人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)課時(shí)作業(yè)4：3 1 2 第一課時(shí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE13.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、選擇題1.已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)〖答案〗B〖解析〗由2x2＋3y2＝m(m>0)，得eq\f(x2,\f(m,2))＋eq\f(y2,\f(m,3))＝1，∴c2＝eq\f(m,2)－eq\f(m,3)＝eq\f(m,6)，∴e2＝eq\f(\f(m,6),\f(m,2))＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\f(\r(3),3).2.與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B.x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1〖答案〗B〖解析〗將橢圓方程9x2＋4y2＝36化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，故其焦點(diǎn)為(0，±eq\r(5)).又b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,6)＋x2＝1.3.橢圓4x2＋49y2＝196的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A.7，2，eq\f(3\r(5),7) B.14，4，eq\f(3\r(5),7)C.7，2，eq\f(\r(5),7) D.14，4，eq\f(\r(5),7)〖答案〗B〖解析〗先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,4)＝1，則b＝2，a＝7，c＝3eq\r(5).故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝14,短軸長(zhǎng)為2b＝4，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(5),7).4.若橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝1〖答案〗A〖解析〗依題意得c＝2eq\r(5)，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.5.橢圓(m＋1)x2＋my2＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是()A.eq\f(2\r(m－1),m－1) B.eq\f(－2\r(－m),m)C.eq\f(2\r(m),m) D.－eq\f(2\r(1－m),m－1)〖答案〗C〖解析〗橢圓方程可化為eq\f(x2,\f(1,1＋m))＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，由題意，知m>0，∴eq\f(1,1＋m)<eq\f(1,m)，∴a＝eq\f(\r(m),m)，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝eq\f(2\r(m),m).二、填空題6.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且過點(diǎn)(2，0)的橢圓的方程是________.〖答案〗eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1〖解析〗若焦點(diǎn)在x軸上，則a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝1，∴方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，∴a2＝4b2＝16，∴方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.綜上，橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.7.橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|的值為________.〖答案〗eq\f(7,2)〖解析〗由eq\f(x2,4)＋y2＝1知，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP＝－eq\r(3)，代入橢圓方程得|yP|＝eq\f(1,2)，∴|PF1|＝eq\f(1,2).∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|OP|2＋|PF|2的最小值為________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)P(x0，y0)(x0∈〖－eq\r(2)，eq\r(2)〗)，而F(－1，0)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0).又yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(xeq\o\al(2,0),2)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x0＝－1時(shí)等號(hào)成立).∴|OP|2＋|PF|2的最小值為2.三、解答題9.分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)離心率是eq\f(2,3)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.解(1)由已知得2a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，∴a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2上的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.10.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)，過點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求橢圓的離心率.解由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，得eq\f(|EF2|,|EF1|)＝eq\f(|F2B|,|F1A|)＝eq\f(1,2)，從而eq\f(\f(a2,c)－c,\f(a2,c)＋c)＝eq\f(1,2)，整理得a2＝3c2.故離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).11.(多選題)已知點(diǎn)(3，2)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，則()A.點(diǎn)(－3，－2)不在橢圓上B.點(diǎn)(3，－2)在橢圓上C.點(diǎn)(－3，2)在橢圓上D.無法判斷點(diǎn)(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在橢圓上〖答案〗BC〖解析〗由橢圓的對(duì)稱性知點(diǎn)(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在橢圓上.12.(多選題)若橢圓x2＋my2＝1的離心率為eq\f(\r(3),2)，則m的值可以為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.2 D.4〖答案〗AD〖解析〗方程化為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，則有m>0且m≠1.當(dāng)eq\f(1,m)<1，即m>1時(shí)，a2＝1，b2＝eq\f(1,m)，依題意有eq\f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝4，滿足m>1；當(dāng)eq\f(1,m)>1，即0<m<1時(shí)，a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，依題意有eq\f(\r(\f(1,m)－1),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝eq\f(1,4)，滿足0<m<1.綜上，m＝eq\f(1,4)或4.13.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A(－1，0)，B(1，0)，一個(gè)頂點(diǎn)為H(2，0).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)于x軸上的點(diǎn)P(t，0)，橢圓E上存在點(diǎn)M，使得MP⊥MH，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)由題意可得，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)M(x0，y0)(x0∈(－2，2))，則eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1.①eq\o(MP,\s\up6(→))＝(t－x0，－y0)，eq\o(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MH,\s\up6(→))＝0，即(t－x0)(2－x0)＋yeq\o\al(2,0)＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋2x0－3.∵x0≠2，∴t＝eq\f(1,4)x0－eq\f(3,2).∵－2<x0<2，∴－2<t<－1.∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(－2，－1).14.橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)Q在線段PF2的延長(zhǎng)線上，且QF1⊥QP，sin∠F1PQ＝eq\f(5,13)，則該橢圓離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(\r(5),3))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)，\f(\r(2),2)))〖答案〗D〖解析〗∵QF1⊥QP，∴點(diǎn)Q在以F1F2為直徑，原點(diǎn)為圓心的圓上，∵點(diǎn)Q在橢圓的內(nèi)部，∴以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi)，∴c<b.∴c2<a2－c2，∴e2<eq\f(1,2)，故0<e<eq\f(\r(2),2).∵sin∠F1PQ＝eq\f(5,13)，∴cos∠F1PQ＝eq\f(12,13).設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝m2＋n2－2mn·eq\f(12,13)，∴4c2＝(m＋n)2－2mn－2mn·eq\f(12,13)，即4c2＝4a2－eq\f(50,13)mn，∴mn＝eq\f(26,25)(a2－c2).由基本不等式得mn≤eq\b\