廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數學試題（含答案解析）

廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合A={x|xWl},B={x|lnx<l},貝”(重4)八8=()

A.(0,1)B.(0,e)C.(l,e)D.(e,+oo)

2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布若尸(X<0)+P(X<3)=《，則尸(2<X<3)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

3.若函數=在區(qū)間(2,+8)上單調遞增，則實數機的取值范圍為()

A.[—2,0)B.(―co,—2]C.(—8,0)D.[2,+8)

4.已知：sin(a+0=m，tana=3tanp,則sin(a—R)=()

m“m「mm

At.—B.——C.—D.——

4422

5.在菱形ABCD中，^\AB-7S\=\AB\,且而在旗上的投影向量為九而，則八()

A_1R1cV2口&

2222

6.已知函數〃x)=x(x+a)2在x=l處有極小值，則實數。=()

A.3B.-3C.1D.-1

7.將半徑為R的鐵球磨制成一個圓柱體零件，則可能制作的圓柱體零件的側面積的最大值

為()

22

A.TIRB.2成2C.2扃玄D.4nR

22

8.設雙曲線C:=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為耳,耳，過工的直線與C的右支交

ab

于M,N兩點,記心與的內切圓半徑分別為小公若6%=9/,則C的離心率

為()

A.72B.GC.3D.4

二、多選題

9.已知奇函數的定義域為R,若〃x)=〃2r),則()

A."0)=0B.“X)的圖象關于直線x=2對稱

C./(x)=-/(^+4)D.的一個周期為4

10.已知等比數列｛凡｝的公比為4,前〃項和為S,，若H=-l,且\/”曠,見+2>4，則()

A.〃2>。B.0<^<1C.〃〃+1D.S<-----

nq-1

11.設復數Z在復平面內對應的點為Z,任意復數Z都有三角形式：r(cos，+isine),其中r

為復數z的模，6是以x軸的非負半軸為始邊，射線OZ為終邊的角(也被稱為z的輻角).

若4=Mcose+isina),z2=(cos^+isin夕)，則zl-z2-qu[cos(?+/?)+isin(?+/?)].從0,

1,由中隨機選出兩個不同的數字分別作為一個復數的實部和虛部，如此重復操作〃次，可

得到〃個復數：4/2一?,2”,記丫，="2?.馬.()

A.不存在〃，使得區(qū)|=2024

B.若(Xi).，為實數，則X1的輻角可能為J

0

C.區(qū)區(qū)4的概率為"

D.(X)為整數的概率為j

O

三、填空題

12.已知圓/+y=4與拋物線丁=2/(？>0)的準線交于A,3兩點，若|AB|=26,貝|

P=.

13.若函數/(x)=sin(8-：]與g(x)=sin(0x+：j在區(qū)間(o，|J上均單調遞增，則實數0

的取值范圍為.

14.已知正方體的棱長為I,若在該正方體的棱上恰有4個點滿足

\MI^+\MC^=d,則〃的取值范圍為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.設VABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且bcosC+csin3=a.

(1)求角8的大小，

(2)若A8邊上的高為:，求cosC.

4

7T

16.如圖，在三棱錐中，平面ABC_L平面BCD,ZBCD=ZBDC=-,尸為棱AC

6

的中點，點。在棱CO上，PQ±BC,且。。=2QC.

⑴證明：平面3CD；

(2)若求平面CP。與平面的夾角的余弦值.

17.已知函數/(%)=1+。88%在*=0處的切線方程為〉=尤+2.

⑴求實數。的值；

⑵探究“尤)在區(qū)間，費，+s］內的零點個數，并說明理由.

22

18.已知橢圓C:?+}=1的右焦點為尸，點42在C上，且標=力麗(幾＞。).當＞1=1時，

|AB|=3.

(1)求C的方程；

API

(2)已知異于尸的動點P,使得帚=人

(i)若A,B,尸三點共線，證明：點尸在定直線上：

3

(ii)若A,B,P三點不共線，且a=丁求AAB尸面積的最大值.

19.對于任意正整數〃，進行如下操作：若〃為偶數，則對〃不斷地除以2,直到得到一個

奇數，記這個奇數為?！?；若〃為奇數，則對%+1不斷地除以2,直到得出一個奇數，記這

個奇數為巴.若4,=1,則稱正整數”為“理想數”.

⑴求20以內的質數“理想數”；

(2)已知冊=小一9.求m的值;

⑶將所有“理想數”從小至大依次排列，逐一取倒數后得到數列出｝，記也｝的前〃項和為3,

證明：

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CACCBDBDADBC

題號11

答案ACD

1.C

【分析】利用對數函數的性質求解集合B,再利用交集和補集的性質求解即可.

【詳解】令lnx<l,解得xe(O,e),即8={x[0<x<e},而44={尤|%>1},

所以@A)cB={x|l<尤<e},故低A)c3=(l,e),即C正確.

故選：C

2.A

【分析】由條件結合正態(tài)密度曲線的對稱性可得P(X<0)=P(X>2),結合條件可求

P(2<X<3).

【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(l,4),

所以隨機變量X的均值〃=1,

所以隨機變量X的密度曲線關于x=l對稱，

所以P(X<0)=P(X>2),

又尸(X<0)+P(X<3)=[，

所以尸(X>2)+尸(X<2)+尸(2<X<3)=*,

因為尸(X>2)+尸(XW2)=l,

所以P(2<X<3)=0.1,

故選：A.

3.C

【分析】根據指數型復合函數單調性的求法可得參數范圍.

【詳解】由函數/⑴二已各的定義域為^^^2的+8)，

設/=———，貝Uy=e'

x-m

又y=e，單調遞增，

答案第1頁，共16頁

當根=0時，，=0,/（x）=e°=1,無單調性，不成立;

當根v0時，t=—^―在［-oo,m）和（M,+8）上單調遞增,

x-m

=e。在（―，間和（私+8）上單調遞增,

所以（2,+。）口根,+8）,則mV2,即機＜0；

當機＞0時，一在（t,祖）和（m,+e）上單調遞減,

x—m

即/（同=已言在（一8，加）和（私+8）上單調遞減，不成立；

綜上所述機＜0,

故選：C.

4.C

【分析】利用兩角和正弦公式和同角關系化簡條件求sinacos/?,cosasin",再結合兩角差

正弦公式求結論.

【詳解】因為sin（a+0=根，

所以sinacos/+cosasin/7=m,

因為tana=3tan/7,

??sinasinB

所以----二3-------,

cosacosp

7171

故sinacos夕=3sin#cosc,+—+—,keZ,

22

所以sinacosP=—,cosasmJ3=—

449

所以sin（a—分）=sinacos/?-cosasin^=—.

故選：C.

5.B

【分析】根據給定條件，結合向量減法可得=再利用投影向量的意義求出人

【詳解】由|而-而|=|兩，得|麗卜|同，而A5CO是菱形，則△ABD是正三角形，

于是NBA。/,AD-AB=\AD\\AB\cos-=-\AB\1,

332

因此而在通上的投影向量為空當荏=：通，所以2=1.

|AB|22

答案第2頁，共16頁

故選：B

6.D

【分析】利用導數建立方程求解參數，再結合題意進行檢驗即可.

【詳解】因為/(*)=尤(％+P)2,所以/(力=式*2+2依+。2)=丁+262+品：，

所以1f(力=3%2+4^+。2,而函數〃尤)=x(x+a)2在x=l處有極小值，

所以/'(1)=0,故3+4“+/=0,解得4=-1或。L-3,

當的=-3時，(x)=3f—12x+9,

令尸(x)<Oxe(X3),令尸(x)>0,xey,l)U(3,+oo),

故此時“X)在(F,1),(3,+?)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，

此時/(x)在尤=1處有極大值，不符合題意，排除，

當％=-1時，/,(x)=3x2-4x+l,

令廣(久)<0,xe(1,l),令[(x)>0,xe(-00,j)u(l,+co),

故此時f(x)在(1,+8)上單調遞增，在([I)上單調遞減，

此時/(X)在x=l處有極小值，符合題意，故D正確.

故選：D

7.B

【分析】設圓柱的底面半徑為「，高為人，由圓柱體零件的側面積最大可得圓柱體內接于球,

由此確定『，R,〃的關系，再求圓柱的側面積表達式并利用基本不等式求其最值.

【詳解】設圓柱的底面半徑為「，高為心

由圓柱體零件的側面積最大可得圓柱體內接于球，此時圓柱的軸的中點為球的球心，

所以產+gj=R2,

由基本不等式可得產+f|J>2T.|=r/2,

當且僅當廠=孝〃，/=同時等號成立，

所以泌SR?,

答案第3頁，共16頁

由圓柱的側面積公式可得，圓柱的側面積5=2兀泌，

所以SW2TIR2,當且僅當R=r=夜n時等號成立，

所以可能制作的圓柱體零件的側面積的最大值為2兀斤.

故選：B.

8.D

【分析】根據給定條件，探討△西工與月"的內心a，儀的橫坐標的關系，再結合角平

分線的性質及直角三角形射影定理列式計算即得.

【詳解】設耳(—0),4(*0),其中。2=〃+/，

設△M/例與的內心a，。2的橫坐標分別為%,9,

過。I分別作阿、MF八百鳥的垂線，垂足分別為R、S、T,

則|肱?|=|那|、忸/=國刀、\F2S\^\F2T\,

又眼耳日”|=(|四?|+阿(|MS|+陷|)=|附-陷|=|用-院|=2a,

且后耳閆巧|+|叫|=2c,則甌=a+c,T(a,O),于是再=a,同理尤2=“，

因此點。1、。2在直線x=a上，又月?平分N4尸，項％平分/叫。，

ZPF2Q=TI,則\OJ\-\OJ\=\TF^,

而|叫|=c-a,|血力=石,|。2刀=」，

則桃=(C—a)~,即9a2=(c—a)、解得c=4a,

所以雙曲線的離心率e=￡=4.

【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法:

答案第4頁，共16頁

①定義法：通過已知條件列出方程組，求得凡C得值，根據離心率的定義求解離心率e；

②齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于e的一元二次方程

求解；

③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

9.AD

【分析】由奇函數可得/(。)=0,再根據函數的周期性與對稱性分別判斷.

【詳解】由函數/(x)為奇函數，則/(O)=O,A選項正確；

又〃x)=〃2—力，即〃x+l)=/(lr),則函數關于直線尤=1對稱，B選項錯誤；

由〃x)=/(2—x)可知/(2—x)=/(4+x),

即〃x)=〃4+x),函數〃%)的一個周期為4,C選項錯誤，D選項正確；

故選：AD.

10.BC

【分析】首先排除公比的特殊情況，結合給定條件解出公比范圍，利用等比數列的性質逐個

分析即可.

【詳解】Sl=al=-1,4+2對恒成立，

則％-qn+1>勺qn-ln-qn+l>-qn-xn/一(才一1)<0恒成立，

貝1)4>0,q2T<0,故o<q<i,故B對；

A：a2=-q<0,故A錯；

1

C：an+l-an=-q"+q"=q"'(1-^)>0=>an+l>an,故C對；

D：由臬二井-領工上+魯二〉々，故D錯.

1-qr-qq-\1-qq-1

故選：BC.

11.ACD

【分析】對于A,三個數中作為復數的實部和虛部，則其模長可能為1,6,2,易知2024不

能拆分成這三個數的乘積;對于B,由題可知(區(qū)戶”即為如必為實數，舉由一個例子，即可判

答案第5頁，共16頁

斷B選項；對于C,由氏|=々/巧/（4,貝I]的值值為U,1,1;

6;1,1,6,2;1,1,2,2;1,1,1,出;1,1,1,2,據此可以求出概率；對于D,若（X,J為整數，則

X’的輻角可以為0,￡,無（3個3加1個0）,據此求出概率.

【詳解】由0』,出中任意選兩個不同數字分別作為實部和虛部，

則模長「可能值為1,6,2

對于A,若區(qū)|=2024,則=2024=23.253,

由253不是2與3的整數倍，

故不存在"，使區(qū)|=2024，故A對；

對于B,若（XJ2024為實數，則的輻角為2E或|+2kK,keZ，故B錯；

對于C,由|X/=石/巧W4,

則小公小〃的取值為1,1,1,1;1,1,>/3;1,1,2;1,1,2,2;1,1,1,1,1,1,2.

故P（|X卜4）=1+C；+C"；：C；+C；+C：審=1|,故C對；

1T

對于D,當r=1時，則輻角為?；蛉f；

當r=6時，則輻角為。或不

當r=2時，則輻角為￡或g

3o

若（X4）2為整數，則X4的輻角可以為0弓,無（3個;加1個0）

33

故2二行=7,故D對；

28

故選：ACD.

12.2

【分析】根據拋物線的準線方程，直線與圓相交弦長公式可得P.

【詳解】由拋物線丁=2座（°>0）的準線為/:x=-光，

圓/+/=4的圓心為。僅,0）,半徑廠=2,

則圓心。到準線/的距離d=與，

2

答案第6頁，共16頁

則|A8|=2〃-/=2,4一?=2看,

解得P=2,

故答案為：2.

【分析】確定。>0,根據正弦函數的遞增區(qū)間求出。的范圍，結合正弦函數的周期性求出。

的范圍可得答案.

【詳解】當。=0時，〃x)=sin［-不具備單調性，

當&<0時，/(x)=sin(0x-：J=-sin(_0x+：］,

若在區(qū)間［。胃］上單調遞增，則在>=sin's+在區(qū)間［日上單調遞減,

可得/一8+9一年+5因為尸sm,在序3上是單調遞增的，

所以y=sin3在&上不可能單調遞減，所以。<0不成立,

于是①〉0.

若函數〃x)=sin,x-m在區(qū)間04上單調遞增，則

24(keZ),°

neo兀兀3

-------------<2fai+—co<4k+—

242〔2

若函數g(x)=sin(w+：J在區(qū)間04上單調遞增，則

249,8

7169兀兀-1

----F—<2fai+—0V4k+一

242〔2

因為①>0,所以k=0時，

綜上所述,0<°wg.

故答案為：［ol.

14.

【分析】分別討論當Af在正方體各個棱上時d的取值范圍，再根據點M的個數求交集即可.

【詳解】

答案第7頁，共16頁

Di

|C?

4

D.

A

當M在48、CQ上時由BCJA5、BC,1C,Dt,即怛d叫+|嶼|4|G同+|明|，即

de["l+可

當“在A瓦、C￡＞上時ABMG為等腰三角形，BC”R,即

5

|5B1|+|B1C1|<|Affi|+|MC1|<|4G|+|4i|-即de[2,2&]；

當M在AA|、AA、AD,上時d的取值范圍均一致，當M在AA上時，繞AA翻折,

使平面ABCR與平面AgGA在同一平面內,

則忸匕閆加8|+阿￡同4閉+|46],即de74+272,272

又Af在每條棱上運動時，所在位置與d的值一一對應，

又1+百＞“+2血，

所以若滿足條件的M點恰有4個，則de[2,J4+2忘),

故答案為：[2,“+2-).

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用橢圓的定義，分類討論在不同棱上d的范圍.

7T

15.(1)-；

4

⑵-當

【分析】(1)根據內角和公式，兩角和正弦公式和正弦定理可得a=AosC+ccosB,結合條

件可得sinB=cos3,由此可求8；

答案第8頁，共16頁

（2）過點。作邊A5上的高CO,結合（1）及所給條件解直角三角形△ACO,々CD求BC,

AC,再利用余弦定理求cosC.

【詳解】（1）在VABC中，A=7i—（B+C）,

/.sinA=sin^jc—（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB

由正弦定理：號=名=，片，

sinAsinBsinC

由sinA=sinBcosC+sinCcosB可得a=ZTCOSC+ccosB,

又由題意知"bcosC+csinB,sinB=cosB,且BE（0工）

（2）在VABC中過點C作邊AB的高CO,交邊AB與D,

由題意可知CD=二，且△BCD和AACD都是直角三角形.

JTC

因為8=:，所以△BCD是等腰直角三角形，所以8￡>=cr>=：,

3

所以A￡>=AB-8。=—c,

由勾股定理，BC2=BD2+CD2,AC2=AD2+CD2,

解得3C=^c,AC=-c,

44

M,7,2_2

在VABC中，由余弦定理得：cosC=^―

MY

--------C

2.%網

44

BD

16.（1）證明見解析

【分析】（1）依據題意證明直線與兩個平面的交線垂直，再利用面面垂直的性質求解即可.

（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）如圖，取棱CD靠近。的三等分點R,

答案第9頁，共16頁

連結AR,BA,則。是CR的中點，

因為P為棱AC的中點，所以尸。是△ACR的中位線,

所以PQ/4?,因為尸QL3C,所以BCL4?,

JT

設BC=?a,因為ZBCD=ZBOC=—,

6

所以8￡>=耳，作BHLCD,連接8R,

BR2+BC2=CR2,BC±BR.

又AT?c8R=R,AR,3Ru面ABH,

.?.3C_L平面ASR,因為ABu面ABH,所以BCJ_AB.

又由平面ABC_L平面38,平面ABCp平面88=3。，

平面BCD得證.

(2)由(1)知，AB1BC,AB±BR.以3為原點，

成的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系B-町，z.

令42=3。=石,;.C（石,0,0）,A（0,0,不）,R（O,1,O）,Q^,1,0

\7

設平面CPQ的法向量為%=(x,y,z),

答案第10頁，共16頁

-AC=0,V3x-V3z=0,

則______即＜令z=L可得.=（L名」）.

Y\?AR=0,y-V3z=0,

連接8Q,此時20=6，QD=2,由余弦定理得3。=1,

所以BQ2+BO2=QD2,所以BQL3Z),

因為AB_L平面88,所以BQ_LAB,

因為AB,30u面ABD,ABQBD=B,

所以BQ1■面ABD,故平面ABD的一個法向量為而=

22

7

|々?聞J3岳

設平面CP。和平面AB。的夾角為8,則cos*"

聞網V55

二.平面CPQ和平面ABD夾角的余弦值為叵

5

17.⑴a=l

-3K

⑵“X）在區(qū)間，+8有且僅有兩個零點,理由見解析.

2

【分析】（1）運用導數幾何意義，結合斜率可解;

(2)f(x)=+cosx,f(x)=ex-sinx,令g(x)=/'(x),g'(x)=e，-cosx,運用g'(x)的正

負判定了'（X）的單調性，再運用廣⑺的正負得到了⑺單調性，結合零點存在性定理可解.

【詳解】（1）由題可知T（x）=e'-asinx,

由x=0處的切線方程為y=x+2,.?收=/'(O)=e°=l,

把點(0,2)代入得e°+acosO=2,.\a=l.

(2)由(1)可知f(%)=e"+cosx,「./*'(x)=e，-sinx,

答案第11頁，共16頁

令g⑺=/'(x),g'(x)=_co&x,

當時，g，a)>。，則8⑴在區(qū)間卜與尸]上單調遞增.

/Q\_3K

glY)=e2_]<0,g(_7i)=eF〉0,

.??由零點存在定理可知，存在不￡(/，-",使得<?(%)=。，即e*o=sin%o,

二當時，尸(x)<0,則小)在區(qū)間上單調遞減；

當xe(%,-兀)時，/(x)>0,則/(X)在區(qū)間(飛,-兀)上單調遞增，

又=e2+cos^-^^>0,/(-7i)=e-,t-l<0,

二由零點存在定理可知〃x)在區(qū)間(-亨，-”上有且僅有一個零點.

當xe[-7T,0)時，f'(x)=e*-sinx>0；

當xe[0,+oo)時，(x)=er-sinx>e°-1>0：

\/(x)在區(qū)間[-兀,y)上單調遞增.

又兀)=eF_l<0,〃0)=e°+l>0,

二由零點存在定理可知，存在唯一零點9目-71,0),使得/(X2)=O,

綜上可得，/(無)在區(qū)間J有且僅有兩個零點.

22

18.(1)土X+匕V=1

43

24

⑵(i)證明見解析；(ii)y

【分析】(1)根據已知列式求出6,即可得出橢圓方程；

(2)(i)聯(lián)立方程組結合向量關系計算得出點在的直線方程；(ii)先根據弦長公式求出|AB|

再應用圓的方程求出高的最大值即可.

【詳解】(1)當4=1時，由對稱性可知ABIx軸，

IAB|=24W=匕2=3,

22

.?.C的標準方程為土+匕=1.

43

(2)(i)(方法一)???點尸異于點尸,r/Nl,

答案第12頁，共16頁

設力（久1，、1）,8（久2，丫2），直線AB的方程為％=啊+1，

22

聯(lián)立方程?+（=1,得（3加2+4）尸+6"9一9=。,

6m9

%+%=一，

——3m92--+--4-X1%2=---3--m-52--+--4--

%]+AX-1+/L,

由左=彳而可知2

/+2%=°，

???4民尸三點共線，且?="2＞。且彳/1）,

點尸在線段AB的延長線或反向延長線上，

則麗=2而，設P（x,y）,則無=與學，

1—A

石+X?

由必+幾％=0，則%=一上，代入上式得尤=—4一=

%1+Ax+%

%

,尤=4%+%乂=。孫+1）%+（妝2+1）%=2〃明%+（%+%）

M+%M+%%+%

61tlQ

把％+%=-丁*，%%=—-T，代入上式得尤=4,命題得證?

3m+43m+4

（方法二）??,點尸異于點￡，彳十1,

Xy+=1+4

設力（久1，%）,8（久2，丫2），由通=2而可知

>1+4%=°，

???4民尸三點共線，且碗=〃4＞。且彳/1）,

點尸在線段AB的延長線或反向延長線上，PA=^PB，設P（x,y）,則》=三年

1—/I

/一死_(玉一％%2)(1+丸)_(%一「%2)(芭+4%2)

1-2—(1-2)(1+2)-1-22

將①式減去②式，得“—黃+'―2%2=1—%,

43

即(%+1%)(%-&2)+(X+%%)(%-4%)=1Z2

、43—'

則（玉+2%2）（玉_丸%2）=4（1—%）,

答案第13頁，共16頁

，點尸在定直線％=4上，命題得證.

38

3玉+產=二，

(ii)當4=y時，由(i)可知＜

3

X+二%=。，

38

玉+產二不_8

解得

x2=0,

_8

不妨設A在第一象限，則將*=3代入C的方程,

9=°

???網】［|-。川竽+可弋，

州+6

則直線AB的方程為y=G——(x-O)-若，即'=石(工-1),

--0

5

設P(x,y)(yw石(x-1)),由瞳=彳可知卜_|：+卜—半］=?+(y+后，

為圓心，3為半徑的圓上，且不在直線y=^(x-l)上,

:，岑在直線AB上，

(22J

:.^PAB面積的最大值為|x^x3=y.

答案第14頁，共16頁

19.(1)2和5為兩個質數“理想數”

(2)加的值為12或18

(3)證明見解析

【分析】(1)根據“理想數”概念，結合列舉法可解;

(2)分析題意知道冊=