2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項突破：函數(shù)模型的應(yīng)用

考點15函數(shù)模型的應(yīng)用(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提

升練+拓展沖刺練)

D1【考試提醒】

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.

2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義

3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用

ill

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

x

y=a{a>\)尸10gox(a>l)(心0)

性

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與V軸平行與X軸平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型?r)=Qx+b(Q,b為常數(shù)，aWO)

二次函數(shù)模型f(x)=ax2-\-bx-\-c(a,b,c為常數(shù)，QWO)

k

反比例函數(shù)模型代x)=Tb(k,b為常數(shù)，左WO)

X

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax-\-c{a,b,。為常數(shù),q>0且qWl,bWO)

對數(shù)函數(shù)模型fix)=b\ogax+c{a,b,c為常數(shù)，Q>0且bWO)

a

幕函數(shù)模型J(x)=ax-\-b(afb,a為常數(shù)，aWO)

弱【核心題型】

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函

數(shù)圖象.

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是

否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

【例題1】（2023?山西朔州?模擬預(yù)測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開

發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)x與每平米平均建

筑成本丁（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點圖：

I每平米平均建筑成本/萬元

20-

15-

10-.

5-?

010203040樓層數(shù)/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用了和樓層數(shù)x的回歸方程類型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+be*x

b72

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】C

【分析】通過觀察散點圖并結(jié)合選項函數(shù)的類型得出結(jié)果.

【詳解】觀察散點圖，可知是一個單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項函數(shù)的類型可得回歸方程類

型是反比例類型，故c正確.

故選：C

【變式1］（2023?江西南昌?二模）為了預(yù)防某種病毒，某學(xué)校需要通過噴灑藥物對教室進(jìn)行

全面消毒.出于對學(xué)生身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25

毫克/立方米時，學(xué)生方可進(jìn)入教室.已知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/

0.k,0<r<10

立方米）與時間f（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為>=門\a"，函數(shù)的圖像如圖所示.如

果早上7：30就有學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

【答案】A

【分析】函數(shù)的圖像過點代入函數(shù)的解析式求得未知系數(shù)。，解函數(shù)不等式即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的圖像過點

由函數(shù)圖像連續(xù)，代入函數(shù)的解析式，可得解得。=1,

0.1/,0<^<10

所以V=1門宿T

1]

令”0.25,可得0.1/W0.25或g：<0,25-

解得0<142.5或心0.

所以如果7：30學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是7：00.

故選：A

【變式2］（2023?四川南充?三模）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當(dāng)血藥濃度

介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間時藥物發(fā)揮作用.某種藥物服用1單位后，體內(nèi)血藥

濃度變化情況如圖所示（服用藥物時間對應(yīng)f時），則下列說法中不正確的是（）

0I23456789101112

服用藥物后的時間〃〃

A.首次服藥1單位后30分鐘時，藥物已經(jīng)在發(fā)揮療效

B.若每次服藥1單位，首次服藥1小時藥物濃度達(dá)到峰值

C.若首次服藥1單位，3小時后再次服藥1單位，一定不會發(fā)生藥物中毒

D.每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

【答案】C

【分析】根據(jù)所給圖象及最低有效濃度、最低中毒濃度，逐項判斷即可得解.

【詳解】由圖象知，當(dāng)服藥半小時后，血藥濃度大于最低有效濃度，故藥物已發(fā)揮療效,

故A正確；

由圖象可知，首次服藥1小時藥物濃度達(dá)到峰值，故B正確；

首次服藥1單位，3小時后再次服藥1單位，經(jīng)過1小時后，血藥濃度超過3a+6a=9°,

會發(fā)生藥物中毒，故C錯誤；

服用該藥物5.5小時后血藥濃度達(dá)到最低有效濃度，再次服藥可使血藥濃度超過最低有效濃

度且不超過最低中毒濃度，藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故D正確.

故選：C

【變式3](23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試)函數(shù)/■。)=產(chǎn)"的圖象如圖所示，則

(x+c)

()

A.a<0,Z><0,c>0B.a>0,6<0,c>0

C.Q>0,6>0,C<0D.6Z>0,/?<0,C<0

【答案】D

【分析】由函數(shù)的定義域可判斷c的符號，分別令x=0,y=0可判斷。力的符號.

【詳解】由X+CW0,得XW-C,所以/(0的定義域為(-oo,-c)U(-c,+co),

由圖可知-c>0,得c<0,

令/(x)=0,則辦+6=0,得x=-2,

a

由圖可知x=-2>o,得2<o,

aa

令x=0,得>=與，由圖可知々<0,得b<0,

CC

所以。>0,

綜上，a>0,b<Q,c<0,

故選：D

題型二已知函數(shù)模型的實際問題

已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

⑵根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗.

【例題1】.（2024高三?全國?專題練習(xí)）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水

的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的開水泡制，再等茶水溫度降至55℃時飲用，可

以產(chǎn)生最佳口感，如果茶水原來的溫度是經(jīng)過一定時間/min后的溫度7（單位：。C）可

由公式T=求得，其中4表示室溫，發(fā)是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而

定的正常數(shù).現(xiàn)有一杯85℃的綠茶放在室溫為25℃的房間中，如果茶溫降到45℃需要

lOmin,那么在25℃室溫下，用85℃的開水泡制，剛泡好的茶水要達(dá)到最佳飲用口感，大約

需要放置（）（參考數(shù)據(jù)：比2。0.693,In3。1.099）

A.4minB.6minC.7minD.9min

【答案】C

【分析】一杯85℃的綠茶放在室溫為25℃的房間中，茶溫降到45℃需要lOmin代入公式得

左=坐；茶溫降到55℃需要ftnin代入公式得=10X萼，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可求得九

10m3

【詳解】因為一杯85℃的綠茶放在室溫為25c的房間中，如果茶溫降到45℃需要lOmin,

則45=25+（85-25>eT°*,整理得「觥=；,解得左=片，

一杯85℃的綠茶放在室溫為25℃的房間中，如果茶溫降到55℃需要Zmin,

則55=25+（85-25"，，整理得e.=L解得”曰=io*@2合6.31,

2kIn3

所以大約需要7min.

故選：C

【變式1］（2024?四川德陽?三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展

和資源整合.己知某類果蔬的保鮮時間M單位：小時）與儲藏溫度N單位：。。滿足函數(shù)關(guān)系.

>=y+氣°,b.為常數(shù)），若該果蔬在7。（：的保鮮時間為288小時，在21K的保鮮時間為32

小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度（假設(shè)物流過程中恒溫）

最高不能超過（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.

7a+b_2881i

23「n，貝1J/"=X，即e7”=：,顯然a<0,

）e=3293

21a+67a21fl+614a+i

設(shè)物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃,于是e"+〃>96=3-e=e--e=e,

解得a7+6N14“+b,因此t414,

所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.

故選：A

【變式2]（2023?貴州銅仁?模擬預(yù)測）牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型

。=%+他-4）e*為時間，單位：分鐘，為為環(huán)境溫度，，為物體初始溫度，0為冷卻

后溫度），假設(shè)一杯開水溫度4=100℃,環(huán)境溫度%=20℃,常數(shù)上=0.2,大約經(jīng)過

分鐘水溫降為3CPC（參考數(shù)據(jù)：ln2?s0.7）.

【答案】10.5

【分析】代入數(shù)據(jù)，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)性質(zhì)運算即可得.

【詳解】由題意30=20+（100-20）二.，則02=ln8=31n2=3x0.7=2.1,所以小10.5分鐘.

故答案為：10.5.

【變式3]（2024高三?全國?專題練習(xí)）環(huán)保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S（單

位：m?）與時間/（單位：月）之間的關(guān)系，通過觀察建立了函數(shù)模型

,

S（t）=ka（t&Z,k>0,a>Q,且aW1）.已知第一個月該植物的生長面積為,第三個月該植

物的生長面積為4m2.

（1）求證：若5（。）5年）=（5（幻）2,貝"+「2小

⑵若該植物的生長面積達(dá)到100m?以上，則至少要經(jīng)過多少個月？

【答案】⑴證明見解析

（2）8個月

【分析】（1）先根據(jù)條件求出參數(shù)，利用指數(shù)的運算可得答案；

（2）根據(jù)題意可得2i>100,求解指數(shù)不等式即可.

[s[\\=ka=\k==

【詳解】⑴證明：:0I73’2.

卜（3）=版=4[fl=2

S（/）=gx2，=2<-1.

由S⑷?S(f3)=(S?2)y，得211T.24T=2*2,M+f3=2/z.

(2)令S0=2i>100,又feZ,5(7)=64<100,5(8)=128>100,

.??后8,即至少需要經(jīng)過8個月

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟

⑴建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；

(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實

際問題中去，得到實際問題的解.

【例題1】(23-24高三上?江蘇南通?期末)某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生制作一個矩形框架的

工藝品.要求將一個邊長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架

的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為()

A.20V2cmB.30>/5cmC.40V5cmD.600cm

【答案】D

【分析】由已知作圖如圖所示，設(shè)ZAEF=a,利用三角函數(shù)表示各邊長，借助三角函數(shù)性

質(zhì)計算可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，EF=W,FG=20,

TT

令NAEF=a,則/尸=10sina,//五￡=］一a,則ZBFG=a,

JT

BF=20cosa,SG=20sintz,ZSGF=a,則Z.CGH=a,CG=10cos?

2

，周長=248+2BC=2(1Osina+20cosa)+2(20sina+1Ocosa)

=60sina+60cosa=60V2sin|a+—|<60A/2,

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的定義表示出所求周長，再利用三角恒

等變換即可得解

【變式1]（2023?陜西商洛?模擬預(yù)測）凈水機(jī)通過分級過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水

的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP

棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各

種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層尸產(chǎn)棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大

顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則PP棉濾芯

的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：1g2土0.30,lg3?0.48）（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】首先由條件抽象出經(jīng)過〃層改棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量了的函數(shù)，再結(jié)合

指對運算，解不等式.

【詳解】設(shè)經(jīng)過"層尸尸棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為丁，則

令80x]|）<2,解得圖"$,兩邊取常用對數(shù)得〃號叫，即〃啖lg40

即“（Ig3-lg2）21+21g2,因為lg2x0.30,lg3?0.48,

所以（0.48-0.30）〃21.60,解得“葉，因為〃eN*,所以"的最小值為9.

故選：A

【變式2】2023?上海閔行?三模）珠穆朗瑪峰高達(dá)8848.86米，但即使你擁有良好的視力，

你也無法在上?？吹剿?一個觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能

夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中,

有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿

直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線.你認(rèn)為最不重要的一個假設(shè)

是.

【答案】①

【分析】由數(shù)學(xué)建模時，假設(shè)針對問題的主要因素，忽略次要因素的原則，即可得出答

案.

【詳解】數(shù)學(xué)建模時，針對問題的主要因素，忽略次要因素，這里我們需要測量觀察者距離

珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，主要關(guān)注的應(yīng)該是珠穆朗瑪峰的高度，此時，珠穆朗瑪峰的形狀對于測量

結(jié)果影響很小，故假設(shè)①最不重要，

故答案為：①.

【變式3］(23-24高三上?福建寧德?期中)為了減少碳排放，某企業(yè)采用新工藝，將生產(chǎn)中

產(chǎn)生的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品.已知該企業(yè)每月的處理量最少為30噸,最多為400噸.

月處理成本/(x)(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系近似地表示為

/(X)=1X2-300X+64800.

(1)該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元？

(2)該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最

低是多少元？

【答案】(1)企業(yè)每月處理量為300噸時，成本最低，最低為19800元

⑵企業(yè)每月處理量為360噸時，每噸的平均處理成本最低，最低60元

【分析】(1)由函數(shù)單調(diào)性得到最值；

(2)得到每噸的平均處理成本g(x)=gx-300+WW,利用基本不等式求出最值.

【詳解】(1)該企業(yè)的月處理成本=-300x+64800=g(x-300)2+19800,

因為304x4400,〃龍)在［30,300］上單調(diào)遞減，在(300,400］上單調(diào)遞增，

所以該企業(yè)每月處理量為300噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是19800元.

(2)因為/(無)=g尤2_300%+64800(30<x<400),

所以每噸的平均處理成本g(x)=〃"=gx-300+變”.

因為一變四口,留眄=360,當(dāng)且僅當(dāng)x=360時，等號成立，

2xV2x

所以g(x)Z60,

即該企業(yè)每月處理量為360噸時，每噸的平均處理成本最低，為60元

H【課后強(qiáng)化】

基礎(chǔ)保分練

一、單選題

1.(2024?江蘇?一模)德國天文學(xué)家約翰尼斯?開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀

測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動

第三定律一一繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉(zhuǎn)

3

周期7有如下關(guān)系:混，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)

周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的公式，由周期的倍數(shù)關(guān)系求出長半軸長的倍數(shù)關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為工，長半軸長為外,火星的公轉(zhuǎn)周期為%,長半軸長為。2,

2萬2

①

4GM

則，工=8右,且

3

27r次②

4GM

■得:*（￡=8,

②T2a2

所以，/"=4,即：％=4%.

故選：B.

2.（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量少（單位：平方米）的

計算公式是％=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面

積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）

是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【分析】設(shè)矩形場地的長為工米，則獷=4%+二”+10016,結(jié)合基本不等式計算即可求解.

x

【詳解】設(shè)矩形場地的長為X米，則寬為納S米,

X

W=(x+4)(^^+4)=4x++10016>2/4x-^^+10016=10816,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)4%=也也，即x=100時，等號成立.

X

所以平整這塊場地所需的最少費用為1x10816=10816元.

故選：C

3.(2024?上海奉賢?二模)已知函數(shù)y=/(x),其中y=d+l,y=g(x),其中

g(x)=4sinx,則圖象如圖所示的函數(shù)可能是().

_/(x)

B.'一g(x)

C.y=/(x)+g(x)-lD.y=f(x)-g(x)-l

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和〃x),g(x)的奇偶性判斷.

【詳解】易知〃x)=/+l是偶函數(shù)，g(x)=4sinx是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對應(yīng)的是奇

函數(shù)，

A.^=/!(X)=7M=^T,定義域為山

/(X)X+1

4sin(一%)4sinx

又”-尤)=(一二;=一｝??=-"xl所以〃(x)是奇函數(shù)，符合題意，故正確；

/(x)X2+1

B.>=—=7—，x豐kn,keZ,不符合圖象，故錯誤；

g(x)4sinx

C.y=h^x)=/(x)+g(x)-1=x2+1+4sinx-1=x2+4sinx,定義域為R,

但故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；

D.^=/z(x)=/(x)-g(x)-l=x2+l-4sinx-l=x2-4sinx,定義域為R,

但故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤，

故選：A

4.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸

(單位：mg/L)與時間單位：h)之間的關(guān)系式為尸=〃e*,其中［，左是正的常數(shù)，

若在前5h消除了20%的污染物，則常數(shù)人所在的區(qū)間為()

【答案】B

4

【分析】首先由題意列式］再利用指對互化，求解方程，再確定范圍.

4

5k

【詳解】由條件可知，當(dāng)f=0時，P=P0,由題意可知，-P0=P0e~,

得弘=ln』，即左=11n?,

454

因為［*］4<e,f-Y>e,所以!

⑷⑷544

故選：B

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）在下列四個圖形中，點P從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長為

/的圖形運動一周，。、尸兩點連線的距離y與點尸走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點尸

所走的圖形是（）

【答案】D

【分析】由點尸在第二條邊上運動時，y的單調(diào)性可排除A,由圖象的對稱性可排除B,由

一開始丁與x是線性的可排除C,對于D,當(dāng)圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.

【詳解】對于A,點P在第一條邊上時，V=x,

但點尸在第二條邊上運動時，y是隨x的增大先減?。p到最小時了即為三角形的第二條邊

上的高的長度），然后再增大,

對比圖象可知，A錯誤；

對于B,＞與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；

對于C,一開始了與x的關(guān)系不是線性的，C錯誤；

對于D,因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長為。，

點P在第一條邊上時（即04x4。時），V=x,

點尸在第二條邊上運動時（即。42a時），y=M+（x-aj,依然單調(diào)遞增，

點尸在第三條邊上運動時（即2aWxW3a時），y=^a2+（3a-x^,單調(diào)遞減，

點P在第四條邊上運動時（即3aWxW4a時），y=Aa-x,單調(diào)遞減，

且已知V與％的圖象關(guān)于x=2a=，（其中/=4a）對稱，D正確.

2

故選：D.

二、多選題

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量

達(dá)到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為

64Ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度了（單

位：ppm）與排氣時間單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關(guān)系y=ae"（a,R為常數(shù)，e是自然

對數(shù)的底數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進(jìn)入車庫了，則下列說

法正確的是（）

A.a=128

B.R」n2

4

C.排氣12分鐘后濃度為16Ppm

D.排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫

【答案】ACD

【分析】由題意列式，求出。=128,R=-：ln2,即可判斷A,B；可得函數(shù)解析式，將x=12

4

代入，即可判斷C；結(jié)合解析式列出不等關(guān)系，求出人可以安全進(jìn)入車庫的排氣時間，判斷

D.

4R

\A.Q=64

【詳解】設(shè)/⑺="七代入（4,64）,（8,32）,得SR”，

解得4=128,火=-Jln2,A正確，B錯誤.

4

(J_V7，

此時/?)=128(e")'=2'-22=2「"所以〃12)=24=16(ppm),C正確.

\7

當(dāng)了⑺V0.5時，即<0,5=27，得7-;WT,所以此32,

所以排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫，D正確.

故選:ACD.

7.(2023?廣東廣州?三模)已知函數(shù)/。)=照+——的圖象與直線y=W；eR)有三個

xelnx+x

交點，記三個交點的橫坐標(biāo)分別為再戶2戶3，且再<龍3，則下列說法正確的是()

A.存在實數(shù)左，使得石=1

【答案】BCD

【分析】化簡方程，令也=f，得d+(1-左)f-左+1=0,構(gòu)造8(幻=更竺，貝Ug'(x)=e?匕室,

XXX

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于X的方程三個不相等的實數(shù)解占,％,當(dāng),且

再<X2<%,結(jié)合圖象可得關(guān)于r的方程》+(1-柱-左+1=0一定有兩個實根％。

(?1<0<Z2<l),結(jié)合韋達(dá)定理，推出所求表達(dá)式的關(guān)系式，然后對選項一一判斷即可得出

答案.

1elnx1,?

■、工q、Eelnxx7八一/口----1——：-------K=0

【詳解】由方程----+1-------k=0,可得％elnx

xelnx+x-------h1

x

AInV1

令——=t則有，+-----左=0,即『+(1—左"一左+1=0.

x9Z+1

人丁皿/、elnxEI，/、1-lnx

令函數(shù)g(x)=---，則g(x)=e-----,

XX

令g<x)>0,解得0<x<e,令g'(x)v。，解得x〉e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+◎上單調(diào)遞減,

所以g(x)a=g(e)=旦配=1，作出圖象如圖所示,

e

pInVx

要使關(guān)于X的方程+-―^——k=o有三個不相等的實數(shù)解再,乙,W,且西〈無2<X3,

xemx+x

結(jié)合圖象可得關(guān)于f的方程產(chǎn)+(I-4)/左+1=0一定有兩個實根％,右，

且"VO,Ojvl或4=1,0<Z2<1,

令g(')=1+(1_左)'一左+［，若‘1<0，0<Z2<1,

g(O)=-A;+l<O

3

貝ljgjl)=3-2左>0故1<左得.

公=(-左+1)2—4(-左+1)=后2+2左一3>0

g(0)=-^+l>0

g(l)=3-2^=0

2

若"=1,0<Z2<1,則，A=(-^+l)-4(-^+l)=F+2^-3>0>無解，

0?<--\---k<1.

I2

綜上：A:ell,|

，故C正確;

由圖結(jié)合單調(diào)性可知W>e,故B正確;

若/⑴一左=1-左=。，貝IJ左=1,又左故A不正確;

［皿+1■峪+耳它+口=(%牙但+邛％口=,+。也+4：

eeQ

(再eJx2eJi/J(eeJee人eeJ(eeJvJ

t,lV/1}11zx11/7八1〃11

=-+-—2+-=—t\t+—［t+t)+—=—(-k+\)+—(k-V)+—=—,

人ee八ee力e2ex2eeeee

故D正確，

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造g(x)=旦竺，判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將

X

—+———k=0,轉(zhuǎn)化成關(guān)于/的函數(shù)即可求解.

xeinx+x

三、填空題

8.Q2-23高三下?上海閔行?階段練習(xí)）一般的數(shù)學(xué)建模包含如下活動過程：①建立模型；②

實際情境；③提出問題；④求解模型；⑤實際結(jié)果；⑥檢驗結(jié)果，請寫出正確的序號順

序.

【答案】②③①④⑥⑤

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)建模的活動過程及順序?qū)懗鼋Y(jié)論作答.

【詳解】數(shù)學(xué)建模活動，根據(jù)實際情境，提出問題，基于問題，建立模型，通過模型的求解,

以檢驗?zāi)Ｐ徒鉀Q問題的結(jié)果，

若結(jié)果不符合實際，還需重新建立模型；若結(jié)果符合實際，問題的回答便有了實際的結(jié)果,

所以正確的序號順序是②③①④⑥⑤.

故答案為：②③①④⑥⑤

9.（2024?上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

甲乙丙

接單量/（單）783182258338

油費S（元）107150110264110376

平均每單里程左（公里）151515

平均每公里油費a（元）0.70.70.7

出租車空駛率=筋濟(jì)彳嬴編聲;依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空

I——*——Il-LJ*I~-I-JHJ，L^、I\—L-

駛率的模型喋=〃SJ,左,。），并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x%,貝U

x=（精確到0.01）

【答案】20.68

【分析】根據(jù)題意得到出租車空駛率的模型，檢驗甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意,

從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.

【詳解】依題意，因為出租車行駛的總里程為士，出租車有載客時行駛的里程為友，

S7

—tk

tka

所以出租車空駛率〃=旦丁一1-------

s

a

對于甲，1一暨扁1產(chǎn)”。2326=23.26%,滿足題意;

對于乙，1-8生絲^^0.2168=21.68%,滿足題意;

110264

所以上述模型滿足要求,

則丙的空駛率為X%=。0.2068=20.68%，即x=20.68.

故答案為：20.68.

四、解答題

10.（2024?浙江溫州?二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金x

（萬元）與年收益了（萬元）的8組數(shù)據(jù):

X1020304050607080

y12.816.51920.921.521.92325.4

⑴用y=61nx+a模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益了與年投入資金x的關(guān)系，求出回歸方程；

⑵為響應(yīng)國家'加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)"的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計其收益

為投入的10%.2024年該企業(yè)計劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大

值.（精確到0.1萬元）

n

＞丫幽-riv-u

附：①回歸直線日=加+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：6=弋--------

?:-后

Z=1

a=u-b'V

②

8888

XX如叫丫

Z=1i=li=li=l

1612920400109603

③ln2?0.7,ln5?1.6

【答案】⑴》=5欣+2

(2)36.5

【分析】（1）利用回歸直線的公式求3和a的值，可得回歸方程.

（2）建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值.

88

8￡1叫

603-8X"x回

ZInxiyi-81nx-y2In龍,％-8"—.七

/=]ay

【詳解】⑴B，=188

~~82=5

2

Z（lnxj2_8（lnx）Z（lnxj2_8（lnx）109-8x

i=li=l

方=]_g.￡=?_5x絲=2

"88

二回歸方程為：y=51nx+2

（2）2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)尤萬元，預(yù)計收益了（萬元）

y=51tix+2+（200-x）?,0VxV200

??.其在（0,50）上遞增，（50,200）上遞減

ymax=51n50+2+15=5（21n5+ln2）+17-5x（2xl.6+0,7）+17=36.5

IL（2024,江西上饒,一模）機(jī)動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機(jī)動車輛由于自

然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險.機(jī)動車輛保險

一般包括交強(qiáng)險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險.經(jīng)驗表明商業(yè)險保費

（單位：元）由過去三年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，上饒市某機(jī)動車輛保險公司

對于購買保險滿三年的汽車按如下表格計算商業(yè)險費用.（假設(shè)每年出險次數(shù)2次及以上按

2次計算）

出險情況商業(yè)險折扣若基準(zhǔn)保費3000元時對應(yīng)保費

三年內(nèi)6賠1.85400

三-年內(nèi)5賠1.54500

三年內(nèi)4賠1.23600

三年內(nèi)3賠13000

三年內(nèi)2賠0.82400

三年內(nèi)1賠0.72100

三年內(nèi)。賠0.61800

⑴汽車的基準(zhǔn)保費由車的價格決定，假定王先生的汽車基準(zhǔn)保費為3000元，且過去8年都

沒有出險，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價得知維修費為1000元，理賠人員

根據(jù)王先生過去一直安全行車的習(xí)慣，建議王先生出險理賠，王先生是否該接受建議？（假

設(shè)接下來三年王先生汽車基準(zhǔn)保費不變，且都不出險）

（2）張先生有多年駕車經(jīng)驗，用他過去的駕車出險頻率估計概率，得知平均每年不出險的概

率為0.8,出一次險的概率為0.1,出兩次險的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）.張先生近

期買了一輛新車，商業(yè)險基準(zhǔn)保費為3000元（假設(shè)基準(zhǔn)保費不變），求張先生新車剛滿三年

時的商業(yè)險保費分布列及期望.

【答案】⑴接受建議

⑵分布列見解析；期望為2106.3（元）

【分析】（1）計算出險和不出險兩種情況的繳費情況，將差值與1000計較即可得結(jié)論；

（2）列出X的可能值，分別計算概率再計算期望即可.

【詳解】（1）由于王先生過去三年都沒有出險，

若不出險，王先生接下來三年只需按最低標(biāo)準(zhǔn)1800元繳費，共需5400元.

若進(jìn)行理賠，則接下來三年每年需2100元，共需6300元

6300-5400=900<1000,故出險理賠更劃算.

（2）設(shè)商業(yè)險保費數(shù)額為隨機(jī)變量X,

則X的可能值為5400,4500,3600,3000,2400,2100,1800.

則尸（X=5400）=0.1x0.1x0.1=0.001

尸（X=4500）=C'（O.l）3=0.003

尸（X=3600）=C；（0.1）3+C；（0.1）20.8=0.027

尸（X=3OOO）=C^O.8xC*（0.1）2+（0.1）3=0.049

=2400）=C'O.l（O.8）2+C1（O.l）20.8=0.216

尸（X=2100）=C；（OK）?0」=0.192

P（X=1800）=（0.8）3=0.512

X5400450036003000240021001800

P0.0010.0030.0270.0490.2160.1920.512

則E（X）=5400x0.001+4500x0.003+3600x0.027+3000x0.049+2400x0.216

+2100x0.192+1800x0.512=2106.3（元）

綜合提升練

一、單選題

1.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根

據(jù)設(shè)計噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量4（單位：L/min）計算公式

為4=爪71瓶和保護(hù)對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為N=——計算確定，其中尸為水霧

q

噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為

保護(hù)對象的保護(hù)面積，沙為保護(hù)對象的設(shè)計噴霧強(qiáng)度（單位：L/minm2）.水霧噴頭的布置

應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對象，如不能滿足要求時應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量.當(dāng)水霧

噴頭的工作壓力尸為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護(hù)對象的保護(hù)面積S為

14m\保護(hù)對象的設(shè)計噴霧強(qiáng)度少為20L/min-m2時，保護(hù)對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為

（參考數(shù)據(jù)：＞/3?5?1.87）（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】C

【分析】把給定的數(shù)據(jù)代入公式計算即可作答.

【詳解】依題意，P=0.35MPa,K-24.96,S=14m2,W=20L/min-m2,

,—2S-W/口“S-W14x20________280_

由g=K師'Ny,得Ny而6

24.96x715~24.96x1.87''

所以保護(hù)對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個.

故選：C

2.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）設(shè)某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為x（單位：萬件），總成本

c（x）=100+13x（單位：萬元），銷售單價p（x）="-3（單位：元/件）.若該批產(chǎn)品全

部售出，則總利潤（總利潤=銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（）

A.7萬件B.8萬件C.9萬件D.10萬件

【答案】B

【分析】表達(dá)出總利潤關(guān)于x的關(guān)系式，變形后利用基本不等式求出最值，得到答案.

【詳解】總利潤/（x）=x---3-（100+13x）=732----16（x+2）

yXI乙）X十N

<732-2^^xl6（x+2）=412,當(dāng)且僅當(dāng)黑=16（x+2）,

即x=8時，/（x）最大，故總利潤最大時的產(chǎn)量為8萬件.

故選：B.

3.（2024?北京豐臺?一模）按國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為A系列和3系列，其中A系列

以闌，N1,...等來標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)為：

①加規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為1:亞；

②將/i（i=0,l,…,9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為4（i+l）規(guī)格紙張（如

圖）.

某班級進(jìn)行社會實踐活動匯報，要用加規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需/4規(guī)格紙張40

張，42規(guī)格紙張10張，H規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供闌規(guī)格紙張的張數(shù)

為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】設(shè)一張加規(guī)格紙張的面積為x,從而得到一張⑷、42、N4紙的面積，再求出所

需要的紙的總面積，即可判斷.

【詳解】依題意1張闌規(guī)格紙張可以裁剪出2張/I,或4張42或16張/4,

設(shè)一張加規(guī)格紙張的面積為x,

則一張W規(guī)格紙張的面積為gx,

一張/2規(guī)格紙張的面積為［x,

一張A4規(guī)格紙張的面積為4x,

依題意總共需要的紙張的面積為40xJx+10xJX+5X：X=7X+（X,

所以至少需要提供8張闌規(guī)格紙張，

其中將3張加裁出5張加和2張/2；將2張/（）裁出8張/2；

將剩下的3張NO裁出3x16=48張/4,

即共可以裁出5張/I、10張/2、48張N4.

故選：C

4.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的

廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/n?,第〃次改良工藝后

排放的廢水中含有的污染物數(shù)量/滿足函