2024-2025學(xué)年上海市某中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期9月考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年上海市西中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期9月考試卷

一、填空題(本大題共有12小題，滿分36分)

1.若集合{1，a}與集合{2,b}相等，貝!|a+b=.

2.設(shè)全集U=R,集合/={x|xV0,或x>2},則用區(qū)間表示)，結(jié)果是.

3.設(shè)x,"R,用列舉法表示忖+以所有可能取值組成的集合，結(jié)果是.

無(wú)y

4.已知集合4={(x,,y)|2v+y=10},8={(x,y)|3x-y=5},則4nB=.

5.已知陳述句素?cái)?shù)都是奇數(shù)，則。的否定形式為.

6.設(shè)x,yeR,已知?jiǎng)t尸的一個(gè)充分必要條件是.

7.如圖，己知。是全集，4SC是。的三個(gè)子集用交、并、補(bǔ)關(guān)系將圖中的陰影部分可表示為.

8.已知集合/=W=Jl-f,xwZ卜B=^y\y=x2+tx&A^,那么/U8=.

9.設(shè)集合/={d6,。,"工,/6},B={a,c},集合M滿足=,則這樣的集合M共有個(gè)

10.設(shè)集合/=(一s,0)u(l,+s),5={x|(2x+5)(x-a)＜0},若Nc3cZ={-2,-1},則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是.

11.設(shè)左eR,已知集合卜卜2-l)(x2-4)="恰有四個(gè)非零元素,且它們?cè)跀?shù)軸上等距排列，則g.

12.若兩個(gè)正整數(shù)的正公因數(shù)只有1,則稱這兩個(gè)正整數(shù)互素，將與105互素的所有正整數(shù)組成集合

{%,02,%，且％＜。2＜。3＜…〈風(fēng)＜…，貝!)％00=.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分12分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將

代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.設(shè)xeR,則“xWl”是“爐-3x+2w0”的()條件

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

14.拋物線>=依2與直線％=/,久=2,y=l,y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

11IcI1Ic

A.—<a<\B.-<a<2C.-<a<\D.-<a<2

4224

15.若非空集合X={*+*x43"5},y={M，x,16},則使得X[(X2)成立的所有。的集合是

A.同0,,4,7}B.{a[3<tz<7}C.{小,7}D.0

16.定義集合運(yùn)算/-8={小e/且xwB}；將NM=(8)U(8-/)稱為集合A與集合B的對(duì)稱差,

命題甲：/n(5AC)=(/n5)A(/nC)；命題乙：/U(2AC)=(/U5)A(/UC)則下列說(shuō)法正確的是()

A.甲乙都是真命題B.只有甲是真命題

C.只有乙是真命題D.甲乙都不是真命題

三、解答題(本大題滿分52分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫

出必要的步驟.

17.若集合A={x|丘2-8x+l6=0}中只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.

18.設(shè)aeR,已知集合/={x|-l<x<2},5=1x|x2-ax-2a1=oj.

(1)若/c3={l},求a的值;

(2)若NUB=N,求a的取值范圍.

19.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)尸(0,1)的直線與拋物線y=彳相交于點(diǎn)”(勺,力)，N(x2,y2),自

M,N引直線人>=-1的垂線，垂足分別為"i，N-

(1)用必分別表示線段,MF的長(zhǎng);

(2)證明：M、FLN\F.

20.設(shè)aeR,已知a：關(guān)于x的一元二次方程公2+2x+”=0有兩個(gè)相異正根；?：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不

等式(a—l)x2—(A—l)x—1<0恒成立.

(1)若a為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)判斷an-,是否成立？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

2

21.已知實(shí)數(shù)Xi/?,%多,%，滿足X]+X2+尤3+X4+4=5.

(1)求證：x1,x2,x3,x4,x5中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)不小于1;

⑵設(shè)為/2,%,4X5這五個(gè)實(shí)數(shù)兩兩不等，集合/=仇網(wǎng)2/3口4，%},若2/0且3=4,記G(2)是8中

所有元素之和，對(duì)所有的3,求G(2)的平均值.

1.3

【分析】根據(jù)集合相等求出。,6即可求解.

【詳解】{1,a}={2,b},

則a=2,b—\,

所以a+b=3.

故答案為：3

2.(0,2]

【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的定義，即可得答案.

【詳解】由于集合/=卜,40,或x>2},故其在實(shí)數(shù)集上的補(bǔ)集彳=(0,2],

故答案為：(0,2]

3.{2,0-2)

【分析】根據(jù)x,N的符號(hào)，分情況去絕對(duì)值即可.

【詳解】根據(jù)x,歹的符號(hào)，分情況去絕對(duì)值：

x

ll+M_0

若%>0,y>0,N+1^1.2若x>0,y<0,----1-----U;

xyXy

v+2L2

若x<0,J>0,N+LL0若x<0,”0,

xyXy

g+斗所有可能取值組成的集合為{2,0,-2).

故答案為:{2,0,-2}.

4.{(3,4)}

【分析】由題意可得二元一次方程組求解計(jì)算即可求得所求的點(diǎn)集.

3

\2x+y=10\x=3

【詳解】由題意得：，.<,解得：，，

[3x-y=5[y=4

ZcB={(3,4)}

故答案為：{(3,4)}

5.見解析

【分析】由題意，素?cái)?shù)都是奇數(shù)是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，由此可寫出答案.

【詳解】陳述句素?cái)?shù)都是奇數(shù)，是全稱量詞命題，

則a的否定形式為：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).

故答案為：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).

6.x<y

【分析】根據(jù)作差法可得x3<j?的等價(jià)條件，由充要條件的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)?<VOX'-V=@-m卜2+盯+了2)=(x->)]料;.<0

所以〃的一個(gè)充分必要條件是X<幾

故答案為：x<y

7./ncn(?⑶

【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示集合A與集合C的公共部分但不在集合3的部分，用集合的交、并、

補(bǔ)關(guān)系表示出來(lái)即可.

【詳解】由韋恩圖可知陰影部分表示集合A與集合。的公共部分但不在集合B的部分，

所以可以表示為/ncn(dB).

故答案為：^ncn(^s),

8.{-1,0,1,2}

【分析】根據(jù)根式性質(zhì)可得集合4巴進(jìn)而可求解.

【詳解】由1-八0得-u,^^={x|-l<x<l,xez}={-1,0,1),

故5={1,2},.?./口3={-1,0,1,2}.

4

故答案為：{-1,0,1,2}.

9.32

【分析】根據(jù)集合的交、并運(yùn)算得出再由子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式得解.

【詳解】因?yàn)?={。，瓦c,d,ej,g},8={a,c},集合M滿足NcAf=

所以則這樣的集合M共有25=32個(gè).

故答案為：32

10.（-1,2]

【分析】先得到-2仁2,-1e8,分。＜-g,a=-^和a＞三種情況，結(jié)合Zc8cZ={-2,-1},得到

a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)镹cBcZ={-2,-l},所以-2e8,-le3,

若a＜-g,止匕時(shí)8=-￡|,不滿足-2e3,-le3,

若。=—,此時(shí)8=0,不滿足—2e8,—1e8,

2

若a＞-g,止匕時(shí)8=（-g，4,又/=（一8,0）”1,+8）,

要想滿足4cBcZ={-2,-l},

則

故答案為：（-1,2]

7

11.-##1.75

4

【分析】設(shè)一=了，將原方程變?yōu)?4-左=0,結(jié)合題意以及根與系數(shù)的關(guān)系，列式求解，即得答

案.

【詳解】設(shè)/=y，原方程變?yōu)?_5尸4-左=0,

設(shè)此方程有實(shí)根a,"（0＜。＜￡）,

則原方程的四個(gè)實(shí)根為土石，士而，

由于它們?cè)跀?shù)軸上等距排列1-石=石-卜石）,

即￡=9a①，又a+/=5,a￡=4-左，

5

1Q77

由此求得a=—,B=—,k=—,滿足A=25+4左一16=0〉0,k=—,

2244

7

故答案為：—

4

12.202

【分析】先求得前105個(gè)數(shù)中有多少個(gè)數(shù)與105互質(zhì)，進(jìn)而可求得第100個(gè)與105互質(zhì)的數(shù).

【詳解】由題意知，105=3x5x7不可以是3,5,7的倍數(shù),

所以在前105個(gè)正整數(shù)中與105互素的整數(shù)個(gè)數(shù)為:

105105105、105105105105.

105-(——+——+——)+-----+------+-------------------=48,

3573x53x75x73x5x7

故不超過(guò)105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有48個(gè).

故在第二輪的105個(gè)數(shù)中仍然有48個(gè)與105互質(zhì)的正整數(shù).

在前105個(gè)數(shù)中前4個(gè)與105互質(zhì)的數(shù)為1,2,4,8,

故按照從小到大排列后可知為。=2x105+8=218.

故答案為：218.

13.B

【分析】解出不等式的解，利用必要不充分的判定直接判斷即可.

【詳解】由公一3*+2#0,得xwl且xw2,

貝lj“尤/1"是''尤2-3x+2w0”的必要非充分條件.

故選：B

14.D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，畫出四條直線圍成的正方形，進(jìn)一步判定其開口方向，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)

即可解答.

【詳解】由下圖可知：”(1,2),3(2,1),再根據(jù)拋物線的性質(zhì)，⑷越大開口越小,

把A點(diǎn)代入＞得〃=2,把5點(diǎn)代入天二。/得。=；,

則。的范圍介于兩者之間，故"。d

6

故選：D.

15.B

【分析】將x^(xny)轉(zhuǎn)化為x=y,再根據(jù)子集的定義，結(jié)合題設(shè)范圍進(jìn)行求解即可

【詳解】由Xu(xny)可知X=又由XH0得14。+143”5416,解得34a<7,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)子集的條件求解參數(shù)問(wèn)題，將Xq(xny)轉(zhuǎn)化為Xqy這一步至關(guān)重要，由于

題中明確了集合x非空，降低了難度，若沒(méi)這一條件，則應(yīng)討論集合x為空集的情況

16.B

【分析】根據(jù)對(duì)稱差集合的定義和集合的運(yùn)算將/c(BAC)變形即可判斷命題甲；對(duì)于乙，畫出

/"3AC)和(/u3)A(/uC)的圖示即可判斷.

【詳解】對(duì)于甲，An(B^C)=An(BuC-Br>C)=Ao(BuC)-Ar^(Br>C)

=(/c8)u(/cC)-(/c8)c(ZcC)=(/cB)A(/cC),故命題甲正確；

對(duì)于乙，如圖所示：

所以，Nu(BAC)w(/uB)A(NuC),故命題乙不正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于集合新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是理解新定義，利用韋恩圖結(jié)合集合的運(yùn)算，利用數(shù)

形結(jié)合判斷.

17.實(shí)數(shù)k的值為0或1,當(dāng)左=0時(shí)，/={2}；當(dāng)上=1,A={4}

【分析】集合A={x|Ax?一舐+16=0}中只有一個(gè)元素，即方程依2-8x+16=0只有一個(gè)解，再討論當(dāng)

左=0時(shí)，當(dāng)左30時(shí)方程的解的個(gè)數(shù)，再求集合A即可.

【詳解】解：由集合A={x|Ax?一8x+16=0}中只有一個(gè)元素，

7

即方程區(qū)2一8%+16=0只有一個(gè)解,

①當(dāng)左=0時(shí)，方程為—8x+16=0,解得了=2,即4={2}；

②當(dāng)左，0時(shí)，方程H2一8x+16=0只有一個(gè)解，則△=(—8)2—4xl6x左=0,即左=1,

即方程為召一8工+16=0，解得x=4,即力={4},

綜合①②可得：實(shí)數(shù)k的值為0或1,當(dāng)左=0時(shí)，A={2};當(dāng)左=1,4={4}.

【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.

18.⑴〃=—1

【分析】(1)由4cB={l},分類討論求解參數(shù)的值即可；

(2)解出集合3,由可知3=%,求解參數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】(1)AryB={l},

**?1—a—2。2=0=>d——Q=—1,

2

當(dāng)。=!時(shí)，x2-—x--==1,x=_工=不符合，舍去,

2222I2J

當(dāng)。二一1時(shí)，Y+%_2=0=%=1,x=—2=4c5={l},符合題意，

則。=-1.

(2)x2—ax—2a1=x=2a=~a>

A\JB=A,

:?B=A,

19.(1)M/I=K+1,A/F=K+1；

(2)證明見解析

【分析】(1)利用兩點(diǎn)間距離公式得到線段MF的長(zhǎng)；

(2)設(shè)過(guò)尸(0,1)的直線方程為歹=點(diǎn)+1,聯(lián)立直線與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由題意

8

知(x2,—1),計(jì)算出EM1-FN]=0,得到垂直關(guān)系.

22

【詳解】(1)MMX=yt+l,MF=不￡+(y-I?=,^(yt-l)+4yt=^(yt=yt+1.

(2)顯然過(guò)點(diǎn)尸(0,1)的直線斜率存在，設(shè)過(guò)尸(0,1)的直線方程為了=丘+1,

-2

v=——,,fX+x,=4k

聯(lián)立方程>4=>/-4h-4=0=12

,.I再迎=-4

y=kx+\L

A=16^2+16>0,

由題意知M(x“T),乂("1),

-1)-(X2,-1-1)=XJX2+4=-4+4=C.

故尸.

20.(1)(-1,0)

Q)an/3,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的情況，得出不等式組，即可求出。的范圍.

（2）根據(jù)不等式恒成立，討論。=1和兩種情況，進(jìn)而求解即可判斷.

【詳解】（1）由題意知，辦2+2x+a=0有兩個(gè)相異正根X］，z