2022年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編：解答題三（原卷版+解析）

2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（安徽考卷）

05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）

L（2022?安徽宣城）如圖1,在四邊形ABC。中，=,點(diǎn)E在邊BC上，且AE//CD,DE//AB,

作CF〃AD交線段AE于點(diǎn)R連接BF.

(1)求證：AABFmAEAD；

(2)如圖2,若AB=9,8=5,ZECF=ZAED,求BE的長;

RF

如圖3,若的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)求笠的值.

EC

圖2

2.（安徽省2020年中考數(shù)學(xué)試題）如圖1.已知四邊形ABCD是矩形.點(diǎn)E在B4的延長線

上.AE=AO.EC與5。相交于點(diǎn)G,與A。相交于點(diǎn)廠,AF=AB

（1）求證：BDLEC；

（2）若A3=l,求AE的長；

（3）如圖2,連接AG,求證：EG-DG=y/2AG-

圖1圖2

3.(安徽省2019年中考數(shù)學(xué)試題)如圖，R/S48c中，0ACB=9O°,AC=BC,P為EIABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

0APB=0BPC=135°

(1)求證：0B4B00PBC

(2)求證：PA=2PC

(3)若點(diǎn)尸到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為歷，①，Jn,求證歷2=的也

4.(安徽省2018年中考數(shù)學(xué)試題)如圖1,R/a48c中，0ACB=9O。，點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn)，。國鉆于點(diǎn)E,

點(diǎn)M為2。中點(diǎn)，CM的延長線交A2于點(diǎn)廠

(1)求證：CM=EM；

(2)若I38AC=5O。，求團(tuán)加F的大?。?/p>

(3)如圖2,若回n4￡EHCEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN^EM

5.(2017?安徽)已知正方形，超?旗，點(diǎn)M?為邊.￡8的中點(diǎn).

(1)如圖L點(diǎn)G為線段C'V上的一點(diǎn)，且3雅藩=顫戶，延長HG，BG分別與邊BC，CD交于點(diǎn)￡，

①求證：BE=CF；

②求證：BEZ=BCCE-

(2)如圖2,在邊3c上取一點(diǎn)E，^^BE:=BCCE＞連接HE交CV于點(diǎn)G，連接3G延長交CD

DC

于點(diǎn)尸，求幗a%?:靂的值.

跟蹤訓(xùn)練

1.(2022?江西南昌?九年級(jí)期末)已知正方形ABCD與正方形AE/G,正方形AE/G繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖1,連接BG、CF,

①求*的值；

BVJ

②求SBHC的度數(shù).

(2)當(dāng)正方形AEPG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，連接C尸、BE,分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N,連接MN,猜想MN

與BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由.

2.(2022?遼寧大連?八年級(jí)期末)0ABe是等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在邊AC、BC上,且AD=CE,連接

AE.3D交于點(diǎn)冗

圖2圖3

⑴如圖1,求BBFE的度數(shù);

AF

⑵如圖2,連接CR當(dāng)C睨3。時(shí)，求一的值；

BF

⑶如圖3,點(diǎn)尸在線段AE上，連接CP,且CP=AF,在圖中找出與線段AP相等的線段，并證明.

3.(2022?重慶南開中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試)在平行四邊形ABC。中，連接2。，若2?；谻Z),點(diǎn)E為邊A。上

(1)如圖1,點(diǎn)G在BD上，MDG=DC,連接CG,過G作G/fflCE于點(diǎn)X,連接。X并延長交A2于點(diǎn)M,

若HG=BM,求證：BM+6DH=DB；

(2)如圖2,0ABe=120。，43=6，點(diǎn)N在BC邊上，BC=4CN,若CE是SDC8的角平分線，線段P。(點(diǎn)

尸在點(diǎn)。的左側(cè))在線段CE上運(yùn)動(dòng)，PQ=用連接如NQ,請(qǐng)直接寫出如PQ+QN的最小值.

4.(2022?江蘇?無錫市東林中學(xué)八年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)8(0,3).點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，點(diǎn)0從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，又P、

。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

備用圖

⑴連接AQ，當(dāng)0ABQ是直角三角形時(shí)，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為;

(2)當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，如果沿著直線AQ翻折，點(diǎn)P恰好落在線段AB上，求這時(shí)04。尸的度數(shù)；

⑶若將A尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得P落在線段8。上，記作P,且APSP。求此時(shí)直線尸。的解析式.

5.(2022?江西贛州?九年級(jí)期末)在WAABC中，ZABC=90°,AB=BC,點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng).連接AE,

將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接CF.

BE

圖2備用圖

(1汝口圖1,點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)BE=1,3C=6時(shí)，貝i」N￡AB=

②猜想線段C4,5與CE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,點(diǎn)E在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第(1)問中線段C4,3與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如果

成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系.

1.(2021?河南信陽?一模)如圖，在MBC中，SBAC=120°,AB=AC=26,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

得到0AOE,連接20,EC,8。的延長線交EC的延長線于點(diǎn)E

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，當(dāng)a=60。時(shí)，線段與EF的數(shù)量關(guān)系是,SBFE=；

⑵【類比探究】當(dāng)0ABe旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，請(qǐng)判斷線段與斯的數(shù)量關(guān)系及SBPE的度數(shù)，并

說明理由；

(3)【問題解決】當(dāng)A￡HBC時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段8尸的長.

2.(2021?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測)實(shí)踐操作：

第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD(AB>A￡>)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)。落在A3上的點(diǎn)皿處，得到折

痕AE.

第二步：如圖2,將圖1中的圖形沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在印上的點(diǎn)M處，B尸為折痕，延長

萬〃交直線AE于點(diǎn)N.

問題解決：

⑴如圖1,填空：三角形AED的形狀是；

(2)如圖2,若AB=8,AD=5,求FN的長.

提升反思：

愛動(dòng)腦筋的小敏同學(xué)用不同形狀的矩形紙片按照題中第一步、第二步的方法折疊并延長

4D

FM,發(fā)現(xiàn)有些點(diǎn)N不在線段A￡上.若要使點(diǎn)N落在線段A石上(不含端點(diǎn))，請(qǐng)直接寫出售的取值范

AB

圍.

3.(2021?重慶巫溪?八年級(jí)期末)如圖，AABC是等腰三角形，AB=CB,點(diǎn)。在直線AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E為

線段上一定點(diǎn)，連接DE,作ADEF,使DE=FE,ZDEF=ZB,連接CF.

(1)如圖1,在AC上取點(diǎn)G,使EG=EC,求證：DG=CF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上，點(diǎn)F位于直線AC的上方時(shí)，求證：ZDCF=2ZA；

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到線段AC的延長線上時(shí)，求證：CF-CD為定值.

4.(2022?黑龍江?哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試)已知AABC中，AC=BC,/4CB=90。，點(diǎn)G

為線段2C上一點(diǎn)，連接AG,過點(diǎn)B作3DLAG,交AG的延長線于點(diǎn)D連接CD

ccc

M

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：ZADC=45°.

（2）如圖2,當(dāng)/3CD=15。時(shí)，將△ACD沿翻折得到點(diǎn)C與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，OE與AB交于點(diǎn)F,

求證：BF=EF.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接C尸交于歷過點(diǎn)H作于若W+DM=4求AF的長.

5.（2022?吉林?長春外國語學(xué)校九年級(jí)開學(xué)考試）【感知】已知四邊形ABC。中，fflA=EC=90°.求證：A、B、

C、。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

李明同學(xué)認(rèn)為：連結(jié)B。，取2。的中點(diǎn)。，連結(jié)。4、OC來證明，請(qǐng)你按照李明的思路完成證明.

【拓展】如圖，在正方形A8C。中，AB=8,點(diǎn)尸是中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊A8上一點(diǎn)，7T13CE于點(diǎn)尸.

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段8。上時(shí)，PC=；

（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作46、8c的垂線，垂足分別為N、M,則MN的最小值為.

2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編(安徽考卷)

05挑戰(zhàn)壓軸題(解答題三)

1.(2022?安徽宣城)如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC=/BCD,點(diǎn)、E在邊BC上，且AE//CD,

DEIIAB,作CF//AD交線段AE于點(diǎn)/，連接2足

(1)求證：AABF^AE4D；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的長；

BF

(3)如圖3,若2尸的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M,求會(huì)的值.

【答案】(1)見解析；(2)6；(3)1+&

【解析】

(2)證明利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)延長而W、E￡?交于點(diǎn)G.易證AABESSCE,可得四="=四；設(shè)CE=1,BE=x,

DCDECE

DC=DE=a,由此可得==AF=CD=a；再證明△M4B0&WDG,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)可得OG=AB=S；.證明△E4Bs4F￡G,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

￡=售，即/不二丁不，解方程求得x的值，繼而求得等的值?

FEEGa(x-l)〃(x+l)EC

(1)證明：\-AE//CD,

:.ZAEB=ZDCE；

\-DE//AB,

..ZABE=/DEC,N1=N2,

???ZABC=/BCD,

:.ZABE=ZAEB,/DCE=/DEC,

.,.AB=AE,DE=DC,

VAFI/CD,AD//CF,

，四邊形AFCD是平行四邊形

AF=CD

:.AF=DE

在尸與中.

AB=EA

<Z1=Z2,

AF=ED

△ABFmdEAD(SAS)

(2)-.AABF^AEAD,

:.BF=AD,

在。AFCD中，AD=CF,

:.BF=CF,

:./FBC=/FCB,

又?.?N尸CB=N2,Z2=Z1,

,\ZFBC=Z1,

在AEBF與AEAB中.

(ZEBF=Zl

[ZBEF=ZAEBf

.'.AEBF^AEAB；

EB_EF

?西一商；

???AB=9,

:.AE=9；

???CO=5,

.\AF=5；

:.EF=4,

.EB_4

??~~—一，

9EB

.?.3E=6或-6(舍)；

(3)延長BM、ED交于點(diǎn)G.

???△ABE與"XE均為等腰三角形，ZABC=ZDCE,

/.AABE^ADCE,

.ABAEBE

,DC~~DE~~CE'

設(shè)C￡=l,BE=x,DC=DE=a,

則AB=AE=ax,AF=CD=a,

EF=a{x-V),

?:ABIIDG,

/.Z3=ZG；

在與△MDG中，

N3=/G

<N4=N5,

MA=MD

/.AMAB^AMDG(AAS)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+l)；

?：ABIIEG,

:AFABsAFEG,

FAAB

~FE~~EG

a_ax

a(x-l)a(x+l)'

：.x(x-Y)=x+l,

/.—2x—1=0,

.?.(1)2=2,

/.x=1+V2,

AJ=1—^2(舍)，=1+^2,

BE=l+a.

EC

2.（安徽省2020年中考數(shù)學(xué)試題）如圖1.已知四邊形A3CD是矩形.點(diǎn)E在B4的延長

線上.4石=4。.石。與3。相交于點(diǎn)6,與相交于點(diǎn)￡=

（1）求證：BDA.EC-,

（2）若A5=l,求AE的長；

⑶如圖2,連接AG,求證：EG-DG=y/2AG-

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）91；（3）見解析

2

EAAF

（2）設(shè)AE=x,禾U用矩形性質(zhì)知A項(xiàng)BC,則有——=—,進(jìn)而得到x的方程，解之即可；

EBBC

（3）在上截取EH=DG,進(jìn)而證明EIEHAEBDGA,得至幅及出=回￡>47,AH=AG,則證得E1H4G

為等腰直角三角形，即可得證結(jié)論.

（1）國四邊形48C。是矩形,

00BA￡)=0￡AD=9Oe,AO=BC,ADSBC,

在團(tuán)E4廠和團(tuán)D45,

AE=AD

<ZEAF=ZDAB,

AF=AB

REE4FH3D48(S4S),

團(tuán)團(tuán)匹二團(tuán)3D4,

mBZ)A+0ABZ)=9O5,

團(tuán)團(tuán)E+B1A5D=9O9,

團(tuán)團(tuán)EG5=90&,

團(tuán)3G0EC；

(2)設(shè)心元,則止1+x,BC=AD=AE=x,

?A/naBC,0E=0E,

fflEAmEBC,

EAAF

回——=——,XAF=AB=1,

EBBC

x1

0------=-即12_X_]=0,

1+XX

解得：x=3l,%=匕立(舍去)

22

即心匕蟲；

2

(3)在EG上截取EH=Z)G,連接AH,

在I3E4”和I3D4G,

AE=AD

<ZHEA=ZGDA,

EH=DG

回回￡4770回94G(SAS),

團(tuán)團(tuán)EAH二團(tuán)DAG,AH=AGf

團(tuán)團(tuán)EAH+團(tuán)D4%90&,

回團(tuán)DAG+團(tuán)DAH=90。，

團(tuán)團(tuán)H4G=903

團(tuán)團(tuán)GAH是等腰直角三角形，

^AH2+AG=GH2BP2AG2=GH?，

團(tuán)GH二y/2AG,

^\GH=EG-EH=EG-DG,

^EG-DG=y/2AG-

3.(安徽省2019年中考數(shù)學(xué)試題)如圖，R/SABC中，M。3=90。，AC=BC,尸為0ABe內(nèi)部

一點(diǎn)，且0ApB=E18PC=135°

(1)求證：0B4B00PBC

(2)求證：PA^2PC

(3)若點(diǎn)P到三角形的邊AB,BC,C4的距離分別為歷，fe,〃3,求證歷2=生力3

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

PAPBAB

(2)根據(jù)(1)中SR4B回SP8C,可得一=—=—,然后由0ABe是等腰直角三角形，可

PBPCBC

得出任=后，易得以=2PC；

BC

(3)過點(diǎn)P作PD02C,PE3AC交BC、AC于點(diǎn)。，E,首先由RZ0AEP0R他C。尸得出

PEAP星汽h.AB/-

——二—=2,即e=2,再根據(jù)團(tuán)以5釀尸BC可得出臺(tái)=二二，2,整理即可得到

DPPCh2h2BC

2

h1=h2h3.

解：(1)團(tuán)她。5=90°,AC=BC,

團(tuán)團(tuán)A5C=45°=回P84+回產(chǎn)3C

又0Ape=135°,

團(tuán)團(tuán)R13+團(tuán)產(chǎn)B4=45°,

mPBC^PAB,

X00APB=0BPC=135°,

00B4B00PBC；

(2)00B4B00PBC,

PAPBAB

0——=,

PBPCBC

在m48c中，AC=BC,

AB/-

0-V2,

BC

國PB=0PC,PA=V2PB

0fi4=2PC；

(3)

過點(diǎn)P作尸Z丸BC,PE^AC3CBC.AC于點(diǎn)O,E,

WCPB+^APB=135°+135°=270°,

團(tuán)團(tuán)APC=90°,團(tuán)團(tuán)EAP+團(tuán)ACP=90°,

又回0AC3=0ACP+團(tuán)產(chǎn)8=90°

團(tuán)團(tuán)胡尸二團(tuán)PC。，

^Rf^AEP^Rf^CDP,

PEAPh小

團(tuán)——=——=2,BP:--2,[?]h3=2h2

DPPCh2

^PAB^PBC,

回JL_=^?.=啦,/.h1=A/2h2

2

h2BC

22

即h1=2h2=2h2?h2=h2h3.

4.（安徽省2018年中考數(shù)學(xué)試題）如圖1,R煙ABC中，MC5=90。，點(diǎn)。為邊AC上一點(diǎn),

。碰AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M為瓦）中點(diǎn)，CM的延長線交A5于點(diǎn)尸

（1）求證：CM=EM；

(2)若回A4C=50。，求團(tuán)EM尸的大??；

(3)如圖2,若回D4硼團(tuán)點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN^EM

【答案】(1)證明見解析；(2)0EMF=1OO°；(3)證明見解析.

【解析】

(2)根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得M3040。，根據(jù)CM=MB,可得團(tuán)二團(tuán)

從而可得團(tuán)CMD=2回C5M,繼而可得團(tuán)CME=2團(tuán)CR4=80。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求

得回EM尸的度數(shù)；

(3)由回。AEMICEM,CM=EM,回/汨4=90。，結(jié)合以及已知條件可得回DEM

是等邊三角形，從而可得回EDM=60。，0MBE=3O°,繼而可得她CM=75。，連接AM,

結(jié)合A氏EM二MB,可推導(dǎo)得出AOAM,根據(jù)N為CM中點(diǎn)，可得4V0cM,再根

據(jù)CMEM,即可得出4V0EM.

(1)團(tuán)M為50中點(diǎn)，

1

R詹OC3中，MC=-BD,

2

R周DEB中?，EM=—1BD,

2

^\MC=ME；

(2)?BAC=50°,0ACB=9O°,

團(tuán)[M8C=90°-50°=40°,

^CM=MB,

^\CMD=^MCB^CBM=2^\CBMf

同理，WME=1^EBM,

團(tuán)團(tuán)CAffi=2團(tuán)C8A=80°,

0[?1EA/F=18OO-8OO=1OOO；

(3)^DAE^CEM,CM=EM,

^AE=EM,DE=CM,^\CME=^DEA=90°,^\ECM=^ADEf

^CM=EM,^AE=ED,團(tuán)團(tuán)DAE=0ADE=45°,

S0ABC=45°,0ECM=45°,

^CM=ME=-BD=DM,

2

DDE=EM二DM,

釀。EM是等邊三角形，

00EDM=6O°,

團(tuán)團(tuán)M5E=30°,

團(tuán)團(tuán)MC8+RL4CE=45°,

^\CBM^MBE=45°,

^ACE=^MBE=30°,

O

^\ACM=^\ACE+^ECM=15f

連接AM,^AE=EM=MBf

^\MEB=^EBM=30°f

1

^AME=-^MEB=15\

2

團(tuán)團(tuán)CME=90°,

OO

^\CMA=90-15=75°=^ACM9

^\AC=AMf

帆為CM中點(diǎn)，

0AA421CM,

0CM21EM,

5.(2017?安徽)已知正方形J5C。，點(diǎn)A/為邊.iff的中點(diǎn).

(1)如圖1,點(diǎn)G為線段CJ/上的一點(diǎn)，且NXGB=90。，延長MG,3G分別與邊BC，

CD交于點(diǎn)E，F(xiàn).

①求證：BE=CF；

②求證：BE:=BCCE-

(2)如圖2,在邊3。上取一點(diǎn)E，滿足3E：=3CCE，連接ME交CA/于點(diǎn)G，連

接3G延長交CD于點(diǎn)F，求tan上CBF的值?

【答案】（1）詳見解析；（2）tan/c即'=止1

【解析】

試題分析：⑴①利用ASA判定證明兩個(gè)三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用

相似三角形的性質(zhì)證明；（2）構(gòu)造直角三角形，求一個(gè)角的正切值.

試題解析：⑴①證明：回四邊形且BCD為正方形，0JB=BC，乙4BC=/BCF=90°，

又乙1G3=9O°，國/合正+乙區(qū)?=90°，又乙13G+NCBF=90°，團(tuán)NS勰=/?鍛門

回ZUBE絲△BC尸（ASA）,0B￡=CF.

②證明：團(tuán)乙IG8=9O°，點(diǎn)If為月B中點(diǎn)，回"G=.3=.U5,團(tuán)NGH/=NJGM，

又回/庭輜=/廓融S',從而NCGE=/CGB,又/ECG=/GCB,回△CGEs/^CBG，

回罩=需，即跳"跳犍撼，由4'蹬=4酬;'“留庶，得轡=匕6

由①知，3￡=CF,回瀚=CO,回BE：=BC-CE-

⑵解：（方法一）

延長M，DC交于點(diǎn)N（如圖1）,由于四邊形.43CD是正方形，所以知“CD,

團(tuán)/好=/密國，又NCEV=/BEd,?△CEXS^BEA，

故礪=麗’即郎"=AB。,

回韶=BC，糜'二,鴕鹿蟠，回CV=3E,由AS〃。、知,

又H/=.T四，團(tuán)R=CV=3E,不妨假設(shè)正方形邊長為工,

設(shè)B￡=x,貝岫BE：=BCCE，得x：=l-(l-x),

解得A亨，行亨（舍卻嘮;竽

于是皿X即啜嘿=亨

（方法二）

不妨假設(shè)正方形邊長為1,設(shè)BE=x,則由比：=BCCE，得X：=L（1-X）,

解得演=艾」，工=二勺（舍去）,即班=正二，

一一一

1/VT1TO[

作燔￥//篇爵交.43于,V（如圖2）,則△J￡VGs2kU5C，團(tuán)在?二三二彳，

AGBC2

解得丁=合，回G1/=；，從而GJ/=.l￡4=MB，此時(shí)點(diǎn)G在以期為直徑的圓上,

團(tuán)△月GB是直角三角形，且乙1G3=90°,

由⑴知BE=CF，于是tan/CM=￡￡=主=五二1

BCBC2

第”■答案康2

考點(diǎn)：（1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性質(zhì)；（3）求一個(gè)角的三角函數(shù)

值.

跟蹤訓(xùn)練

1.（2022?江西南昌?九年級(jí)期末）已知正方形ABC。與正方形AE尸G,正方形AEFG繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)一周.

圖1E圖2E

⑴如圖1,連接2G、CF,

①求*的值；

②求SBHC的度數(shù).

(2)當(dāng)正方形AEPG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，連接CRBE,分別取CP、BE的中點(diǎn)A/、N,連接

MN,猜想與8E的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴①拒；②45。；

(2)BE=2MN；BE1,MN；理由見解析

【解析】

②由①得出0AB=SABG,回CAB=45。，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案；

(2)過點(diǎn)C作af〃EF,由"ASA"可證EiaffiHa-WE,可得CH=EF,ME=HM,由"SAS"

可證EIBCHEEBAE,可得BH=BE,SCBH=SABE,由三角形中位線定理可得結(jié)論.

(1)

①如圖1,連接ARAC,

回四邊形ABC。和四邊形AEFG都是正方形，

0AC=V2AB,AF=y/2AG-0CAB=0GAF=45O,0BAD=9O°,

ACAF

WCAF=^BAG,—=——，

ABAG

回團(tuán)CARIEAAG,

CFr~

0------=5/2;

BG

②EAC是正方形ABC。的對(duì)角線，

aa42c=90°,a4CB=45°,

在回BC/f中，0BHC=180°-(EHBC+0HCB)

=180°-(EHBC+0ACB+EIACF)

=180°-(EHBC+0ACB+0ABG)

=180°-(0ABC+0ACB)

45°；

(2)

BE=2MN,MN^BE；

理由如下：如圖2

連接ME,過點(diǎn)C作CQSEF,交直線ME于。，連接8。，設(shè)CF與交點(diǎn)為尸，CT與AG

交點(diǎn)為凡

ECg0￡F,

00FCe=0CFE,

團(tuán)點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，

^CM=MF,

又團(tuán)團(tuán)CMQ=MME,

^1CMQ^\FME(ASA),

國CQ=EF,ME=QM,

^\AE=CQf

團(tuán)。?；谽b，AG0EF,

團(tuán)CQtZLAG,

mQCF=^\CRA,

她?；?C,

^\BCF=BAPRf

團(tuán)團(tuán)3C。=^\BCF+^\QCF=IMP7?+團(tuán)ARC,

團(tuán)團(tuán)DAG+MPR+她RC=180°,BBAE+WAG=180°,

^\BAE=^\BCQ,

又國BC=AB,CQ=AE,

團(tuán)團(tuán)BC。釀5AE(SAS),

⑦BQ=BE,^\CBQ—^\ABEf

團(tuán)團(tuán)。3片=團(tuán)。朋=90°,

團(tuán)MQ=ME,點(diǎn)N是BE中點(diǎn)，

⑦BQ=2MN,MN^\BQf

^BE=2MNfMN^BE.

2.(2022?遼寧大連,八年級(jí)期末)0ABe是等邊三角形，點(diǎn)。、E分別在邊AC、BC上，且

AD=CE,連接AE、BD交于點(diǎn)、F.

⑴如圖1,求助莊的度數(shù)；

AF

(2)如圖2,連接CF當(dāng)C咫3。時(shí)，求一的值；

BF

(3)如圖3,點(diǎn)尸在線段AE上，連接CP,且CP=A區(qū)在圖中找出與線段AP相等的線段,

并證明.

【答案】(1)60。

(3)BF^AP,見解析

【解析】

(2)在上截取BH=AF,連接AH,由全等的性質(zhì)可知ZABH=ZCAF.即可利用"SAS"

證明△ABH^CAF,由此得出ZBAH=ZACF.再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證明

ZAHF=NEFC,從而可求出4MF=30。，由等角對(duì)等邊可得出詼=毋\從而即得出

AF1

而一/；

(3)過A作AGLBD延長線于G,過C作CH，AE延長線于H,由全等的性質(zhì)可知

△ABD/ACE，即得出ZABD=ZCAH,從而可證AlSG^Z\CAH(A45)，得出AG=CH,

BG=AH.進(jìn)而可證△AGE絲△CHP(HL),即得出PG=P”,由BG—FG=AH—PH,即

得出BF=AP.

(1)

回AABC是等邊三角形，

I3AB=AC,/8AC=NC=60°.

又國AD=CE,

0AABD^ACAE(SAS).

SZABD=ZCAE,

^ZBFE^ZABD+ZBAF.

BZBFE=ZCAE+ZBAF=ZBAC=600■,

⑵

如圖，在5尸上截取5H=AF,連接A",

^IAABD^CAE,

國NABD=NCAE,即ZABH=NC4F.

又團(tuán)AB=AC,

團(tuán)Z\ABH^Z^CAF(SAS),

^\ZBAH=ZACF.

⑦ZAHF=ZABH+ZBAH,ZEFC=ZACF+ZCAF,

回NAHF=NEFC,

@ChBD,

團(tuán)ZEFC=ZBFC-ZBFE=90°—60。=30°,

團(tuán)Z4HF=30。，

團(tuán)ZHAF=ZBFE-ZAHF=60°-30°=30°,

回AF=HF.

⑦BF=2BH=2AF,

AF1

0----=—；

BF2

(3)

BF=AP.

證明：過A作AG，6。延長線于G,過。作CHLAE延長線于“，如圖,

團(tuán)△AB。絲ACE,

^\ZABD=ZCAH,

又E]NG=〃=90°,AB^AC,

回AABG^△C4H（A4S）,

SAG=CH,BG=AH.

又13Ap=CP,

HAAGF^ACHP（HL）

BFG=PH,

?BG-FG=AH—PH,即BE=AP.

3.（2022?重慶南開中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）在平行四邊形A8CO中，連接80,若8ZBC。,

(1)如圖1,點(diǎn)G在上，J.DG=DC,連接CG,過G作GH0CE于點(diǎn)H,連接。X并延

長交AB于點(diǎn)M,若HG=BM,求證：BM+?DH=DB；

(2)如圖2,EL4BC=120°,48=如，點(diǎn)N在BC邊上，BC=4CN,若CE是回。C8的角平分

線，線段尸。(點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左側(cè))在線段CE上運(yùn)動(dòng)，PQ=姮，連接BP、NQ,請(qǐng)直接

2

寫出BP+PQ+QN的最小值.

【答案】①見解析

(2)J35+J15

2

【解析】

(2)如圖2,在CO上截取CG=CN,連接G。，過點(diǎn)8作BfBCE,使8尸=尸。=孚，連

接DP交CE于點(diǎn)T,連接。死過點(diǎn)尸作回2。于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GH0Z)/于點(diǎn)區(qū)應(yīng)用

平行四邊形的性質(zhì)和含30。直角三角形三邊關(guān)系可得：BC=2CD=2^,利用勾股定理可得

BD=V15,再利用含30。直角三角形三邊關(guān)系可得：BM=^BF=號(hào),FM=^BM=孚,

進(jìn)而可得功W=士叵，求得：PG=R亙，再證四邊形是平行四邊形，得出BP=FQ,

42

再證明E1CN。甌CG。(SAS),得出QN=QG,根據(jù)FQ+QG"G,可得出：當(dāng)點(diǎn)。在線段PG

上時(shí)，F(xiàn)Q+QG的最小值為FG,即BP+QN的最小值為FG,即可求得BP+PQ+QN的最小值.

(1)

如圖1,過點(diǎn)。作。宛DM交CE于點(diǎn)尸，設(shè)CE與交于點(diǎn)K,

^BD^CD,DF^\DM,GHBCEf

^CDG=^FDH=^\CHG=90°,

^CDF=^\GDH,

^DGH^HKG=^\DCF+^DKC=90°,^\HKG=BDKC9

豳DCFFDGH,

在回DC廠和回0G〃中，

/DCF=ZDGH

<DC=DG,

/CDF=ZGDH

^\DCF^\DGH(ASA),

團(tuán)=O",CF=GH,

團(tuán)團(tuán)加”=90。，

釀Z〃7f是等腰直角三角形，

團(tuán)團(tuán)。尸〃=回。"/=45°,FH=6DH,

團(tuán)OC=OG,0CDG=90°,

甌CGZ)=OCG=45°,

00CGZ)=0￡>HF,

^\CGD^GCH^CKG=WHF^BDM^DKH^180°,^CKG=^\DKH,

^GCH=^BDM,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

^AB//CDf

^\DBM=^\CDG=90°=國CHG,

在回。M3和團(tuán)CGH中，

NBDM=/GCH

<ZDBM=ZCHG,

BM=GH

mDMB^\CGH(AAS),

回。3=C〃，

團(tuán)CF=GH,BM=GH,

⑦CF+FH=CH,

WM+6DH=DB-

AE

BC

圖I

⑵

如圖2,在CD上截取CG=CM連接G。，過點(diǎn)B作BRBCE,使2/=尸。=史5,

2

連接。尸交CE于點(diǎn)T,連接。尸，過點(diǎn)F作尸M0BO于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GH3。尸于點(diǎn)”,

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

&AB//CD,CD=AB=4i,

E0ABC=120°,

EEIBC￡)=180o-120°=60°,

SBDBCD,CD=#,

EBCB￡)=90°-60°=30°,

0BC=2CD=2下,

^BD=^BC1-CD1=7(2>/5)2-(>/5)2=岳，

RICE平分國DCB,

E0BC￡=0￡)CE=SDCB=gx60°=30°,

EBF//CE,

EEC8F=EI8CE=30°,

00DBF=0CBF+E1CBD=30°+30°=60°,

EFM0BD,BF=叵,

2

=—,FM=6BM=尋叵=史,

222444

S\DF2+BF2=BD2,

^\BF^DF,

0BFIICE,

回CE0OR

麗。CE=30°,

fflCDF=90°-30o=60°,

@BC=25BC=4CN,

團(tuán)CN」x下=且,

42

I2CG=CN=亞，

2

?DG=CD-CG=非-*=g,

0G/70DF,0CDF=60°,

0DH=WDG=＜好=叵,GH=6DH=而叵=叵

222444

國尸"=DF-DH=延+亞=也，

244

22

MG=VFH+GH=/(￥1+(用=警，

⑦BF〃CE,BF=PQ,

團(tuán)四邊形5PQ/是平行四邊形，

^\BP=FQ,

在團(tuán)CNQ和團(tuán)CGQ中，

CN=CG

＜NBCE=/DCE,

CO=co

^1CNQ^\CGQ(SAS),

團(tuán)QN=QG,

⑦FQ+QGNFG,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)。在線段bG上時(shí)，尸。+QG的最小值為尸G,

姐尸+QN的最小值為尸G,

0P2=-＞尸G=/5,

22

0BP+PQ+QN的最小值為FG+PQ=叵+巫=底+岳

222

故BP+PQ+QN的最小值為庖+".

4.(2022?江蘇,無錫市東林中學(xué)八年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)、B

(0,3).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位的速度向右平移，又P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

備用圖

⑴連接A。，當(dāng)0A2。是直角三角形時(shí)，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為;

⑵當(dāng)P、。運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí),如果沿著直線AQ翻折,點(diǎn)P恰好落在線段AB上,求這時(shí)0AQP

的度數(shù)；

⑶若將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得P落在線段8。上，記作P,且APaPQ,求此時(shí)直線

PQ的解析式.

【答案】⑴(亍25，3)或(4,3)

(2)45°

【解析】

(2)如圖，點(diǎn)尸翻折后落在線段上的點(diǎn)E處，由翻折性質(zhì)和可得，

NPAQ=NBQA=NEAQ,AB=QB,=AE=gAB,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作

于點(diǎn)尸，EM0A。于點(diǎn)過點(diǎn)。作。砸。尸于點(diǎn)X,可證-中，求出EF

的值，PH的值，有EF=PH，用HZ證明RMEQF%RtAPHQ,知ZEQF=ZPQH,NPQE=90。,

進(jìn)而可求NAQP的值；

(3)如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AP'//PQ,P'Q//AP,證APQA絲APAQ,可知

P'Q=AP,P'Q=AP=P'A,過點(diǎn)A作AG0B。于G,設(shè)AP=AP'=PA=f,貝l|

BQ=2t,BP'=t,PG=4T,在MAAGP中，AP=t,AG=3,P'G=4-t,由勾股定理得

產(chǎn)-(4-02=32,解得/的值，進(jìn)而求出點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)尸、。的直線解析式為>=辰+"

將P、。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可求得解析式.

(1)

解：回是直角三角形，點(diǎn)4(4,0),點(diǎn)3(0,3)

國①當(dāng)/8。4=90°時(shí)，AQLBQ

0BQ//x軸

回Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4,3）；

②當(dāng)/8AQ=90。時(shí)-，BA^AQ,如圖過點(diǎn)。作QCLOA,垂足為C

在Rt^AOB中，由勾股定理知/山=y/o^+OB2=5

設(shè)AC=x，在Rt^ACQ中，由勾股定理知A。？=AC2+CQ2=x2+32

在放△A3。中，由勾股定理知8。2=4序+4。2

0（4+x）2=52+X2+32

9

解得％

4

9

0AC=-

4

25

^\OC=OA+AC=—=BQ

4

回。點(diǎn)坐標(biāo)為,3；

綜上所述，。點(diǎn)坐標(biāo)為（4,3）或（三,3）

⑵

解：如圖，點(diǎn)尸翻折后落在線段A2上的點(diǎn)E處,

則ZE4Q=NPAQ,ZEQA=ZPQA,AE=AP,QE=QP

又國BQ〃OP

^\ZPAQ=ZBQA

團(tuán)NEAQ=/BQA

團(tuán)AB=QB=5

SAP=^BQ=^=AE=^AB

回點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)

過點(diǎn)E作分加。于點(diǎn)REM0AO于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作。WHOP于點(diǎn)H,

在A￡M4和△EFB中

Z.AEM=Z.BEF

0Z.EMA=乙EFB

、AE=BE

回△勵(lì)姑會(huì)△跖B(A4S)

^\EF=EM=-OB

2

3

回￡尸=—

2

3

^\PH=OA+AP-OH=-

2

?EF=PH

在Rt^EQF和Rt^PHQ中

\EF=HP

回《

[EQ=PQ

0Rt^EQFmRtAPHQIHL)

^\ZEQF=ZPQH

回NPQE=90。

^\ZAQP=ZAQE=45°.

(3)

解：如圖

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AP=AP

SAP'//PQ,P'Q//AP

S^P'QA=ZPAQ,ZP'AQ=ZPQA

在AAP。和△QPA中

(^P'QA=乙PAQ

AQ=QA

.AP'AQ=Z.PQA

^AP'QA^APAQ(ASA)

EP'Q=AP

^\P'Q=AP^P'A

過點(diǎn)A作AG^iBQ于G

設(shè)AP=AP=PQ=f

回BQ=2。BP'=t,P'G=4—r

在RAAGP'中，AP^t,AG=3,PG=4T,由勾股定理得』-(4一=3?

解得公當(dāng)25

o

25572525

^OP=OA+AP=4+—=—,BQ=2x—=—

8884

團(tuán)點(diǎn)P、。的坐標(biāo)分別為

設(shè)過點(diǎn)P、。的直線解析式為＞=履+)

—k+b=0

8

將P、。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得

2577。

—左+Z?=3

[4

,24

k=-----

7

解得：

,171

7

回過點(diǎn)R。的直線解析式為丫=-亍*+5-.

5.(2022?江西贛州?九年級(jí)期末)在中，ZABC=90°,AB=BC,點(diǎn)E在射線CB

上運(yùn)動(dòng).連接AE,將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接CT.

(1)如圖1,點(diǎn)E在點(diǎn)8的左側(cè)運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)3E=1,BC=G時(shí)，貝！J/￡AB=°；

②猜想線段C4,3與CE之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,點(diǎn)￡在線段C8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第(1)問中線段CA,CP與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否

仍然成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴①30；②CA+CF=叵CE

⑵不成立，CA-CF=y[2CE

【解析】

②過點(diǎn)E作AffiBEC交CA的延長線于M,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=EG0AEF=9O。，得出

^AEM=^CEF,證明團(tuán)/芭。BEIAEM(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出CF=AM,由等腰直角三

角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)P作尸HEBC交BC的延長線于點(diǎn)證明(AAS),由全等三角形的

性質(zhì)得出FH=BE,EH=AB=BC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(1)

①回AB=BC=5BE=1,ZABC=90°,

0AE=2,

BE1

團(tuán)sin團(tuán)EAB=——=—

AE2

團(tuán)NE45=30。，

故答案為：30。；

@CA+CF=y/2CE.

如圖1,過點(diǎn)E作MELEC交C4的延長線于M,

團(tuán)ZACB=45。，回NAf=45。，

^\ZM=ZECM,

0ME=EC,

團(tuán)將線