2024-2025學(xué)年福建省福州八中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省福州八中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.廈門中學(xué)生小助團(tuán)隊(duì)的幾名成員考試成績(jī)分別為73?76?81?83?85?88?91?93?95，則幾人考試成績(jī)的中位數(shù)是(

)A.76 B.81 C.85 D.912.已知sin(α?π6)+cosα=3A.1825 B.725 C.?73.已知一直角梯形紙片上、下底邊邊長(zhǎng)分別為2、4，高為3，該紙片繞著下底邊所在直線旋轉(zhuǎn)120°，則該紙片掃過的區(qū)域形成的幾何體的體積為(

)A.6π B.8π C.16π D.24π4.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，過對(duì)角線AC1的一個(gè)平面交BB1A.四邊形AEC1F一定為菱形

B.四邊形AEC1F在底面ABCD內(nèi)的投影不一定是正方形

C.四邊形AEC5.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?x).當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=x3+3x，則f(2023)=A.?4 B.4 C.14 D.06.在△ABC中，點(diǎn)P滿足BP=3PC，過點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N，若AM=λAB，AN=μAC(λ>0,μ>0)A.22+1 B.32+17.關(guān)于x的方程(x2?1)2?|x2?1|+k=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)A.0 B.1 C.2 D.48.把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形M′叫作圖形M在這個(gè)平面上的射影．如圖，在三棱錐A?BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，將圍成三棱錐的四個(gè)三角形的面積從小到大依次記為S1，S2，S3，S4，設(shè)面積為S2的三角形所在的平面為α，則面積為S4的三角形在平面A.234 B.C.10 D.30二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若(1+i)a+bi=4i，a，b∈R，則(

)A.a=1 B.b=4 C.a?b=?4 D.ab=010.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2m.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水桶P到水面的距離為d(單位：m)(在水面下記d為負(fù)數(shù))，若從盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則(

)A.當(dāng)筒車轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，盛水桶距離水面4m

B.盛水桶出水后至少經(jīng)過10秒就可到達(dá)最高點(diǎn)

C.盛水桶第二次距離水面4m時(shí)用時(shí)15秒

D.盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面11.在三棱錐A?BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M為BC的中點(diǎn)，N為BD上一點(diǎn)，球O為三棱錐A?BCD的外接球，則下列說法正確的是(

)A.球O的表面積為11π

B.點(diǎn)A到平面BCD的距離為14

C.若MN⊥AB，則DN=6NB

D.過點(diǎn)M作球O的截面，則所得的截面中面積最小的圓的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某工廠10名工人某天生產(chǎn)同一類型零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，記這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a，b，c由大到小的順序?yàn)開_____．13.航天(Spaceflig?t)又稱空間飛行，太空飛行，宇宙航行或航天飛行，是指進(jìn)入、探索、開發(fā)和利用太空(即地球大氣層以外的宇宙空間，又稱外層空間)以及地球以外天體各種活動(dòng)的總稱.航天活動(dòng)包括航天技術(shù)(又稱空間技術(shù))，空間應(yīng)用和空間科學(xué)三大部分.為了激發(fā)學(xué)生對(duì)航天的興趣，某校舉行了航天知識(shí)競(jìng)賽.小張，小胡、小郭三位同學(xué)同時(shí)回答一道有關(guān)航天知識(shí)的問題.已知小張同學(xué)答對(duì)的概率是13，小張、小胡兩位同學(xué)都答錯(cuò)的概率是13，小胡、小郭兩位同學(xué)都答對(duì)的概率是1614.若a>0，b>0，且12a+b+1b+1=1，則a+2b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知f(x)=a?b?1，其中向量a=(sin2x,2cosx),b=(3,cosx)，(x∈R)．

(1)求f(x)的最小正周期和最小值；

(2)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若16.(本小題14分)

在四核錐A?BCDE中，側(cè)棱AP⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，DE//BC，BC⊥CD，BC=2AD=2DC=2DE=4，ED∩EC=O，H是棱AD上的一點(diǎn)(不與A、D點(diǎn)重合)

(1)若OH//平面ABE，求AHHD的值；

(2)求二面角A?BE?C的余弦值17.(本小題15分)

如圖所示，A，B，C，D四點(diǎn)共面，其中∠BAD=∠ADC=90°，AB=12AD，點(diǎn)P，Q在平面ABCD的同側(cè)，且PA⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD．

(1)若直線l?平面PAB，求證：l//平面CDQ；

(2)若PQ//AC，∠ABP=∠DAC=45°，平面BPQ∩平面CDQ=m，求銳二面角18.(本小題16分)

已知f(x)=x|x?a|+b，x∈R．

(Ⅰ)當(dāng)a=1，b=0時(shí)，判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；

(Ⅱ)當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若f(2x)=54，求x的值；

(Ⅲ)若b<?1，且對(duì)任何x∈[0,1]不等式19.(本小題19分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=1，BC=2，PB=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFFC=12．

(Ⅰ)求證：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)在棱BP上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到平面

參考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.A

6.B

7.A

8.A

9.BCD

10.ABC

11.BCD

12.c>b>a

13.1314.215.解：∵(1)f(x)=a?b?1=(sin2x,2cosx)?(3,cosx)?1

=3sin2x+2cos2x?1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)

∴f(x)的最小正周期為π，最小值為?2

(2)f(A4)=2sin(A2+π616.證明：(1)∵OH//平面ABE，OH?平面ABD，平面ABD∩平面ABE=AB，

∴OH/?/AB，∴OD：OB=DH：HA，

∵DE/?/BC，BC=2DE，∴OD：OB=DE：BC=1：2，

∴HDAH=12，∴AHHD=2．

解：(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE，DC，DA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A(0,0,2)，E(2,0,0)，B(4,2,0)，

則AE=(2,0,?2)，AB=(4,2,?2)，

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量n=(x,y,z)，

則n?AE=2x?2z=0n?AB=4x+2y?2z=0，取z=1，得n=(1,?1,1)，

平面BCDE的一個(gè)法向量17.(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CQ⊥平面ABCD，

所以PA//CQ，

因?yàn)镻A?平面PAB，CQ?平面PAB，

所以CQ/?/平面PAB，

因?yàn)椤螧AD=∠ADC=90°，所以AB/?/CD，

因?yàn)镃D/?/平面PAB，

因?yàn)镃Q∩CD=C，CD?平面CDQ，CQ?平面CDQ，

所以平面CDQ//平面PAB，

直線l?平面PAB，所以l/?/平面CDQ；

(2)解：因?yàn)锳P⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，

所以AP⊥AB，AP⊥AD，又因?yàn)锳B⊥AD，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由(1)可得PA//CQ，又因?yàn)镻Q//AC，所以四邊形APQC為平行四邊形，

不妨取AB=1，由題意可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，Q(2,2,1)，D(0,2,0)，

所以BP=(?1,0,1)，BQ=(1,2,1)，

設(shè)平面BPQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則BP?n=?x+z=0BQ?n=x+2y+z=0，令x=1，則y=?1，z=1，則n=(1,?1,1)，

易知AD⊥平面CDQ，

則平面CDQ的一個(gè)法向量為AD=(0,2,0)，

所以18.解：(Ⅰ)a=1，b=0時(shí)，f(x)=x|x?1|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，

∵f(?1)=?2，f(1)=0，

∴f(?1)≠f(1)，f(?1)≠?f(1)，

∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；

(Ⅱ)當(dāng)a=1，b=1時(shí)，f(x)=x|x?1|+1，

由f(2x)=54，得2x|2x?1|+1=54，

即2x≥1(2x)2?2x?14=0①

或2x<1(2x)2?2x+14=0②

解①得，2x=1+22或2x=1?22(舍)，

解②得，2x=12．

∴x=log219.解：(Ⅰ)證明：在直角梯形中，AD⊥CD，AD//BC，AD=CD=1，BC=2，

可得AB=2，

又PA=1，PB=3，即有PA2+AB2=PB2，

可得PA⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

可得PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ