2024年廣東省陽江市高考數學模擬試卷（附答案解析）

2024年廣東省陽江市高考數學模擬試卷(5月份)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.(5分)已知集合/={-1,0,1},B={X\X2<2X},貝!()

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

,,,->T->[—T_>

2.(5分)若向量a=(1,1),b—(2,5),c—(3,x),旃足(8a—b),c=30,則x=()

A.6B.5C.4D.3

3.(5分)若/、〃是互不相同的空間直線，a、0是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是()

A.若我〃。，/ua,〃u0,則l//n

B.若a_L0,Zea,則/_1_0

C.若/〃a,a±p,貝!]/_L0

D.若/_La,/〃0,貝！|a_LB

4.(5分)在平行四邊形/BCD中，ABVBD,BC=2瓜CD=2,沿對角線5。將三角形N3D折起，所

得四面體/-BCD外接球的表面積為24TT,則異面直線48與CD所成角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.(5分)已知y=/(x),x€R為奇函數，當x>0時，f(x)=log2X-1,則集合-f(x)<0}

可表示為()

A.(2,+8)B.(-8,-2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-2,0)U(2,+°O)

6.(5分)2024年1月19日，萬眾矚目的“九省聯考”正式開考，數學測試卷題型結構變化很大，由原

來22個題減少至19個題，讓考生的作答時間變得更加充裕，符合“適當減少試題數量，加強對數學思

維過程考查”目標.某同學統(tǒng)計了自己最近的5次“新題型結構”試卷的成績發(fā)現：這5次的分數恰好

組成一個公差不為0的等差數列，設5次成績的平均分數為元，第60百分位數為加，當去掉某一次的成

績后，4次成績的平均分數為%第60百分位數為〃.若歹=禮則()

A.m>nB.m=n

C.m<nD.冽與〃大小無法判斷

42-cosa_z

7.(5分)已知CernaH-=-------：------,則mtlcosn2a=()

cosasina

778

A.-B.DA

99J9

第1頁(共20頁)

8.（5分）已知。為雙曲線。的中心,尸為雙曲線。的一個焦點,且。上存在點4使得。4|=|。門,（：05乙4。?=

京，則雙曲線。的離心率為（）

14L

A.—B.V5C.5D.7

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

（多選）9.（6分）設復數z在復平面內對應的點為Z,則下列說法正確的有（）

A.若團=1,貝!］z=±l或z=±i

B.若|z-（2+z）|=1,則⑸的最小值為4—1

C.若z=b—2i,貝1旭=7

D.若l〈|z|wVL則點Z的集合所構成圖形的面積為it

（多選）10.（6分）已知正方體/BCD-42iCbDi的各個頂點都在表面積為3Tt的球面上，點尸為該球面

上的任意一點，則下列結論正確的是（）

A.有無數個點尸，使得4P〃平面AD。

B.有無數個點尸，使得/尸，平面3DG

V2+1

C.若點在平面BCCLBI，則四棱錐P-4BC。的體積的最大值為

D.若點P6平面BCCiBi,則4P+PG的最大值為旄

（多選）11.（6分）已知偶函數/G）的定義域為R,f（4x+l）為奇函數，且/（x）在［0,1］上單調遞增，

則下列結論正確的是（）

A./（-13）<0B./（|4）>0

2024

C.f（3）<0D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）（a+x）（1-X）2024展開式中x2024的系數為-2023,則a的值為.

13.（5分）△NBC中，角/,B,。對邊分別為a,b,c,且2ccosCsin5+bsinC=0,。為邊上一點，

11

CD平分N4CB,CD=2,則一+：=_____________________.

ab

14.（5分）已知曲線C是平面內到定點尸（0,-2）與到定直線/：>=2的距離之和等于6的點的軌跡，

若點尸在C上，對給定的點7（-2,/）,用加G）表示甲打出尸十的最小值，則加G）的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解

第2頁（共20頁）

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在△N8C中，已知0,6"分別為角/,8,(7的對邊.若向量蔡=(a,cosA),向量￡=(cosC,c),

—>—>

Jim-n=3bcosB.

(1)求cosB的值；

11

(2)若2a,b,c成等比數列，求--+—的值.

tanAtanC

16.(15分)某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內隨機抽取了500名高中學生進行在

線調查，收集了他們參加公益勞動時間(單位：小時)分配情況等數據，并將樣本數據分成[0,2],(2,

4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻

率分布直方圖.

(1)為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在(12,14],(14,

16],(16,18]三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記

參加公益勞動時間在(14,16]內的學生人數為X,求X的分布列和期望；

(2)以調查結果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“尸20")”表示

這20名學生中恰有人名學生參加公益勞動時間在(10,12](單位：小時)內的概率，其中后=0,1,2,

…，20.當尸20(左)最大時，寫出人的值.

個頻率

W1

0.15............~

a......................................

5

O..O4-

0..O3-

-

0...0O2

0.1-

0.

.0O2

681012141618日平均閱讀時間/小時

17.(15分)如圖，在四棱錐P-N8C。中，底面/BCD是邊長為2的菱形，△DC尸是等邊三角形，/.DCB=

乙PCB/點跖N分別為DP和48的中點.

(1)求證：〃平面P3C；

(2)求證：平面尸8C_L平面/BCD；

(3)求CW與平面為。所成角的正弦值.

第3頁(共20頁)

p

18.（17分）約數，又稱因數.它的定義如下：若整數〃除以整數冽（冽W0）除得的商正好是整數而沒有

余數，我們就稱Q為冽的倍數，稱冽為。的約數.設正整數。共有左個正約數，記為Ql，Q2,…，ak

.1,ak（。1<。2<…<四）?

（1）當k=4時，若正整數。的左個正約數構成等比數列，請寫出一個。的值；

（2）當左三4時，若Q2-Q1，6Z3-ai,???,。左-Q左一1構成等比數列，求證：。二滋一1（k24）;

2

（3）記Z=Qi〃2+a2a3^---卜ak-iak,求證：A<a.

%221

19.（17分）已知橢圓C版+v臺=1（。?。，b〉0）的左、右焦點分別為乃、F1,離心率為5，經過點為

且傾斜角為9（0vev?）的直線/與橢圓交于A8兩點（其中點N在X軸上方），△NB尸2的周長為8.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面/百P2）與夕軸負半

軸和x軸所確定的半平面（平面AFF2）互相垂直.

（z）若9=多求異面直線4F1和3尸2所成角的余弦值；

"）是否存在e（ovev奇）,使得△拉22折疊后的周長與折疊前的周長之比為??若存在，求tane的

值；若不存在，請說明理由.

第4頁（共20頁）

2024年廣東省陽江市高考數學模擬試卷(5月份)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

2x

1.(5分)已知集合4={-1,0,1},B={x\x<2}f貝()

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【解答】解：由題意，A={-1,0,1},

當％=1時，X2=1<2X=2,

當％=0時，X2=0<2X=1,

1

當％=-1時，%2=1>2X=彳

Ax=l和％=0滿足B集合的要求，

：.AC\B={0,1}.

故選：C.

TTT_>TT

2.(5分)若向量Q=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足(8a—b)?c=30,貝！Jx=()

A.6B.5C.4D.3

TTT

【解答】解：根據題意，向量Q=(L1),b—(2,5),c-(3,x),

->T

則8a—b=(6,3),

右(8a-b),c=30,貝ij有(8a-b)?c=18+3x=30,

解可得：x=4；

故選：C.

3.(5分)若/、〃是互不相同的空間直線，a、0是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是()

A.若式〃0,/ua,則/〃〃

B.若a_L0,/ua,則/±p

C.若/〃a,a±p,則

D.若/_La,/〃0,貝

【解答】解：由/、〃是互不相同的空間直線，a、0是不重合的平面，知：

在/中，若<1〃0,/ua,〃u0,則/與”平行或異面，故/錯誤；

在2中，若aJ_0,lea,貝IJ/與0相交、平行或/u0,故8錯誤；

第5頁(共20頁)

在。中，若/〃a,a±p,貝1"與0相交、平行或上0,故C錯誤；

在。中，若/_La,/〃0,則由面面垂直的判定理得a_L0,故。正確.

故選：D.

4.（5分）在平行四邊形4BCD中，ABLBD,BC=2小,CD=2,沿對角線3。將三角形48。折起，所

得四面體/-BCD外接球的表面積為24TT,則異面直線48與CD所成角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

則Oi為△3CO外心，02為A4BD外心，

OiF//CD,O2F//AB,

因為/8=CD=2,則Oi尸=。2f=1，

翻折后，過。1作直線垂直于平面BCD,過。2作直線垂直于平面/2D,兩直線的交點為。即為球心,

設球半徑為r,

由題意可得4nr2—24Ti,

可得r=V6,

即。4=OC=V6,

且。=。24—V5,

則由勾股定理可得。。1=。。2=1，

由OiF=。/=1,得四邊形OO1FO2為菱形，

由。。2_L平面48。，OzFu平面48。，可

得。。2，/。2,

所以四邊形。。1尸。2為正方形，/。1尸。2=90°,

由OF〃CD,O2F//AB,可得異面直線48與C￡＞所成角為/。1/。2=90°.

故選：D.

第6頁（共20頁）

5.(5分)已知y=/(x),xeR為奇函數，當x>0時，f(x)=log”-l,則集合-f(x)<0}

可表示為()

A.(2,+8)B.(-8,-2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-2,0)U(2,+°°)

【解答】解：因為y=/(x),XCR為奇函數，當X>0時，/G)=10g2X-b

當X<0時，-X>0,可得/(-X)=log2(-X)-1=-f(x),即X<0時，f(x)=-log2(-x)+1,

所以/(-x)-f(x)<0,即-(x)<0,可得/(x)>0,

當x>0時，log"-l>0,可得x>2；

當x<0時，-log2(-X)+l>0,可得-2<x<0.

故集合-f(x)<0}=(-2,0)u(2,+8).

故選：D.

6.(5分)2024年1月19日，萬眾矚目的“九省聯考”正式開考，數學測試卷題型結構變化很大，由原

來22個題減少至19個題，讓考生的作答時間變得更加充裕，符合“適當減少試題數量，加強對數學思

維過程考查”目標.某同學統(tǒng)計了自己最近的5次“新題型結構”試卷的成績發(fā)現：這5次的分數恰好

組成一個公差不為0的等差數列，設5次成績的平均分數為禮第60百分位數為加，當去掉某一次的成

績后，4次成績的平均分數為%第60百分位數為若歹=元，則()

A.m>nB.m=n

C.m<nD.初與〃大小無法判斷

【解答】解：由于5次的分數恰好組成一個公差不為0的等差數列，

將5次的分數由小到大排列，設為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,其中d>0,

.*.%=a,60%?5=3,

所以第60百分位數爪=%9=a+$

去掉某一次的成績后，平均分數為0,且歹=禮則去掉的是平均分a,

所以新的數列為：a-2d,a-d,a+d,a+2d,

60%X4=2.4,

故第60百分位數n=a+d,

????.a+d>a+2，

:.n>m.

故選：C.

第7頁(共20頁)

7.(5分)已知tzmad———=cosa^貝［jcos2a=()

cosasina

7788

A.—B.一石C.—D.-Q-

9999

sina1yf2—cosa

【解答】解：由已知可得，----+----=---------，顯然sina?cosaWO,

cosacosasina

兩邊同時乘以sina?cosa可得，sin2a+sina=迎cosa—cos2a,

整理可得V^cosa—sina=sin2a+cos2a=1,

所以，\2cosa=sina+1,

兩邊同時平方可得2cos2(x=(sina+1)2=sin2a+2sina+l=2-2sin2a,

即3sin2a+2sina-1=0,解得sina=■或sina=-1.

當sina=-1時，cos2a=1-sin2a=0,止匕時cosa=0,不滿足題意，舍去.

17

所以，cos2a=1—2sin2a=1—2x(-2)2=g.

故選：A.

8.（5分）已知。為雙曲線。的中心,方為雙曲線。的一個焦點,且。上存在點力,使得|04|=|。方|,。05乙4。/二

擊，則雙曲線C的離心率為（）

14廣

A.—B.V5C.5D.7

X2y2

【解答】解：設雙曲線方程為葭一1（Q>0,b>0\

7

^\OA\=\OF\=c,cosZ-AOF—云，

.724

?=25c,yA=25c,

49c2576c2

由點/在雙曲線上’得印一兩f=1,

整理得：49?-1250^+625=0,

解得e2=25或e?=（舍去）.

??e=5.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

（多選）9.（6分）設復數z在復平面內對應的點為Z,則下列說法正確的有（）

A.若0=1,則2=±1或2=±，

第8頁（共20頁）

B.若|z-（2+0|=1,則團的最小值為劣-1

C.若2=b一2i,貝（］團=7

D.若lW|z|<VL則點Z的集合所構成圖形的面積為IT

【解答】解：對于/,令Z=*+字i,滿足匕|=1,但2=±1或Z=±，不成立，故/錯誤；

對于2,|z-（2+z）|=1,

則點Z的軌跡為以（2,1）為圓心，1為半徑的圓，

閭表示圓上的點到原點（0,0）的距離，

則團的最小值為J（2—1尸+（1—0）2—1=4_1,故3正確；

對于C,z=V3-2i,

則|z|=J（遮尸+（-=近，故C錯誤；

對于。，設z=a+6i,則團=迎2+

因為1<|z|<V2V2,

所以1<Va2+b2<V2,

所以點Z的集合所構成的圖形的面積為兀（a）2-兀?/=兀，所以。正確.

故選：BD.

（多選）10.（6分）已知正方體/BCD-NL81cbe>i的各個頂點都在表面積為3n的球面上，點尸為該球面

上的任意一點，則下列結論正確的是（）

A.有無數個點尸，使得/尸〃平面ADG

B.有無數個點P,使得4PL平面

V2+1

C.若點PC平面BCC181，則四棱錐尸的體積的最大值為

6

D.若點尸6平面3CC121,則NP+PC1的最大值為連

【解答】解：正方體/BCD-//iCbDi的各個頂點都在表面積為3Tt的球面上，點P為該球面上的任意

一點，

令正方體/BCUiCQ的外接球半徑為％則4TU2=3TT,解得「字，

則血=V3,48=1,

第9頁（共20頁）

連接4Bi，ADi,B1D1，由四邊形ABCLDI是該正方體的對角面，得四邊形NBCLDI是矩形,

即有/r>i〃8Ci,

：3Ciu平面BOQ,ADiC平面3￡>Ci，〃平面5。。，

同理《明〃平面8。。，

'：ABiCtADi^A,AB],4Diu平面48boi，平面/囪口〃平面BZ）。，

令平面ABDi截球面所得截面小圓為圓M,

對圓M上任意一點（除點/外）均有/尸〃平面3。。，故/正確；

對于8,過/與平面垂直的直線/尸僅有一條，這樣的尸點至多一個，故3錯誤;

V2

對于C,平面3CC151截球面為圓尺，圓R的半徑為三，

.V2+1

則圓R上的點到底面ABCD上的點到底面ABCD的距禺的最大值為互-，

1V2+1V2+1

...四棱錐尸-/BCD的體積的最大值為gx1x=故C正確；

326

對于。，由題意45_L平面在平面5CG所內建立平面直角坐標系，如圖，

<2V21111

令點、PC-cos9,—sin9),則5(一］,—Ci(5,5),

??AP—Jl+cosd+*)2+SITI3+*)2=J2+(^SITLO+cos。),

PC\=J(^^cos6-±)2+SITL。-4)2=Jl-(siTtO+cos。)，

V2

令A(sin0+cos0)=x,

第10頁（共20頁）

AP+PC\=:2+%+V1—%=J?2+%+V1—%)2<J2［(V2+%)2+(V1—%)2］=V6,

當且僅當了=—去取等號，

V21Jr1

止匕時妥(sin0+cos0)=-2,即sin(8+/)=-2，

??7P+PC1的最大值為巡，故。正確.

故選：ACD.

(多選)11.(6分)己知偶函數/Xx)的定義域為R,/(：久+1)為奇函數，且/G)在［0,1］上單調遞增,

則下列結論正確的是()

A./(-|)<0B./(1)>0

2024

C./(3)<0D.^(￡^2)>0

【解答】解：因為/(x)為偶函數，所以/(-、)=/(%);

1

因為/(2%+1)是氏上的奇函數，所以/(I)=0，

且/(學)的圖象是由『G)的圖象向左平移2個單位得到的，所以“分的圖象關于(2,0)點對稱，進

一步得/(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱，即/(1+x)

所以/(x+2)—f(1+(1+x))—(1-(1+x))=-于(-x)--f(x),所以/(x+4)--f(x+2)

=/(x).所以函數/(x)是周期函數，且周期為4；

又/(x)在［0,1］上單調遞增，所以在［0,1］上，有/(x)<0.

所以函數的草圖如下：

?5

由圖可知：/(—彳)>。,故/錯;

4

故8對；

/(3)=0,故C錯;

第11頁(共20頁)

2n24999

=/（674+1）=/（4x168+2+j）=f（2+|）>0,故。對.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）（a+x）（1-x）2024展開式中,024的系數為-2023,則a的值為1.

【解答】解：（1-X）2024展開式的通項公式為0+1=42/—1）『"，

（a+x）（1-X）2024展開式中—024的系數為-2023,

則a?最溪+LC弗發(fā)—1）1=—2023,即a-2024=-2023,解得a=l.

故答案為：1.

13.（5分）△48C中，角/,B,C對邊分別為a,b,c,且2ccosCsin5+bsinC=0,D為邊AB上一點,

■,111

CD平分N4CB,CD=2,則一+-==^_.

ab2

【解答】解：因為2ccosCsin5+MnC=0,

所以2coscsin5=-bsinC,

由正弦定理得：

2sinCcosCsin5=-sinBsinC,

i

所以cosC=—2，

所以c=等,

因為CD平分//C5,

1JT

所以.Z_ACB=等

因為S^BC=:AC-CD-sin^ACD+與BC-CD-sin^BCD=字（4+b）,

因為S/^BC——,力。,BC'sinz.ACB=absiTi—^~——ctb?

V3V3

所以.（a+6）=—ab,

L4

~,a+b1

所以——=->

ab2

_111

所以一=T.

ab2

故答案為:1.

14.（5分）己知曲線。是平面內到定點尸（0,-2）與到定直線/：>=2的距離之和等于6的點的軌跡,

若點P在。上，對給定的點7（-2,力，用加⑺表示1PA+|尸刀的最小值，則加⑺的最小值為2

第12頁（共20頁）

【解答】解：設尸(x,y),當歹22時，|尸產|+廠2=6,

所以+(y+2)2=8—y,化簡得：x2=60-20y,jG[2,3],即37=-4/+3；

.____________-1

當y<2時，*|+2-y=6,所以尸丁布可=4+y,整理得：x2=4y+12,蚱[-3,2],即y=_3;

對于曲線C上任意一點P,

則甲尸|+「42|7F],當且僅當尸是線段7F與曲線C的交點時取“=”，

因為|"|=,4+(t+2)222,所以|尸尸出尸"，|7F|22,當且僅當f=-2,

即點7的坐標為(-2,-2)時，加(?)取得最小值為2.

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在△48C中，已知。，6,c分別為角A,B,C的對邊.若向量m=(a,cosA),向量n=(cosC,c),

且m-n-3bcosB.

⑴求cosB的值;

c成等比數列，求二]

(2)若2a,b,+的值.

tanAtanC

【解答】解：(1)因為zn=(a,cosA),n=(cosC,c),且TH?幾=3bcosB,

所以qcosC+ccos4=3bcos5,

由正弦定理，可得sirUcosC+sinCcos^=3sin5cos5,

所以sin(4+C)=3sin5cos5,即sin5=3sin5cos5,

又B為三角形內角，sin5WO,

所以cosB=芽

(2)因為2Q,b,c成等比數列，

所以薩=2ac,由正弦定理，可得sin25=2siiL4sinC,

第13頁(共20頁)

又cosB=^,8為三角形內角，所以s譏8=公^,

,11cosAcosCcosAsinC+cosCsinAsin(A+C}sinB2sinB2

所以----+-----=-----+----=--------------------------------------$------—

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsin^BsinB

3V2

2,

16.(15分)某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內隨機抽取了500名高中學生進行在

線調查，收集了他們參加公益勞動時間(單位：小時)分配情況等數據，并將樣本數據分成[0,2],(2,

4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組,繪制成如圖所示的頻

率分布直方圖.

(1)為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在(12,14],(14,

16],(16,18]三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人.記

參加公益勞動時間在(14,16]內的學生人數為X,求X的分布列和期望；

(2)以調查結果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“尸201)”表示

這20名學生中恰有人名學生參加公益勞動時間在(10,12](單位：小時)內的概率，其中左=0,1,2,

…，20.當尸20(k)最大時，寫出人的值.

個頻率

W1

0.15..........................~

Q......................................

5

O..O4-

0..O3-

0...0O2

0.1-

0.

.0O2

681012141618日平均閱讀時間/小時

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖得：

2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得：

這500名學生中參加公益勞動時間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內的學生人數分別為:

500X0.10=50人，500X0.08=40A,500X0.02=10人，

若采用分層抽樣的方法抽取了10人，

40

則應從參加公益勞動時間在(14,16]內的學生中抽?。骸靶摹眡10=4人,

50+40+10

現從這10人中隨機抽取3人，則X的可能取值為0,1,2,3,

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3

_Cr6.-型一工P(X-1)-以4-_60_1

P(X=0).璘一■120-6'V-1)一宵0一=120=2J

—36__3_p(x—3)—僚_4_1

P(X=2)_120_10'一"一=120=30J

GoC3Q

故X的分布列為:

X0123

P1131

621030

則其期望為E(X)=1xi+2x磊+3x5=當；

(2)由(1)可知參加公益勞動時間在(10,12］的概率p=0.1X2=0.2,

fefe12fe

所以「20(卜)=C^o(O.2)(l-0.2)2°-欠=C^o(O.2)(O.8)°-,

fc2fc

依題意|P2o(k)2P2。/-1)fC^o(O.2)(O.8)°->C竊i(0.2?T(0.8)2ii

[c^(O.2)fe(O.8)2°-fe>C轉1(0.2)狂1(0.8)19-3

「2。(幻2P2o(k+l)o

nn20-/c+1no

0.2x——T——>0.8―1621

BP-K解得

20-(k+l)+l'<k<—,

0.8>0.2X

/c+1

因為無為非負整數，所以左=4,

即當尸20(k)最大時，k=4.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面/BCD是邊長為2的菱形，△DC尸是等邊三角形，乙DCB=

Z.PCB=點、M,N分別為DP和48的中點.

(1)求證：〃平面P3C；

(2)求證：平面尸8CJ_平面/BCD；

(3)求CW與平面為。所成角的正弦值.

【解答】證明：(1)取尸C中點E,連接ME,BE,

為。尸中點，N為4B中點、,

11

J.ME//-CD且ME==zCD,

22

11

又"."BN//-CD且BN=今CD,

2，

:.ME〃BN且ME=BN,

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，四邊形BEMN為平行四邊形，

C.MN//BE,

平面P5C,3￡u平面P5C,

〃平面PBC；

證明：⑵:乙DCB=LPCB=￡，CD=PC,BC=BC,

:.ABCD%LBCP,過P作PQ_L8c于點°,：.DQ±BC,

：.PQ=DQ=VLPQ2+DQ2=4=P￡>2,：.PQ±DQ,

.*.PQ_L平面ABCD,

:尸0u平面PBC,；.平面P2C_L平面ABCD-,

解：(3)如圖建系，

則C(VL0,0),P(0,0,V2),D(0,V2,0),M(0,孝，孝)，71(-2,魚，0),

；.?=(-我,孝，號),AD=(2,0,0),而=(0,-V2,V2),

設平面的一個法向量￡=(%,y,z),

設CM與平面PAD所成角為①

?_I_旦

??sinu―———I11二一

\CM\\n\J2+M?&，

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18.（17分）約數，又稱因數.它的定義如下：若整數。除以整數加（〃[W0）除得的商正好是整數而沒有

余數，我們就稱。為加的倍數，稱優(yōu)為。的約數.設正整數。共有后個正約數，記為。2,…，ak

-1,ak（。1<42<…<四）?

（1）當k=4時，若正整數。的左個正約數構成等比數列，請寫出一個。的值；

（2）當左三4時，若Q2-Q1，13-〃2,…，。左-徽-1構成等比數列，求證：。=滋—1（憶之4）;

（3）記力=。1〃2+。2的+…+〃左.1。左，求證：A<a2,

【解答】解：（1）當左=4時，正整數。的4個正約數構成等比數列，比如1,2,4,8為8的所有正

約數，即4=8；

或1,3,9,27為27的所有正約數，即。=27；或1,5,25,125為125的所有正約數，即。=125；

（首項為1,公比為質數的等比數列的第四項均可）

（2）證明：由題意可知，6Z1=1,ak=a,且?四=42?四-1=。3?袱-2=~=Q，

因為Q2-Q1，的-Q2，…。左-延-1構成等比數列，不妨設其公比為夕,

貝叼二矣=辛日其所以香1-—

___a2

11'

a2a3

化簡得：aj-(?2+1)。3+=0,所以(。3-?2)(a3-1)=0,

~^=a,

又因為的>1，所以的=城，所以公比（?=。3-。22

。2—1。2—1

所以以-CLk-1=(。2一。1)，q『2=(a2-1)°a2~2f

又因為以一，a-=總,所以"冷@7?滋R

又因為Q2>1，所以Q=滋一1（々24）;

(3)由題意知，a\ak=a,aiak-\=a,…，aiak+\-i=a,…，(iWz.WAO,

心+__+…+衛(wèi)日在1,。2一。1111V縱一縱一1

所以/,因為----<------

ak-lakak-2ak-lala2ak—lQk縱-1縱

11

ak—lak

心+^^+...+￡=0211I

所以4=(++…H-----)

ak-lakak-2ak-lQk—iak縱-2縱-1ala2

111111c11

0(———+———+...H---=a2(———),

aia2a3ak-lak口1ak

,11

因為m=l,ak—a,所以———VI,

耿

所以4<a2(-...-)<a2,即A<a2.

alak

%2y21

19.（17分）已知橢圓C：/+力l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為尸1、Fi,離心率為5,經過點尸1

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且傾斜角為e（ovev*）的直線/與橢圓