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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 上傳時間：2024-11-10 格式：DOCX 頁數(shù)：24 大?。?.52MB 積分：6 舉報 版權(quán)申訴

INET4.常用結(jié)論1．三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．知識點(diǎn)五.夾角相關(guān)1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).知識點(diǎn)六.距離相關(guān)1．點(diǎn)到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)．過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).考點(diǎn)一、空間向量加減數(shù)乘運(yùn)算1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則12A．BA B．AF C．AB D．EF2.（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且A．12a+C．23a+1.（2024·全國·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知APA．1 B．2 C．322 2.（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）若空間中四點(diǎn)A,B,C,A．13 B．3 C．14 3.（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(0,3,0)，A．29π B．28π C．32π D．30π4.（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)x，y∈R,a=A．22 B．0 C．3 D．考點(diǎn)二、空間向量基本定理1.（20-21高三上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知O，A，B，C是空間中的點(diǎn)，則“OA,OB,OC”不共面是“對于任意的x,A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知體積為3的正三棱錐P?ABC的外接球的球心為O，若滿足A．2 B．2 C．32 D．1.（2024·山東濟(jì)南·一模）在三棱柱ABC?A1B1C1中，AM=2MB，A考點(diǎn)三、空間向量數(shù)量積運(yùn)算1.（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)A,B,A．?94 B．?2 C．?32.（2024·江西贛州·二模）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P?ABCD，PA=A．[0,2] B．[4?23,2] C．[0,4?31.（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A．2 B．74 C．34 2.（2024·上?！と＃┮阎c(diǎn)C在以AB為直徑的球面上，若BC=2，則AB?BC3.（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)均在半徑為1的球O表面上，點(diǎn)P在正方體ABCD?A1B考點(diǎn)四、共線問題1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量a=2m+1,3,mA．?32 B．?2 C．0 D．?2.（2023·山東·模擬預(yù)測）已知三棱錐S?ABC，空間內(nèi)一點(diǎn)M滿足SM=SA?3SB+41.（2023·河北·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，A1,?2,a,B0,3,1,C2.（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知向量a=1,0,m，b=2,0,?23，若考點(diǎn)五、共面問題1.（2024·河南·三模）在四面體ABCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，O是△BCD內(nèi)一點(diǎn)，四面體ABCD的體積為23，則對?A．26 B．263 C．2.（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知空間向量PA=1,2,4,PB=A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四面體O?ABC中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=12OA+132.（23-24高三上·上海寶山·期末）已知空間向量PA=1,2,4,PB=5,?1,33.（23-24高三上·河北張家口·階段練習(xí)）若向量a=1,?2,?n,b4.（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，AA1=3，M是AB的中點(diǎn)，AN=2N考點(diǎn)六、線線、線面角問題1.（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，棱AA1

A．12 B．13 C．142.（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知M，N分別是正四面體ABCD中棱AD，BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是棱CD的中點(diǎn).則MN與AE所成角的余弦值為（

）A．?33 B．33 C．?1.（2024·廣東·一模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P、Q分別在A1B1、2.（2022·全國·高考真題）在四棱錐P?ABCD中，PD⊥(1)證明：BD⊥(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．3.（2022·全國·高考真題）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,(1)證明：平面BED⊥平面ACD(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△4.（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BCC1(1)求證：MN∥平面BC(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：AB⊥條件②：BM=注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．考點(diǎn)七、面面角問題1.（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P?ABC中，∠ABC=π(1)證明：OP⊥平面ABC(2)若PA=2AB=2BC，E是棱BC上一點(diǎn)且2BE2.（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）如圖，三棱錐P?ABC中，∠ABC=π(1)下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；①平面PAB⊥平面ABC；②DE⊥③PE⊥(2)若三棱錐P?ABC的體積為23，以你在（1）所選的兩個條件作為條件，求平面PDE1.（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1(1)求證：平面AB1C(2)設(shè)點(diǎn)P為A1C的中點(diǎn)，求平面ABP與平面2.（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC

(1)求證：BC⊥(2)求二面角A?3.（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB

(1)證明：B2(2)點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P?A24.（2023·全國·高考真題）如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=(1)證明：BC⊥(2)點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角考點(diǎn)八、點(diǎn)面、線面、面面距1.（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，OA=BF=3,AD=3，點(diǎn)G(1)證明：EG//平面DAF(2)求點(diǎn)H到平面DAF的距離．2.（2021·廣西柳州·一模）如圖△ABC的外接圓O的直徑AB=2，CE垂直于圓O所在的平面，BD//CE，CE=2，BC

(1)證明：BM⊥(2)當(dāng)M為DE的中點(diǎn)時，求點(diǎn)M到平面ACD的距離.1.（2024·天津和平·二模）如圖，三棱臺ABC?A1B1C1中，△(1)證明：CC1∥(2)求直線A1D與平面(3)求點(diǎn)D到平面A12.（24-25高三上·福建·開學(xué)考試）如圖所示，在四棱錐V?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，側(cè)面VBC⊥

(1)求證：EB⊥(2)求二面角B?(3)求點(diǎn)C到平面VAD的距離.3.（2024·黑龍江·二模）如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1

(1)證明：MN//平面A(2)求點(diǎn)P到直線MN的距離．4.（2024·貴州·模擬預(yù)測）在三棱錐ABCD中，AC⊥平面BCD，P是AB上一點(diǎn)，且3AB=4BP，連接CP與DP，(1)過Q點(diǎn)的平面平行于平面ACD且與BC交于點(diǎn)M，求BMCM(2)若平面PCD⊥平面ABC，且AC=2BC=2CD考點(diǎn)九、點(diǎn)線、線線距1.（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖所示，半圓柱OO1與四棱錐A?BCDE拼接而成的組合體中，F(xiàn)是半圓弧BC上（不含B,C）的動點(diǎn)，(1)求證：CG⊥(2)若DF//平面ABE，求平面FOD與平面GOD(3)求點(diǎn)G到直線OD距離的最大值.2.（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1(1)求四棱錐D1(2)若點(diǎn)P在棱D1C1上，且P到平面B1DE的距離為261.（2024·天津河西·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為a的正方體OABC?O'A'B'(1)求證：A'(2)當(dāng)三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時，求平面B'EF2.（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖所示的空間幾何體是以AD為軸的14圓柱與以ABCD為軸截面的半圓柱拼接而成，其中AD為半圓柱的母線，點(diǎn)G為弧CD(1)求證：平面BDF⊥平面BCG(2)當(dāng)AB=4，平面BDF與平面ABG夾角的余弦值為155時，求點(diǎn)E到直線3.（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）如圖，棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，∠DAB=

(1)證明：OF//平面BC(2)求二面角D?(3)求點(diǎn)F到直線DA4.（2024·山西呂梁·一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD

(1)線段PB上是否存在一點(diǎn)Q使得QC⊥CD，若存在，求出(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，求異面直線PB與CD之間的距離．考點(diǎn)十、空間中的動點(diǎn)問題1.（24-25高三上·四川達(dá)州·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1

(1)求證：AB1⊥(2)設(shè)點(diǎn)P滿足A1P=λA1C0≤λ2.（22-23高三下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A

(1)求正四棱柱ABCD?A1(2)是否存在點(diǎn)G，使得二面角G?EF?B的大小為1.（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB,E為線段PB(1)證明：AE⊥(2)求實(shí)數(shù)λ的值，使得平面AEF與平面PDC所成角的余弦值最大．2.（2025·浙江·模擬預(yù)測）在正四面體ABCD中，P是△ABC內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，滿足AP=λ(1)證明：當(dāng)DP取最小值時，DP⊥(2)設(shè)DP=xDA3.（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，E,F

(1)求證：BD1//(2)線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得直線D1M與平面A1EF所成的角的正弦值為34.（2025·廣東深圳·一模）如圖，PD⊥平面ABCD，AD(1)求證：EF//(2)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為π6，求QN1．（23-24高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，AB是圓的直徑，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．(1)求證：BC⊥平面PAC(2)若AB=2,2．（2024·天津紅橋·二模）在如圖所示的幾何體中，PA⊥平面ABCD，PA//QD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°，∠(1)求證：直線PB//平面DCQ(2)求直線PB與平面PCQ所成角的正弦值；(3)求平面PCQ與平面DCQ夾角的正弦值．3．（2024·天津·二模）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC(1)求證：A1F//(2)求平面ACC1A(3)求點(diǎn)A1到平面BDE4．（2024·天津·二模）如圖，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AD∥CE，AB=AC(1)證明：EM⊥(2)求平面DBC與平面ABC夾角的余弦值；(3)設(shè)N是棱BC上的點(diǎn)，若EN與CD所成角的余弦值為3010，求BN5．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知四棱臺ABCD?A1B1C1D1，下底面ABCD為正方形，AB(1)求證：A1E//(2)求平面ABC1D(3)求E到平面ABC6．（2024·天津河西·一模）已知三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=2PA=2AC=4，N為AB上一點(diǎn)且滿足

(1)求證：CM⊥(2)求直線SN與平面CMN所成角的大小；(3)求點(diǎn)P到平面CMN的距離．1．（24-25高三上·天津薊州·開學(xué)考試）如圖，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB(1)求證：EF//平面CPM(2)求平面QPM與平面CPM夾角的正弦值；(3)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為π6，求N到平面CPM2．（23-24高三上·天津·期中）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°,F為PA(1)求證：AC//平面DEF(2)求平面ABCD與平面BCP的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)F到平面BCP的距離．3．（2024·天津薊州·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知棱AB,AD,AP兩兩垂直，長度分別為1，2，2，若DC=(1)求實(shí)數(shù)λ值；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)求平面PBD與平面PCD夾角的余弦值.4．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）如圖，已知多面體ABC?A1B1C1，A1A，B1B，C

(1)求證：AB1⊥(2)求直線AC1與平面(3)求點(diǎn)A到平面A15．（2024·天津·模擬預(yù)測）四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，且AB=4，AD=3(1)求平面EFM與平面ABCD夾角余弦值；(2)求平面EFM與直線PB夾角正弦值；(3)平面EFM與PA交于N點(diǎn)，求AN的長．6．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD(1)求證：PA//平面EBD(2)求DF與平面EBD所成角余弦值；(3)求平面DEF與平面ABCD的夾角余弦值．7．（2024·天津?yàn)I海新·二模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，側(cè)面PAB⊥平面ABCD，PA=AB(1)求證：EF//平面PAB(2)若異面直線EF與