山東省青島某中學(xué)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

山東省青島第五十八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合“=何y=lg（2x_3）},N={y|y>l},則（）

A-[T'3b-IC]c-（1'+°°）D.

2.已知Z石是相互垂直的單位向量.若向量9=1方，OB=2a+b，則向量函在向量而上

的投影向量為（）

1-2r1-2丁

A.—Q+—。B.——a——b

5555

-2-1丁一2—l

C.—uH—bD.—a—br

5555

3.記正項(xiàng)等差數(shù)列{叫的前幾項(xiàng)和為%S20=100,則％的最大值為（）

A.9B.16C.25D.50

22

4.已知雙曲線C:乙-土=1的一條漸近線方程為y=2x,則7九=（）

4m

A.1B.2C.8D.16

5.己知某圓錐的側(cè)面積為缶，軸截面面積為1,則該圓錐的母線與底面所成的角為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長(zhǎng)假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游.除常

見的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、

丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.已知尸為拋物線d=4y上一點(diǎn)，過P作圓f+（y-3）2=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

貝iJcosNAPB的最小值為（）

8.已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)镽,且〃尤+1）為偶函數(shù)，〃x+2）-l為奇函數(shù).若"1）=0,

26

則X/伏)=()

k=l

A.23B.24C.25D.26

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)Z]*2,下列說法正確的是()

A.若㈤=卜|,則z；=z；B.|平2同馬上|

C.|4-2區(qū)團(tuán)+閆D.1Z1+Z2歸㈤+囪

10.已知函數(shù)/(x)=ln(cosx)+sin2x,則()

A./(x)=/(-x)B./(x)在單調(diào)遞增

C./(x)有最小值D.f(x)的最大值為一--

2

11.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)

稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物.關(guān)于曲線。：/+/=國(guó)+忖，則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形

B.曲線c關(guān)于x軸，v軸成軸對(duì)稱圖形

C.曲線C上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2

D.曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于兀

三、填空題

12.若(l+x)5(a+/j展開式中/的系數(shù)為30,則“=.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，0(0,0)、A(sina,cosa)、BlcosfLsinfjj,當(dāng)

NAOB=T時(shí).寫出。的一個(gè)值為.

22

14.已知雙曲線二-當(dāng)=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),,若過點(diǎn)F,的直線與雙

曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，且1A耳上3劇=2君.又以雙曲線的頂點(diǎn)為圓心，半

徑為20的圓恰好經(jīng)過雙曲線虛軸的端點(diǎn)，則雙曲線的離心率為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

-，心.皿/、a(\nx+a\

15.已知函數(shù)----』

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證:當(dāng)a>0時(shí)，/(x)<e2fl-2

16.已知橢圓E:=+方=1(。>匕>0)的左，右焦點(diǎn)分別為E，耳，橢圓￡的離心率為萬，橢

圓￡上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若過右焦點(diǎn)F?的直線/與橢圓E交于8,C兩點(diǎn)，E的右頂點(diǎn)記為A,ABUCR,求直線

/的方程.

17.如圖，己知四棱錐S—ABCD中，A8=8C=1,ZA8C=12O\A8_LAO,C￡>_L平面&4D,

⑴證明：BG〃平面SAD；

4

(2)已知銳二面角S-AC-。的正弦值為二，求二面角C-S4-O的余弦值.

18.樹人中學(xué)高三(1)班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(滿分150分)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

性別參加考試人數(shù)平均成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差

男3010016

女209019

在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，己知總體劃分為2層，把第一層樣本記為尤”無2,無3,…，X.，其

平均數(shù)記為Z方差記為S；;把第二層樣本記為H，%，%，…,%，其平均數(shù)記為亍，方差記

為S；；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為△方差記為$2.

⑴證明:x—z

m+n

（2）求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；

（3）假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布,以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)

和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為〃和。的估計(jì)值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將考試成績(jī)從高分

到低分依次劃分為4瓦四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）.

附：P（/z-o-<X<ii/+o-）?0.68,V302?17,A/322?18,V352?19.

19.數(shù)列{““}的前〃項(xiàng)％，%，…，4（〃eN*）組成集合4={4,/,…,4},從集合4中任取

以左=1,2,3,個(gè)數(shù)，其所有可能的上個(gè)數(shù)的乘積的和為"（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為

此數(shù)本身），例如：對(duì)于數(shù)列{2〃-1},當(dāng)”=1時(shí)，4={1},7]=1;"=2時(shí)，&={1,3},4=1+3,

心=卜3；

⑴若集合4=口，3,5,…,2〃-1},求當(dāng)〃=3時(shí)，若:G的值;

⑵若集合4={1，3,7,…,2"-1},證明：〃“時(shí)集合《的空與仁女+1時(shí)集合&的圖（為

了以示區(qū)別，用北表示）有關(guān)系式以=（2"=1）7；T+7；,其中

⑶對(duì)于（2）中集合4.定義5,=7；+n+~+7；,求S“（用”表示）.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DBCACBCCBCDABD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】根據(jù)真數(shù)要大于0和集合交集的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】?.?M={x|2x-3>0}=1|,+8)N={y|y>l}=(l,+”)，

故MnN=g+J.

故選：D.

2.B

【分析】利用向量數(shù)量積的性質(zhì)先求|荏|，麗?麗，然后由投影向量公式可得.

【詳解】因?yàn)椤晔窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄浚?/p>

所以〃?/?=(),@2=^2=].

又礪=￡-B，0B=2a+b^所以在=訪一次=Z+2B，

所以|荏1,(商+23)2=J『2+4灑3+4廬=亞,

^OA-AB=^a-b^a+2b^=a2+a-b-2b2=~l,

所以向量次在向量通上的投影向量為

網(wǎng)網(wǎng)研-

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可得為+勺=1。，利用基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】?.?S2°=^^X20=1。。，

%+a20=10,.,.al0+0,5=%+a20=10.

又：aw>0,%>0,

答案第1頁，共17頁

...%)?孫＜］笞［I=-=25,當(dāng)且僅當(dāng)4。=%=5時(shí)，取"今

aw-an的最大值為25.

故選：C

4.A

【分析】利用雙曲線方程先含參表示漸近線方程，再待定系數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】依題意，得山〉0,

2222

令-—L=Ony=±kx,即C的漸近線方程為＞=士-x,

4my/m7m

2

所以方==2=＞機(jī)=1.

7m

故選：A

5.C

【分析】設(shè)相應(yīng)長(zhǎng)度，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和軸截面面積列式可得~,再結(jié)合線面夾

角運(yùn)算求解.

設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為6,則0。＜。＜90。，

h

可得tand=K=l,所以該圓錐的母線與底面所成的角為。=45。.

r

故選：C.

6.B

【分析】分成恰有2個(gè)部門所選的旅游地相同、4個(gè)部門所選的旅游地全不相同兩類，再應(yīng)

用分步計(jì)數(shù)及排列、組合數(shù)求至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù).

【詳解】①恰有2個(gè)部門所選的旅游地相同，

答案第2頁，共17頁

第一步，先將選相同的2個(gè)部門取出，有Cj=6種;

第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有A：=120種,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有6x120=720種；

②4個(gè)部門所選的旅游地都不相同的方法有A：=360種,

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同

的方法種數(shù)共有720+360=1080種.

故選：B

7.C

【分析】設(shè)由|PC|取得最小值，則“有最大，cos/APB最小求解.

【詳解】如圖所示：

AC1

因?yàn)閆AP3=2ZAPC,sinZAPC=--=,

則匚-3]=--—+9=—(f2-4)2+8,

111^4J16216v)

當(dāng)產(chǎn)=4時(shí)，IPC|取得最小值20,

此時(shí)ZAPB最大,COS/AP3最小，

且(cos/APB).=1-2sin2/APC=l—21七］=1,故C正確.

故選：C

8.C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線x=l對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)(2」)對(duì)稱，則得到其周期,

答案第3頁，共17頁

再計(jì)算其一個(gè)周期內(nèi)的和，最后代入計(jì)算即可.

【詳解】，(尤+1)為偶函數(shù)，貝U/(x+l)=/(—X+1)貝關(guān)于X=1對(duì)稱，

/(尤+2)—1為奇函數(shù)，貝IJ/(一元+2)—l=-f(x+2)+l,

即/(-%+2)+f(x+2)=2,則關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，

則由其關(guān)于x=1對(duì)稱有f(x)=/(-x+2),則/(%)+/(%+2)=2,

則f(x+2)+/(x+4)=2,作差有f(x)=f{x+4),

為周期函數(shù)，且周期為4,因?yàn)椤發(fā))+f(3)=2,/(1)=0,則〃3)=2,

因?yàn)?(。)=〃2),/(0)+/(2)=2,則為0)=/(2)=1,

/⑷=〃。)=1，貝I/(D+/⑵+/⑶+/⑷=4,

2426

.?.￡/⑹=24,￡/(%)=24+0+1=25,

k=lk=l

故選：C.

9.BCD

【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷B；根據(jù)復(fù)

數(shù)加減法的幾何意義及坐標(biāo)表示即可判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)4=l+2i，z=2+i,顯然㈤=閡,

但z；=-3+4iwz；=3+4i,故A錯(cuò)；

對(duì)于B,設(shè)4=。+歷/2=c+di,

則ZjZ2=ac-bd+^ad+bc^i,

匕好21=Q(ac-bd)~+(ad+bc)-=Ja。c。+a~d~+b°c-+d-d',

222222222222

[Z]J]z2|=yja+b->]c+d=yjac+ad+bc+dd,

所以|空2|=團(tuán)同,故B對(duì)；

對(duì)于CD,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)均在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量西，

復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)向量運(yùn)，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，

故bI?1和匕+z2|分別為西和區(qū)為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，

答案第4頁，共17頁

所以［Z］-Z』(團(tuán)+閭，忖+22歸團(tuán)+221，故c對(duì),D對(duì).

故選：BCD.

10.ABD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的變化趨勢(shì)等方法對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】已知函數(shù)/(x)=ln(cosx)+sin2x,

對(duì)于A選項(xiàng)：/(-x)=ln[cos(-%)]+sin2(-x)=ln(cosx)+sin2x=f(x),正確；

對(duì)于B選項(xiàng):

fr(x)=---任一sinx)+2sinxcosx=sincosx------)

COSXCOSX

、t,z兀兀、rttJ2]

當(dāng)工￡(一彳,一■7)時(shí)，cosxG(0,-^―),2cosx------G(-oo,0),sinx<0,

242cosx

ITTTT

所以/'Q)=sinxm2cosx------)>0,所以/'(x)在(-；，-：)單調(diào)遞增，正確;

cosx24

對(duì)于C選項(xiàng)：

7T

當(dāng)?！鷷r(shí)，cosxf0,ln(cos%)f-oo,siM%-l,/(x)——8,故

了(%)沒有最小值，不正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：

fM=ln(cosx)+sin2%的最小正周期為2兀,是偶函數(shù),

TTTT7T

定義域?yàn)?-5+2航，5+2配)4eZ.故只需研究(-5,0］即可.

由B選項(xiàng)知：在(-三-。單調(diào)遞增，在(-：,0］上單調(diào)遞減,

244

/(x)的最大值為df=ln*jd=上詈，正確.

故選：ABD.

11.ABD

【分析】分類討論去絕對(duì)值，可得曲線方程，從而可得曲線圖像，最后可對(duì)命題進(jìn)行判斷.

表示以為圓心，與

【詳解】當(dāng)x〉o,y〉o時(shí)，曲線方程可化為

乙、乙乙)L

為半徑的圓在第一象限的部分;

2

當(dāng)x<0,y>0時(shí)，曲線方程可化為(尤+g\+￡--表示以為圓心,坐為半

2\LL)2

答案第5頁，共17頁

徑的圓在第二象限的部分;

曲線方程可化為H+,+￡=；,表示以■，-￡）為圓心，序?yàn)?/p>

當(dāng)x<0,y<0時(shí),

半徑的圓在第三象限的部分;

曲線方程可化為卜-+|7+g）=1'表示以為圓心，與

當(dāng)x>0,y<0時(shí),為

半徑的圓在第四象限的部分;

當(dāng)尤=0時(shí)>=0或>=±1；當(dāng)y=0時(shí)*=0或》=±1；圖像上還有（0,0）,（0,1）,（0,-1）,（1,0）,

（-1,0）這5個(gè)點(diǎn).

曲線圖像如圖所示:

對(duì)于A,將（-羽-y）代入曲線方程有（T）2+（-y）2=H|+f|,整理得/+/=W+可，所以

曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，故A正確；

對(duì)于B,將（r,y）代入曲線方程有（T）2+/=T|+|y|,整理得/+9=可+h，所以曲線c

關(guān)于、軸成軸對(duì)稱圖形，將（％7）代入曲線方程有/+（-月2=卜|+卜力整理得

/+/=卜|+|引，所以曲線C關(guān)于X軸成軸對(duì)稱圖形，故B正確;

對(duì)于C,如圖，每個(gè)小圓半徑尺=走,

2

曲線上任意兩點(diǎn)距離范圍為（O,4R）,即兩點(diǎn)距離范圍為（0,20）,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,曲線C所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形組成，設(shè)它的面積為

答案第6頁，共17頁

S,S=4xl;i7?2+(27?)2=7t+2>7t,故D正確.

2

故選：ABD

12.2

【分析】由題意得(l+x)'(a+=)=a(l+x)s+=(l+x)5,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式建立方程,

XX

解之即可求解.

【詳解】由題意知，(1+X)5(0+1■)=。。+x)5+=(l+x)5,

(1+X)5展開式的通項(xiàng)公式為C；l5-rZ=,

所以含/的項(xiàng)的系數(shù)為aC+aC；,

則oC；+aC；=30,即15a=30,解得4=2.

故答案為：2.

13.--(滿足a=-工+阮或c=色+far(AeZ)的其中一值)

662

【分析】利用平面向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合兩角和的正弦公式可得出sin(2a+F]=-；,求

出a的值，即可得解.

71

【詳解】由題意可得OA=(sina,cosa),OB=cosa+—,sina+—

[6{6

所以，網(wǎng)=Jsida+cos2a=1,同理可得I礪1=1,

OAOB.兀）.71

則cosZAOB=cos?A,O吟=1???了=sinacosa+—+cosasina+—

可理66

2TI1

=sin12a+￡=cos——二——,

32

所以，3+2H（Z:GZ）或2="+2E（女GZ）,

6666

JTJT

解得二=---卜kit（keZ）或a=一+左兀（左￡Z）,

62

故答案為：-芻(滿足a=+E或a=：+標(biāo)優(yōu)eZ)的其中一值).

662

14.2

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及余弦定理、圓的定義求出〃,。即可.

【詳解】令I(lǐng)G&l=2c,依題意，,2=/+62=(2&)2,解得c=2點(diǎn),

答案第7頁，共17頁

顯然|轉(zhuǎn)|=|曲|+2a=2后+2。，|36|=|期|-2。=2若-2a,\AB\=\AF2\-\BF2\=4a,

于是cos/fJAF?=回

IMI

22

在中，由余弦定理|百居|=|A4『+1AF21-21ATIAF21cosZFtAF2,

得(40)2=20+(2A/5+2a)2-2x2石x(2#>+2a)x

忑，解得儲(chǔ)=2,即a=-\/2)

所以雙曲線的離心率為￡=2.

a

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離

心率的取值范圍），常見有兩種方法：

①求出a,c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于。，從c的齊次式，結(jié)合加=。2-°2轉(zhuǎn)化為。的齊次式，

然后等式（不等式）兩邊分別除以a或/轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式）,解方程（不等式）即可得

e（e的取值范圍）.

15.⑴增區(qū)間為（0』），減區(qū)間為（L+℃）

（2）證明見解析

【分析】（1）當(dāng)。=1時(shí)，求出尸（力，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的

增區(qū)間和減區(qū)間;

（2）當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（x）的最大值為《，然后證明即證:

ee

e"T2a,構(gòu)造函數(shù)g（a）=ei-a,利用導(dǎo)數(shù)證得g（a）1mx川即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)a=l時(shí)，〃x）=見山，廣（口=一堂，

XX

答案第8頁，共17頁

由尸(x)<0,可得無>1,由廣(x)>0,可得0<x<l,

故當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(L-).

(2)解：當(dāng)。>0時(shí)，因?yàn)?(x)=a(ln；+a),則廣⑺="1”司,

由尸(x)<0,可得x>e~,由/''(x)>。，可得0<x<e~,

所以，函數(shù)的增區(qū)間為(0,ej),減區(qū)間為(efy),

所以“x)mj/(e~)=第，下證：言…，即證：e->?.

記g(a)=e"T—a,g\a)=ea1-1,

當(dāng)oe(0,l)時(shí)，gr(a)<0,當(dāng)ae(l,+o。)時(shí),g,(a)>0,

所以，函數(shù)g(a)的減區(qū)間為(0」)，增區(qū)間為(L+8),

所以，g(a)1mx=g0)=°，所以g(“)N。恒成立，即尸匕入

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式/⑺>g⑺(或"X)<g⑺)轉(zhuǎn)化為證明/⑺-g(力>0

(或/(x)-g(x)<0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)。x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

16.(1)—+^=1

43

/c\2"\/5T25/5

(2)xH----y-l=0或x-----y-1=0

5-5

【分析】(1)利用橢圓焦半徑公式及性質(zhì)計(jì)算即可；

(2)設(shè)直線/方程，&C坐標(biāo)，根據(jù)平行關(guān)系得出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋

達(dá)定理解方程即可.

【詳解】(1)設(shè)焦距為2c,由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)橢圓上一點(diǎn)

易知耳(c,0),則附|=J(…y+J=…+入

答案第9頁，共17頁

2

_2cx+a?=_XQ—a—ci—XQf

aa

顯然/=。時(shí)儼區(qū)1=。-。，

cl

a2

由題意得＜i解得a=2,c=l1=g,

u~C=1

a2=b2+c2

22

所以橢圓c的方程為土+匕=1；

43

（2）設(shè)。（士,%）,3（/,必），

因?yàn)锳8//C%所以|/|：|鉆|=|可聞：同旬=2：1

所以％=-2%①

I22

工+2L=i

設(shè)直線/的方程為％=沖+1,聯(lián)立得=43",整理得（3病+4）y1+6my—9=0,

x=my+1

6m

,+%=-a2,”

3m+4

由韋達(dá)定理得9

%%=一

im2+4

6m

f_一病了，得白36m29

把①式代入上式得2（2）?

?m2+4|-23m+4

-2yf=--------、-

2-3m2+4

角軍得m=±2G，

5

所以直線/的方程為：X+濁y—1=0或X—竿y—1=0.

（2）|

答案第10頁，共17頁

【分析】（1）法一和法二利用線面平行的判定定理即可證明；法三利用面面平行的性質(zhì)定理

證明線面平行.

（2）法一和法二用定義法作出二面角S-AC-。的平面角和二面角的平面角，

結(jié)合已知在直角三角形中求解；法三建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的平面角

余弦值即可.

【詳解】（1）法一：如圖1,延長(zhǎng)和D4相交于點(diǎn)E,連接SE,

BE=2AB,

—.2—.

又AB=BC,:.BE=2BC,SG=-SC,:.SG=2GC,

3

則BG//SE,-.-BG<z平面SAD,SEu平面SAD,:.BG//平面SAD.

法二：如圖2,過G作G廠平行S4交AC于點(diǎn)尸，

AF==-BA+-BC,

333

BF=,I-BA2+-BC2+-BA-BC-cosl200=,1-+---=—,

V999V9993

1.?BA=1,BA2+BF2=AF2,BA±BF,-.-BA±AD,：.BF//AD,

■：SA//GF,BF//AD,GF,BF均平行于平面SAD,

且BF,GF是平面BGF內(nèi)的兩條相交直線，

平面3G/〃平面&LD,又：3Gu平面GBE,r.BG〃平面&4D.

答案第11頁，共17頁

法三：如圖2,過8作8尸平行AD交AC于點(diǎn)尸，連接GP,

AB=BC=1,ZABC=120。,;.ZBAC=^BCA=3Q°,且AC=G

AB_LAD,aF平行A。，.-.BFLAB,則=^L=2AC,

cos30°33

Gb平行于SA,?.?&!〃GRB尸〃A￡),

..GR8尸均平行于平面&LD,且GF是平面3G/內(nèi)的兩條相交直線,

.,?平面3Gp〃平面&4D,又?.?BGu平面GBP,;.8G〃平面5AD.

(2)法一：平面5AD,CDu平面ABCD,.?.平面ABCD，平面&LD,

如圖3,過點(diǎn)S作SMJ_AD交AD于平面SADc平面ABCD=AD,

二SM，平面ABCD,?「ACu平面ABCD,AC1SM.

過點(diǎn)〃作MN_LAC交AC于N,又MNcSM=M,

且A/N,SMu平面SMN,AC_1_平面SMN,

SM4

.,./SNM為二面角S—AC—。的平面角，則sinZSNM=—=-,

SN5

設(shè)SM=a,則SN=—a,

4

?.?。_1平面540,4。(=平面5/10,，。_0_1^0,

y.-.-AB±AD,,-.AB//CD,-.-ZABC=nO,AB=BC,:.ZBCA=30°,

.?.RtAADC中，/ACD=30。,AC=石，則且，

2

過點(diǎn)。作。尸，&1交&4于點(diǎn)尸，連接CP,

則/CPD為二面角C-&4-。的平面角,

SMADV3

/?八DPSMAD4E2

PCSNACSN-AC5^/35

SA

2

綜上所述，二面角C-的余弦值為二.

法二：如圖4,在平面出⑦內(nèi)過點(diǎn)。作AD的垂線于AS的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。

答案第12頁，共17頁

Q

圖4

過。作。尸_LAC交AC于尸，連接。P,

?.1CD_L平面SAD,CDu平面ABCD,:.平面SAD±平面ABCD,

平面SA￡)c平面ABCD=AD,QD±AD,QDu平面SAD,

.?.QD_L平面ABC。，

ACu平面ABCD,QD_LAC,

又:AC±OP,..AC，平面QDP,即ZQPD為二面角S-AC-D的平面角,

?.?8_1平面54。,4。<=平面5>1￡),..?！?gt;_140,又?.?AB_LAD,

.-.AB//CD,-.-ZABC=\2Q)°,AB=BC=1,:.NBCA=30°

.?.RSADC中，^ACD=30°,AC=y[3,則AO=立,8=』，

22

1344

DP=-CD=-^:sinZQPD=-,：AmZQPD=-,

/.QD=DPtan^QPD=1,

「QDAD

REQ/M中，邊QA上的高〃一QA

設(shè)二面角C-5A-。的平面角為仇：CO，平面&4D,

cos8=,—

y]h2+CD2

2

綜上所述，二面角C-的余弦值為

法三：如圖5,?.?CD,平面必，?.在平面SAD內(nèi)過點(diǎn)。引AD的垂線記為z軸,

以A￡),CD所在直線為x軸，V軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

答案第13頁，共17頁

sz.

?.?。。_1平面&1。,y1￡)匚平面&4￡),,8_14￡>,又?.?AB_LAT>,

圖5

,-.AB//CD,-.-ZABC=n(T,AB=BC=1,/.NBCA=30°,

.?.RtATWC中，/ACD=3CT,AC=右，則AO=3,CO=』,

22

則0(0,0,0),A與0,0,cfo,|,op(m,o,?),

設(shè)平面&4C的法向量為元=(x,y,z),

mx+nz=0

DS-n=0

,n<^33，取x=貝!Jy=l,z=———

ACn=0------x+—y=0n

[22

得為二\/3,1,—,平面AC。的法向量為為=(0,0,1),

n

7

4

???二面角S—AC—。的正弦值為彳,

設(shè)二面角C-5A-O的平面角為夕，平面SW的法向量為為=(0,1,0),

2

得cos9=(,

2

綜上所述，二面角C-5A-。的余弦值為不

18.(1)證明見解析;

⑵平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分;

(3)將XN114定為A等級(jí)，96KXVH4定為B等級(jí)，78<X<96定為C等級(jí)，Xv78定為

答案第14頁，共17頁

D等級(jí).

【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解；

（2）利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.

,1

【詳解】(1)S2=——9(%-方

m+n,i=\z=l

-x+x-z)2+^(x--y+y-z