括號內，填上推理的根據.

如圖，已知NA=/3,DELBC,ABA.BC.求證。E平分/CZJ8.

證明：DELBC,(已知)

：.ZDEC=ZABC=90°(垂直的定義)

J.DE//AB()

；./2=/3()

Zl=(兩直線平行，同位角相等)

又：NA=N3(已知)

______________()

:.DE平分/CDB

題組B能力提升練

10.如圖，"是△ABC的外角NACQ的平分線，若N8=30°,ZACE=60°,則NA=()

A.40°B.100°C.90°D.80°

11.如圖，點。、E分別在線段5C、AC上，連接A。、BE.若NA=35°，ZB=30°，ZC=45°，則N

AFB的大小為（）

A.75°B.80°C.100°D.110°

其中說法不正確的是（)

D.Z4+Z5=180°

13.如圖，AB//CD.CELAD,垂足為E,若NC=50°,則NA的度數為（)

CD

A.40°B.50°C.60°D.90°

14.如圖，直線直線c分別交Z?于點A,。，點5在直線b上，ABLAC,若N1=130°則N2

的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

15.三角形的一個外角是100°,則與它不相鄰的兩內角平分線夾角（鈍角）是

A

16.如圖，AB//FD,Z1=ZB.

（1）求證：EF//BC；

(2)若尸D平分NEFC,ZCDF^48°,求NA.

題組c培優(yōu)拔尖練

17.如圖,已知若NB=120°,ZD=20°,那么NOCE的度數為（）

C.100°D.110°

18.小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若NA=60°,ZB=40°,ZC=30°,則N0+NE等于()

C.120°D.130°

C、。在直線b上，_aABLBC,5。平分NA3C,若Nl=32

,則N2的度數是（）

A

a

A.13°B.15°C.14°D.16°

20.已知AB〃CD,AB和CO都不經過點P,探索NP與/A,/C的數量關系,

Cl)在圖1中,小明發(fā)現(xiàn)：ZAPC^ZA+ZC.

小明是這樣證明的：過點尸作

NAPQ=ZA

"JPQ//AB,AB//CD.

：.PQ//CD(

：.ZCPQ=ZC

：.ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC

即NAPC=ZA+ZC

(2)應用：在圖2中,若NA=120°,NC=140。，則NAPC的度數為

21.【概念認識】

如圖①，在/ABC中,若/ABD=/DBE=/EBC,貝!]BD,BE叫做/ABC的“三分線”.其中，BD

是“鄰BA三分線”，BE是“鄰2C三分線”.

【問題解決】

(1)如圖②，在△ABC中，ZA=70°,ZABC=45°,若NABC的鄰BA三分線3。交AC于點。，則

ZBDC的度數為

(2)如圖③，在△ABC中，BP,CP分別是NABC鄰8C三分線和NAC8鄰CB三分線，且NBPC=135

°,求/A的度數;

【延伸推廣】

(3)在△ABC中，/AC。是△ABC的外角，的鄰BC三分線所在的直線與NACO的三分線所在的

直線交于點P.若NA=M,NB=60：直接寫出NBPC的度數.（用含機的代數式表示）

圖①

第3課證明

號目標導航

學習目標

1.了解證明的含義，理解證明的必要性及一般格式

2.掌握三角形外角的性質

知識精講

知識點01證明

1.證明：要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發(fā)，根據已知的定義、基本事

實、定理（包括推論）一步一步推出結論成立，這樣的推理過程叫做證明

2.幾何證明的一般：

（1）按題意畫出圖形.

（2）分清命題的條件和結論，結合圖形，在“己知”中寫出條件，在“求證”中寫出結論.

（3）在“證明”中寫出推理過程.

注：（1）證明過程中的每一步推理都要有依據，依據作為推理的理由，可以寫在每一步后

的括號內；

（2）在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線，添輔助線的過程要寫入證明中.輔助線通常

畫成虛線

知識點02三角形外角的性質

1.定義:三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角

2.特點：

（1）外角的頂點在三角形的一個頂點上；

（2）外角的一條邊是三角形的一邊；

（3）外角的另一條邊是三角形某條邊的

3.性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

能力拓展

考點01證明

【典例1］補全解題過程.

已知：如圖，BO_LAC于點。，EP_LAC于點RZ1=Z2.

求證：GD//BC.

證明：,：BD±AC,EFLAC,

■NBDC=NEFC=90°.

J.BD//EF（同位角相等，兩直線平行）（填推理依據）.

Z.Z2=ZDBC（兩直線平行，同位角相等）（填推理依據）.

又；N1=N2,

?.Z1=ZDBC.

：.GD//BC（內錯角相等，兩直線平行）（填推理依據）.

【思路點撥】先判斷2?！?，可證得N1=ND2C,利用內錯角相等可證明GO〃BC.

【解析】證明：VBDXAC,EF±AC,

：.ZBDC=ZEFC=90°,

（同位角相等，兩直線平行）（填推理依據），

.?.N2=Nr>BC（兩直線平行，同位角相等）（填推理依據），

XVZ1=Z2,

：.Z1=ZDBC,

...GO〃BC（內錯角相等，兩直線平行）（填推理依據）.

故答案為：90°；同位角相等，兩直線平行；DBC；兩直線平行，同位角相等；DBC；

內錯角相等，兩直線平行.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，

平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，

內錯角相等.平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系.平行線的性質是

由平行關系來尋找角的數量關系.應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和

結論，切莫混淆.

【即學即練1】如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZA=ZC,延長CB至E,DEAB

相交于尸.求證：NADF=NE.（注意：證明過程要注明理由）

【思路點撥】欲證明只需推知AD〃BC即可.

【解析】證明：（已知），

.../ABE=NC（兩直線平行，同位角相等）.

又?.?/A=NC（已知）,

：.ZABE=ZA（等量代換）.

.?.4Z）〃2C（內錯角相等，兩直線平行）.

.?.NAZ）P=NE（兩直線平行，內錯角相等）.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，平行線的判定是由角的數量關系判斷兩

直線的位置關系.平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系.

考點02三角形外角的性質

【典例2】如圖，ZVIBC中，ZA=56°,BD平分/ABC,C。平分△ABC的外角NACE,

A.28°B.56°C.30°D.26°

【思路點撥】根據角平分線的性質和三角形外角的性質進行計算即可.

【解析】解：設NB=2a,

根據外角性質可知：ZACE=ZA+ZABC^56°+2a,

平分NABC,C￡＞平分△ABC的外角NACE

**-Z￡，BC=yZABC=Cl-ZDCE=yZACE=28°+a-

根據外角性質：NDCE=NDBC+ND,

：.ZD=ZDCE-ZDBC=28°+a-a=28".

故選：A.

【點睛】本題考查三角形外角和角平分線的定義，解題關鍵是根據圖形結合三角形外角

的性質進行角的計算.

【即學即練2】如圖，NA8C=NAC3,AD分別平分△ABC的外角NEAC,內角NA8C,

求證：AD//BC.

【思路點撥】根據三角形的外角的性質得到NEAC=NABC+/ACB,根據角平分線的定

義得至U/E4c=2ND4C,求得/D4C=NAC8,根據平行線的判定定理即可得到結論.

【解析】解：4c為△ABC的外角，

ZEAC=ZABC+ZACB,

ZABC=ZACB,

：.ZEAC=2ZACB,

'：AD平分NEAC,

ZEAC=2ZDAC,

：.ZDAC^ZACB,

：.AD//BC.

【點睛】本題考查了三角形外角性質，角平分線定義，平行線的判定，三角形內角和定

理的應用，主要考查學生的推理能力.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.如圖，在△ABC中，NB=40°,/C=20°,延長54到。，則NCA。的度數為（）

【思路點撥】根據三角形的外角性質計算即可.

【解析】解：是△ABC的外角，

：.ZCAD^ZB+ZC,

?；/2=40°，ZC=20

J.ZCAD^60°,

故選：A.

【點睛】本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩

個內角的和是解題的關鍵.

2.在△A8C中，ZB=45°,/C的外角等于100°,則NA的度數是（）

A.65°B.55°C.54°D.35°

【思路點撥】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.

【解析】解：：/5=45°,/C的外角等于100°,

ZA=100°-45°=55°.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性

質是解題的關鍵.

3.如圖，直線a、b被直線c所截，a//b,Z2=35°,則/I的度數是（）

A.135°B.140°C.145°D.150°

【思路點撥】根據兩直線平行，同位角相等，即可求得N3的度數，又由鄰補角的定義,

即可求得N1的度數.

【解析】解：如圖：

'：a//b,Z2=35

；./3=/2=35°

VZl+Z3=180°,

AZI=145°.

故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的性質與鄰補角的定義.解題的關鍵是注意掌握兩直線平行,

同位角相等定理的應用.

4.如圖，下列判斷中正確的是（）

F

4

E

A.如果/l+/5=180°,那么AB〃CZ)B.如果Nl=/5,那么A8〃CD

C.如果N3+N4=180°,那么4B〃CDD.如果N2=/4,那么

【思路點撥】根據平行線的判定定理判斷求解即可.

【解析】解：如果Nl+N5=180°,不能判定A8〃C。，

故A錯誤，不符合題意；

如果/1=/5,那么AB〃C。，

故B正確，符合題意；

如果/3+/4=180°,不能判定A3”。，

故C錯誤，不符合題意；

如果/2=/4,不能判定AB〃CD

故。錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵.

5.如圖，以下說法錯誤的是()

A.若貝！|AO〃BCB.若/朋/)+/￡(=180°,則A8〃C￡>

C.若/BAC=/OCA,則D.若ND=NEAD,則AB〃CD

【思路點撥】根據平行線的判定定理判斷求解即可.

【解析】解：若NEA￡)=NB,則A￡>〃2C,

故A說法正確，不符合題意；

若/胡。+/￡)=180°,則AB〃CZ),

故2說法正確，不符合題意；

若則AB〃C。，

故C說法錯誤，符合題意；

若/D=/EAD,則AB〃CD,

故。說法正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵.

6.如圖，在△ABC中，ZB=5Q°,ZC=70°,直線。E經過點A,ZDAB=55°,則/

EAC的度數是（）

【思路點撥】根據三角形內角和可以先求出NBAC的度數，再根據平角的定義，可知/

DAB+ZBAC+ZEAC=180°,從而可以求得NEAC的度數.

【解析】解：：NB=50°,ZC=70°,

：.ZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-70°=60°,

"：ZDAB=55°,ZDAB+ZBAC+ZEAC=180°,

AZ￡AC=180°-ZDAB-ZBAC=180°-55°-60°=65°,

故選：C.

【點睛】本題考查三角形內角和、平角的定義、平行線的性質，解答本題的關鍵是求出

/BAC的度數.

7.如圖，在Rt^ABC中，/BAC=90°,AD平分N8AC交2C邊于點。，若NC=26°,

則/AO8的度數是（）

A.61°B.64°C.71°D.109°

【思路點撥】根據角平分線的定義可得NZMC=45°,根據三角形外角的性質可得

=Z￡）AC+ZC,即可求出NAOB的度數.

【解析】解：；NBAC=90°,AZ）平分N2AC,

：.ZDAC=45°,

VZC=26°,

/.ZADB=ZDAC+ZC=450+26°=71°,

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質，涉及三角形的角平分線，熟練掌握三角形外角

的性質是解題的關鍵.

8.如圖，AB//CD,BC//AD,若NEBC=72°30',那么川。的度數是107°30,.

【思路點撥】根據BC//AD,可知/A=NEBC=72°30',再根據AB//CD,可得ND+

ZA=180°,進而可求出/￡）.

【解析】解：

ZA=ZEBC=72°30',

'JAB//CD,

.,.ZZ）+ZA=180°.

—180°-72°30'=107°30,.

故答案為：107°30,.

【點睛】本題考查平行線的性質，解題關鍵是結合圖形利用平行線的性質進行角的轉化

和計算.

9.在下面的括號內，填上推理的根據.

如圖，己知NA=N3,DEIBC,AB±BC.求證DE平分NCD3.

證明：DELBC,AB±BC（已知）

：.ZDEC=ZABC=9Q°（垂直的定義）

J.DE//AB（同位角相等，兩直線平行）

??.Z2=Z3（兩直線平行，內錯角相等）

Zl=ZA（兩直線平行，同位角相等）

又=（已知）

AZ1=Z2（等量代換）

二.DE平分/CDB

c

【思路點撥】根據平行線的判定和平行線的性質解答即可.

【解析】證明：DELBC,AB±BC（已知）,

：.ZDEC=ZABC=90°（垂直的定義），

J.DE//AB（同位角相等，兩直線平行），

；./2=/3（兩直線平行，內錯角相等），

Z1=ZA（兩直線平行，同位角相等），

又=（已知），

.-.Z1=Z2（等量代換），

二.DE平分NCDB.

故答案為：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；ZA；Z1=Z2；等量

代換.

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；

兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等.平行線的判定是由角的數量關

系判斷兩直線的位置關系.平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系.應用平行

線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆.

題組B能力提升練

10.如圖，CE是△A8C的外角乙4。的平分線，若/8=30°,ZACE=60°，則乙4=（）

A.40°B.100°C.90°D.80°

【思路點撥】由角平分線的定義可得/ACO=120°,再利用三角形外角性質即可求/A

的度數.

【解析】解：是△ABC的外角NAC。的平分線，ZACE=60°,

/.ZACD=2ZACE=120°,

ZACD=ZB+ZA,

：.ZA=ZACD-ZB=120°-30°=90°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查三角形的外角性質，解答的關鍵是熟記三角形的外角性質：三角

形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和.

11.如圖，點。、E分別在線段8C、AC上，連接A。、BE.若/A=35°,ZB=30°,Z

C=45°,則/AFB的大小為（）

A.75°B.80°C.100°D.110°

【思路點撥】根據NA=35°,NC=45°,ZFDB=ZA+ZC,可以得到/尸QB的度數,

再根據啰，即可得到/AF8的度數.

【解析】解：：NA=35°,NC=45°,

尸。B=/A+NC=35°+45°=80°,

VZB=30°,

ZAFB=ZB+ZFDB=300+80°=110°,

故選：D.

【點睛】本題考查三角形外角的性質，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵.

12.如圖，將一直角三角尺與兩邊平行的紙條按如圖所示放置，其中說法不正確的是（）

【思路點撥】根據平行線性質直接求解即可.

【解析】解：根據平行線性質可知，

Z1=Z2,Z3=Z4,Z4+Z5=180°,

AA,B,。選項正確.

VZ4+Z2=90°,

Z4+Zl=90°,

；.C選項錯誤.

故選：c,

【點睛】本題主要考查平行線性質的應用，熟練掌握平行線性質是解決本題的關鍵.

13.如圖，AB//CD.CELAD,垂足為若NC=50°,則NA的度數為（）

/-------------------B

X

CD

A.40°B.50°C.60°D.90°

【思路點撥】先利用三角形內角和定理的推論求出ND的度數，再利用平行線的性質求

出NA的度數.

【解析】解：

：.ZCED=90°,

.*.ZZ）+ZC=90°.

VZC=50°,

：.ZD=90°-ZC=40°.

9

：AB//CDf

：.ZA=ZD=40°.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握“直角三角形的兩個銳角互余”、“兩直

線平行，內錯角相等”是解決本題的關鍵.

14.如圖，直線。〃4直線。分別交〃，人于點A,C,點5在直線b上，AB±ACf若N1

=130°,則N2的度數是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【思路點撥】首先利用平行線的性質得到N1=ND4C然后利用A3LAC得到N84C=

90°,最后利用角的和差關系求解.

【解析】解：如圖所示，

???直線4〃。，

：.Z1=ZDAC,

VZl=130°,

：.ZDAC=130°,

：.ZBAC=90°,

：.Z2=ZDAC-ZBAC=130°-90°=40°.

故選:B.

【點睛】本題考查平行線的性質，解答本題的關鍵是明確平行線的性質，求出NZMC的

度數.

15.三角形的一個外角是100°,則與它不相鄰的兩內角平分線夾角(鈍角)是130°.

【思路點撥】由三角形的外角性質可得/BAC+/ABC=100。，再由角平分線的定義得

Z1=1ZBAC,Z3=1ZABC,從而可求得Nl+N3=50°,再利用三角形的內角和定

22

理即可求解.

【解析】解：：/AC。是△ABC的外角，且/ACQ=100°,

：.ZBAC+ZABC=100°,

平分N54C,30平分/ABC,

.\ZI=AZBAC,Z3=AZABC,

22

.,.Z1+Z3=A(ZBAC+ZABC)=50°,

2

—180°-(Z1+Z3)=130°.

故答案為：130°.

【點睛】本題主要考查三角形的外角性質，三角形的內角和定理，解答的關鍵是結合圖

形分析清楚各角之間的關系.

16.如圖，AB//FD,Nl=/B.

(1)求證：EF//BC-,

(2)若陽平分NEPC,ZCZ)F=48°,求/A.

A

【思路點撥】（1）根據平行線的判定和性質定理即可得到結論；

（2）根據角平分線的定義得到NEFC=2N1=96°,根據平行線的性質結論得到結論.

【解析】（1）證明：

:,/B=/CDF,

VZ1=ZB,

:?/\=/CDF,

：.EF//BC；

（2）解：由（1）知N1=NC。尸=48°,

;尸。平分NEFC,

：.ZEFC=2Z1=96°,

?:EF〃BC,

AZC=180°-ZEFC=84°,

,：AB//DF,

：.ZB=ZCDF=4S°,

AZA=180°-ZB-ZC=48°.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和

性質定理是解題的關鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

17.如圖，已知若N2=120°,/。=20°,那么4DCE的度數為（）

C.100°D.110°

【思路點撥】根據兩直線平行，同旁內角互補先求出/E的度數，然后根據內角和定理

求出NOCE的度數即可.

【解析】-JAB//DE,

.-.ZB+Z￡=180o（兩直線平行，同旁內角互補），

:/2=120°,

ZE=60°,

VZD=20°,

.,.ZDCE=180°-Z￡-Z￡>=180°-60°-20°=100°.

故選：C.

【點睛】本題考查的是平行線的性質，解題的關鍵熟練掌握平行線的性質并靈活運用.平

行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內

錯角相等.平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系.平行線的性質是由

平行關系來尋找角的數量關系.應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結

論，切莫混淆.

18.小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若/A=60°,N2=40°,NC=30°,則/D+/E

等于（）

A

c

A.100°B.110°C.120°D.130°

【思路點撥】設AE交BC于G,交CD于F,根據三角形的外角性質求出NA尸C,再根

據對頂角的性質可求得也的度數，利用三角形的內角和定理求出ND+NE即可.

【解析】解：如圖，

VZA=60°,ZB=40°,

ZBGF=ZC+ZAFC=ZA+ZB=100°,

VZC=30°,

ZAFC=100°-30°=70°,

：.ZEFD=ZAFC=yO°,

VZE+ZD+ZEFD^180°,

.,.ZD+Z￡=180°-70°=110°,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質和三角形內角和定理，能熟記三角形的外角性質

是解此題的關鍵，注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

19.如圖，直線a〃6,點A在直線a上，點C、。在直線6上，S.AB1BC,8。平分/ABC,

若/1=32°,則N2的度數是（）

A.13°B.15°C.14°D.16°

【思路點撥】延長C8交直線a于點E,由題意可求得NAEC=58°,NCBD=45°,再

由平行線的性質得NEB=/AEC=58°,再由角平分線的定義得/CBD=45°,利用

三角形的外角性質即可求N2的度數.

【解析】解：延長交直線“于點E,如圖，

'：AB±BC,Nl=32°,

/.ZABC=90°,

：.ZA￡C=90°-Zl=58°,

'：a//b,

：.ZECF=ZAEC=58°,

平分NABC,

AZCB￡）=AZABC=45°,

2

,/ZECF是ABCD的外角，

：.Z2=ZECF-ZCBD=13°.

故選：A.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是作出適當的輔助線.

20.已知A8〃CD,43和CQ都不經過點P,探索/尸與NA,/C的數量關系,

（1）在圖1中，小明發(fā)現(xiàn)：ZAPC=ZA+ZC.

小明是這樣證明的：過點P作尸Q〃A8

ZAPQ=ZA

'：PQ//AB,AB//CD.

J.PQ//CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）

:./CPQ=NC

：.ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC

即/APC=NA+/C

(2)應用：在圖2中，若/A=120°,NC=140°,則/APC的度數為100°

【思路點撥】(1)過點P作PQ//AB,根據平行線的性質得出NAPQ=NA,ZC=Z

CPQ,即可得出答案；

(2)過點P作P?！?8,根據平行線的性質得出NA+/4PQ=180°,ZC+ZCPQ=180

°,求出/AP。和NCPQ,即可得出答案；

(3)根據平行線的性質得出NC=NPE2,根據三角形外角性質得出NAPC=NPEB-Z

4代入求出即可.

【解析】解:(1)過點尸作尸Q〃AB,

ZAPQ^ZA,

'：PQ//AB,AB//CD,

：.PQ//CD(平行于同一條直線的兩條直線互相平行)，

：.ZCPQ=ZC,

：.ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC,

BPZAPC=ZA+ZC.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

(2)如圖，過P作尸?！?2,

'：AB//CD,

：.PQ//AB//CD,

：.ZA+ZAPQ=180°,ZC+ZCPQ=180°,

VZA=120°,ZC=140°,

AZAPQ=6Q°,ZCPQ=40°,

：.ZAPC=ZAPQ+ZCPQ=100°,

故答案為：100°；

(3)ZAPC=ZC-NA,

理由是：'JAB//CD,

：.ZC=ZPEB,

：.ZAPC=ZPEB-ZA=ZC-ZA.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角性質的應用，能正確作出輔助