高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：直線與圓（學(xué)生版+解析）

第1講直線與圓

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一直線的方程

1.已知直線L：A1x+Biy+C1=O（A1,Bi不同時為零），直線L：A2x+B2y+C2=0（A2,B?不同

時為零）,則L〃120AIB2—A2BI=0,且AG—A2cl*0,11±12<=>A1A2+BIB2=0.

Axo+Byo+C|

2.點(diǎn)P(x。，y。)到直線1：Ax+By+C=0(A,B不同時為零)的距離d=

^/A2+B2

Ic一cI

3.兩條平行直線L：Ax+By+Ci=O,k：Ax+By+Cz=O（A,B不同時為零）間的距離d=—;===.

?^/A-+B

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1⑴若直線L：x+ay+6=0與1_2：(a-2)x+3y+2a=0平行，則L與12間的距

離為()

A.^2B.乎C.小D.平

(2)直線ax+y+3a—1=0恒過定點(diǎn)N,則直線2x+3y—6=0關(guān)于點(diǎn)N對稱的直線方程為

()

A.2x+3y-12=0B.2x+3y+12=0

C.2x-3y+12=0D.2x—3y—12=0

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知直線1經(jīng)過直線L：x+y=2與12：2x-y=l的交點(diǎn)，且直線1的

2

斜率為一§,則直線1的方程是()

A.—3x+2y+l=0B.3x—2y+1—0

C.2x+3y-5=0D.2x-3y+l=0

(2)已知直線li：kx—y+4=0與直線12：x+ky—3=0(kW0)分別過定點(diǎn)A,B,又L,I2相

交于點(diǎn)M,貝?IMBI的最大值為.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二圓的方程

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)?+(y—b)2=d,特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)

時，方程為/+丫2=1.

2.圓的一般方程

一fj為圓心，JD-+；―4F為半徑的

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中產(chǎn)+片一4F>0,表示以|

圓.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】2(1)(2018?天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方

程為.

(2)已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(l,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方)，且|AB|

=2.則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020?全國II)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x

—y—3=0的距離為()

A.號B.羋C.羋D.W

5555

22

⑵已知A,B分別是雙曲線C：一X一看V=1的左、右頂點(diǎn)，P⑶4)為C上一點(diǎn)，貝QPAB的外

m2

接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)三直線、圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法

(1)點(diǎn)線距離法.

(2)判別式法:設(shè)圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2,直線1：Ax+By+C=O(A2+BVo),方程組

jAx+By+C=O,

|x-a2+y—b2=r2,

消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為A,則直線與圓相離直線與

圓相切QA=O,直線與圓相交=△>().

2.圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】3(1)已知直線1：x+ay—l=O(aGR)是圓C：x^+y?—4x—2y+l=0的對稱軸，

過點(diǎn)A(—4,a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B,則|AB|等于()

A.2B.472C.6D.

(2)(2020?全國I)已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線1：2x+y+2=0,P為1上的動

點(diǎn)，過點(diǎn)P作。M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為()

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+l=0D.2x+y+l=0

【拓展訓(xùn)練】3(1)已知點(diǎn)M是拋物線/=2x上的動點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓被y軸截得的弦

長為8,則該圓被x軸截得的弦長的最小值為()

A.10B.4/C.8D.2^/15

(2)若圓x2+y2=4與圓x2+y2+ax+2ay—9=0(a>0)公共弦的長為2/，則a=

專題訓(xùn)練

一、單項選擇題

1.過點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.y-x=lB.y+x=3

C.2x—y=0或x+y=3D.2x—y=0或y—x=l

2.若直線x+（l+m）y—2=0與直線mx+2y+4=0平行，則m的值是（）

33

A.1B.-2C.1或一2D.一1

3.已知圓x,+y：!+2k：!x+2y+4k=0關(guān)于y=x對稱，則k的值為（）

A.-1B.1C.±1D.0

4.（2020?廈門模擬）已知圓C：x?+y2-4x=0與直線1相切于點(diǎn)P（3,小）,則直線1的方

程為（）

A.3x—^/3y—6=0

B.x—/y-6=0

C.x+/y—4=0

D.x+/y—6=0

5.（2020?長沙模擬）已知直線1過點(diǎn)A（a,0）且斜率為1,若圓x2+y2=4上恰有3個點(diǎn)到1

的距離為1,則a的值為（）

A.3小B.±372

C.±2D.±72

6.6知點(diǎn)P為圓C：（x—l）?+（y—2y=4上一點(diǎn)，A（0,—6）,B（4,0）,則|說+而|的最大

值為（）

A.^/26+2B.^/26+4

C.2726+4D.2726+2

7.（2020?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)月考）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出

了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)A,B距離之比是常數(shù)入（入＞0,AW1）的點(diǎn)M的軌

跡是圓，若兩定點(diǎn)A,B的距離為3,動點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|,則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面

積為（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4n

8.（2020?遼寧省大連一中模擬）已知圓C：x2+y2=4,直線1：x—y+6=0,在直線1上任

取一點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為A,B,連接AB,則直線AB一定過定點(diǎn)（）

A.|[B.（1,2）

,、（4G

C.（—2,3）D.I—-I

二、多項選擇題

9.集合A={（x,y）|x2+y2=4},B={（x,y）|（x—3）2+（y—4）2=r2},其中r〉0,若AHB中

有且僅有一個元素，則r的值是（）

A.3B.5C.7D.9

10.下列說法正確的是（）

A.直線x—y—2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

B.點(diǎn)P（0,2）關(guān)于直線y=x+l的對稱點(diǎn)為P，（1,1）

C.過P“x”yi）,P2（x2,yj兩點(diǎn)的直線方程為之二江=二^

y2-yix2-xi

D.經(jīng)過點(diǎn)（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

11.已知圓Ci：（x+6）?+（y—5y=4,圓（x-2）2+（y-l）2=l,M,N分別為圓G和&

上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|+1PN|的值可以是（）

A.6B.7C.10D.15

12.已知點(diǎn)A是直線1：x+y一4=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是圓（+丫2=1上的動點(diǎn)，若NPAQ

的最大值為90°,則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（）

A.（0,巾）B.（1,鏡一1）

C.（隹0）D.（V2-1,1）

三、填空題

13.若直線1：-X+5V=l（a>0,b〉0）經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,則直線1在x軸、y軸上的截距之和的最小

ab

值是

14.己知。0：x?+y2=l.若直線丫=1?+2上總存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的。。的兩條切線互相

垂直，則實數(shù)k的取值范圍是.

15.(2020?石家莊長安區(qū)期末)直線1：y=kx+l與圓0：x2+y2=l相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)

△A0B的面積達(dá)到最大時，k=.

222222

16.已知圓Ci：x+y=r,圓C2：(x—a)+(y—b)=r(r>0)交于不同的兩點(diǎn)A(x”yj,B(x2,

yz),給出下列結(jié)論：①a(xi—Xz)+b(yi—yz)=0；②2axi+2byi=a2+b"；③xi+xz=a,yi+

yz=b.其中正確的結(jié)論是.(填序號)

第1講直線與圓

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一直線的方程

1.已知直線li：Aix+Biy+Ci=O（Ai,Bi不同時為零），直線k：A2x+B2y+C2=0（A2,Bz不同

時為零），則1I〃12=AIB2-A2BI=0,且AC—AZGWO,1I±12?AIA2+BIB2=0.

|Axo+Byo+C|

2.點(diǎn)P(x°,y°)到直線1：Ax+By+C=O(A,B不同時為零)的距離d=

^/A2+B2

Ic—cI

3.兩條平行直線li：Ax+By+G=O,12：Ax+By+C2=0（A,B不同時為零）間的距離d=—/==.

+B

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1（1）若直線li：x+ay+6=0與12：（a-2）x+3y+2a=0平行，則L與r間的距

離為（）

A.^2B.乎C./D.呼

【答案】B

【解析】由L〃k得（a—2）a=lX3,且aX2aW3X6,

2

解得a=—1,x—y+6=0,12：x—y+g=O,

2

6——

38也

???li與12間的距離d=/

VI+-13?

⑵直線ax+y+3a—1=0恒過定點(diǎn)N,則直線2x+3y—6=0關(guān)于點(diǎn)N對稱的直線方程為

）

A.2x+3y—12=0B.2x+3y+12=0

C.2x—3y+12=oD.2x-3y-12=0

【答案】B

【解析】由ax+y+3a—1=0可得a(x+3)+y—1=0,

[x+3=0,

令，可得x=—3,y=l,

Ly—1=0,

；.N(-3,1).

設(shè)直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)N對稱的直線方程為2x+3y+c=0(cW—6).

皿J-6+3-6]6+3+c|

人」^4+9—V4+9'

解得c=12或c=-6(舍去).

.?.所求直線方程為2x+3y+12=0.

易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點(diǎn)

(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用AA—AB=0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代

入檢驗，排除兩條直線重合的可能性.

(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直,

而截距式方程即不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.

(3)討論兩直線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在.

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知直線1經(jīng)過直線li：x+y=2與12：2x-y=l的交點(diǎn)，且直線1的

2

斜率為一§,則直線1的方程是()

A.—3x+2y+l=0B.3x—2y+l=0

C.2x+3y—5—0D.2x—3y+l=0

【答案】C

|x+y=2,

【解析】解方程組.

[2x—y=l,

所以兩直線的交點(diǎn)為(1,1).

因為直線1的斜率為一9*

9

所以直線1的方程為y—1=—§(x—1),

即2x+3y-5=0.

(2)已知直線L：kx—y+4=0與直線L：x+ky—3=0(kW0)分別過定點(diǎn)A,B,又L,L相

交于點(diǎn)M,則|MA|?|MB|的最大值為.

【答案】y

【解析】由題意可知，直線L：kx—y+4=0經(jīng)過定點(diǎn)A(0,4),直線lz：x+ky-3=0經(jīng)

過定點(diǎn)B⑶0).

易知直線L：kx—y+4=0和直線k：x+ky—3=0始終垂直，又M是兩條直線的交點(diǎn)，所

以MAXMB,

所以|MA「+|MB|2=|AB『=25,故|MA|?|MB|W萬

當(dāng)且僅當(dāng)IMA|=MB|=平時取

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二圓的方程

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)?+(y—b”=d,特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)

時，方程為一+黃=上

2.圓的一般方程

，DF、、/n2_|_p2_4F

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D'+E?—4F>0,表示以(一5,一為圓心，*---------為半徑的

圓.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】2(1)(2018?天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方

程為.

【答案】x2+y-2x=0

【解析】方法一設(shè)圓的方程為x'+yZ+Dx+Ey+Fn。.

:圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),

'F=0,CD=-2,

2+D+E+F=0,解得|E=0,

、4+2D+F=0.1F=0.

圓的方程為x2+y2—2x=0.

方法二畫出示意圖如圖所示，

y

A

/N;

O1BX

則AOAB為等腰直角三角形，

故所求圓的圓心為(1,0),半徑為1,

...所求圓的方程為(x—1￥+y=1,

即x2+y2—2x=0.

(2)已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方)，且|AB|

=2.則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x-l)2+(y-V2)2=2

【解析】設(shè)圓心C(a,b),半徑為r,

???圓C與x軸相切于點(diǎn)T(l,0),

r=|b|.

又圓C與y軸正半軸交于兩點(diǎn),

/.b>0,貝ljb=r,

V|AB|=2,：.2=2y/r2-l,

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—1)2+(y—鏡)2=2.

規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法

(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.

(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).

【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020?全國II)若過點(diǎn)⑵1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x

—y—3=0的距離為()

ABC.D.

.5號5.羋5呼5羋

【答案】B

【解析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)為(a,b).

?.?圓與兩坐標(biāo)軸都相切，

；.a=b,且半徑r=a,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)?+(y—a)z=a?.

丁點(diǎn)(2,1)在圓上，(2—2”+(1—2”=/,

a2—6a+5=0,解得a=l或a=5.

當(dāng)a=l時，圓心坐標(biāo)為(1,1),

此時圓心到直線2x-y-3=0的距離為

|2X1-1-3|2^5

d=、2?+T5；

當(dāng)a=5時，圓心坐標(biāo)為(5,5),

此時圓心到直線2x—y—3=0的距離為

|2X5~5~3|2^5

d=V22+-12=5-

9A

綜上，圓心到直線2x—y—3=0的距離為

o

22

⑵已知A,B分別是雙曲線C：一X一看V=1的左、右頂點(diǎn)，P(3,4)為C上一點(diǎn)，貝!JZ\PAB的外

m2

接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】x2+(y-3)2=10

916

【解析】..?P(3,4)為C上一點(diǎn)，?，?—-三=1,

m2

4

解得m=L則B(l,0),，kpB=5=2,

PB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),

PB的中垂線方程為y=-1(x-2)+2,

令x=0,則y=3,

設(shè)外接圓圓心為M(0,t),

則M(0,3),r=|MBH^/l+32=V10,

??.△PAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-3)2=10.

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)三直線、圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法

(1)點(diǎn)線距離法.

(2)判別式法:設(shè)圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2,直線1：Ax+By+C=0(A2+BV0),方程組

JAx+By+C=0,

[x—a2+y—b2=r2,

消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為△,則直線與圓相離=A<0,直線與

圓相切=A=0,直線與圓相交=A>0.

2.圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】3(1)已知直線1：x+ay—l=O(aGR)是圓C：x2+y2-4x-2y+l=0的對稱軸，

過點(diǎn)A(—4,a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B,則|AB|等于()

A.2B.4-\/2C.6D.2^/10

【答案】C

【解析】由題意，得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)?+(y—1)2=4,知圓C的圓心為C(2,1),半

徑為2.

方法一因為直線1為圓C的對稱軸，所以圓心在直線1上，則2+a—l=0,解得a=-l,

所以|ABr=|AC『一|BC『=[(—4—2)2+(—l—l)2]—4=36,所以|AB|=6.

方法二由題意知，圓心在直線1上，即2+a—1=0,解得a=—1,再由圖知，|AB|=6.

y

0

L_______

A(-4-1)5(2-1)

(2)(2020?全國I)已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線1：2x+y+2=0,P為1上的動

點(diǎn)，過點(diǎn)P作。M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為()

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+l=0D.2x+y+l=0

【答案】D

【解析】OM：(x-l)2+(y-l)2=4,

則圓心M(l,1),ONI的半徑為2.

如圖，由題意可知PM_LAB,

，S四邊彩PMB=]IPMITAB|

=|PA?|AM|=2|PA|,

|PM?|AB|=41PA

=4d|PM「一4.

當(dāng)|PM|?|AB|最小時,|PM|最小，此時PMLl.

故直線PM的方程為y-l=1(x-l),

即x—2y+l=0.

fx—2y+l=0,fx=—1,

由,,得

〔2x+y+2=0,[y=0,

又?.?直線x=-1,即PA與。M相切，

；.PAJ_x軸,PA±MA,1).

又直線AB與1平行，

設(shè)直線AB的方程為2x+y+m=0(m#2),

將A(—1,1)的坐標(biāo)代入2x+y+m=0,得m=l.

直線AB的方程為2x+y+1=0.

規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略

直線與圓相切時利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切

線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點(diǎn)斜式.過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先

求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算.

【拓展訓(xùn)練】3(1)已知點(diǎn)M是拋物線y2=2x上的動點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓被y軸截得的弦

長為8,則該圓被x軸截得的弦長的最小值為()

A.10B.4木C.8D.2715

【答案】D

【解析】設(shè)圓心M仔，aj,

而1=02+(|)=3+16，

，??圓M與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

|AB|=25匚￡=2\^，+16—才

=^a4—4a2+64=^~a2—2~2+60

2M=2亞.

(2)若圓x2+y2=4與圓x?+y2+ax+2ay—9=0(a>0)相交，公共弦的長為2巾,則a=

【答案】呼

fx2+y2=4,

【解析】聯(lián)立兩圓方程2,z,,八

|.x-+y2+ax+2nay-9=0,

可得公共弦所在直線方程為ax+2ay—5=0,

故圓心(0,0)到直線ax+2ay-5=0的距離為

因為a〉0,所以a=亞.

專題訓(xùn)練

一、單項選擇題

1.過點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.y-x=lB.y+x=3

C.2x-y=0或x+y=3D.2x—y=0或y—x=l

【答案】D

9—0

【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時，可得斜率為［不=2,

1—0

故直線方程為y=2x,即2x—y=0,

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為-+-匕=1,

a—a

19

代入點(diǎn)(1,2)可得一一一=1,解得a=-1,

aa

方程為x—y+l=0,

故所求直線方程為2x—y=0或y—x=l.

2.若直線x+(l+m)y—2=0與直線mx+2y+4=0平行，則m的值是()

-3

A.1B.-2C.1或一2D.一］

【答案】A

【解析】由兩直線平行的條件可得-2+m+m2=0,

2(舍)或m=l.

3.已知圓/+y+2卜~+2丫+4k=0關(guān)于y=x對稱，則k的值為()

A.-1B.1C.±1D.0

【答案】A

【解析】化圓x2+y2+2k2x+2y+4k=0為(x+k2)2+(y+l)2=k4—4k+l.

則圓心坐標(biāo)為(―k2,—1),

圓x2+y2+2k2x+2y+4k=0關(guān)于y=x對稱,

，直線y=x經(jīng)過圓心，

/.—k2=—1,得卜=±1.

當(dāng)k=l時，k4—4k+l<0,不合題意，

:?k=-1.

4.（2020?廈門模擬）已知圓C：x?+y2-4x=0與直線1相切于點(diǎn)P（3,十），則直線1的方

程為（）

A.3x—/y—6=0

B.x—-6=0

C.x+/y—4=0

D.x+/y—6=0

【答案】D

【解析】圓C：x'+y?—4x=0可化為（x—2）,+y2=4,則圓心C（2,0）,

直線PC的斜率為kpc=^^=小,

N—JY

V1±PC,則直線1的斜率為

I——立

kkpc3'

二直線1的點(diǎn)斜式方程為y—/=—J^（x—3）,化為一般式得x+45y—6=0.

5.（2020?長沙模擬）已知直線1過點(diǎn)A（a,0）且斜率為1,若圓x2+y2=4上恰有3個點(diǎn)到1

的距離為1,則a的值為（）

A.3y/2B.±372

C.±2D.±72

【答案】D

【解析】直線1的方程為丫=*一a,即x—y—a=0.圓上恰有三個點(diǎn)到直線1的距離為1,

可知圓心到直線的距離等于半徑的一半，即與=1,a=土木.

6.已知點(diǎn)P為圓C：(x—l)?+(y—2產(chǎn)=4上一點(diǎn)，A(0,-6),B(4,0),則|熊+而|的最大

值為()

A.標(biāo)+2B.標(biāo)+4

C.2^26+4D.2^26+2

【答案】C

【解析】取AB的中點(diǎn)D(2,-3),

則證+麗=2麗，|PA+PB|=|2PD|,

又由題意知，圓C的圓心C的坐標(biāo)為(1,2),半徑為2,

|PD|的最大值為圓心C(l,2)到D(2,-3)的距離d再加半徑r,

又d=、l+25={^,d+r=-\/26+2,

12前|的最大值為2d詬+4,

即jPA+PBj的最大值為2m+生

7.(2020?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)月考)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出

了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)A,B距離之比是常數(shù)入(入＞0,AW1)的點(diǎn)M的軌

跡是圓，若兩定點(diǎn)A,B的距離為3,動點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|,則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面

積為()

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

【答案】D

【解析】以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則B(3,0).設(shè)M(x,y),

依題意有，［++土尹2,化簡整理得，x2+y2-8x+12=0,即(x—4產(chǎn)+/=4,則M

qX-3+y

點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為4JI.

8.(2020?遼寧省大連一中模擬)已知圓C：x'+y2=4,直線1：x—y+6=0,在直線1上任

取一點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為A,B,連接AB,則直線AB一定過定點(diǎn)()

A.(一|,I)B.(1,2)

C.(—2,3)D.I—~\

【答案】A

【解析】設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則xo—y0+6=0.過點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為A,B,連接AB,

以CP為直徑的圓的方程為x(x—xo)+y(y—yo)=0,

又圓C：x2+y2=4,作差可得直線AB的方程為xxo+yyo=4,將yo=xo+6,代入可得

2

x=-

x+y=0,u

(x+y)x+6y—4=0,滿足,

06y—4=02

y=a

故直線AB過定點(diǎn)

二、多項選擇題

9.集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y—4)2=r2),其中r〉0,若AAB中

有且僅有一個元素，則r的值是()

A.3B.5C.7D.9

【答案】AC

【解析】圓(+/=4的圓心是0(0,0),半徑為R=2,圓(x—3)?+(y—4)2=r2的圓心是

C(3,4),半徑為r,10C|=5,當(dāng)2+r=5,r=3時，兩圓外切，當(dāng)|r—2|=5,r=7時，兩

圓內(nèi)切，它們都只有一個公共點(diǎn)，即集合ACB中只有一個元素.

10.下列說法正確的是()

A.直線x-y—2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

B.點(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線y=x+l的對稱點(diǎn)為P，(1,1)

C.過R3,yi),P2(x2,y?)兩點(diǎn)的直線方程為口1=仝二包

y2—yix2—xi

D.經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y—2=0

【答案】AB

【解析】選項A中直線x—y—2=0在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為2,-2,所以圍成的三角

‘0+12+1

形的面積是2,所以A正確;選項B中PP'的中點(diǎn)|在直線y=x+l上，且P(0,2),

2，2

P'(1,1)兩點(diǎn)連線的斜率為-1,所以B正確；選項C中需要條件yz#yi,x2^x1,所以C錯

誤；選項D中還有一條截距都為0的直線y=x,所以D錯誤.

11.已知圓Q：(x+6”+(y—5尸=4,圓Cz：(x-2)2+(y-l)2=l,M,N分別為圓C和C2

上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|+|PN|的值可以是()

A.6B.7C.10D.15

【答案】BCD

【解析】圓C2關(guān)于X軸的對稱圓C3為（X—2）?+（y+l）2=l,圓心C3（2,-1）,邕=1,點(diǎn)N

關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N'在圓Cs上，又圓Ci的圓心心（-6,5）,n=2,A|PM|+|PN|=|PM|+

,2

|PNI^|PCi|-ri+|PC3|-r3=|PCiH-|PC3|-3^|CiC3|-3=12+6°+--1-5-3

=7,，|PM|+|PN|的取值范圍是［7,+~）.

12.已知點(diǎn)A是直線1：x+y—4=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是圓x?+y2=l上的動點(diǎn)，若NPAQ

的最大值為90°,則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是()

A.（0,?B.（1,鏡一1）

C.他,0）D.（V2-1,1）

【答案】AC

【解析】

如圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn)0到直線1：x+y-4=0的距離d=j若？=1,則直線1與圓/+/

=1相切，由圖可知，當(dāng)AP,AQ均為圓(+y2=l的切線時，/PAQ取得最大值，連接0P,

0Q,由于NPAQ的最大值為90°,且/人「0=/八00=90°,|0P|=|0Q|=L則四邊形AP0Q

為正方形，所以|0A|=*|0P|=鏡