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PAGE1第16講三角函數(shù)的概念與運算（8類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第16題,14分用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角形余弦定理解三角形2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，單獨出題比較少，一般與三角函數(shù)、正余弦定理結(jié)合出題【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的定義，能夠求解特殊角的三角函數(shù)值2.能掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助單位圓求解三角函數(shù)值4.掌握三角函數(shù)的知一求二，齊次化等解題方法【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合三角函數(shù)與正余弦定理一起出題。知識講解知識點一.三角函數(shù)的定義1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形．分類：按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分成三類：正角、負角和零角．(2)象限角在平面直角坐標系中，若角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．2．弧度制的相關(guān)概念(1)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．(2)弧度制：①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧長公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0＜α＜2π)為弧所對圓心角．3．三角函數(shù)的概念三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα4.常用結(jié)論（1）一個口訣三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（2）三角函數(shù)在每個象限的正負如下表：三角函數(shù)第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－（3）象限角（4）軸線角5．三角函數(shù)定義的推廣設(shè)點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r＝|OP|，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).知識點二．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.2.商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.知識點三．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1.誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(3)sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)；cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).考點一、任意角與弧度制1.（2015·山東·高考真題）終邊在y軸的正半軸上的角的集合是（

）A．xx=π2C．xx=?π22.（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知集合A=x2kπ+πA．2kπ+π4,2kπ+C．2kπ+π6,2kπ+1.（23-24高三上·上海靜安·期末）設(shè)α是第一象限的角，則α2A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限2.（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若α是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（

）A．90°?α B．90°+α C．360°?α D．360°+α3.（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）從2023年12月14日13∶00到當天13∶25，某時鐘的分針轉(zhuǎn)動的弧度為（

）A．5π6 B．2π3 C．4.（22-23高三·全國·對口高考）①若角α與角β的終邊相同，則α與β的數(shù)量關(guān)系為；②若角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱，則α與β的數(shù)量關(guān)系為；③若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與β的數(shù)量關(guān)系為；④若角α與角β的終邊在一條直線上，則α與β的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果α是第一象限的角，那么α3是第考點二、扇形的弧長與面積1.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計算弧田面積的公式：弧田面積=12（弦×矢+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為θθ∈0,πA．14m2 B．18m2 C．2.（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）如圖，圓O內(nèi)接一個圓心角為60°的扇形ABC，在圓O內(nèi)任取一點，則該點落在扇形ABC內(nèi)的概率為（

）A．14 B．34 C．121.（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，曲線段AB是一段半徑為R的圓弧，若圓弧的長度為2πA．R B．2R C．3R D．2R2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在Rt△PBO中，∠PBO=90°，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點A.若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB=α，則α3.（22-23高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知扇形的周長為20cm，則當扇形的圓心角α=扇形面積最大．4.（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓心角的弦長表），這張表本質(zhì)上相當于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的160作為單位來度量弦長.將圓心角α所對的弦長記為crdα.如圖，在圓O中，60°的圓心角所對的弦長恰好等于圓O的半徑，因此60°的圓心角所對的弦長為60個單位，即crd60°=60.若θ為圓心角，cosθ=1考點三、三角函數(shù)的定義1.（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知角α終邊上有一點P(sin5πA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點為原點O，以x軸的非負半軸為始邊，終邊經(jīng)過點P(1,m)(m<0)，則下列各式的值恒大于0的有（

）個．①sinαtanα；②cosα?sinα；A．0 B．1 C．2 D．31.（2024·山東·模擬預(yù)測）已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點Psinπ3A．0 B．12 C．22 2.（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）“角α,β的終邊在同一條直線上”是“sinα?βA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2024·寧夏石嘴山·三模）在平面直角坐標系中，角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P1,2，則7A．?15 B．15 4.（2020高三·全國·專題練習(xí)）若角θ的終邊上有一點Pa,aa≠0，則sinθ考點四、sinα,cosα,1.（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知sin3π2+α=A．?3 B．?33 C．2.（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知cosθ=?13，θ∈0,π1.（2024·山東·二模）已知sinα=35，且α∈π2.（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知銳角α滿足sin2α=tanα，則考點五、sinα,cosα,tan1.（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知tanα=2，則5A．13 B．113 C．52.（2024·四川自貢·三模）已知角α滿足1?cos2αsinA．?31010 B．31010 1.（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）若tanα=23A．?1324 B．?2413 C．2.（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知tanθ=22，則A．?89 B．89 C．?3.（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知sinθ?2cosθsin考點六、sinα±cosα，1.（23-24高三下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知cos2αsinα+A．63 B．13 C．342.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知sinα+cosα=15A．712 B．?712 C．?431.（23-24高三上·天津河西·階段練習(xí)）已知α∈0,π，sinα+A．±53 B．53 C．?2.（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知sinαcosα=A．sin2α=18C．sinα?cosα=?3.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程25x24.（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知θ是三角形的一個內(nèi)角，滿足cosθ?sinθ=?A．?25 B．?910 C．考點七、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1.（2024·北京通州·二模）在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P45,?A．?925 B．?725 C．2.（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）“sinα?2024π>0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）cos25π3+2.（2024·河南·模擬預(yù)測）已知tanα=34，則tan3.（2024·廣東茂名·一模）已知cosα+π=?2A．?1 B．?25 C．454.（2024·河南·二模）已知sinx+cosx=A．?35 B．35 C．8考點八、誘導(dǎo)公式中的湊角求值1.（2023·山西·模擬預(yù)測）已知α為銳角，且cosα+π6A．?22 B．?2 C．22.（21-22高三上·廣東深圳·期中）已知sinα+π3A．?45 B．?35 C．1.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知sinα+π8A．23 B．?23 C．12.（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知sinθ+π12A．?59 B．59 C．?3.（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知α∈0,π2，sinA．?223 B．223 4.（23-24高三上·福建莆田·期中）已知cos(π3?α)=21．（2024·山西晉城·二模）已知圓錐的側(cè)面積為12π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為2A．62π B．162π3 2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知a>0，若cosθ=a2A．12 B．1 C．?323．（2024·新疆·三模）已知α∈0,π2，2A．15 B．55 C．334．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知sinπ4+αA．?23 B．35 C．35．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）若cosα?π4A．?58 B．58 C．?6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知α是第二象限角，且其終邊經(jīng)過點?3,4，則tanα27．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）計算：cos72°cos1．（2024·全國·二模）已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊點x軸的非負半軸重合，終邊上一點的坐標為?1,?2，則sin3α=A．255 B．?255 2．（2024·河北·三模）已知點Psin2023π4,A．63 B．62 C．?63．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知cosπ4?θA．152 B．154 C．1574．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）sinxA．?12 B．?22 C．5．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）下圖是第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD．已知AB=2π，AD=3．且該扇環(huán)ABCD的面積為9π6．（2024·寧夏銀川·二模