北師大版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：利用空間向量求空間角與距離VIP

課時作業(yè)提升（四十八）利用空間向量求空間角與距離

A組夯實基礎(chǔ)

1.（2018?臨沂調(diào)研）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-AiBiCi,CA^CCi

=2CB,則直線與直線A3夾角的余弦值為（）

J5

解析:選A不妨設(shè)CB=1,則8(0,0])，A(2,0,0),Ci=(0,2,0),3(0,2,1),

.?.松尸(0,2,-1),麗=(一2,2,1).

，不；、BCi-ABi0+4-1/

cos<BC1,AB1>=―—,A/SX3=5'

|BCi|-|ABi|"xs

2.已知正四棱柱ABC。一A向GA中，AAi=2AB,則CO與平面BOG所成角的正弦

值等于()

A2B亞

A.33

C.乎D.|

解析：選A設(shè)A5=l,則AAi=2,分別以涼i,LhCi,成）的方向為1軸，y軸，z

軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:

則0(0,0,2),C1(O,1,O),5(1,1,2),C(0,1,2).5B=(1,1,0),DCI=(0,1,-2),5c=(o,i,o),

設(shè)〃=(%,y,z)為平面5Z)G的一個法向量，

n-DB=0ffx+y=O,

則1即取〃=(一2,2,1).

一[y—2z=0.

ln-DCi=0

設(shè)C。與平面BOG所成角為0,則sin6="四=:，故選A.

\n\\DC\

3.在正方體A8CQ—A/ICLDI中，點E為的中點，則平面4ED與平面ABC。所

成的銳二面角的余弦值為()

A.3B.

C當(dāng)D.半

解析：選B以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,

設(shè)棱長為1,則4(0,0,1),41,0,￡),￡>(0,1,0),

.?.布=(0,1,-1),病=0,0,一￡).

設(shè)平面AiEZ)的一個法向量為〃i=(x,y,z),

廠z=0,x=l,

A]Dm=0,解得卜=2,

：.有<即＜1八

x—22=0,

AiEni=0、z=2.

?**n\=(1,2,2).

???平面ABC。的一個法向量為w2=(0,0,1).

22

cos<H1,〃2〉

即所成的銳二面角的余弦值為京2

4.(2018?鄭州模擬)在長方體ABC。一AiBiGQi中，AB=2,BC=AAX=\,則。Ci與平

面AiBCi所成角的正弦值為.

解析：以。為原點，分別以D4,DC,。。所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)〃=(x,y,z)為平面45cl的法向量,Z)i(0,0,1),4(1,0,1),5(1,2,0),C(0,2,1),

???&=(0,2,-1),A2=(—1,2,0).

則n-AiB=O,n-AiCi=O,

12y-z=0,

即J'.,c令Z=2,則y=l,x=2,

【一x十2y=0,

于是i=(2,l,2),LhCi=(0,2,0).

設(shè)所求線面角為a,則sina=|cos〈”，z5jCi>|=1.

答案：|

5.已知單位正方體ABCD—AiBiGd,E,5分別是棱BiG,GA的中點.試求：

(1MA與所所成角的大??；

(2)AF與平面BEBi所成角的余弦值.

解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得A(l,0,l),8(0,0,1),Z)i(l,1,0),￡(0,0),

2，1,01.

(1)因為助1=(0,1,-1),EF=(J,0),

(0,1,-1)@,0)]

所以cos〈AZ)i,EF〉—i——g,

V2xf2

即ADi與EF所成的角為60°.

(2)M=(J,-1,1),由圖可得，函=(1,0,0)為平面BEBi的一個法向量，設(shè)AF與平面

BEBi所成的角為仇

—_(1,。)(或T,1)12、歷

貝Isin^=|cos(84,FA)\=----------/=1,所以cos

即A尸與平面BEBi所成角的余弦值為

6.如圖所示的多面體是由底面為A5C。的長方體被截面AEG尸所截而得到的，其中

A5=4,BC=2,CG=3,BE=1.

,C)

(1)求B尸的長;

(2)求點C到平面AECiF的距離.

解：(1)如圖，以。為原點，DA,DC,。下分別為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),￡(2,4,1),G(0,4,3),

設(shè)尸(0,0,z),由亦=比1得：(一2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.

.\F(0,0,2)..\BF=(~2,-4,2),

...|麗=2就，即8尸的長為2#.

(2)設(shè)“1為平面AECF的法向量，顯然”1不垂直于平面ADF,故可設(shè)“j=(x,y,l).

ni-AE—0,[0Xx+4Xy+l=0,

一

^m-AF=0,2Xx+0Xy+2=0,

4y+l=0,

1貝In\=

—2x+2=0.

又公i=(0,0,3),設(shè)Gi與"i的夾痢為a,

—4、國4A/33

.?.點C到平面AEG尸的距離為d=|CG|cosa=3義喙一=畤一

7.如圖，三棱臺ABC—AllG中，側(cè)面4場54與側(cè)面4cle4是全等的梯形，若4A

±AB,A\ALA\C\,且AB=2AiBi=4AiA.

⑴若db=2加i，AE=2EB,證明：DE〃平面BCCiS；

(2)若二面角G-A41-B為爭求平面AiBiBA與平面GBBC成的銳二面角的余弦值.

(1)證明：連接AG,BCi,梯形4GCA,AC=2AlCi,

易知：ACiOAiC^D,AD=2DCi,

又贏=2誦，則DE//BC1,

BCi平面BCC?DEC平面BCC?

可得：OE〃平面BCGS.

⑵解：側(cè)面ACCA是梯形,AiA±AiCi,

=>A41±AC,AiA-LAB,

TT

則NBAC為二面角Ci—AA—B的平面角，ZBAC=^.

臺△ABC,△AiBiG均為正三角形，

在平面ABC內(nèi)，過點A作AC的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)441=1,則AiBi=ACi=2,

AB=AC=4,故點Ai(O,O,l),C(0,4,0),2(25，2,0),囪(小，1,1).

設(shè)平面4由1區(qū)4的法向量為m=(尤i,yi,zi),則有:

m-AB=Q,p\/§xi+yi=0,

'=>r,',今機=(1,-y/3,0),

33xi+yi+zi=0,

設(shè)平面C1B13C的法向量為〃=(X2,>2,Z2),則有：

HCB=0,［小仞一丁2=0,

?.CR,=0-3y2+z2=0，

1

\-

cos/4

llnl

故平面ArBiBA與平面G5BC所成的銳二面角的余弦值為"

B組能力提升

1.(2017?全國卷III)如圖，四面體ABC。中，△ABC是正三角形，△AC。是直角三角形,

ZABD=ZCBD,AB=BD.

D

A

(1)證明：平面AC。_L平面ABC；

(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,

求二面角D-AE-C的余弦值.

(1)證明：由題設(shè)可得△A3。絲△CB。，從而AD=CD.

又△ACD是直角三角形，

所以NAOC=90°.

取AC的中點。，連接。。，BO,

則DO±AC,DO=AO.

又因為△ABC是正三角形，ikBO-LAC,

所以NDO8為二面角D-AC-8的平面角.

在RtAAOB中，BO2+AO2=AB2,

又AB=BD,所以8。2+。。2=8。2+4。2=482=8。2,故/。。8=90°.

所以平面ACD_L平面ABC.

(2)解：由題設(shè)及(1)知，。4,0B,0。兩兩垂直,

以0為坐標(biāo)原點，醇的方向為x軸正方向，|殖|為單位長度，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系O-xyz,

則41,0,0),8(0,0),c(-1,0,0),0(0,0,1).

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的義，

從而E到平面ABC的距離為。到平面ABC的距離的g,

即E為的中點，得電,坐，目，

故石=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),嬴=[-1,坐,

設(shè)〃=(%,y,z)是平面OAE的法向量，

-x+z=0,

raAD=0,

則<i

m—%+￥>+呼=。,

^n-AE=0,

1,坐,1).

可取n=

FW,AC=0,

設(shè)機是平面AEC的法向量，則<

"?AE=0,

同理可取機=(0,—1,小)，

則cos〈n,m>=瑞=岑

所以二面角D—AE—C的余弦值為，.

2.(2017?全國卷II)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PO的中點.

(1)證明：直線CE〃平面B42；

(2)點〃在棱PC上，且直線與底面ABC。所成角為45。，求二面角AB—D的

余弦值.

(1)證明：取B4的中點工連接BF.

因為E是尸。的中點，所以EF//AD,EF^AD.

由NBAD=NA8C=90。得BC//AD,

又樂以EFJLBC,

四邊形BCEF是平行四邊形，CE//BF.

又BF平面PAB,CE&平面PAB,故CE〃平面PAB.

(2)解：由已知得以A為坐標(biāo)原點，Q的方向為x軸正方向，|矗|為單位長度,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,貝想(0,0,0),3(1,0,0),C(l,l,0),P(0,1,小)，PC

=(1,0,f),油=(1,0,0).

設(shè)M(x,y9z)(0<x<l),貝1J

BM=(x—T,y,z),PM=(x,y—1,z~y[3).

因為BM與底面ABCD所限的再為45°,

而〃=(0。1)是底面ABCD的法向量，

所以|cos(BM,n)|=sin450,而可爭有=與

即(x—l)2+y2—z2=0.①

又“在棱PC上，設(shè)前=7無，則

x=A,y=19—②

1也

X=1尸1—2，

由①②解得1y=l,(舍去)，或jy=l,

水

〔z=_2產(chǎn)2，

所以Mj—乎，1,乎)，從而Q/=(i—乎,

設(shè)m=(XO,yo,Z0)是平面的法向量，則

即[加

mAM=0f2-，5)xo+2yo+zo=O,

Uo=O,

m-AB=0f

所以可取》i=(0,―乖,2).

mnV10

于是{m,n)

cos~\m\\n\~5

因此二面角Af—AB—。的余弦值為^

3.如圖，四棱錐P—ABC。的底面ABC。是平行四邊形，底面ABC。，E4=3,AD

=2,AB=4,ZABC=6Q°.

(1)求證：8C_L平面mC；

PF

(2)E是側(cè)棱PB上一點，記麗=2(0<k1),是否存在實數(shù)2,使平面ADE與平面PAD

所成的二面角為60。？若存在，求出力的值；若不存在，請說明理由.

(1)證明：因為8C=AD=2,AB=4,

所以AC=yjAB-+BC2-2ABXBCXcosZABC=2小,

5CBC2+AC2=AB2,所以BCJLAC.

又P4J■底面ABCD,