2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】原卷版+解析版

專題1.4基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】....................................................................2

【題型2直接法求最值】...........................................................................3

【題型3配湊法求最值】...........................................................................4

【題型4常數(shù)代換法求最值】......................................................................4

【題型5消元法求最值】...........................................................................4

【題型6齊次化求最值】...........................................................................5

【題型7多次使用基本不等式求最值】.............................................................5

【題型8利用基本不等式解決實(shí)際問題】...........................................................5

【題型9與其他知識交匯的最值問題】.............................................................8

?考情分析

1、基本不等式及其應(yīng)用

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的必考

⑴了解基本不等式的推2020年天津卷：第14題，5內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基

導(dǎo)過程分本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、

⑵會用基本不等式解決2021年乙卷：第8題，5分頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)

最值問題2022年I卷：第12題，5分注利用基本不等式大小判斷、求最值和

⑶理解基本不等式在實(shí)2023年新高考I卷：第22題，求取值范圍的問題；同時(shí)要注意基本不

際問題中的應(yīng)用12分等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容

中的運(yùn)用.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1基本不等式】

1.兩個(gè)不等式

不等式內(nèi)容等號成立條件

重要不等式a2+b2>2ab(a,b￡R)當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取“=”

基本不等式)—a-\-b當(dāng)且僅當(dāng)

y[ab4-^~(6z>0,/)>0)

時(shí)取

a~\~b.——

;一叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，質(zhì)叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2.基本不等式與最值

已知x,y都是正數(shù)，

(1)如果積孫等于定值P,那么當(dāng)尤=>時(shí)，和x+y有最小值2五；

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積切有最大值

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(l)x、y>0,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

3.常見的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2y[mn(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=J，時(shí)等號成立；

XV冽

(2)模型二：mx-\——-—=m{x-d)-\——-——I-ma>2^1mn+ma(jn>0,?>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-a=J'■時(shí)等號成

x-ax-aVrn

立；

(3)模型三：——=——1——<—^=—(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=[歸時(shí)等號成立；

ax+bx+cQx+b+工2jac+6Va

x

/八十西在iirm/、mx(n-mx)1mx+n-mx.八八八九、止口e止n

(4)模型四：x(n-mx)=---------<—\z---------------)22=——(m>0,n>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)工=——

mm24機(jī)m2m

時(shí)

等號成立.

4.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

nhnh

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+產(chǎn)改為常數(shù))，求2的最值”的問題，先將@+義轉(zhuǎn)化為

xyxy

C+0)；，,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

?舉一反三

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】

【例1】(2023?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)a,6,c滿足a<b<c且abc<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是

A.ac<beB.ab<ac

bcba八

T

C.-C+-D7>2D.-a+D>2

【變式1-1］（2023?湖南長沙?一模）已知2m=3九=6,則機(jī)，〃不可能滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m—l）2+（n—I）2>2

【變式1-2］（2024?山東棗莊?一模）已知a>0,b>0,貝『a+b>2”是“a2+房>2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-3］（2023?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所

示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點(diǎn)。為斜邊N2的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動點(diǎn)，

設(shè)4D=a,BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

A.>y/ab(a>0,b>0)B.<Vafo(a>0,b>0)

C.芋W>0,b>0)D.a2+b2>2Vab(a>0,b>0)

【題型2直接法求最值】

7

【例2】（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=3—7則當(dāng)x<0時(shí)，/（乃有（）

A.最大值3+2&B.最小值3+2立

C.最大值3-2四D.最小值3-2魚

【變式2-1］（2023?北京東城?一模）已知x>0,則x-4+g的最小值為（）

A.-2B.0C.1D.2V2

【變式2-2］（22-23高三下?江西?階段練習(xí)）（3+甘（1+4%2）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8^3D.7+4^3

【變式2-3］（23-24高二下?山東濰坊?階段練習(xí)）函數(shù)y=3—x（x>0）的最大值為（）

A.-1B.1C.-5D.5

【題型3配湊法求最值】

【例3】（2023?山西忻州?模擬預(yù)測）已知a>2,貝!J2a+白的最小值是（）

a-L

A.6B.8C.10D.12

【變式3-1］（2024?遼寧?一模）已知小>2幾>0,則考+：的最小值為（）

A.3+2V2B.3-2V2C.2+3近D.3近一2

【變式3-2］（2023?河南信陽?模擬預(yù)測）若—5<*<—1,則函數(shù)/（久）=嗖詈有（）

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1

【變式3-3］（23-24高三下?河南?開學(xué)考試）已知a>0力>0,則a+26+焉瓦4的最小值為（）

A.6B.5C.4D.3

【題型4常數(shù)代換法求最值】

11

【例】（?江蘇南通?二模）設(shè)久貝詠+的最小值為（）

42024>0,y>0,;x+2y=2,y7

A.-B.2V2C.~+V2D.3

12

【變式4-1］（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知正實(shí)數(shù)》,>滿足：+亍=1,貝|2孫一3%的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

【變式4-2］（2024?廣東湛江?一模）已知ab>0,az+ab+2b2=l,則。2十2廿的最小值為（）

A.卡B.竽D.中

【變式4-3］（2023?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=xy,則2xy—2x-y的最小值為

()

A.2B.4C.8D.9

【題型5消元法求最值】

【例5】（2024?陜西西安?三模）已知x〉0,y>0,xy+2x-y-10,貝詠+y的最小值為.

【變式5-1］（2023?上海嘉定?一模）已知實(shí)數(shù)°、6滿足ab=—6,則a?+用的最小值為.

【變式5-2］（2024?天津河?xùn)|?一模）若a>0力>0,a6=2,則筆普的最小值為.

【變式5-3］（2024?四川德陽,模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)久，y,z^^x2+xy+yz+xz+%+z=6,則3%+2y+z

的最小值是.

【題型6齊次化求最值】

【例6】（23-24高一上?湖南婁底?期末）已知%>0,則三尹的最小值為（）

A.5B.3C.-5D.-5或3

【變式6-1］（23-24高一上?遼寧大連?期末）已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=l,則匕瑞里的最小值為（）

入1y

A.24B.25C.6+4V2D.6或一3

【變式6-2］（23-24高二上?安徽六安?階段練習(xí)）設(shè)a+b=l力>0,則高+寫的最小值是（）

A.7B.6C.5D.4

【變式6-3］（23-24高三上?浙江紹興?期末）已知x為正實(shí)數(shù)，〉為非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+2y=2,則子+/

的最小值為（）

?3-3

A-4B-ZC.5D.-

【題型7多次使用基本不等式求最值】

【例7】（2023?河南?模擬預(yù)測）己知正實(shí)數(shù)a,b,滿足a+625+（,則a+b的最小值為（）

A.5B.|C.5V2D.苧

【變式7-1】（2023?全國?模擬預(yù)測）己知a為非零實(shí)數(shù)，b,c均為正實(shí)數(shù)，則若鬻上的最大值為（）

A.1B.孚C.，D.—

2424

【變式7-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,c>1,a+2b=2,則0+三的最小值為

\ab/c-l

（）

921

A.-B.2C.6D.—

【變式7-3］（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，且（+：=c2+d2=2,則。+松

的最小值為（）

A.3B.2V2

C3+V2D3+2^2

【題型8利用基本不等式解決實(shí)際問題】

【例8】（23-24高二下?北京房山?期中）某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為

750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間4B,C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月

季(其中B,C區(qū)域的形狀、大小完全相同).設(shè)矩形花園的一條邊長為xm,鮮花種植的總面積為Sm2.

(1)用含有x的代數(shù)式表示a；

(2)當(dāng)x的值為多少時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大?

【變式8-1](23-24高一上?遼寧朝陽?期末)冷鏈物流是指以冷凍工藝為基礎(chǔ)、制冷技術(shù)為手段，使冷鏈物

品從生產(chǎn)、流通、銷售到消費(fèi)者的各個(gè)環(huán)節(jié)始終處于規(guī)定的溫度環(huán)境下，以減少冷鏈物品損耗的物流活動.

隨著人民食品安全意識的提高及線上消費(fèi)需求的增加，冷鏈物流市場規(guī)模也在穩(wěn)步擴(kuò)大.某冷鏈物流企業(yè)準(zhǔn)

備擴(kuò)大規(guī)模，決定在2024年初及2025年初兩次共投資4百萬元，經(jīng)預(yù)測，每年初投資的x百萬元在第小

6A^*,l<m<4

.L.mx卅UM*qv",va，記這4

4—/16——,mGN,5<m<o

百萬元投資從2024年開始的第n年產(chǎn)生的利潤之和為九(x).

(1)比較%(2)與人(2)的大??；

(2)求兩次投資在2027年產(chǎn)生的利潤之和的最大值.

【變式8-2](23-24高一上?河南開封?期末)如圖，一份印刷品的排版(陰影部分)為矩形，面積為32,

它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為1的空白.記紙張的面積為S,排版矩形的長

和寬分別為x,y.

⑴用x,y表示S;

（2）如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最??？并求最小面積.

【變式8-3］（23-24高一上?四川成都?期末）如圖所示，一條筆直的河流I（忽略河的寬度）兩側(cè)各有一個(gè)

社區(qū)4B（忽略社區(qū)的大?。?，4社區(qū)距離Lt最近的點(diǎn)4）的距離是2km,B社區(qū)距離/上最近的點(diǎn)Bo的距離是1

km,且4為=4km.點(diǎn)P是線段友員上一點(diǎn)，設(shè)4（）P=akm.

現(xiàn)規(guī)劃了如下三項(xiàng)工程：

工程1：在點(diǎn)P處修建一座造價(jià)0」億元的人行觀光天橋；

工程2：將直角三角形7L40P地塊全部修建為面積至少lkm2的文化主題公園，且每平方千米造價(jià)為（1+9）

億元；

工程3：將直角三角形BBoP地塊全部修建為面積至少0.25km2的濕地公園，且每平方千米造價(jià)為1億元.

記這三項(xiàng)工程的總造價(jià)為W億元.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）問點(diǎn)P在何處時(shí)，W最小，并求出該最小值.

【題型9與其他知識交匯的最值問題】

【例9】（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）己知4ABe內(nèi)接于單位圓，且（1+tan4）（l+tanB）=2,

（1）求角C

（2）求△ABC面積的最大值.

【變式9-1］（23-24高三上?山東青島?期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西

方早1000多年，在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵（如劭而）;陽馬

指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈（6z"0。）指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵

ABC-A^BrC^^BX.AC.

⑴求證:四棱錐B-為陽馬；

（2）若CiC=BC=2,當(dāng)鱉膈J—4BC體積最大時(shí)，求銳二面角Ci的余弦值.

【變式9-2］（2024?廣東珠海一模）已知4、B、。是4A8C的內(nèi)角，a、b、c分別是其對邊長，向量沆=

（a+b,c）,n=（sinB-sinAsinC-sinB）,且沅1n.

（1）求角”的大?。?/p>

（2）若a=2,求2L4BC面積的最大值.

【變式9-3］（2024?黑龍江大慶?一模）已知橢圓，+fJ=l（a>b>0）,過點(diǎn)（1,|）且離心率為表4B是橢圓

—>—>—>

上縱坐標(biāo)不為零的兩點(diǎn)，若4F=%FB（4eR）且力F豐FB,其中F為橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求線段4B的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2023?全國?三模）已知a>0,b>0,且a+b=l,則下列不等式不正確的是（）

A.abB.a2+/?2>!

C.—+>2D.-\［a+Vb<1

2.（2024?甘肅定西?一模的最小值為（）

A.2V7B.3V7C.4夕D.S巾

3.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知a>0,b>0,a+b=2,貝!］（）

A.0<a<1B.0<ah<1C.a2+62>2D.l<b<2

4.（2024?浙江嘉興?二模）若正數(shù)％y滿足%2-2%y+2=0,貝！J%+y的最小值是（）

A.V6B.苧C.2V2D.2

5.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）若a力是正實(shí)數(shù)，且*+福=1,貝必+6的最小值為（）

42

A.-B.-C.1D.2

6.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若正實(shí)數(shù)a力滿足a+6=1,貝葉+軸最小值4

B.若正實(shí)數(shù)a力滿足a+26=1,則2。+4b22魚

C.y-V%2+3+，*的最小值為竽

D.若a>6>l,則ab+l<a+6

7.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別

為加元和〃元（m7n）,甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20

件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價(jià)分別為臼"2,則（）

A.即=a2B.ai<a2C.ar>a2D.的,42的大小無法確定

8.（2024?四川成都?三模）設(shè)函數(shù)f（x）=/一久，正實(shí)數(shù)a力滿足f（a）+f（b）=-2b,^a2+Ab2<1,則實(shí)數(shù)

2的最大值為（）

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

二、多選題

9.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)x,y,下列結(jié)論正確的是（）

A.若x+y=3,xy>0,則^+^^23

B.若x>0,盯=1,則今+/+景的最小值為4

C.若久40且xK—1,則

D.若無2一y2=i,則2/+初的最小值為1+孚

10.（2023?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工

資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅a%,第二次漲幅6%；

乙：第一次漲幅等％,第二次漲幅等％；

丙：第一次漲幅第二次漲幅

其中a〉b>0,小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（）

A.方案甲和方案乙工資漲得一樣多B.采用方案乙工資漲得比方案丙多

C.采用方案乙工資漲得比方案甲多D.采用方案丙工資漲得比方案甲多

11.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知。>0,5>0且，+^=2,則下列說法正確的是（）

Q

A.ab有最小值4B.a+b有最小值萬

C.2仍+。有最小值2遍D.-16a2+板的最小值為4企

三、填空題

21

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知x>l,y>0,且X+1=2,則三+y的最小值是.

13.（2024?上海奉賢?二模）某商品的成本C與產(chǎn)量q之間滿足關(guān)系式C=C（q）,定義平均成本。=C（q）,其

中。=等，假設(shè)C（q）=%2+100,當(dāng)產(chǎn)量等于時(shí)，平均成本最少.

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）記maxQiMM}表示第1，%2,%3這3個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知。力，都是正實(shí)數(shù)，

M=max{a,i+—則M的最小值為______.

1acbJ

四、解答題

13

15.（2023?甘肅張掖?模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足等式5+亍=2.

（1）求xy的最小值；

（2）求3久+y的最小值.

16.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知x,y,z6(0,+8),且久+y+z=l.

,、yz久

⑴求證：曰+厲+%>1+6—Z；

(2)求/+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值.

17.（2023?陜西安康?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x—bh

（1）當(dāng)a=2,6=3時(shí)，求不等式/（幻26的解集；

(2)設(shè)a>0力>1,若f(x)的最小值為2,求:+六?的最小值.

18.(23-24高一上?貴州銅仁?期末)2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活

造成嚴(yán)重影響.在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面

逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品

的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用“萬元(加")滿足產(chǎn)4-

高.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元/萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為學(xué)

萬元/萬件(產(chǎn)品年平均成本)的L5倍.

(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；

(2)該廠家2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？

19.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知x,y,ze(0,+oo).

(1)若x+y=l,證明：V^+Vy<V8；

(2)若x+y+z=l,證明/+京+京>1+6-z.

專題1.4基本不等式及其應(yīng)用【九大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】....................................................................2

【題型2直接法求最值】...........................................................................4

【題型3配湊法求最值】...........................................................................5

【題型4常數(shù)代換法求最值】......................................................................7

【題型5消元法求最值】...........................................................................8

【題型6齊次化求最值】...........................................................................9

【題型7多次使用基本不等式求最值】............................................................11

【題型8利用基本不等式解決實(shí)際問題】..........................................................13

【題型9與其他知識交匯的最值問題】............................................................16

?考情分析

1、基本不等式及其應(yīng)用

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

基本不等式及其應(yīng)用是每年高考的必考

⑴了解基本不等式的推2020年天津卷：第14題，5內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，對基

導(dǎo)過程分本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、

⑵會用基本不等式解決2021年乙卷：第8題，5分頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)

最值問題2022年I卷：第12題，5分注利用基本不等式大小判斷、求最值和

⑶理解基本不等式在實(shí)2023年新高考I卷：第22題，求取值范圍的問題；同時(shí)要注意基本不

際問題中的應(yīng)用12分等式在立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容

中的運(yùn)用.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1基本不等式】

1.兩個(gè)不等式

不等式內(nèi)容等號成立條件

重要不等式a2+b2>2ab(a,b￡R)當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取“=”

基本不等式)—a-\-b當(dāng)且僅當(dāng)

y[ab4-^~(6z>0,/)>0)

時(shí)取

a~\~b.——

;一叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，質(zhì)叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

2.基本不等式與最值

已知x,y都是正數(shù)，

(1)如果積孫等于定值P,那么當(dāng)尤=>時(shí)，和x+y有最小值2五；

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積切有最大值

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(l)x、y>0,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

3.常見的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2y[mn(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=J，時(shí)等號成立；

XV冽

(2)模型二：mx-\——-—=m{x-d)-\——-——I-ma>2^1mn+ma(jn>0,?>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-a=J'■時(shí)等號成

x-ax-aVrn

立；

(3)模型三：——=——1——<—^=—(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=[歸時(shí)等號成立；

ax+bx+cQx+b+工2jac+6Va

x

/八十西在iirm/、mx(n-mx)1mx+n-mx.八八八九、止口e止n

(4)模型四：x(n-mx)=---------<—\z---------------)22=——(m>0,n>0,0<x<—),當(dāng)且僅當(dāng)工=——

mm24機(jī)m2m

時(shí)

等號成立.

4.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

nhnh

(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+產(chǎn)改為常數(shù))，求2的最值”的問題，先將@+義轉(zhuǎn)化為

xyxy

C+0)；，,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.

?舉一反三

【題型1基本不等式及其應(yīng)用】

【例1】(2023?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)a,6,c滿足a<b<c且abc<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是

A.ac<beB.ab<ac

【解題思路】由不等式的性質(zhì)判斷A、B,根據(jù)基本不等式可判斷C、D.

【解答過程】因?yàn)閍<b<c且abc<0,所以a<0<b<c或a<b<c<0,

對A：若a<O<bVc,則ac<bc,若aVb<cVO,則ac>bc,A錯(cuò)誤；

對B：vh<c,a<0,.'.ab>ac,B錯(cuò)誤；

對C：由a<0<bVc或aVb<cV0,知0且匕<c,.l+F>2ax￡=2,C正確；

Ccb7cb

對D：當(dāng)a<O<b<c時(shí)，有g(shù)<0,從而5+(<0

當(dāng)a<b<c<0,貝哈>0且a<b,.?.，+￡>2Jix、=2,D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1-1](2023?湖南長沙?一模)已知26=3"=6,則加，〃不可能滿足的關(guān)系是()

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.(m—l)2+(n—l)2>2

【解題思路】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算判斷A,根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.

mn

【解答過程】<?,2=3=6,?,.m=log26>0,n=log36>0,即'+：=log62+log63=1,即

m+n=mn(mHri),m>0,n>0.

對于A,m+n=mn<(絲m+n>4成立.

對于B,vmn=m+n>2y/mn,?<-mn>4,成立.

對于C,m+n>4,16<(m+ri)2=m2+n2+2?7m<2(m2+n2),即m2+n2>8.故C錯(cuò)誤;

對于D,(m-l)2+(幾—1)2=(zn-72)2+2>2成立.

故選：C.

【變式1-2](2024?山東棗莊?一模)已知a>0力>0,則“a+8>2”是22+左>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)基本不等式與不等式的性質(zhì)，對兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理論證，即可得到本題的答案.

【解答過程】若。>0,6>0,a+b>2,則小+卜22+初2>2,充分性成立;

若02+房>2,可能a=&,b=0.1,此時(shí)a+b<2,所以必要性不成立.

綜上所述，“a+b>2”是“a?+按>2"的充分不必要條件.

故選：A.

【變式1-3]（2023?遼寧?二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所

示圖形，在等腰直角三角形△ABC中，點(diǎn)O為斜邊N8的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動點(diǎn)，

設(shè)AD=a,BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

A.>y/ab(a>0,b>0)B.<Vab(a>0,b>0)

C.竽W>0,b>0)D.a2+b2>2y[ab{a>0,b>0)

【解題思路】由△ABC為等腰直角三角形，得到。。=等，OD=\OB-BD\,然后在RtZ\OCD中，得到CZ)

判斷

【解答過程】解：由圖知：。。=38=誓0。=|。8—80=|等一b|=|9卜

在RtZkOC。中，CD=70c2+。。2=J絲/，

所以。CW。。，即小W手手（a>。力>0）,

故選：C.

【題型2直接法求最值】

【例2】（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=3-x-7g則當(dāng)x<0時(shí)，f（x）有（）

A.最大值3+2讓B.最小值3+2魚

C.最大值3-2四D.最小值3-2魚

【解題思路】由基本不等式即可求解.

【解答過程】由題意當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=3+[（-%）+（-1）|>3+2V2,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)％=-正

故選：B.

4

【變式2-1]（2023?北京東城?一模）已知萬〉0,貝年—4+嚏的最小值為（）

A.-2B.0C.1D.2V2

【解題思路】由基本不等式求得最小值.

【解答過程】?.這>0,.?.乂+：-422，^|-4=0,當(dāng)且僅當(dāng)％=:即x=2時(shí)等號成立.

故選：B.

【變式2-2]（22-23高三下?江西?階段練習(xí)）（3+9）（1+47）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【解題思路】依題意可得（3+/）（1+4/）=7+專+12尤2,再利用基本不等式計(jì)算可得.

【解答過程】（3+9（1+4/）=7+9+12x227+2.12/=7+4后

當(dāng)且僅當(dāng)t=12/,即時(shí)，等號成立，

故（3+5）（1+4/）的最小值為7+4V3.

故選：D.

【變式2-3]（23-24高二下?山東濰坊?階段練習(xí)）函數(shù)y=3-：x（%>0）的最大值為（）

A.-1B.1C.一5D.5

【解題思路】根據(jù)均值不等式即可求得函數(shù)最大值.

44

【解答過程】因?yàn)閥=3-1一%=3-（％+嚏）且久>0,

故可得y=3—（%+g）<3—2Jxxi=—1.

當(dāng)且僅當(dāng)X=:即X=2時(shí)取得最大值.

故選：A.

【題型3配湊法求最值】

【例3】（2023?山西忻州?模擬預(yù)測）已知a>2,貝。2a+的最小值是（）

a-z

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.

【解答過程】因?yàn)閍>2,所以a—2>0

oO__

所以2aH=2（a—2）H---+4>2V16+4=12,

CL—Z、'CL—Z

當(dāng)且僅當(dāng)2（a—2）=白，即a=4時(shí)，等號成立.

所以2a+9的最小值為12.

CL-Z

故選：D.

【變式3-1](2024?遼寧?一模)已知小>2n>0,則借+：的最小值為()

A.3+272B.3-2V2C.2+3立D.3立一2

【解題思路】根據(jù)題意，m=(m-2n)+2n,將所求式子變形，利用基本不等式求解.

【解答過程】由m>2n>0,

???m-2n>0,m=(m—2n)+2n,

mm(m—2n)+2n(m—2n)+2n,2n+m—2n

d--------------=3o+>3+2V2,

m—2nnm—2nn

當(dāng)且僅當(dāng)懸即爪=(2+”時(shí)等號成立.

故選：A.

【變式3-2](2023?河南信陽?模擬預(yù)測)若—5<x<—1,則函數(shù)/(>)=噗洋有()

A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1

【解題思路】由題意，0<-0+1)<4,/(x)=-[^2+—^-1，利用基本不等式求解.

L2—2(x+l)J

【解答過程】因?yàn)橐?cx<-1,所以0<-(x+l)<4,

f(x)=—=_卜(,+1)+1]<-21(x+1)1=-1

7W2(*+1)L2+-2(x+l)J-12-2(x+l)

當(dāng)且僅當(dāng)呼2=萬島，即刀=一2時(shí)等號成立，

ZX.)

所以函數(shù)f(x)有最大值-1.

故選：D.

【變式3-3](23-24高三下?河南?開學(xué)考試)已知a>0,6>0,貝M+26+忌石的最小值為()

A.6B.5C.4D.3

【解題思路】

根據(jù)基本不等式即可求解.

【解答過程】

由于a>0力>0,所以。+2Z?4-1>0,

由a+2b+$=(a+2b+l)+$-122j(a+2b+l)x$-L=3,

（當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=1時(shí)取等號），可得a+26+舄n的最小值為3,

故選：D.

【題型4常數(shù)代換法求最值】

【例4】（2024?江蘇南通?二模）設(shè)久>0,y>0,§+2y=2,貝詠+:的最小值為（）

O

A.-B.2V2C.-+V2D.3

【解題思路】由不等式力”的代換求解即可.

【解答過程】因?yàn)椤?2y=2,所以*+y=l,

因?yàn)閤>0,y>0,所以x+；（x+m住+y）=2+xy+擊+1

=|+xy+點(diǎn)？I+2回?=|+2X^=|+V2.

zzxyz-u2xy乙L乙

1

xy=——f]+?

當(dāng)且僅當(dāng),2xy即一二二時(shí)取等.

]+y=1ly=2-V2

'2%

故選：C.

12

【變式4-1]（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足（+1=1,則2孫-3x的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

【解題思路】利用基本不等式計(jì)算即可.

【解答過程】易知|+：=1=>2久+y=xy,則2盯-3久=2（2%+y）-3x=（久+2y）,（；+：）

=5+^+y>5+2

當(dāng)且僅當(dāng)§=,，即久=y=3時(shí)取得等號.

故選：B.

【變式4-2]（2024?廣東湛江