三角函數(shù)典型例題分析范文

...wd......wd......wd...目錄TOC\o"1-3"\h\z0°～360°間的三角函數(shù)·典型例題分析2弧度制·典型例題分析3任意角的三角函數(shù)·典型例題分析一5任意角的三角函數(shù)·典型例題精析二8同角三角函數(shù)的基本關系式·典型例題分析誘導公式·典型例題分析用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值·典型例題分析三角公式總表正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)·典型例題分析3函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象·典型例題分析正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)·典型例題分析三角函數(shù)值求角·典型例題分析全章小結高考真題選講0°～360°間的三角函數(shù)·典型例題分析例1角α的終邊經(jīng)過點P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四個三角函數(shù)．解如圖2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0例2求315°的四個三角函數(shù)．解如圖2-3，在315°角的終邊上取一點P(x，y)設OP=r，作PM垂直于x軸，垂足是M，可見∠POM=45°注：對于確定的角α，三角函數(shù)值的大小與P點在角α的終邊上的位置無關，如在315°的角的終邊上取點Q(1，-1)，計算出的結果是一樣的．弧度制·典型例題分析角度與弧度的換算要熟練掌握，見下表．例2將以下各角化成2kπ+α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，并確定其所在的象限?！嗨堑诙笙薜慕牵⒁猓河没《戎票硎窘K邊一樣角2kπ+α(k∈Z)時，是π的偶數(shù)倍，而不是π的整數(shù)倍．A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限∴sinα＞0，tgα＜0因此點P(sinα，tgα)在第四象限，應選D．解∵M集合是表示終邊在第一、二、三、四象限的角平分線上的角的集合．N集合是表示終邊在坐標軸(四個位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分線上的角的集合．任意角的三角函數(shù)·典型例題分析一例1角α的終邊上一點P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函數(shù)值．分析根據(jù)三角函數(shù)定義來解A．1

B．0C．2

D．-2例3假設sin2α＞0，且cosα＜0，試確定α所在的象限．分析用不等式表示出α，進而求解．解∵sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k∈Z)當k為偶數(shù)時，設k=2m(m∈Z)，有當k為奇數(shù)時，設k=2m+1(m∈Z)有∴α為第一或第三象限的角又由cosα＜0可知α在第二或第四象限．綜上所述,α在第三象限．義域為{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}∴函數(shù)y=tgx+ctgx的定義域是說明本例進一步穩(wěn)固終邊落在坐標軸上角的集合及各三角函數(shù)值在每一象限的符號，三角函數(shù)的定義域．例5計算(1)a2sin(-1350°)+b2tg405°-(a-b)2ctg765°-2abcos(-1080°)分析利用公式1，將任意角的三角函數(shù)化為0～2π間(或0°～360°間)的三角函數(shù)，進而求值．解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tg(360°+45°)-(a-b)2ctg(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tg45°-(a-b)2ctg45°-2abcos0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0任意角的三角函數(shù)·典型例題精析二例1以下說法中，正確的選項是[]A．第一象限的角是銳角B．銳角是第一象限的角C．小于90°的角是銳角D．0°到90°的角是第一象限的角【分析】此題涉及了幾個基本概念，即“第一象限的角〞、“銳角〞、“小于90°的角〞和“0°到90°的角〞．在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆．因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答此題的關鍵．【解】第一象限的角可表示為｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，銳角可表示為｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角為｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角為｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，銳角的集合是第一象限角的集合當k=0時的子集，故(A)，(C)，(D)均不正確，應選(B)．(90°－α)分別是第幾象限角【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α為第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由題設可知α是第二象限的角，即90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，的角．(2)因為180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．(3)解法一：因為90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．因此90°－α是第四象限的角．解法二：因為角α的終邊在第二象限，所以－α的終邊在第三象限．將－α的終邊按逆時針旋轉90°，可知90°－α的終邊在第四象限內(nèi)．【說明】①在確定形如α＋k·180°角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；②確定象限時，α＋kπ與α－kπ是等效的．例3集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F(xiàn)=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是區(qū)間[]【分析】解答此題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況．可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判斷．用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答此題也對比容易．【解法一】由正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦線和余弦線可看出，當應選(A)．可排除(C)，(D)，得A.【說明】此題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因為第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些別的方法，可自己練習．例4(1)角α終邊上一點P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；【分析】利用三角函數(shù)的定義進展三角式的求值、化簡和證明，是三兩個象限，因此必須分兩種情況討論．【解】(1)因為x＝3k，y=－4k，例5一個扇形的周長為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大．【分析】解答此題，需靈活運用弧度制下的求弧長和求面積公式．此題是求扇形面積的最大值，因此應想法寫出面積S以半徑r為自變量的函數(shù)表達式，再用配方法求出半徑r和周長l的關系．【解】設扇形面積為S，半徑為r，圓心角為α，則扇形弧長為l－2r．所以【說明】在學習弧度制以后，用弧度制表示的求弧長與扇形面積公形的問題中，中心角用弧度表示較方便．本例實際上推導出一個重要公式，即當扇形周長為定值時，若何選取中心角可使面積得到最大值．此題也可將面積表示為α的函數(shù)式，用判別式來解．【分析】第(1)小題因α在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值，但沒有確定角α的象限，因此有兩組解；第(3)小題角α可能在四個象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論．【解】(3)因為sinα=m(|m|＜1)，所以α可能在四個象限或α的終邊在x軸上．例7(1)tanα=m，求sinα的值；【分析】(1)tanα的值求sinα或cosα，一般可將tanα母都是sinα和cosα的同次式，再轉化為關于tanα的式子求值，轉化的方法是將分子、分母同除以cosα(或cos2α，這里cosα≠0)，即可根據(jù)條件求值．【說明】由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些書上利用公很容易推出，所以不用專門推導和記憶這些公式，這類問題由現(xiàn)有的關系式和方法均可解決．函數(shù)的定義來證明．由左邊=右邊，所以原式成立．【證法三】(根據(jù)三角函數(shù)定義)設P(x，y)是角α終邊上的任意一點，則左邊=左邊，故等式成立．例9化簡或求值：【分析】解此題的關鍵是熟練地應用正、余弦的誘導公式和記住特殊角的三角函數(shù)值．=－sinα－cosα(因為α為第三象限角)．例10(1)假設f(cosx)=cos9x，求f(sinx)的表達式；【分析】在(1)中理解函數(shù)符號的含義，并將f(sinx)化成f(cos(90°－x))是充分利用條件和誘導公式的關鍵．在(2)中必須正確掌握分段函數(shù)求值的方法．【解】(1)f(sinx)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x)=cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x)=sin9x；＝1．同角三角函數(shù)的基本關系式·典型例題分析1．某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．解∵sinα＜0∴角α在第三或第四象限(不可能在y軸的負半軸上)(2)假設α在第四象限，則說明在解決此類問題時，要注意：(1)盡可能地確定α所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號．(2)盡可能地防止使用平方關系(在一般情況下只要使用一次)．(3)必要時進展討論．例2

sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．(2)當m=±1時，α的終邊在y軸上，tgα無意義．(3)當α在Ⅰ、Ⅳ象限時，∵cosα＞0．當α在第Ⅱ、Ⅲ象限時，∵cosα＜0，說明

(1)在對角的范圍進展討論時，不可遺漏終邊在坐標軸上的情況．(2)此題在進展討論時，為什么以cosα的符號作為分類的標準，而不按sinα的符號(即m的符號)來分類討論呢你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎2．三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡的結果應滿足下述要求：(1)函數(shù)種類盡可能地少．(2)次數(shù)盡可能地低．(3)項數(shù)盡可能地少．(4)盡可能地不含分母．(5)盡可能地將根號中的因式移到根號外面來．化簡的總思路是：盡可能地化為同類函數(shù)再化簡．例3

化簡sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα=secα·cscα解2

原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)=tgα+ctgα=secα·cscα說明

(1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函數(shù)種類的思路進展的．(2)解2中的逆用公式將sinα·cosα用tgα表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實用．例4

化簡：分析將被開方式配成完全平方式，脫去根號，進展化簡．3．三角恒等式的證明證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實質(zhì)上的同，這個過程，往往是從化簡開場的——這就是說，在證明三角恒等式時，我們可以從最復雜處開場．例5

求證cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．分析從復雜的左邊開場證得右邊．=2cosα-3tgα=右邊例6

證明恒等式(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α(2)(sinA+secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析

(1)的左、右兩邊均較復雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡證明

(1)右邊-左邊=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1=(sec2α-tg2α)2-1=0∴等式成立=sin2A+cos2A=1故原式成立在解題時，要全面地理解“繁〞與“簡〞的關系．實際上，將不同的角化為同角，以減少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類，都是化繁為簡，以上兩點在三角變換中有著廣泛的應用．分析1

從右端向左端變形，將“切〞化為“弦〞，以減少函數(shù)的種類．分析2

由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，進而可以約分，到達化簡的目的．說明

(1)當題目中涉及多種名稱的函數(shù)時，常常將切、割化為弦(如解法1)，或將弦化為切(如解法2)以減少函數(shù)的種類．(2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看以下．=secα+tgα∴等式成立說明以上證明中采用了“1的代換〞的技巧，即將1用sec2α-tg2α代換，可是解題者若何會想到這種代換的呢很可能，解題者在采用這種代換時，已經(jīng)預見到代換后，分子可以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建設在熟悉公式的各種變形的根基上的，當然，對不熟練的解題者而言，還有如下的“一般證法〞——即證明“左邊-右邊=0〞∴左邊=右邊誘導公式·典型例題分析例1

求以下三角函數(shù)值：解(1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°)=-sin120°=-sin(180°-60°)(2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1例4

求證(1)sin(nπ+α)=(-1)nsinα；(n∈Z)(2)cos(nπ+α)=(-1)ncosα．證明

1°當n為奇數(shù)時，設n=2k-1(k∈Z)則(1)sin(nπ+α)=sin[(2k-1)π+α]=sin(-π+α)=-sinα=(-1)nsinα

(∵(-1)n=-1)(2)cos(nπ+α)=cos[(2k-1)π+α]=cos(-π+α)=-cosα=(-1)ncosα2°當n為偶數(shù)時，設n=2k(k∈Z)，則(1)sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)nsinα(∵(-1)n=1)(2)cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)ncosα由1°，2°，此題得證．例5

設A、B、C是一個三角形的三個內(nèi)角，則在①sin(A+B)-sinC

②cos(A+B)+cosC③tg(A+B)+tgC

④ctg(A+B)-ctgCA．1個

B．2個C．3個

D．4個解由，A+B+C=π，∴A+B=π-C，故有①sin(A+B)-sinC=sin(π-C)-sinC=sinC-sinC=0為常數(shù)．②cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0為常數(shù)．③tg(A+B)+tgC=tg(π-C)+tgC=-tgC+tgC=0為常數(shù)．④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常數(shù)．從而選(C)．用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值·典型例題分析例1

利用三角函數(shù)線，求滿足以下條件的角或角的范圍．P′，則(2)如圖2-11，過點(1，-1)和原點作直線交單位圓于點p和p′，則∴滿足條件的所有角是三角公式總表=1\*GB1⒈L弧長=R=EQEQ\F(nπR,180)S扇=LR=R2==2\*GB1⒉正弦定理：===2R〔R為三角形外接圓半徑〕=3\*GB1⒊余弦定理：a=b+c-2bcb=a+c-2acc=a+b-2ab=4\*GB1⒋S⊿=a=ab=bc=ac==2R====pr=(其中,r為三角形內(nèi)切圓半徑)=5\*GB1⒌同角關系：=1\*GB2⑴商的關系：=1\*GB3①====2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=2\*GB2⑵倒數(shù)關系：=3\*GB2⑶平方關系：=4\*GB2⑷〔其中輔助角與點〔a,b〕在同一象限，且〕=6\*GB1⒍函數(shù)y=k的圖象及性質(zhì)：〔〕振幅A，周期T=,頻率f=,相位，初相=7\*GB1⒎五點作圖法：令依次為求出x與y，依點作圖=8\*GB1⒏誘導公試sincostgctg--+++--++2--+--2k+++++三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時，原三角函數(shù)值的符號；即：函數(shù)名不變，符號看象限sincontgctg+++++++-+--三角函數(shù)值等于的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時，原三角函數(shù)值的符號;即：函數(shù)名改變，符號看象限=9\*GB1⒐和差角公式=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤其中當A+B+C=π時,有:=1\*romani).=2\*romanii).=10\*GB1⒑二倍角公式：(含萬能公式)=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=11\*GB1⒒三倍角公式：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=12\*GB1⒓半角公式：〔符號的選擇由所在的象限確定〕=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=13\*GB1⒔積化和差公式：=14\*GB1⒕和差化積公式：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=15\*GB1⒖反三角函數(shù)：名稱函數(shù)式定義域值域性質(zhì)反正弦函數(shù)增奇反余弦函數(shù)減反正切函數(shù)R增奇反余切函數(shù)R減=16\*GB1⒗最簡單的三角方程方程方程的解集正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)·典型例題分析例1

用五點法作以下函數(shù)的圖象(1)y=2-sinx，x∈[0，2π]描點法作圖：例2

求以下函數(shù)的定義域和值域．解

(1)要使lgsinx有意義，必須且只須sinx＞0，解之，得

2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z．又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．∴定義域為(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域為(-∞，0]．的取值范圍，進而再利用三角函數(shù)線或函數(shù)圖象，求出x的取值范圍。利用單位圓(或三角函數(shù)圖象)解得(2)由讀者自己完成，其結果為例4

求以下函數(shù)的最大值與最小值：(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2∵sinx∈[-1，1]，例5

求以下函數(shù)的值域．∵|cosx|≤1

∴cox2x≤1說明上面解法的實質(zhì)是從關系式中，利用|cosx|≤1消去x，從而求出y的范圍．例6

對比以下各組數(shù)的大小．分析化為同名函數(shù)，進而利用增減性來對比函數(shù)值的大?。?/p>

(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°∵0＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°，從而-sin14°＞-sin70°，即sin194°＞cos160°．而y=cosx在[0，π]上是減函數(shù)，故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39例7

求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)設u=2x當u∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)時，cosu遞增；當u∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)時，cosu遞減．例8

以下函數(shù)中是奇函數(shù)的為∴(D)為奇函數(shù)，應選(D)．函數(shù)不具有奇偶性．說明奇(偶)函數(shù)的定義域必須對稱于原點，這是奇(偶)函數(shù)必須滿足的條件，解題時不可無視．函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象·典型例題分析例1

函數(shù)y=f(x)，將f(x)的圖象上的每一點的縱坐標保持不變，結果與D一樣，應選D．例2(3)函數(shù)f(x)=lg(sin2x)的增區(qū)間為______；(4)函數(shù)f(x)=|sinx|的增區(qū)間為______．分析基本方法是轉化為y=sinx與y=cosx的單調(diào)區(qū)間的求法．但既要注意定義域，還要注意復合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的運用．解

2A=3-(-5)=8，A=4所得點的縱坐標伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍．(橫坐標不變)再將圖象上所有點向上b＞0或向下b＜0平移|b|個單位，同一周正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)·典型例題分析例2

對比以下各組數(shù)的大?、賢g1，tg2，tg3解

(1)∵tg2=tg(2-π)，tg3=tg(3-π)∴tg(2-π)＜tg(3-π)＜tg1即tg2＜tg3＜1由于y=ctgx在(0，π)內(nèi)是減函數(shù)，所以三角函數(shù)值求角·典型例題分析2(α+β)-β=4kπ+π-β，k∈Z，從而sin(2α+β)與sinβ之間的聯(lián)系被發(fā)現(xiàn)．故

sin(2α+β)=sin[2(α+β)-β]sin(4kπ+π-β)=sin(π-β)全章小結一、本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)之間的關系，誘導公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．二、根據(jù)生產(chǎn)實際和進一步學習數(shù)學的需要，我們引入了任意大小的正、負角的概念，采用弧度制來度量角，實際上是在角的集合與實數(shù)的集合R之間建設了這樣的一一對應關系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(角的弧度