尺規(guī)作圖-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯題

專題10尺規(guī)作圖

易錯點1:等角作圖

易錯點2:垂線作圖

易錯點3:角平分線作圖

易錯點4:垂直平分線作圖

易錯點5:平行線作圖

尺規(guī)作圖

易錯點6:平移網(wǎng)格作圖

易錯點7:軸對稱網(wǎng)格作圖

易錯點8:中心對稱作圖

易錯點9:切線作圖

易錯點10：相似作圖

尺規(guī)作圖易錯點1：三角形的四心

易錯點2:平行四邊形

易錯點3:矩形

易錯點4:菱形

易錯點5:正方形

無刻度尺作圖易錯點6：圓

易錯點7:相似

易錯點8:三角函數(shù)

易錯點9:一次函數(shù)

易錯點10：反比例函數(shù)

易錯點11:二次函數(shù)

尺規(guī)作圖專題

易錯點：

1.對工具的理解不準(zhǔn)確：學(xué)生可能會誤解直尺和圓規(guī)的使用規(guī)則。例如，直尺不能用來測量長度，只能用

來連接兩點；圓規(guī)可以開到無限寬，但上面不能有刻度，只能拉開成之前構(gòu)造過的長度。

2.作圖步驟混亂：尺規(guī)作圖需要按照一定的步驟進(jìn)行，如果步驟混亂或者遺漏了某些步驟，可能會導(dǎo)致作

圖失敗或者得出的結(jié)果不準(zhǔn)確。

3,對幾何概念理解不足：尺規(guī)作圖涉及到許多幾何概念，如線段、角、垂線等。如果學(xué)生對這些概念的理

解不足，可能會導(dǎo)致作圖時出現(xiàn)錯誤。

4.忽略題目要求：在做尺規(guī)作圖題時，學(xué)生需要仔細(xì)閱讀題目要求，理解需要作什么圖形以及需要滿足的

條件。如果忽略了題目要求，可能會導(dǎo)致作圖結(jié)果與題目要求不符。

5.作圖精度不夠：尺規(guī)作圖需要一定的精度，如果作圖時精度不夠，可能會導(dǎo)致作圖結(jié)果不準(zhǔn)確。例如，

在作角平分線時，如果角度的劃分不準(zhǔn)確，就會導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。

易錯點1：等角作圖

例：已知：如圖，4°8=20°,03平分

(1)以射線OD為一邊，在乙1OD的外部作NDOE,使NDOE=/COD；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求

寫作法)

(2)若44OE=105。10',求的補角的大小.

【答案】(1)見解析

(2)107025,

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作一個角等于已知角，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

定義.

(1)根據(jù)尺規(guī)作一個角等于己知角的方法進(jìn)行作圖即可；

(2)根據(jù)403=20。，08平分//OC,得出N/OC=2/403=2x20。=40。，根據(jù)ZDOE=NCOD,

ZDOE+ZCOD=ZEOC,求出ZDOE=ZCOD=32°35',得出ZAOD=NCOD+ZAOC=32°35'+40°=72°35,,

然后求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：如圖，乙DOE即為所求作的角;

D

C

3

o.

(2)解：9：ZAOB=20°,OB平分NAOC,

：.ZAOC=2ZAOB=2x20°=40°,

ZAOE=l05°l0f,

：.ZEOC=ZAOE-ZAOC=105。10'—40°=65o10\

ZDOE=/COD,/DOE+ZCOD=ZEOC,

???ADOE=/COD=32。35',

ZAOD=ZCOD+ZAOC=32°35f+40°=72°35f,

.?.180o-72°35r=107°25r,

???440。的補角的大小為107。25'.

變式L如圖，已知乙4。8=90。.

(1)在03的下方作4。。=4。。，僅用直角三角板完成作圖，并說明作圖的依據(jù)；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，若//。。=160。，求。的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)20°

【分析】(1)將直角板一邊沿著。。方向，頂點與。點重合，沿著另一條直角邊畫射線。。即可；

(2)根據(jù)已知條件求出44。。=70。，再由=乙405-乙40。即可得到答案.

【詳解】(1)解：將直角板一邊沿著。。方向，頂點與。點重合，沿著另一條直角邊畫射線。。即可.

???/AOB=90°,/COD=90°,

ZAOB=ZAOC+/COB,

ZCOD=ZDOB+ZCOB,

ZBOD=ZAOC；

(2)解：VZAOD=160°,ZCOD=90°,

ZAOC=ZAOD-NCOD=160°-90°=70c,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=90°-70°=20°.

變式2：如圖，ZAOC=ZBOD=90°.

(1)直接寫出圖中一組相等的銳角；

(2)設(shè)“。C=。，ZAOB=p,求用與a之間的關(guān)系式；

(3)請在備用圖中，僅利用三角板畫出/MPN,使=尸尸.(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】(1)N/OA=4OC

(2)/?=180°-a

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等，即可得到答案；

(2)結(jié)合角的特點進(jìn)行計算即可；

(3)以母'為直角的一邊作NMPF,再以EP為直角的一邊作NEPN,NMPN即為所求作.

【詳解】(1)解：；NZOC=N8OO=90。，

:.ADOC+ZAOD=90°,ZDOC+ABOC=90°,

,ZAOD=NBOC；

(2)解：設(shè)〃OC=a,"OB=。，貝I」#=4OD+a+NCOB,

P+a=Z.AOD+a+Z.COB+a,

fi+a=AAOC+ABOD=18CP,

￡=180°-a；

(3)解：如圖所示，/MPN即為所求.

EPN,ZMPF=90°,

NEPN+NEPM=ZMPF+ZEPM,

:.NMPN=NEPF.

【點睛】本題考查了角的和差計算，同角的余角相等，作圖復(fù)雜作圖，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

易錯點2：垂線作圖

例：如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,其頂點稱為格點，點A、8、C、。均

在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

A\

1

C

D：

(1)畫線段48,畫直線/C.

(2)過點。畫直線/C的垂線，垂足為E.

(3)點D到直線AC的距離為線段一的長度.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

⑶DE

【分析】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖、直線、射線、線段、垂線、點到直線的距離，熟練掌握相關(guān)知識

點是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段、直線的定義畫圖即可.

(2)結(jié)合網(wǎng)格，過點。作。E垂直直線/C即可.

(3)由點到直線的距離可知，點。到直線NC的距離為線段DE的長度.

【詳解】(1)解:如圖，線段/8、直線/C即為所求.

(2)如圖，即為所求.

(3)點。到直線NC的距離為線段的長度.

故答案為：DE.

變式1：如圖，在射線N8上有一點請選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D，完成以下問題:

(1)過點M作射線/C的垂線，垂足為點

⑵在線段"C上任取一點N(不與H,C重合)，連接MN；

(3)在線段M4,MH,MN中,線段最短，依據(jù)是.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

(3)MH,垂線段最短

【分析】(1)根據(jù)垂線的作法作圖即可；

(2)根據(jù)平行線的作法作出平行線即可；

(3)根據(jù)直線外一點到該直線的所有線段中，垂線段最短即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，直線即0即為所求；

c

H

A

(2)解：如圖所示，線段及W即為所求;

⑶解：'：MHAC,：.MH<AM,MH<MN,

理由：直線外一點到該直線的所有線段中，垂線段最短.

故答案為垂線段最短.

【點睛】題目主要考查垂線、平行線的基本作法及垂線段最短的性質(zhì)，理解垂線及平行線的作法是解題關(guān)

鍵.

變式2：在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，A/BC的三個頂點的位置如圖所示，現(xiàn)

將ANBC向右平移3格，再向下平移2格，得到使點力的對應(yīng)點為點。，點8的對應(yīng)點為點E,點

C的對應(yīng)點為點F.

(1)畫出ADEF；

(2)在圖中畫出AABC的邊上的高線CG(保留利用格點的作圖痕跡);

G)"BC的面積為；

(4)若的長為5,邊上的高CG=.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點的位置，順次連接即可；

(2)利用格點的特點，過C點作的垂線即可；

(3)利用A/SC所在矩形的面積減去周圍3個三角形的面積即可求解；

(4)利用(3)的結(jié)論和三角形面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，將A/SC的三個頂點分別向右平移3格，再向下平移2格，得到對應(yīng)點的位置，順

次連接即可得到

(2)解：如圖，利用格點的特點，過C點作N3的垂線CN,交于點G,CG即為N3邊上的高線;

(3)解：A/gC的面積為:4x4—x4xl—x3xl—x3x4=——

故答案為:

13

⑷解：由（3）得5必點二萬，

-ABCG=—,

22

AB=5,

13

故答案為：y.

【點睛】本題考查平移變換、格點作圖及三角形面積的求法，利用格點特點作出N8的垂線是解題的關(guān)鍵.

易錯點3：角平分線作圖

例：已知：如圖RtA43C,ZC=90°.

（1）用尺規(guī)作圖法做//8C平分線交/C于點。（不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵若48=10,CD=3,求的面積.

【答案】（1）見解析

⑵15

【分析】本題考查了作圖一角平分線，以及角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等

是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)角平分線的作法作圖即可；

（2）過點。作。與點E,由角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DC=3,即可求出△/網(wǎng)）的面積.

【詳解】（1）解：如圖所示，點。即為所求；

（2）解：如圖，過點。作。E145與點E,

QBZ）是/4BC的平分線，DE1AB,BC±AC,

DE=DC,

/.DC=3,

DE=3,

:.S/砧」N8XDE=!X10X3=15.

AADU22

變式1:請回答下列問題：

⑴如圖1,已知利用直尺和圓規(guī)，作N8/C的平分線/。交于點。（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）；

（2）如圖2所示，4D是的角平分線￡、尸分別是48、/C上的點，且/瓦加+N8/C=180。，求證:

DE=DF.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的基本作圖方法作圖即可;

（2）過點。作于點4,作。0_LZC于點。，證明AEHD之Ab0D（AAS）,得出/，即可得

出答案.

【詳解】（1）解：如圖，作/A4c的平分線4D交3C于點。；

（2）證明：如圖，過點。作￡歸，48于點作。。_LZC于點。,

貝!]AEHD=ZFQD=90°,

?.?4D平分/A4C,

DH=DQ,

QAEDF+ABAC,

:.AAED+AAFD=\^°,

■：ZDFQ+AAFD=1SO°,

ZDEH=ZDFQ,

ADEH=NDFQ

在4EHD和AFQZ）中</EHD=NFQD,

DH=DQ

:.AEHD^FQD(AAS),

:.DE=DF.

【點睛】本題主要考查了角平分線的基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，補角的性質(zhì),

解題的關(guān)鍵作圖輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法.

變式2：如圖，在中，。是48邊上的一點，且4c=4D.請用尺規(guī)作圖法在邊BC上找一點使

得S./CM=S-(保留作圖痕跡，不寫作法).

【答案】見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一角平分線，作出/C43的角平分線交8c于則點M到NC的距離與

到4。的距離相等，根據(jù)=進(jìn)而可得S-=S-,即可求解，熟練掌握尺規(guī)作圖作角平分線的方

法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：作出二。3的角平分線交8c于〃，

點M到AC的距離與到AD的距離相等，

■：AC=AD,

?V—c

-U^ACM-'

如圖所示，點M即為所求:

c

M

易錯點4：垂直平分線作圖

例：如圖，在矩形“BCD中，/C是對角線.

(1)利用尺規(guī)作線段NC的垂直平分線，垂足為點。，交邊/。于點E,交邊BC于點尸(要求：尺規(guī)作圖并

保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)；

(2)連接即、CE,求證四邊形/EC尸為菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】

本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的性質(zhì).

(1)利用基本作圖作/C的垂直平分線即可；

(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC,再證明△4OE0ZSCO廠得到OE=OF,然后

利用對角線互相垂直平分的四邊形為菱形得到結(jié)論.

【詳解】(1)

解：如圖，EF為所作；

(2)

證明：?.?斯垂直平分/C,

EF1AC,OA=OC,

四邊形/BCD為矩形，

Z.AD//BC,

ZDAC=ZBCA,

在和AC。尸中，

ZEAO=ZFCO

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

AAOE出ACOF(ASA),

OE=OF,

.?.NC與E尸互相垂直平分,

四邊形/EC尸為菱形.

變式1：如圖，在“中，AD是4BC的角平分線.

(1)請用圓規(guī)和無刻度的直尺作的垂直平分線，分別交NC于點W,N；(保留作圖痕跡，不寫作

法)

⑵連接DW,DN,試判斷四邊形的形狀，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)四邊形NMLW是菱形，證明見解析

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確

作出圖形.

CD根據(jù)要求作出圖形；

(2)結(jié)論：四邊形是菱形.證明四邊相等可得結(jié)論.

【詳解】(1)圖形如圖所示：

A

N

wx

BDC

(2)結(jié)論；四邊形/MLW是菱形.

理由：設(shè)MN交4D于點O.

垂直平分線段4D,

:.MA=MD,NA=DN,

?.?4D平分/A4C,

ZOAM=ZOAN,

NOAM+ZAMO=90°,NOAN+ZANO=90°,

ZAMO=ZANO,

AM=AN=DM=DN,

:?四邊形/MEW是菱形.

變式2：48是兩個村莊，"、￡2是兩條馬路.為發(fā)展經(jīng)濟，提高農(nóng)民收入，鎮(zhèn)政府決定建立一個蔬菜批

發(fā)市場，選址要使市場到兩條馬路和兩個村莊的距離都相等.請你用尺規(guī)在圖中找出市場的位置.（不用寫

作法，但是要保留作圖痕跡）

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線和角平分線的實際應(yīng)用，線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖，

到兩個村莊的距離相等，則蔬菜批發(fā)市場在線段的垂直平分線上，到兩條馬路的距離相等，則蔬菜批發(fā)

市場在21、/2夾角的角平分線上，據(jù)此作圖即可.

【詳解】解：如圖所示，作線段的垂直平分線和口、Z2夾角的角平分線，二者的交點尸即為所求.

Al

Ct

易錯點5：平行線作圖

例：作圖題：

（1）在圖①中，作過點尸作直線垂足為〃：作直線P0〃C。；

（2）請直接寫出圖①中三角形尸的面積是平方單位；

（3）在圖②中過點尸作直線尸C〃。/（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.）

【答案】（1）見解析；

⑵11；

（3）見解析

【分析】本題考查了兩直線平行的判定，尺規(guī)作圖作出相等角的作法，熟記平行線的判定定理，尺規(guī)作圖

的步驟是解題關(guān)鍵.

（1）利用網(wǎng)格的特點作出圖形即可；

（2）利用割補法即可求解；

（3）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，過點尸利用尺規(guī)作出=即可解決問題.

【詳解】（1）解：直線由和直線尸。即為所作，

(2)解：三角形尸的面積=4x7-Lx2x7-」x4x2—」x4x3

222

=28-7-4-6

=11平方單位；

故答案為：11;

(3)解：如圖，直線尸C即為所求.

B

變式1：如圖，點。在的邊的延長線上，利用尺規(guī)作圖法在/C的延長線上求作一點E,使得

DE//AB.(不寫作法，保留作圖痕跡)

B

【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，根據(jù)作一個角等于已知角的方法作圖即可，熟練掌握作一個角等于已知

角的尺規(guī)作圖以及平行線的判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，①以8,。為圓心，任意長度為半徑畫弧，交DB于點、H,交AB與N；

②以C為圓心，MV長度為半徑畫弧，交弧于點G；

③連接DG,延長DG,交4c于點、E；

'：ZCDE=ZB,

：.DE//AB,

.?.點E即為所求.

變式2：如圖，/C/E是“的一個外角.

（1）尺規(guī)作圖，過/作3C邊的平行線.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）;

（2）在（1）的條件下，若4D平分/C4E.求證：AB=AC.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】此題考查了作一個角等于已知角，平行線的判定和性質(zhì)，等角對等邊，

（1）作/E4G=48,即可得到40〃8C；

（2）利用/。平分NC4E得到=根據(jù)推出/瓦4。=N2,NC=ND4C,由此得到

NB=NC,即可推出48=/C；

熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）如圖所示，以8為圓心，以任意長為半徑畫弧，交4B,BC于點、M,N,以/為圓心，以AM■長

為半徑畫弧，交AE于F,再以尸為圓心兒W長為半徑畫弧，兩弧交于G,連接ZG即為所求平行線NZ）.

E

?：/FAG=/B,

：.AD//BC；

(2)???/。平分/14月.

???ZEAD=ZDAC,

*：AD//BC,

NEAD=ZB,ZC=ZDAC,

ZB=ZC,

：.AB=AC.

易錯點6：平移網(wǎng)格作圖

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(2,7),3(2,3),。(6,3),點〃在線段4c上，坐標(biāo)為(4,5).

(1)(不用畫圖，直接寫坐標(biāo))點M關(guān)于直線8C對稱的點AT坐標(biāo)是如果將向右平移2個單位，平移

后點〃對應(yīng)點AT的坐標(biāo)是」

(2)在線段上找一點尸，使//尸B=(不必寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)出點尸)

【答案】(1)(4,1),(6,5)；

(2)作圖見解析.

【分析】（1）根據(jù)軸對稱和平移得性質(zhì)即可求解；

（2）連接/AT,與相交于點P,點尸即為所求；

本題考查了軸對稱、平移，坐標(biāo)與圖形，作角相等，掌握軸對稱和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：；點M關(guān)于直線8。對稱的點為

.?.點”的坐標(biāo)是（4,1）；

將AABC向右平移2個單位，平移后點W對應(yīng)點M"的坐標(biāo)是（6,5）；

故答案為：（4,1）,（6,5）；

（2）解：如圖，點P即為所求.

理由：?.?點W與點AT關(guān)于直線8C對稱,

NMPC=ZM'PC,

AM'PC=AAPB,

：.NAPB=ZMPC.

變式1：已知：“3C在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為“（0,3）、8（3,4）、C（2,2）（網(wǎng)格中每個

⑴將^ABC向下平移3個單位長度得△44G,則點￡的坐標(biāo)是；

（2）作圖：以點3為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△4生。2，使2G與“3C位似，且相似比為2:1；

（3）點C2的坐標(biāo)是,△4AG的面積是平方單位.

【答案】（1）（2,-1）

（2）見解析

⑶（1,0）,10

【分析】本題考查了作圖（位似變換），掌握畫位似圖形的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)點平移的規(guī)律，“上加下減，左減右加”，求解即可；

（2）延長9到4使得叫=28/,延長8C到C?使得連接則可得到

（3）根據(jù)Q的位置求解即可，利用割補法求解2G的面積即可.

【詳解】（1）解：如圖，可。為平移后的三角形,

G點的坐標(biāo)為（2,-1）

故答案為：（2,-1）

（2）如圖，與Cz為所求的三角形,

（3）由圖形可得，。2的坐標(biāo)為（1，°），

△43,Cz的面積=6x4--x2x4--x2x4--x6x2=10（平方單位）.

222

變式2：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形邊長都是1.

（1）按要求作圖："3C關(guān)于》軸對稱的圖形；

（2）將點A先向上平移3個單位，再向右平移8個單位得到點4的坐標(biāo)為.

（3）求“BC的面積.

【答案】（1）作圖見詳解

⑵（3,2）

23

（3）的面積為萬

【分析】（1）根據(jù)圖形關(guān)于軸對稱圖形的定義和方法（原圖關(guān)鍵點到軸的距離等于對稱圖形對應(yīng)的點到軸

的距離）即可求解；

（2）根據(jù)點的平移規(guī)律即可求解；

（3）運用“割補法”求幾何圖形面積即可.

【詳解】（I）解：“3C關(guān)于》軸對稱的圖形△44G，如圖所示，

△44G即為所求圖形的位置.

(2)解：根據(jù)圖示可得，^(-5,-1),將點A先向上平移3個單位，再向右平移8個單位得到點4,

4的橫坐標(biāo)為-5+8=3,縱坐標(biāo)為-1+3=2,

4。,2),

故答案為：(3,2).

(3)解：如圖所示，將補成矩形平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形邊長都是1,

CD=EF=4,CF=DE=1,DA=5,AE=2,BE=3,BF=\,

???S長方形3F=CDCF=4X7=28，S△皿=；CD.DA=；x4x5=10,=；AE-BE=gx2x3=3，

117

S.=-BFCF=—xlx7=—，

RFC222

**?^ABC的面積為--.

2

【點睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換，掌握圖形關(guān)于軸對稱的作圖方法，點的平移規(guī)律，“割

補法”求計算圖形的面積的方法是解題的關(guān)鍵.

易錯點7：軸對稱網(wǎng)格作圖

例：如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為5(-3,3),c(-l,2).

⑴作出“3C關(guān)于y軸對稱的A/'B'C',并寫出C'的坐標(biāo)；

⑵求出A/'8'C'的面積；

(3)在x軸上畫出點P,使尸4+PC的值最小，并寫出點尸的坐標(biāo).(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】⑴見解析，。(1,2)

(2)i

(3)見解析，點尸的坐標(biāo)為(-3,0)

【分析】

本題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是周圍軸對稱變換的性質(zhì)，學(xué)會利用軸對

稱解決最短問題.

(1)根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征寫出點?、夕、C點的坐標(biāo)，然后描點，順次連接B'C'、A'C

即可；

(2)利用割補法求三角形面積即可；

(3)作C點關(guān)于無軸的對稱點C",連接/C"交x軸于點p,點尸即為所作.

【詳解】(1)如圖所示，A/'B'C'即為所求，

(2)SA'D'C'=3x2—x2x1—x3x1—x2xl=—；

aABC2222

(3)如圖所示，點尸即為所求,

...點P的坐標(biāo)為(-3,0).

變式1：如圖，在長度為1個單位的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點4AC在小正方形的頂點上.完

成下列作圖(不寫畫法，保留作圖痕跡)

⑴在圖中畫出與23C關(guān)于直線跖V成軸對稱的與G；

(2)僅使用無刻度的直尺作出NC邊上的高.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了作圖一軸對稱變換、作三角形的高，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出點4B、C的對應(yīng)點4、4、G，再順次連接即可；

(2)根據(jù)格點作出NC邊上的高即可.

【詳解】(1)解：如圖，△44G即為所求;

M

（2）解：如圖，線段5D即為所求,

N

變式2：如圖，在下列帶有坐標(biāo)系的網(wǎng)格中，4/臺。的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上,

^（-3,3）,S（-4,-2）,C（0,-l）,畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示

⑴在圖1中，畫出關(guān)于y軸對稱的ADEC（點。與點/對應(yīng)），點￡的坐標(biāo)為

（2）在圖1中，畫出AABC的中線4W,點河的坐標(biāo)為_；

（3）在圖2中，畫出“8C的高8尸（保留作圖痕跡）.

【答案］⑴（4,-2）

(2)(-2,-1.5)

（3）見解析

【分析】本題主要考查了在網(wǎng)格中作三角形的高和中線以及作軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是作出對應(yīng)點，掌

握網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特點.

（1）作出點/、3關(guān)于y軸的對稱點。、E,然后順次連接即可，寫出點￡的坐標(biāo)；

（2）連接尸Q,交8C于一點連接即可，根據(jù)點M為8C的中點，寫出點M的坐標(biāo)即可；

（3）連接3N,交ZC于一點R貝ijBF即為AASC的高.

【詳解】（1）解：作出點43關(guān)于y軸的對稱點。、E,貝（UDEC即為所求作的三角形

點E的坐標(biāo)為：（4,-2）.

故答案為：（4,-2）.

（2）解：連接P。，交BC于一點、M,連接點〃即為所求,

根據(jù)作圖可知，點M為所在方格的中點上，點M的坐標(biāo)為（-2,-1.5）.

故答案為：（-2,-1.5）；

（3）解：連接8N,交/C于一點尸，如圖所示:

易錯點8：中心對稱作圖

例：如圖，在方格網(wǎng)中已知格點A/3C和點P,請僅用無刻度直尺完成以下作圖.

(1)畫出,使得^A'B'C和AABC關(guān)于點尸成中心對稱；

(2)請在方格網(wǎng)中標(biāo)出所有使以點A,B,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形的。點.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題考查了無刻度的直尺作圖，用到的知識點是中心對稱、平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握中心

對稱的作法，作平行四邊形時注意畫出所有符合要求的圖形.

(1)根據(jù)中心對稱的作法，找出對稱點，即可畫出圖形；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定，畫出使以點N、B、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形的點即可.

【詳解】⑴解:如圖所示：

即A/BC'為所求;

（2）解：如圖所示:

即點。為所求;

變式1：如圖1與圖2,在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，“3C的頂點及點。均在格點

上.請僅用無刻度直尺完成作圖（保留作圖痕跡）.

圖1圖2

⑴在圖1中，作“3C關(guān)于點O成中心對稱的"‘B'C'；

（2）在圖2中.

①作AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點仍在格點上的A/'B'C'；

②請直接寫出：點B到AC的距離為.

【答案】（1）見解析

（2）①見解析；②2

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出4B,C的對應(yīng)點H,B',C即可;

（2）①利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；

②判斷出A/BC是直角三角形，利用等積法，即可求解.

【詳解】⑴解:如圖1中，A/BC'即為所求.

(2)解：①如圖2中，A/8'C'即為所求.

②過點8作8。，AC于點D,

A8=6+42=26，BC=M+f=5/C=打+42=5，

/.AB2+BC2=AC2,MZABC=90°,

S.Rr=—ABxBC=—ACxBD,

加22

即BD=ABxBC=20布=2,

AC5

.,.點8到4C的距離為2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理和逆定理，點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)

合的思想解決問題.

變式2：如圖所示，在“BC中，A(-2,3),5(-3,1),C(-L2).

（1）將“3C向右平移4個單位長度，畫出平移后的；

（2）將^ABC繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后的2G;

（3）由作圖可知△4與G與"B&成中心對稱，對稱中心的坐標(biāo)是

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

⑶（2,0）

【分析】本題考查了作圖的綜合問題一平移、旋轉(zhuǎn)和對稱.

（1）首先將點aB、C分別向右平移4個單位，得到點4、片、G，順次連接即可；

（2）將4B、C繞點。旋轉(zhuǎn)180。，得到點4、當(dāng)、C2,順次連接即可；

（3）通過計算可得44，片4和GC?相交于點（2,0）,根據(jù)中心對稱圖形的定義即可解答.

【詳解】（1）解：△44G如圖所示；

（2）解：△a芻g如圖所示;

（3）解：連接44，4旦和co?.

二對稱中心為（2,0）.

故答案為：（2,0）.

易錯點%切線作圖

例：如圖，已知放（/C=90°）.

（1）作一個圓，使圓心。在/C上，且與3C所在直線相切（不寫作法，保留作圖痕跡，并說明作圖的

理由）；

（2）尺規(guī)作圖：作O。，使得圓心。在邊N5上，。。過點A且與邊相切于點。（請保留作圖痕跡，標(biāo)明

相應(yīng)的字母，不寫作法）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了綜合作圖、圓的切線的判定和性質(zhì)以及角的平分線的性質(zhì)定理，正確確定圓心。的位

置是關(guān)鍵.

（1）作出的角平分線，角平分線與/C的交點。是圓心，以。為圓心，以。。為半徑作圓即可；

（2）作/8NC的角平分線AD交8c與。，過。點作。O垂直于3C,交AB與O,以。為圓心，以為

半徑作圓即可.

【詳解】（1）如圖所示，O。即為所求

：08是//BC的平分線，ZC=90°,

點。到AB的距離等于到BC的距離OC,

與48、8C所在直線相切

（2）如圖所示，O。即為所求作的圖形

A

變式1：在RtZ\48C中，ZC=90°.

切于點R求證：/1=/2；

⑵在圖②中作。使它滿足以下條件：

①圓心在邊上；②經(jīng)過點&③與邊NC相切.（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查圓和切線的性質(zhì)和基本作圖的綜合應(yīng)用.掌握連接圓心和切點的半徑與切線垂直是

解題的關(guān)鍵.

（1）由切線的性質(zhì)可得/。/弘=90。=/。，推出。尸〃BC,由平行線的性質(zhì)可得=由等邊對等

角可得Z2=ZOFB,等量代換可得Z1=Z2；

（2）先作N/3C的角平分線，與NC交于點尸，再作用的垂直平分線，與48交于點M,以點M為圓心,

為半徑作圓即可.

【詳解】（1）證明：如圖①，連接。尸，

c

???0。與zc相切于點尸,

NOFA=90。=NC,

OF//BC,

Z1=ZOFB,

???OF=OB,

Z2=ZOFB,

Z1=Z2；

**-MF=MB,

J/MBF=ZMFB,

又?:BF平分NABC,

：.ZMBF=NCBF,

ZCBF=ZMFB,

MF//BC,

???ZC=90°,

：.FMLAC,

：.0M與邊4。相切.

變式2：如圖，已知“3C是銳角三角形（/C<Z3）.

圖1圖2

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線/,使/上的各點到2、C兩點的距離相等；設(shè)直線/與

AB,3c分別交于點M、N,作一個圓，使得圓心。在線段上，且與邊8C相切；（不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若=BC=2,求O。的半徑為

【答案】（1）見解析；

⑵，

【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵

是理解題意，正確作出圖形.

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）過點。作于E,設(shè)OE=ON=r,由勾股定理求出MN的長，由三角形的面積公式可得出答

案.

【詳解】（1）解：如圖直線/,。。即為所求.

圖1

（2）解：過點。作OEL43于E,設(shè)OE=ON=r,如圖,

A

A\

BNC

圖2

?:BM=三,BC=2,MN垂直平分線段BC,

:.BN=CN=\,

：.MN=^BM2-BN2=J|-I-f=i,

—xlx—=—xlxr-\——x—xr

解得一；，

故答案為：—.

易錯點10：相似作圖

例：如圖，在AJBC中，4B=AC,請你利用尺規(guī)作圖，在3C求作一點D,使“BCSA。4c.（不寫作

法，保留作圖痕跡）

【答案】詳見解析

【分析】本題考查作圖-相似變換，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知

識解決問題.作線段/C的垂直平分線交3C于點。，連接點。即為所求.

【詳解】解：如圖，點。即為所求.

理由：由作圖可知D4=DC,

ZC=ADAC,

'：AB=AC,

；.NB=NC=NDAC,

：.AABCSADAC.

變式1:小明同學(xué)在學(xué)習(xí)過《對稱圖形圓》、《圖形的相似》兩章內(nèi)容后，結(jié)合所學(xué)的知識，想嘗試解決以下

尺規(guī)作圖問題，聰明的你請幫助他完成.

問題背景：已知點尸是四邊形/BCD中ZB邊上一點，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出滿足下列條件的點P.

問題2.如圖2,ZA=ZB=90°,AADPSABPC；

問題3.如圖3,乙4=NB=45。，AADPS^BPC.

(友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡)

【答案】詳見解析

【分析】(1)作點。關(guān)于直線的對稱點￡,連接CE交48于P,連接尸。，于是得至I」AAPDSABPC；

(2)作CD的垂直平分線MN交CD于。，以點。為圓心，OC為半徑作圓O,交4B于點P,于是得到

AADPSABPC；

(3)作。。的垂直平分線，過點。作的垂線交于點P,以C為頂點，CD為角的一條邊，作

ZDCO=ZADP,交CD的垂直平分線于一點0,以。為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，與48的交點即為所求

作的點P.

【詳解】(1)如圖1,即為所求.

(2)如圖2,A/PD即為所求.

(3)如圖3,△4P。即為所求.

【點睛】本題是相似形的綜合題，考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),

等腰直角三角形的性質(zhì)，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵.

變式2：如圖，5。為平行四邊形的對角線，點￡為邊43上一點，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作

一點、F,使得（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到

ZAEF=ZBDC,進(jìn)而求解.

【詳解】解：：AAEF~&CDB,

：.ZAEF=NBDC,

作圖如下，點尸即為所求.

無刻度尺作圖專題

易錯點：

1.找點不準(zhǔn)確：由于是無刻度的直尺，找點的準(zhǔn)確性是關(guān)鍵。點可能位于格點上，也可能是圖形上的特殊

點，如中點、N等分點、重心、垂心、圓心等。對這些點的準(zhǔn)確識別是作圖的基礎(chǔ)。

2.對特殊角度的理解不準(zhǔn)確：特殊角如45度、60度、120度、90度等，在作圖時需要在格點上準(zhǔn)確找到。

對這些特殊角的理解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖錯誤。

3.對特殊線的理解不準(zhǔn)確：特殊的線，如垂線、中線、高等，需要按照其特性進(jìn)行作圖。對這些特殊線的理

解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖失誤。

4.對特殊圖形的理解不準(zhǔn)確：特殊圖形如正方形、平行四邊形、特殊平行四邊形等，需要根據(jù)其特性進(jìn)行作

圖。對這些特殊圖形的理解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖錯誤。

5.對圓的相關(guān)性質(zhì)理解不準(zhǔn)確：在找圓心、弦長等過程中，需要借助圓的相關(guān)性質(zhì)，如圓心在弦的垂直平分

線上，同弧所對圓周角相等。對這些性質(zhì)的理解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖失誤。

6.比例和長度的誤解：在無刻度尺作圖中，經(jīng)常需要根據(jù)已知圖形或角度推斷出其他線段的比例或長度。這

需要對圖形的比例關(guān)系和長度關(guān)系有深入的理解。如果這些關(guān)系理解不清，或者計算錯誤，都可能導(dǎo)致作

圖錯誤。

7.作圖步驟混亂：無刻度尺作圖需要按照一定的步驟和順序進(jìn)行，如先確定基準(zhǔn)點，再連接線段，然后作垂

線或平行線等。如果作圖步驟混亂，不僅可能導(dǎo)致作圖錯誤，還可能影響作圖效率。

8.忽略細(xì)節(jié)：無刻度尺作圖要求精確度高，需要注意每一個細(xì)節(jié)，如線的粗細(xì)、角度的精確性、點的位置等。

如果忽略這些細(xì)節(jié)，可能會導(dǎo)致作圖結(jié)果不準(zhǔn)確。

9.缺乏空間想象力：無刻度尺作圖需要良好的空間想象力，能夠根據(jù)已知條件想象出未知部分的形狀和位置。

如果空間想象力不足，可能會導(dǎo)致作圖困難。

易錯點1：三角形的四心

例：圖①、圖②、圖③都是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形頂點叫做格點.”3C的頂點4、B、。均在

格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖.

(1)在圖①中作AABC邊4B上的高.

⑵在圖②中作“BC邊3C上的高NE.

(3)在圖③中作“3C邊/C上的高3F.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查了畫三角形的高:

（1）取格點。，連接C。，即為所求;

（2）取格點E,連接NE,NE即為所求;

（3）設(shè)/E與5交于。，連接8。并延長交“E于尸，則3尸即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，CD即為所求;

圖①

AE即為所求;

圖②

（3）解：如圖所示，8尸即為所求.

/。圖③B

變式1：如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點，的三個頂點均在格點上，僅

用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖（保留作圖痕跡）.

圖1圖2

(1)在圖1中畫ADEF，使得ADEF與AABC的相似比為1：血.

(2)在圖2中畫出的重心0.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作出圖形即可；

(2)根據(jù)三角形重心的定義即可得到結(jié)論；

本題考查了作圖相似變換，三角形的重心，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)畫圖如圖，

由網(wǎng)格可知：AB=2,BC=y/\O,AC=3?，

DE=叵，EF=出,DF=3,

?_D_E___E_F___D_F____1

"AB~BC~AC~41'

ADE尸與相似且相似比為i：VL

,?ADEF即為所求；

(2)畫圖如圖，

由CD和4E為AABC的中線,

.?.點。是的重心，

；?點。即為所求.

變式2：如圖是由小正方形組成的.3x3網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，點/、B、。都是格點.僅

用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)出相應(yīng)字母.

(1)在圖①中，畫出“8C的中線W；

(2)在圖②中，畫出的中線/N；

(3)在圖③中作出“3C的外心O.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題考查了格點作圖，中線的定義“三角形頂點和對邊中點的連線是中線”三角形外心的定義“三

角形三條垂直平分線的交點是三角形的外心”.

(1)連接打8〃■即為所求，

(2)連接GH,交BC于點、N,連接NN,/N即為所求；

(3)連接ST,血相交于點O,點。即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示：3M即為所求；

AAMP=ZCMQ,NAPM=NCQM,AP=CQ,

:.xAPMaCQM,

：.AMCM,即點M為/C中點，

四即為所求；

(2)解:如圖所示：/N即為所求；

,/AGEN=ZHFN,ZGNE=AHNF,GE=HF,

“GENAHFN,

：.EN=FN,

：.BN=CN,即點N為中點,

；?/N即為所求；

(3)解：如圖，點。即為所求；

:四邊形S8Z4是正方形，

，sr垂直平分,

?.?四邊形R77X是正方形，

：.OJ=OT,即點。在JT的垂直平分線上,

...點O在BC的垂直平分線上，

二點。為。3c的外心，

點。即為所求.

易錯點2：平行四邊形

（1）如圖①，在菱形N3CD中，點E是3C的中點，請過￡作出的平行線.

（2）如圖②，在Y48C。中，點￡,是。。的中點，請找出8C的中點.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理：

（1）如圖所示，連接/C、8。交于。，連接EO并延長，交.AD于F,則直線E尸即為所求；

（2）如圖所示，連接/C、AD交于。，連接EO并延長，交4B于G,連接CG,BE交于H,連接并延

長交3C于尸，點尸即為所求.

【詳解】（1）解：如圖所示，連接NC、BD交于0,連接E。并延長，交/。于R則直線E尸即為所求；

由菱形的性質(zhì)可得。為/c中點，得OE是“Be中位線，則?！辍ㄑ?？；

（2）解：如圖所示，連接/C、AD交于。，連接EO并延長，交AB于G,連接CG,BE