人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊課時作業(yè)3：1 1 1 空間向量及其線性運算練習

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算一、選擇題1.下列命題中為真命題的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個空間向量的模必不相等〖答案〗A〖解析〗對于選項B，其終點構成一個球面，對于選項C，空間非零向量能用空間中的一條有向線段表示，但不能說向量就是有向線段；對于選項D，向量a與向量b不相等，有可能它們的模相等，但方向不同，故選A.2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的運算結果不為向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的是()A.(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))B.(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(CC1,\s\up6(→))D.(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗根據(jù)空間向量的加法法則及正方體的性質，逐一判斷可知A，B，D的運算結果都為eq\o(AC1,\s\up6(→))，而C中，(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(C1A,\s\up6(→))，故選C.3.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列向量相等的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))〖答案〗D〖解析〗∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，AB∥DC，即四邊形ABCD為平行四邊形，由平行四邊形的性質知，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).故應選D.4.(多選題)在以下命題中，不正確的命題是()A.已知A，B，C，D是空間任意四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件C.若eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB與CD所在直線平行D.對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面〖答案〗BCD〖解析〗eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，A正確；若a，b同向共線，則|a|－|b|<|a＋b|，故B不正確；由向量平行知C不正確；D中只有x＋y＋z＝1時，才有P，A，B，C四點共面，故D不正確.故選BCD.5.已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則x的值為()A.1 B.0 C.3 D.eq\f(1,3)〖答案〗D〖解析〗∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四點共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴x＝eq\f(1,3)，故選D.二、填空題6.設M是△ABC的重心，記eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝________(用b，c表示).〖答案〗eq\f(1,3)(c－b)〖解析〗如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(c－b).7.設e1，e2是不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數(shù)k為________.〖答案〗－8〖解析〗因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三點共線，由向量共線的充要條件得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，所以k＝－8.8.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，則x＝________，y＝________.〖答案〗1eq\f(1,4)〖解析〗eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))).所以x＝1，y＝eq\f(1,4).三、解答題9.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).解(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)因為M是BB1的中點，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→)).又eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).向量eq\o(CA1,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))如圖所示.10.如圖，設O為?ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值.解∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).11.(多選題)空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊的中點，則下列各式中成立的是()A.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0C.eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→)) D.eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))〖答案〗BCD〖解析〗易知四邊形EFGH為平行四邊形，所以eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))，故A不成立；eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0，故B成立；eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→))，故C成立；eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))，故D成立.12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)λ＝________.〖答案〗eq\f(65,7)〖解析〗∵a，b，c三向量共面，∴存在實數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb，即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2m－n，,5＝－m＋4n，,λ＝3m－2n，))∴λ＝eq\f(65,7).13.如圖所示，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，并且使eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.證明因為eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(OG,OC)＝eq\f(OH,OD)＝k，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→)).由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).因此eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))－keq\o(OA,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由向量共面的充要條件知eq\o(EH,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))共面，又eq\o(EH,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))過同一點E，從而E，F(xiàn)，G，H四點共面.14.(多選題)如圖，四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點，且eq\