2025年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.（5分）若集合/=W3},B={x|x=3z?-1,”6N},貝!]/門(mén)8=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

z

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足丁丁=2?2°24,則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

（1-Ot

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從/,B,C,。四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲

到過(guò)N景點(diǎn)，所以甲不選/景點(diǎn)，則不同的選法有（）

A.60B.48C.54D.64

4.（5分）下列四個(gè)命題中，是真命題的為（）

A.任意x€R,有X2+3<0B.任意x6N,有了>1

C.存在XCZ,使/<1D.存在X6Q,使f=3

5.（5分）已知點(diǎn)/（1,0）,5（-1,0）.動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足眼川-也因=2,則點(diǎn)M的軌跡方程是（）

A.y=0KW1）B.y=0（x2l）

C.尸0（xW-1）D.尸0（網(wǎng)21）

7T—TTT

6.（5分）若a,b都為非零向量，且a，（a+2b）,\a+3b\=|2a-b\,則向量a,b的夾角為（）

7T37r7T27r

A.-B.—C.-D.—

4433

7.（5分）過(guò)圓錐PO高的中點(diǎn)。作平行于底面的截面，則截面分圓錐尸。上部分圓錐與下部分圓臺(tái)體積

比為（）

1111

A.-B.-C.~D.一

2357

8.（5分）已知函數(shù)f（x）=屋園，則使得/（2a）</（a-1）成立的正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

111

A.（3，+°°）B.[可，+8）C.（0,1）D.（01可）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（6分）已知a,b€R,有一組樣本數(shù)據(jù)為2+a,3,6-b,7-a,8,10,11+6,12,13,若在

這組數(shù)據(jù)中再插入一個(gè)數(shù)8,則（）

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變

第1頁(yè)（共14頁(yè)）

C.方差不變D.極差不變

（多選）10.（6分）若函數(shù)/（X）=2s譏德久一/）,貝!|（）

A.f（x）的最小正周期為10

B./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0）對(duì)稱(chēng)

C./（x）在（0,端）上有最小值

D./（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)％=竽對(duì)稱(chēng)

（多選）11.（6分）過(guò)拋物線(xiàn)f=4x的焦點(diǎn)下作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于4,3兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段A3的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

/作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|/用的最小值為4

T-10

B.當(dāng)AF=3FB時(shí)，\AB\=--

C.以線(xiàn)段N2為直徑的圓與直線(xiàn)x=-1相切

D.當(dāng)|/用最小時(shí)，切線(xiàn)為與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（7,0）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）在（/+|）5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

,TTT,

13.（5分）己知向量a=（2,5）,b—（cosa,sin2a）,且a||b.則sina的值為.

14.（5分）己知直線(xiàn)/：y=Ax是曲線(xiàn)/（x）=y+1和g（x）=/nx+a的公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）設(shè)等比數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為S”且a4-ai=14,5,3=14.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)好=[n為瞥心數(shù)列｛6“｝的前2"項(xiàng)和為乃“，求⑸.

klog2an,n為奇數(shù)

16.（15分）某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了新近上映的某部影片的120名觀(guān)眾，對(duì)他們是否喜歡這部影片進(jìn)行了

調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（單位：人）：

喜歡不喜歡合計(jì)

男性403070

女性351550

合計(jì)7545120

第2頁(yè)（共14頁(yè)）

根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：

(1)根據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析觀(guān)眾喜歡該影片與觀(guān)眾的性別是否有關(guān)；

(2)從不喜歡該影片的觀(guān)眾中采用分層抽樣的方法，隨機(jī)抽取6人.現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人，若所

選2名觀(guān)眾中女性人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

附.y=-----n(ad-bc)2-------------苴中”=a+6+c+d

PIJZ

-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八甲'。十。十c十。.

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

17.(15分)如圖，在四棱錐P-48CD中，^_L平面/BCD,四邊形/BCD是矩形，PA=AD,過(guò)棱PD

的中點(diǎn)E作跖，PC于點(diǎn)尸，連接“尸.

(I)證明：PC±AF；

(II)若CD=2AD=2,求平面NEF與平面所成角的正弦值.

一1

18.(17分)已知函數(shù)/'(x)=ax—1一(a+l)bix(a6R).

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線(xiàn)方程；

(2)若/G)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x2y2

19.(17分)已知橢圓C：/+金=1(a>b>0)的半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度與焦距相等，且過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直

的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線(xiàn)/o：x+2y-2=0與橢圓C交于/,3兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸(2,3)的直線(xiàn)交橢圓C于E,尸兩

點(diǎn)(E在靠近P的一側(cè))

(i)求的取值范圍；

(ii)在直線(xiàn)/o上是否存在:一定點(diǎn)使/現(xiàn)〃=/月以4恒成立？若存在，求出“點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

第3頁(yè)(共14頁(yè))

2025年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.（5分）若集合/=點(diǎn)W3},B={x\x—3n-1,nGN},則/D2=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

【解答】解：依題得：A={x|V%<3}=[0,9],5={x|x=3"-1,"6N},則/C2={2,5,8）.

故選：C.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足7Tq=2a°24,則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

（1-Qt

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：z=2嚴(yán)24.a-j）.i=2i.（1-/）=2+23則2=2-23對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,-2）,在第四

象限.

故選：D.

3.（5分）五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從/,B,C,。四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲

到過(guò)/景點(diǎn)，所以甲不選N景點(diǎn)，則不同的選法有（）

A.60B.48C.54D.64

【解答】解：根據(jù)題意，甲不選N景點(diǎn)，則甲有3種選法，

乙、丙在四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)，有4X4=16種選法，

則有3X16=48種選法.

故選：B.

4.（5分）下列四個(gè)命題中，是真命題的為（）

A.任意xCR,有》2+3<0B.任意xCN,有了>1

C.存在xez,使/<1D.存在X6Q,使f=3

【解答】解：由于對(duì)任意xER,都有所以有/+3》3,故/為假命題.

由于0CN,當(dāng)x=0時(shí)，了=0>1不成立，故2為假命題.

由于-lez,當(dāng)x=-i時(shí)，x5=-1<1,故c為真命題.

由于使x2=3成立的數(shù)只有±百，而它們都不是有理數(shù)，

因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3,故。是假命題.

故選：C.

第4頁(yè)（共14頁(yè)）

5.（5分）已知點(diǎn)/（1,0）,5（-1,0）.動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足幽卻-此的=2,則點(diǎn)M的軌跡方程是（）

A.尸0(-14W1)B.尸0(G1)

C.y=0(x<-1)D.y=Q(兇21)

【解答】解：,點(diǎn)/(1,0),5(-1,0).：.\AB\^2.

又動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|朋卻TAffi|=2,

...點(diǎn)M的軌跡方程射線(xiàn)：y=0(xW-1).

故選：C.

->TTT—T—tTTT

6.(5分)若a,b都為非零向量，且al(a+2b),|。+3bl=|2。一可，則向量a,b的夾角為()

兀37r7127r

A.-B.—C.-D.—

4433

TTTTTT-

【解答】解：因?yàn)閍l(a+26),\a+3b\=\2a-b\,

(TTT

a?(a+2b)=02

所以即a+2a-b=0

TTTT_>T—

、|a+3b\2=\2a—b\2,—3a2+8b2+10a-b=0

_>TTT

化簡(jiǎn)得蘇=b2——2a-b,所以|a|=

一—TT

所以cos〈即b〉=：2=

\a\\b\—2a力

_?—>_?->

因?yàn)?<〈a,b)<7T,所以〈a,b)=-g-.

故選：D.

7.（5分）過(guò)圓錐尸。高的中點(diǎn)。,作平行于底面的截面，則截面分圓錐PO上部分圓錐與下部分圓臺(tái)體積

為

比

111

A-C--

35D.7

【解答】解：設(shè)截面圓半徑為尸，圓錐的高為力，圓錐的體積為匕，

則圓臺(tái)下底面圓的半徑為2%圓臺(tái)的高為〃，圓臺(tái)的體積為-2，

171

222

所以展=可加九（7+2T2+4r）=-^nhr,V1=-^7irh,

1

可得『

?27

故選：D.

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=/慟，則使得/（2Q）</（^z-1）成立的正實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（）

111

A.（可，+8）B.［可，+oo）C.（0,1）D.（0,可）

第5頁(yè)（共14頁(yè)）

【解答】解：根據(jù)題意，由題意可知/(X)的定義域?yàn)镽,

且/(-X)=屋「吊=。-慟=/(X),所以/(%)為偶函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，/(久)=2，則函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且/(x)>0.

所以不等式/(2a)成立，需12al

1

解得或a>?又。>0,

所以a>4,即正實(shí)數(shù)。的取值范圍是或+oo).

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.(6分)已知a,b&R,有一組樣本數(shù)據(jù)為2+a,3,6-b,7-a,8,10,11+6,12,13,若在

這組數(shù)據(jù)中再插入一個(gè)數(shù)8,則()

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變

C.方差不變D.極差不變

【解答】解：對(duì)于/選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,插入一個(gè)數(shù)8,平均數(shù)不變，故/正確；

對(duì)于2選項(xiàng)，取。=-2,6=1,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9,新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8.5,故2錯(cuò)誤；

222

對(duì)于C選項(xiàng)，新數(shù)據(jù)的方差為s=JQ[(2+a—8)2+(3—8)2H—(13—8)+(8—8)]Vg[(2+a-

8)2+(3-8)2+-(13-8)2]=s2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。選項(xiàng)，因?yàn)?<8<13,所以8不是最值，故新數(shù)據(jù)的極差不變，故。正確.

故選：AD.

(多選)10.(6分)若函數(shù)/(X)=2s譏慮x-今)，貝！|()

A.f(x)的最小正周期為10

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0)對(duì)稱(chēng)

C./(x)在(0,年)上有最小值

D./(%)的圖象關(guān)于直線(xiàn)％=竽對(duì)稱(chēng)

【解答】解：,函數(shù)f(x)=2sin(gx-今),

2TTA

(x)的最A(yù)T小正周期為？-=10,.9.A選項(xiàng)正確；

第6頁(yè)(共14頁(yè))

,//（-4）=2sin（一°孺77"）WO,???B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

J5luu

257T77TT

VxG（0,—）,（-4，n），

.../（x）在（0,空）上沒(méi)有最小值，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

151c

V/（―）=2,.*./（%）的圖象關(guān)于直線(xiàn)％=方~對(duì)稱(chēng)，.二。選項(xiàng)正確.

J4J4

故選：ND

（多選）11.（6分）過(guò)拋物線(xiàn)/=4x的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于4,8兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段N3的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

/作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|48|的最小值為4

TT10

B.當(dāng)時(shí)，|2用=詈

C.以線(xiàn)段為直徑的圓與直線(xiàn)％=-1相切

D.當(dāng)|4回最小時(shí)，切線(xiàn)口與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）

【解答】解：對(duì)于4,依題意可設(shè)直線(xiàn)45的方程為、=叼+1,A（xi,y\）,B（如玫），M（xo,yo）,

則xi>0,X2>0，

聯(lián)立{丫2_j，消x整理得f-4my-4=0,

貝！J》U2=-4,代入>2=4%得

則=X1+X2+2=X1+^-+2>2J%1,'+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)xi=X2=l時(shí)取等號(hào)，

所以|4S|的最小值為4,故4正確；

—>—>

對(duì)于B,結(jié)合4可得4F=（1-第1，一丫1），F(xiàn)B=&-1,丫2），

%]—3

{二=工，|力切=K1+%2+2=竽，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由題意得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1,焦點(diǎn)尸（1,0）,

設(shè)/,B,"在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為H,女，"'，

111

則朋=必,\BF\^\BB'|,\MM]=^（\AA]+\BB]）=^\AF\+\BF\）=^\AB\,

所以以線(xiàn)段N3為直徑的圓與直線(xiàn)x=-l相切，故C正確；

對(duì)于。，結(jié)合/可得，當(dāng)以8|最小時(shí)，不妨取/（1,2）,

則可設(shè)切線(xiàn)口的方程為x=〃（y-2）+1,

第7頁(yè)（共14頁(yè)）

聯(lián)立圣17一2)+1，消x整理得產(chǎn)-4ny+8n-4=0,

則A=16"2-4(8"-4)=0,解得〃=1,所以切線(xiàn)R1的方程為彳=〉-1,

聯(lián)立｛：二；1,解得x=-l,尸0,即切線(xiàn)力與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(7,0),故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)在。2+叁)5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為80.(用數(shù)字作答)

【解答】解：由題設(shè)，展開(kāi)式通項(xiàng)為小尸禺(/)5)(|)』2『C"1°今，

令10-3r=l,

則尸=3,x的系數(shù)為23cg=80.

故答案為：80.

13.(5分)已知向量Q=(2,5),b=(cosa,sin2a)f且a||b.則sina的值為±1.

,->TTT

【解答】解：因?yàn)閍=(2,5),b=(cosa,sin2a),且a||b,

所以5cosa=2sin2a,即5cosa=4sinacosa,即cosa(5-4sina)=0,

因?yàn)閟inae[-1,1],

所以5-4sina>0,

所以cosa=0,又sin2a+cos2a=0,

所以sina=±1.

故答案為：士1.

14.(5分)已知直線(xiàn)/：是曲線(xiàn)/(%)="+1和g(x)=歷什〃的公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a=3

【解答】解：設(shè)直線(xiàn)/與曲線(xiàn)歹=/(x)相切于點(diǎn)(xo,泗)，

由，(X)="+1,得々=/。0)=e&+i,因?yàn)?與曲線(xiàn)/(x)="+1相切，

所以消去得〃。+1而=〃。+1,解得xo=L

第8頁(yè)(共14頁(yè))

設(shè)/與曲線(xiàn)y=g（x）相切于點(diǎn)（xi，/）,由得k=，=^~,即。2打=1,

XXi

因?yàn)椋ǎ?,>1）是/與曲線(xiàn)g（x）的公共點(diǎn)，

所以I,消去yi，得昌；1=>工1+4,即1=仇與+。，解得。=3.

故答案為：3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S“，且a4-i=14,83=14.

（1）求數(shù)列｛劭｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)好=[%，”為及數(shù)列｛瓦｝的前2〃項(xiàng)和為T(mén)2”，求⑸.

Vlog2anfn為奇數(shù)

【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為公

則，*~ai=aiQ3—=14

2

、（S3=%+arq+arq=14'

即啾人T）=14?c,

（Qi（l+q+q2）=14②

。3—1

由①?②，可得12=L

l+q+染

整理，得/-/_9_2=0,

即（q-2）（q2+q+l）=0,

-1Q

,?*^+^+1=（夕+于2+4〉。，

??q=2,

將9=2代入①），解得。1=2,

???斯=2?2寸1=2",〃WN*.

a,八為偶數(shù)

（2）由（1）,可得以=n

log2an,n為奇數(shù)

=(2\八為偶數(shù)

In,九為奇數(shù)，

T2n=b\+bl^----\-bln

=(bi+b3~\-----\~b2n-1)+(bi+b^---FZ72?)

=[1+3+5+…+(2n-1)]+(22+24+--+22n)

_(l+2n-l)n,4(l-4n)

=2+1-4

第9頁(yè)（共14頁(yè)）

=-4n+1+n2--1.

16.（15分）某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了新近上映的某部影片的120名觀(guān)眾，對(duì)他們是否喜歡這部影片進(jìn)行了

調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（單位：人）：

喜歡不喜歡合計(jì)

男性403070

女性351550

合計(jì)7545120

根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題:

（1）根據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析觀(guān)眾喜歡該影片與觀(guān)眾的性別是否有關(guān)；

（2）從不喜歡該影片的觀(guān)眾中采用分層抽樣的方法，隨機(jī)抽取6人.現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人，若所

選2名觀(guān)眾中女性人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附.y2=---------n(ad-bc)2------苴中”=a+6+c+d

叩,*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八,'。十。十c十a(chǎn).

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

【解答】解：（1）零假設(shè)“：不能認(rèn)為觀(guān)眾喜歡該影片與觀(guān)眾的性別有關(guān).

由題意得％2=黑蕊％3°）2工2.057<2.706=%0.10,

故根據(jù)小概率值a=0.10的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷為成立，

???不能認(rèn)為觀(guān)眾喜歡該影片與觀(guān)眾的性別有關(guān)；

（2）從不喜歡該影片的觀(guān)眾中采用分層抽樣的方法，隨機(jī)抽取6人，

由于不喜歡該影片的觀(guān)眾中男性與女性的比例為2：1,

故隨機(jī)抽取6人中有4名男性和2名女性，

故X的取值可能為0,1,2,

則P（x=o）=口=|,p（x=l）=^=gP（X=2）=^=4.

故X的分布列為:

X012

P281

51515

2o12

故E(X)=0x5+1xYg,+2x=亍

第10頁(yè)（共14頁(yè)）

17.(15分)如圖，在四棱錐P-48。中，B4_L平面/BCD,四邊形/BCD是矩形，PA=AD,過(guò)棱PD

的中點(diǎn)E作EFLPC于點(diǎn)F,連接AF.

(I)證明：PC1AF；

(II)若CD=2/D=2,求平面/￡尸與平面RIB所成角的正弦值.

【解答】解：(I)證明：因?yàn)锽4_L平面N3C￡>,CDu平面PCD,

所以B4_LCD,

又因?yàn)镃D_L/。，PADAD=A,

所以CD_L平面BID,

又因?yàn)镹￡u平面為〃，

所以CDLAE,

又因?yàn)槿?/。，￡為尸。中點(diǎn)，

所以4ELPD,

又因?yàn)槭cD=。，

所以NE_L平面PCD,

又因?yàn)槭珻u平面PCD,

所以NE_LPC,

又因?yàn)?/p>

AE^EF=E,

所以PC_L平面4EF,

又因?yàn)?Fu平面/ER

所以PC_L4F;

(II)因?yàn)镋4J_平面48CD,四邊形/2CO是矩形，則4B_L4D,

所以B4,AB,/D兩兩互相垂直，

如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系:

第11頁(yè)(共14頁(yè))

z

p

->

y

X

因?yàn)镃Z)=2/O=2,所以F4=4Q=1,

所以4(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(2,1,0)

則說(shuō)=(2,1,-1),G=(0,1,0),

由(I)知，PC_L平面/￡尸，/。_1平面弘5,

—>—>

所以PC,4。分別為平面NEF,平面的法向量,

設(shè)平面AEF與平面PAB所成角為3

C，X1?76

則cosV而，AD>=l^￡l=1=工

\PC\-\AD\74+i+i-Vo+i+o

sineT，

O

V30

所以平面AEF與平面PAB所成角的正弦值為丁.

6

1

18.(17分)已知函數(shù)f(%)=ax———(a+l)Znx(a6R).

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線(xiàn)歹=/(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線(xiàn)方程;

(2)若/(x)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)閍=-Lf(x)=-x-p

1

所以f(%)=-1+邏

11_P2i

因此/(e)=9一1=-^―，/(e)=-e—萬(wàn)，

11—P2

所以曲線(xiàn)―f(x)在點(diǎn)(e,/(e))處的切線(xiàn)方程為尹(x-e),

grr1—2

即>=~^-%一萬(wàn)；

(2)因?yàn)?(%)=ar—亍一(a+1)4％,

ax2—(a+l)x+l_(ax—l)(x—1)_

所以/(%)=

第12頁(yè)(共T4頁(yè))

又因?yàn)?G）既存在極大值，又存在極小值，則aWO,

所以，所）=依一嶺1）,

1

>o

a-

1w

由題意得,1解得a>0且aWl,

a-

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a>0且。=1}.

x2y2

19.（17分）已知橢圓C葭+,=1（a>b>0）的半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度與焦距相等，且過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直

的直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）已知直線(xiàn)/o：x+2y-2=0與橢圓C交于/,3兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸（2,3）的直線(xiàn)交橢圓C于E,尸兩

點(diǎn)（E在靠近P的一■側(cè)）

（i）求髭的取值范圍;

（ii）在直線(xiàn)/o上是否存在一定點(diǎn)使/瓦以=/廠(chǎng)河4恒成立？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

2c=2-Va2—b2=aa=2

【解答】解：（1）由題意可得2b20-b=6,

---二3

ac=1

%2y2

則橢圓C的方程為,+—=1.

43

(2)設(shè)直線(xiàn)EKx=my+2-3m,E(xi,yi),F(X2,?),

18m2-12m

‘X—my+2—3m\71+72=2

聯(lián)立％22，消去x整理得3(my+t)2+4y2=12=<3m+4，則

+y=127m2—36m

(TT|乃乃=3M2+4

16—24m

…2"不