人教版五年級下冊數(shù)學思維訓練講義-第一講分數(shù)的加減巧算（含答案）

第一講分數(shù)的加減巧算第一部分：趣味數(shù)學阿凡提巧治壞地主有一天，阿凡提騎著自己的小毛驢來到田邊。他四處欣賞著美麗的田園風光。突然，聽到有人叫他，回頭一看，原來是兩位給地主巴依老爺干活的佃農(nóng)。阿凡提忙問：“兩位朋友有什么事嗎？”其中一位農(nóng)民說：“阿凡提，我們遇到一個難題，想來請教你?！比缓筮@位農(nóng)民就把這個難題的由來講了一遍。原來，這兩位農(nóng)民被地主巴依老爺雇傭干活，眼看到發(fā)工錢的時候了，地主卻打起了壞主意。他和賬房先生一計算，要給這兩位農(nóng)民各20塊銀元。地主心里非常不樂意，仿佛拿走他的錢就像割他的肉一樣。于是和老婆一起想出了個主意，要兩個農(nóng)民明天早晨割-----畝麥子，一點不能多，一點也不能少。明早八點之前，巴依老爺要親自檢查。如果嚴格按要求完成了任務，就發(fā)工錢，而且還給回家的路費。如果完不成任務，工錢就一分不給。兩位農(nóng)民沒有上過學，自然不知道-----畝麥子到底是多少，正在發(fā)愁的時候，正好碰見了阿凡提，才有了開頭那一幕。阿凡提聽完，笑了笑說：“兩位朋友不用擔心，你們只要按我說的去辦，保證能拿到工錢，而且還能賺取路費。”阿凡提講完，把兩位農(nóng)民叫到眼前。悄悄地把解難題的辦法告訴了兩位農(nóng)民。兩位農(nóng)民聽了以后，非常高興，對阿凡提千恩萬謝。第二天早晨，巴依老爺和老婆一起來到地里檢查兩位農(nóng)民任務完成的情況。巴依老爺以為兩位農(nóng)民這次肯定一分錢都拿不到，所以臉上帶著得意的笑容?？墒亲叩降剡厖s發(fā)現(xiàn)麥子正好割了畝。兩位農(nóng)民說：“老爺，你的任務我們已經(jīng)按時完成了，你也該給我們工錢了吧！”巴依老爺沒辦法，只得叫賬房先生給了農(nóng)民工錢。小朋友，你知道-----有什么簡便方法計算嗎？我們可以看出：=-，=-，=-，=-，=-，所以原式=-+-+-+-+-+。因此兩位農(nóng)民要割畝地。解這類分數(shù)題目關鍵在于拆分，然后計算，實現(xiàn)簡化的目的。第二部分：奧數(shù)小練在解答一些較復雜的分數(shù)加減法問題時，必須從整體上觀察試題，找到它們排列的規(guī)律及其數(shù)字特征，分析有無類似裂項公式的特點。這是解題的重點和關鍵。常用方法：公式法：直接運用公式來計算，如運用等差數(shù)列求和公式等。圖解法：將算式的意思用圖表示出來，從而找出簡便計算方法。裂項法：將一個分數(shù)拆分為兩個或幾個分數(shù)的差或和，使部分分數(shù)互相抵消，從而使計算簡化。通常裂項公式為：=-分組法：運用運算定律，將原式重新組合，把能湊整或能化簡的部分結合在一起簡算。代數(shù)法：將算式中的某些部分用字母代替并化簡，然后再計算出結果?！纠}1】計算：+++……【思路導航】此題每一個加數(shù)的分子都是1，而分母又都是相鄰的兩個自然數(shù)的積，用裂項法簡便。=1-=-=-……=-因此，原式=1-+-+-+…-=1-=練習一：1.計算：+++……2.計算：+++++3.計算：1-+++【例題2】計算：++++【思路導航】此題分子都是2，而分母又都是兩個相鄰奇數(shù)的積，所以根據(jù)分數(shù)的裂項原理和方法，把每個分數(shù)拆分成兩個單位分數(shù)差的形式，通過抵消進行簡算。++++=1-+-+-+-+-=1-=練習二：1.計算：+++++2.計算：++++3.計算：++++【例題3】計算1-+-+【思路導航】此題可以將一個分數(shù)拆成兩個分數(shù)相加的形式，然后去括號，再進行運算簡便。溫馨提示：去掉括號后，要注意符號的變化。因為=+=+=+=+所以，原式=1-（+）+（+）-（+）+（+）=1--++--++=+=練習三：1.計算：1-+-+-+-2.計算：1-+-+3.計算：1-+-+-【例題4】計算+++++【思路導航】此題可以利用圖解法分析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：所有分數(shù)的和是單位1減去剩余的部分，從而計算得出結果。+++++=1-=還可以這樣思考：觀察分母之間的變化規(guī)律，后一個分母總是前一個分母的2倍，也就是兩個后面的分數(shù)相加等于前一個分數(shù)，因此我們可以從最后開始算起，先加一個，就可以得到前一個分數(shù)，再一次從后往前加，就可以得到“和”為“1”，但是先前我們給整個算式加了一個，所以還要減去一個。+++++=+++++（+）-=++++（+）-……=+-=1-=練習四：1.計算：++++++++2.計算：+++++3.計算：1-----【例題5】計算：+++++++++…+++…+…【思路導航】此題可以用分組的方法解決。觀察可知分母是1的和為1；分母是2的和為2；分母是3的和為3；……依次類推，分母是49的和為49，此題就簡化成求1+2+3+…+49的和。+++++++++…+++…+…=1+2+3+4+…+49=（1+49）×49÷2=1225練習五：1.計算：9+99+999+9999+999992.計算：1+2+3+…+103.計算：++++第三部分：數(shù)學史話我國古代是如何計算異分母分數(shù)加減法的分數(shù)加減法在我國《九章算術》中也有具體的講述，如下：分數(shù)加減運算，《九章算術》已明確提出先通分，使兩分數(shù)的分母相同，然后進行加減。加法的步驟是“母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一”這里“實”是分子,“法”是分母，“實如法而一”也就是用法去除實，進行除法運算，《九章算術》還注意到兩點：其一是運算結果如出現(xiàn)“不滿法者，以法命之”。就是分子小于分母時便以分數(shù)形式保留。其二是“其母同者，直相從之”，就是分母相同的分數(shù)進行加減，運算時不必通分，使分子直接加減即可。按所述法則計算，我們來看一個例子：由此可見，早在兩千多年以前，我國分數(shù)四則運算法則已經(jīng)如此先進，身為炎黃子孫應由衷感到無比驕傲和自豪。奧賽題新編參考答案：練習一+++……=-+-+-+…-=-=-=2.+++++=1-+-+-+-+-+-=1-=3.1-+++=1-+-+-+-=1-=練習二1.+++++=-+-+-+-+-+=++++=-+-+-+-+=3.++++=-+-+-+-+-=-=練習三1.1-+-+-+-=1+-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--++--=1-=2.1-+-+=1+-（+）+（+）-（+）+（+）=1+--++--++=1+=13.1-+-+-=1+-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1+--++--++--=1-=練習四1.++++++++=1-=2.1-----=1-（++++）=1-（1-）=1-1+=3.此題可以把算式先加一個，再進一步減去，從后加到前面逐次計算即可。++++=+++++-=++++-=+++-=++-=+-=1-=練習五1.9+99+999+9999+99999=9++99++999++9999++99999+=（9+99+999+9999+99999）+（++++）=（10+100+1000+10000+100000-5）+