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PAGE1第22講平面向量的數(shù)量積（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第14題,5分平面向量基本定理的應用平面向量線性運算的坐標表示數(shù)量積的運算律數(shù)量積的坐標表示2023年天津卷，第14題,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計算2021年天津卷，第15題,5分數(shù)量積的運算律2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線(平行)求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握向量的數(shù)量積公式2.能掌握向量的模長，垂直于投影公式3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助直角坐標系，求解向量的數(shù)量積與夾角模長等問題4.會解借助點坐標解決最值與取值范圍問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，要求線性表示與數(shù)量積，模長與角度問題。知識講解知識點一．向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．知識點二．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.知識點三．平面向量數(shù)量積的幾何意義設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cosθe.知識點四．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知識點五．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))知識點六.常用結(jié)論1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.考點一、平面向量數(shù)量積的計算1.（2024·河南濮陽·模擬預測）已知向量a=2，b在a方向上的投影向量為?3a，則A．12 B．?12 C．6 D．?62.（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點M(a2c,m)A．23 B．53 C．631.（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，設點D為AC的中點，E在BC上，且AE?A．16 B．12 C．8 D．?42.（2024·湖北·模擬預測）直線y=kx與圓x?12+y?1A．11+k2 B．k23.（2024·河南周口·模擬預測）已知△ABC中，AC=22，∠C=π4，AD為BC上的高，垂足為D，點E為AB上一點，且AE=2EBA．?43 B．43 C．?4.（2024·四川涼山·三模）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，點G為△ABC的外心，點O為△ABC重心，則OG?BC5.（2024·天津河西·二模）在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，∠ABC=60°，AB=2，AD=3，E、F分別為線段AB、CD的中點，若設AD=a，BC=b，則EF可用a，b表示為考點二、模長問題1.（2020·全國·高考真題）設a,b為單位向量，且|a+b2.（2024·河南·二模）若向量a,b滿足b=1,A．2 B．3 C．2 D．31.（2024·河南濮陽·模擬預測）已知A1,0，B0,1，Ccosα,sinα，A．3π4 B．π2 C．π2.（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夾角為π3，a=?32A．1 B．32 C．2 D．3.（2024·陜西西安·三模）已知向量a=2,m，b=1,1，A．－3 B．－1 C．1 D．34.（2018·遼寧朝陽·三模）已知向量a與b的夾角為60°，a=2，b=3，則5.（2024·四川資陽·二模）已知向量a，b的夾角為150°，且a=2，b=2，則A．1 B．2?3 C．2+3 6.（24-25高三上·廣東·開學考試）已知p=sinx,?1，q=cosx,7.（24-25高三上·湖北·階段練習）若平面內(nèi)不共線的向量a,b,c兩兩夾角相等，且a考點三、角度問題1.（2020·浙江·高考真題）設e1，e2為單位向量，滿足|2e1?e2|≤2，a=e2.（24-25高三上·貴州·開學考試）若向量a=?2,2，b=?1,3的夾角為A．?255 B．55 C．1.（2024·山西太原·二模）已知a=b=1，c=3，aA．30° B．45° C．60° D．120°2.（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量a=(1,?2),b=(?1,?2)，設a與b的夾角為θA．?35 B．35 C．?3.（23-24高三上·湖北十堰·開學考試）已知平面向量a→,b→滿足a?a+A．?12 B．?32 C．4.（24-25高三上·貴州貴陽·開學考試）已知向量a,b滿足a=4,b=10，且a在b上的投影向量為?A．π6 B．π3 C．2π5.（24-25高三上·浙江·開學考試）已知向量a=1,2,b=2?λ,λ，若a與考點四、向量垂直的應用1.（2021·全國·高考真題）已知向量a=1,3,b=3,4，若2.（23-24高三下·山東青島·開學考試）已知向量a=log43,sin5πA．?23 B．?3 C．3 1.（22-23高三下·安徽池州·階段練習）已知點M1,?1和拋物線C:y=14x2，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,BA．1617 B．?1617 C．12.（2023·河南·模擬預測）已知向量a=2cos75°,2sinA．8 B．?8 C．4 D．?43.（2024·西藏·模擬預測）已知向量a=cosα+π3,sinA．?2 B．?12 C．14.（2024·山東菏澤·模擬預測）已知向量m=sinα+π2,1,A．32 B．12 C．345.（2024·江西新余·模擬預測）已知焦點在x軸上的橢圓C的左右焦點分別為F1、F2，經(jīng)過F2的直線l與C交于A、B兩點，若F1AA．x29+y24=1 B．考點五、投影問題1.（24-25高三上·湖北武漢·開學考試）已知a=1,b=2,a?A．12b B．12a C．2.（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量a,b滿足a=2,b=A．16,0 B．13,0 C．1.（2024·浙江紹興·三模）若非零向量a，b滿足a=b=a+A．2b B．32b C．b2.（2024·湖北·模擬預測）已知向量a=1,0,b=A．12,12 B．22,3.（2024高三·全國·專題練習）已知平面向量a=2,m，b=n,1，c=m+1,?1，若a⊥A．?22 B．?105 C．104.（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）在三角形ABC中，若AB?AC=0,BC=2BO，則向量5.（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，點D是AC中點，點M滿足BM=2MC，記BA=a，BD=b，請用a，b表示AM=；若BA考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題1.（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=2.（2022·天津·高考真題）在△ABC中，點D為AC的中點，點E滿足CB=2BE.記CA=a,CB=b，用a,b表示1.（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD的三等分點，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動點，2.（2024·浙江·二模）已知向量a→，bA．1 B．2 C．2 D．53.（2024·天津和平·二模）平面四邊形ABCD中，AB=2，AC=23，AC⊥AB，∠ADC=2π3A．?3 B．?23 C．?1 4.（24-25高三上·廣東·開學考試）已知單位向量e1,e2的夾角為A．12 B．32 C．1 5.（2024·天津河西·模擬預測）在梯形ABCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC?AB=32，點M滿足AM=13AB，則∠BAD=；若BD與CM相交于點P1．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎蛄縨=2,0，A．m=n C．m⊥n 2．（23-24高三上·天津河北·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若AB=2,AD=2,∠BAD=45°，則

A．?32 B．?2 C．?13．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎獑挝幌蛄縠1與e2的夾角為π3，則向量e1+24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，AM=13AD，AP=12AB，過M點作MN∥AB交BC于N點，若E，F(xiàn)分別是5．（23-24高三上·天津·期中）在直角梯形ABCD中，∠DAB=90°,AB∥CD，且AB=2CD=2，若AC?6．（23-24高三上·天津紅橋·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，且AC=BC=3，點M滿足BM=2MA，則CM?

7．（23-24高三上·天津北辰·階段練習）在平行四邊形ABCD中，AB=23，AD=6，向量AB在向量AD上的投影向量為12AD，則1．（23-24高三上·天津·期末）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2A．y=±22x C．y=±3x 2．（23-24高三上·天津·期末）雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52A．2 B．7 C．22 D．3．（23-24高三上·天津·期末）已知a=1,1，b=m,A．15,35 B．?154．（2024·天津河西·一模）在△ABC中，D是AC邊的中點，AB=3，∠A=60°，BC?CD=?5，則AC=；設M為平面上一點，且2AM=tAB+5．（23-24高三上·天津南開·期末）在△ABC中，AC=1,BC=2,∠C=90°，則CA+CB=；若P為△ABC6．（23-24高三上·天津·期中）設△ABC是邊長為1的等邊三角形，M為△ABC所在平面內(nèi)一點，且MA+2λMB+MC=CA，則當7．（23-24高三上·天津薊州·階段練習）如圖，已知直角三角形△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，點P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，若BC與圓的切點為M，則CA?CM=，則PB8．（23-24高三上·天津河東·階段練習）△ABC中，AC=BC，∠BAC=60°，D為BC中點，E為AB中點，M為線段CE上動點，BD?BA=4，則|AC|=；AM?1.（2024·北京·高考真題）設a，b是向量，則“a+b·a?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2023·全國·高考真題）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC?A．5 B．3 C．25 3.（2022·全國·高考真題）設向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=3，則24.（2024·全國·高考真題）已知向量a,b滿足a=1,a+2A．12 B．22 C．35.（2022·全國·高考真題）已知向量a=(2,1)，bA．2 B．3 C．4 D．56.（2021·全國·高考真題）若向量a,b滿足a=3,a?7.（2020·全國·高考