信號處理習題答案

數(shù)字信號處理習題解答第二章數(shù)據(jù)采集技術基礎有一個理想采樣系統(tǒng),其采樣角頻率Ωs=6π,采樣后經(jīng)理想低通濾波器HajΩ還原,其中現(xiàn)有兩個輸入,x1t=cos2πt,x2t=cos5πt;試問輸出信號y1t,y2t有無失真為什么

分析：要想時域采樣后能不失真地還原出原信號,則采樣角頻率Ωs必須大于等于信號譜最高角頻率Ωh的2倍,即滿足Ωs≥2Ωh;解：已知采樣角頻率Ωs=6π,則由香農(nóng)采樣定理,可得因為x1t=cos2πt,而頻譜中最高角頻率,所以y1t無失真；因為x2t=cos5πt,而頻譜中最高角頻率,所以y2t失真;設模擬信號xt=3cos2000πt+5sin6000πt+10cos12000πt,求：該信號的最小采樣頻率；若采樣頻率fs=5000Hz,其采樣后的輸出信號；分析：利用信號的采樣定理及采樣公式來求解;eq\o\ac○,1采樣定理采樣后信號不失真的條件為：信號的采樣頻率fs不小于其最高頻率fm的兩倍,即fs≥2fmeq\o\ac○,2采樣公式解：1在模擬信號中含有的頻率成分是f1=1000Hz,f2=3000Hz,f3=6000Hz∴信號的最高頻率fm=6000Hz由采樣定理fs≥2fm,得信號的最小采樣頻率fs=2fm=12kHz2由于采樣頻率fs=5kHz,則采樣后的輸出信號說明：由上式可見,采樣后的信號中只出現(xiàn)1kHz和2kHz的頻率成分,即若由理想內(nèi)插函數(shù)將此采樣信號恢復成模擬信號,則恢復后的模擬信號可見,恢復后的模擬信號yt不同于原模擬信號xt,存在失真,這是由于采樣頻率不滿足采樣定理的要求,而產(chǎn)生混疊的結果;第三章傅里葉分析傅里葉變換概述習題設序列xn=δn-m,求其頻譜Xejω,并討論其幅頻和相頻響應分析：求解序列的頻譜有兩種方法：eq\o\ac○,1先求序列的z變換Xz,再求頻譜,即Xejω為單位圓上的z變換；eq\o\ac○,2直接求序列的傅里葉變換解：對序列xn先進行z變換,再求頻譜,得則若系統(tǒng)的單位采樣響應hn=xn,則系統(tǒng)的頻率響應故其幅頻和相頻響應如圖分別為幅頻響應相頻響應ωωφωωHejω1由圖可見,該系統(tǒng)的頻率響應具有單位幅值以及線性相位的特點;設xn的傅里葉變換為Xejω,試利用Xejω表示下列序列的傅里葉變換：分析：利用序列翻褶后的時移性質(zhì)和線性性質(zhì)來求解,即,解：1由于,,則故2由于故設Xejω是如圖所示的信號xn的傅里葉變換,不必求出Xejω,試完成下列計算：分析：利用序列傅里葉變換的定義以及帕塞瓦定理來求解;序列的傅里葉變換公式為：正變換反變換帕塞瓦定理解：1由傅里葉正變換公式可知ω=0,則2由于ej0=1,則由傅里葉反變換公式可知n=0,故由帕塞瓦定理,得周期序列的離散傅里葉級數(shù)DFS如圖所示,序列xn是周期為6的周期性序列,試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù);分析：利用DFS的定義求解,即,其中k=0~N-1解：已知N=6,則由DFS的定義得對上式依次取k=0~5,計算求得設,令,,試求與的周期卷積;分析：可以利用列表法求解,直觀方便;由于eq\o\ac○,只要將列表中對應于某個n的一行中的值和第一行中與之對應的值相乘,然后再將所有乘積結果相加,就得到此n的值解：注意：本題需要利用下一節(jié)中有限序列與周期序列的關系以及序列循環(huán)移位的概念;在一個周期N=6內(nèi)的計算卷積值eq\o\ac○,則與的周期卷積值n=0~5如下表所示：離散傅里葉變換DFT已知xn如圖所示,為{1,1,3,2},試畫出序列x-n5,x-n6R6n,xn3R3n,xn6,xn-35R5n和xn7R7n的略圖;分析：此題需注意周期延拓的數(shù)值,也就是xnN中N的數(shù)值;如果N比序列的點數(shù)多,則需補零；如果N比序列的點數(shù)少,則需將序列按N為周期進行周期延拓,造成混疊相加形成新的序列;解：各序列的略圖如圖所示;試求下列有限長序列的N點離散傅里葉變換閉合形式表達式：分析：利用有限長序列的DFT的定義,即解：1因為,所以2因為,所以3由,得注意：為了便于求解,必須利用代數(shù)簡化法消除掉上式中的變量n;所以4注意：本題可利用上題的結論來進行化簡;由,則根據(jù)第3小題的結論：若則與上題同理,得所以試畫出圖示的兩個有限長序列的六點循環(huán)卷積;分析：本題可以直接利用循環(huán)卷積的公式求解,也可以利用循環(huán)移位的概念來求解,即：有限長序列xn左移mm為正整數(shù)位的循環(huán)移位定義為且移位時,在主值區(qū)間n=0~N-1內(nèi),當某序列值從區(qū)間的一端移出時,與它同值的序列值又從區(qū)間的另一端移入;解：由循環(huán)卷積的定義,可知eq\o\ac○,6eq\o\ac○,eq\o\ac○,則根據(jù)循環(huán)移位的概念,將序列x1n循環(huán)右移3個單位后乘以3并取其主值序列n=0~5即可,其結果如圖所示;如圖所示的5點序列xn,試畫出：xnxnxneq\o\ac○,5xnxneq\o\ac○,10xn分析：本題可由圖解法來計算循環(huán)卷積,并利用循環(huán)卷積來求解線性卷積;同時應注意循環(huán)卷積代替線性卷積的條件：設兩個有限長序列xn、hn的點數(shù)分別為N和M,其循環(huán)卷積的長度為L,則要用循環(huán)卷積代替線性卷積的條件是：循環(huán)卷積的長度L必須不小于線性卷積的長度N+M-1,即L≥N+M-1否則,在循環(huán)卷積周期延拓時會產(chǎn)生混疊;解：由于xn是5點序列,所以xnxn是5+5-1=9點序列,因此,xneq\o\ac○,10xn的前9個點n=0,1,…,8就是xnxn值,后一個點n=9為零,因為L點循環(huán)卷積等于線性卷積結果的L點周期延拓、混疊相加后的主值區(qū)間內(nèi)的序列L可以是任意整數(shù)值;其運算結果分別如圖a、b、c所示;已知兩個有限長序列為試作圖表示xn,yn以及fn=xneq\o\ac○,7yn;分析：直接利用循環(huán)卷積公式或圖解法求解;解：其結果如圖所示;習題已知xn是N點有限長序列,且Xk=DFTxn;現(xiàn)將它補零擴展成長度為rN點的有限長序列yn,即試求rN點DFTyn與Xk的關系;分析：利用DFT定義求解;yn是rN點序列,因而結果相當于在頻域序列進行插值;解：由可得所以在一個周期內(nèi),Yk的采樣點數(shù)是Xk的r倍Yk的周期為rN,相當于在Xk的每兩個值之間插入r-1個其它的數(shù)值不一定為零,而當k為r的整數(shù)l倍時,Yk與相等;習題頻譜分析的模擬信號以8kHz被采樣,計算了512個采樣點的DFT,試確定頻譜采樣之間的間隔,并證明你的回答;分析：利用頻域采樣間隔F0和時域采樣頻率fs以及采樣點數(shù)N的關系fs=NF0;證：由得其中Ωs是以角頻率為變量的頻譜周期,Ω0是頻譜采樣之間的頻譜間隔;又則對于本題有fs=8kHz,N=512所以習題設有一個頻譜分析用的信號處理器,采樣點數(shù)必須為2的整數(shù)冪,假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施,要求頻率分辨力≤10Hz,如果采用的采樣時間間隔為,試確定：最小記錄長度；所允許處理信號的最高頻率；在一個記錄中的最小點數(shù);分析：采樣間隔T和采樣頻率fs滿足fs=1/T,記錄長度T0和頻域分辨力F0的關系為T0=1/F0,采樣定理為fs≥2fhfh為信號最高頻率分量,一個記錄中最少的采樣總數(shù)N滿足解：1因為T0=1/F0,而F0≤10Hz,所以即最小記錄長度為;2因為,而fs≥2fh所以即允許處理信號的最高頻率為5kHz;3又因N必須為2的整數(shù)冪所以一個記錄中的最少點數(shù)為N=210=1024;快速傅里葉變換FFT如果一臺通用計算機的速度為平均每次復乘5μs,每次復加μs,用它來計算512點的DFTxn,問直接計算需要多少時間,用FFT運算需要多少時間

分析：eq\o\ac○,1直接利用DFT計算：復乘次數(shù)為N2,復加次數(shù)為NN-1；eq\o\ac○,2利用FFT計算：復乘次數(shù)為,復加次數(shù)為；解：1直接計算復乘所需時間復加所需時間所以2用FFT計算復乘所需時間復加所需時間所以已知Xk,Yk是兩個N點實序列xn,yn的DFT值,今需要從Xk,Yk求xn,yn的值,為了提高運算效率,試用一個N點IFFT運算一次完成;分析：我們來組成一個新的序列Xk+jYk序列,則有它的實部即為實序列xn,虛部即為實序列yn;解：依據(jù)題意,可知取序列對Zk作N點IFFT可得序列zn;又根據(jù)DFT線性性質(zhì)由原題意可知,xn,yn都是實序列;再根據(jù)zn=xn+jyn,可得習題,N=16時,畫出基-2按時間抽取法DIT及按頻率抽取法DIF的FFT流圖時間抽取采用輸入倒位序,輸出自然數(shù)順序,頻率抽取采用輸入自然順序,輸出倒位序;分析：eq\o\ac○,1DIF法與DIT法的異同：不同點：DIT與DIF的基本蝶形圖不同,DIF的復數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之后,DIT的復數(shù)乘法出現(xiàn)在減法之前；相同點：DIT與DIF的運算量是相同的；eq\o\ac○,2DIF法與DIT法的關系：它們的基本蝶形是互為轉置的;解：1按時間抽取DIT如圖所示2按頻率抽取DIF如圖所示課堂思考題若是因果穩(wěn)定序列,求證：證：設則由時域卷積定理,得即令上式的左右兩邊n=0,得又傅里葉反變換公式,得,則,所以課堂思考題在N=16時按時間抽取的基-2FFT算法中,若輸入序列xn采用倒位序,輸出序列Xk采用自然數(shù)順序,試寫出輸入序列xn的排列順序,并簡述理由;答：N=16的基-2FFT算法中,輸入序列xn倒位序排列順序為x0、x8、x4、x12、x2、x10、x6、x14、x1、x9、x5、x13、x3、x11、x7、x15;其倒位序排序規(guī)則如表所示：自然順序n自然順序二進制數(shù)倒位序二進制數(shù)倒位序順序0000000000100011000820010010043001111001240100001025010110101060110011067011111101481000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章時域分析隨機相位正弦波式中,x0,ω均為常數(shù),φ在0~2π內(nèi)隨機取值,試求其自相關函數(shù)并作圖;分析：利用自相關函數(shù)的定義求解,即解：由自相關函數(shù)的定義式,得可見,該隨機相位正弦波的自相關函數(shù)只與角頻率ω有關,而不含相位信息,這表明：正弦函數(shù)的自相關函數(shù)為失去了相位信息的同頻率余弦函數(shù);其自相關函數(shù)圖形如圖所示;x02/2x02/2Rxxτττ兩個隨機相位正弦波式中,A0,B0,ω,φ均為常數(shù),θ在0~2π內(nèi)的取值概率相同,即滿足試求其互相關函數(shù)并作圖;分析：利用互相關函數(shù)的定義求解,即解：由互相關函數(shù)的定義式,得可見,兩個正弦函數(shù)的互相關函數(shù)仍為同頻率的余弦函數(shù),其最大峰值出現(xiàn)在τ=φ/ω處;RxyRxyττφ/ω第六章數(shù)字濾波器設計已知模擬濾波器的模方函數(shù)求模擬濾波器的傳遞函數(shù);分析：利用模擬濾波器的模方函數(shù)|HjΩ|2與其傳遞函數(shù)Hs之間的關系式求解,即解：將s=jΩ,即Ω2=s2代入|HjΩ|2,得可見,系統(tǒng)有四個極點s1,2=±3,s3,4=±4和兩對零點z1,2=±j2;為了得到一個穩(wěn)定的濾波系統(tǒng),則將左半平面的極點分配給Hs；并取虛軸上的一對共軛零點作為Hs的零點,以保證Hs收斂,故模擬濾波器的傳遞函數(shù)為試設計一個巴特沃思BW低通模擬濾波器,使濾波器的幅度響應在通帶截止頻率105rad/s處的衰減不大于3dB,在阻帶截止頻率4×105rad/s處的衰減不小于35dB;分析：按照§中所述的巴特沃思低通濾波器的設計過程來實現(xiàn);eq\o\ac○,1先確定濾波器的階數(shù)N由于公式1則濾波器的階數(shù)公式2注意：N為正整數(shù)且截止頻率公式3eq\o\ac○,2求解位于左半S平面上的極點公式4eq\o\ac○,3確定N階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)公式5解：eq\o\ac○,1先確定濾波器的階數(shù)N由題意可知,Ωp=105rad/s時,通帶最大衰減αp=3dBΩs=4×105rad/s時,阻帶最小衰減αs=35dB則代入公式1,求得參數(shù)γ和λ將參數(shù)γ、λ、Ωp和Ωs代入公式2,則濾波器的階數(shù)將參數(shù)N、γ和Ωp代入公式3,可得截止頻率eq\o\ac○,2求解位于左半S平面上的極點將參數(shù)Ωc和N代入公式4,得極點即eq\o\ac○,3確定巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)Hs將參數(shù)N、Ωc和sk代入公式5,得巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)式中Ωc=105rad/s試導出二階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設Ωc=3rad/s;分析：本題利用模方函數(shù)求出其左半S平面極點,而求得系統(tǒng)函數(shù);N階巴特沃斯低通濾波器的模方函數(shù)定義為在上式中代入jΩ=s,可得而HsH-s在左半S平面的極點即為Hs的極點,因此其中,k0由來確定;注意：可以證明,系數(shù)k0=ΩcN;解：對于二階N=2巴特沃斯低通濾波器,其模方函數(shù)為令jΩ=s,則有各極點滿足則k=1,2時,所得的sk位于左半S平面,即為Hs的極點由以上兩個極點構成的系統(tǒng)函數(shù)為代入條件,可得k0=9注：k0=Ωc2,故二階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)試導出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù),設Ωc=2rad/s;分析：與習題6.3同理,利用模方函數(shù)求出其左半S平面極點,而求得系統(tǒng)函數(shù);解：對于三階N=3巴特沃斯低通濾波器,其模方函數(shù)為令jΩ=s,則有各極點滿足不難得知,當k=1,2,3時,相應的極點sk均位于左半S平面;則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hs的極點因此,三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試利用沖激響應不變法,設計IIR數(shù)字低通濾波器;確定AF的傳函Hs給定指標確定AF的傳函Hs給定指標求解AF的單位沖激響應ht取拉氏反變換獲得DF的單位沖激響應序列hn采樣獲得DF的傳函HzZ變換令t=nT解：將Hs展開成部分分式,得對Hs取拉氏反變換,得對ht作周期為T的等間隔采樣,得對hn取Z變換,得IIR數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設有一模擬濾波器采樣周期T=2,試用雙線性變換法將它轉變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)Hz;分析：雙線性變換法是模擬系統(tǒng)函數(shù)的S平面和數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的Z平面之間是一一對應的關系,消除了頻譜的混疊現(xiàn)象,其變換關系為解：將T=2代入變換公式,可得則數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)用雙線性變換法設計一個數(shù)字低通濾波器,采樣頻率fs=,截止頻率fc=400Hz;分析：按照§中所述的采用雙線性變換法的設計過程來實現(xiàn);eq\o\ac○,1利用關系式ω=TΩ將給定的模擬域頻率指標轉化為數(shù)字域頻率指標eq\o\ac○,2利用如下的預畸變補償公式將數(shù)字域頻率指標變換為補償后的模擬域頻率指標eq\o\ac○,3按補償后的模擬域頻率指標設計三階巴特沃斯模擬濾波器Hs參見例6.2.4eq\o\ac○,4利用雙線性變換公式,將模擬濾波器Hs變換為數(shù)字濾波器Hz,即T為采樣周期解：此數(shù)字濾波器的截止頻率由預畸變補償,得相應的模擬濾波器的截止頻率由習題6.4可知,三階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)其中,濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hs的極點故有將雙線性變換公式和代入,可得三階巴特沃斯數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)請選擇合適的窗函數(shù)及窗寬N來設計一個線性相位低通濾波器要求其阻帶最小衰減為45dB,過渡帶寬為8π/51,試求出hn設截止頻率ωc=π;分析：本題是真正實用的設計題,從中可以看到阻帶衰減影響窗形狀的選擇當然用凱塞窗則可改變β來滿足阻帶衰減的要求,而窗寬N的選擇則影響過渡帶寬;按照§中所述的線性相位FIR數(shù)字低通濾波器的設計步驟來實現(xiàn);eq\o\ac○,1給定