2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題：平面解析幾何（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：平面解析幾何(10題)

—.解答題(共10小題)

x2y21

1.(2024?邵陽三模)已知橢圓C：—+77=l(a>6>0)的離心率為一，右頂點。與C的上，下頂點所

a乙b乙2

圍成的三角形面積為2必.

(1)求C的方程.

1

(2)不過點。的動直線/與C交于A,B兩點，直線與Q8的斜率之積恒為一.

4

(D證明：直線/過定點；

(n)求△QA3面積的最大值.

2.(2024?蘇州模擬)雙曲線Cj:―6>°)，F(xiàn)1,尸2為兩焦點，Ai,人2為C1的頂點，D為Ci

上不同于4,人2的一點.

(1)證明：ZF1DF2,ZDF1F2的角平分線的交點的軌跡為一對平行直線的一部分，并求出這對平行

線的方程；

(2)若平面上僅有Ci的曲線，沒有坐標軸和坐標原點，請給出確定Ci的兩個焦點的位置的方法并給

出作長為a,b的線段的方法.(敘述即可)

x2y2

3.(2024?莆田模擬)已知橢圓C：—+—=1的右焦點為尸，過尸的直線/交C于A,8兩點，過產(chǎn)與/

32

垂直的直線交C于。，E兩點，M,N分別為A3,。石的中點.

(1)證明：直線過定點；

(2)若直線AB,OE的斜率均存在，求面積的最大值.

%2y23

4.(2024?回憶版)已知橢圓C：—+—=l(a>b>0)的右焦點為R點M(1,-)在橢圓C上，且

_Lx軸.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點尸(4,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點，N為線段b的中點，直線NB與MF交于Q,

證明：4Q_Ly軸.

5.(2024?棗莊模擬)已知雙曲線C：6〉0)的左、右焦點分別為乃、F1,直線/過右焦

點/2且與雙曲線C交于A、B兩點.

(1)若雙曲線C的離心率為次，虛軸長為2a,求雙曲線C的焦點坐標；

—>—>—>

(2)設(shè)a=l,b=V3,若/的斜率存在，且(04+&B)-4B=0,求/的斜率；

IQ->—>—>—>

(3)設(shè)/的斜率為舊\OA+OB\=\OA-OB\=4,求雙曲線C的方程.

x2y2—V2

6.(2024?朝陽區(qū)一模)已知橢圓￡：—+—=l(a>b>0)的離心率為萬，A,B分別是E的左、右頂點，

尸是E上異于A,B的點，△AP8的面積的最大值為2a.

(I)求E的方程；

(II)設(shè)。為原點，點N在直線x=2上，N,尸分別在x軸的兩側(cè)，且△APB與△NBP的面積相等.

(z)求證：直線ON與直線AP的斜率之積為定值；

(ii)是否存在點P使得△AP8注△N3P,若存在，求出點尸的坐標，若不存在，說明理由.

7.(2024?云南一模)已知拋物線C的焦點/在x軸的正半軸上，頂點是坐標原點。.P是圓。：f+y2=3

與C的一個交點，|Pfl=|.A、8是C上的動點，且A、8在x軸兩側(cè)，直線A8與圓。相切，線段OA、

線段OB分別與圓0相交于點M、N.

(1)求C的方程；

(2)4OMN的面積是否存在最大值？若存在，求使△OMN的面積取得最大值的直線AB的方程；若

不存在，請說明理由.

3x2y2

8.(2024?回憶版)已知A(0,3)和P(3,一)為橢圓C—+—=1上兩點.

2a2b2

(1)求。的離心率；

(2)若過尸的直線/交。于另一點'且△ABP的面積為9,求/的方程.

y2

9.(2024?開封模擬)已知橢圓C：二+石=1(。>力>0)的左，右焦點分別為B，F(xiàn)z,上頂點為A,且

—>—>

AFr-AF2=0.

(1)求C的離心率；

(2)射線AFi與C交于點B,且|4B|=|,求△ABF2的周長.

10.(2024?商洛模擬)如圖，已知橢圓E：與+4=l(a>b>0)的左頂點為A(-2,0),離心率為虛，M,N

ab2

是直線/：x=l上的兩點，且OMLON,其中O為坐標原點，直線AM與E交于另外一點8,直線AN

與E交于另外一點C.

(1)記直線AM,⑷V的斜率分別為總、fe,求心乂2的值；

(2)求點。到直線BC的距離的最大值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：平面解析幾何(10題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共10小題)

x2y21

1.(2024?邵陽三模)已知橢圓C/+黃=l(a〉b〉0)的禺心率為5,右頂點。與C的上，下頂點所

圍成的三角形面積為2次.

(1)求C的方程.

1

(2)不過點。的動直線/與C交于A,8兩點，直線QA與QB的斜率之積恒為：.

4

(Z)證明：直線/過定點；

(zz)求△QAB面積的最大值.

【考點】橢圓的定點及定值問題；根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標準方程.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

X2V2

(答案［(1)—+—=1;

43

3-J3

(2)(z)證明見解析；Mi)—.

【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；

(2)(0設(shè)出直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立,利用斜率坐標公式，結(jié)合韋達定理推理即得;

(而)由(力的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.

【解答】⑴解：令橢圓C：鳥+4=1的半焦距為c,由離心率為之得￡=；,

記b2a2

則a=2c,b=Va2—c2=V3c,

由三角形面積為2b，得ab=28，則c=l,a=2,b=V3,

、x2y2

?'?C的方程是丁+-=1;

43

(2)(z)證明：由(1)知，點。(2,0),

設(shè)直線/的方程為了=切+〃，設(shè)A(xi,yi),B(X2,丁2),

由12,得㈠序+4)y2+6mny+3n2-12=0,

6mn3n2-12

則為+y=-713/2

237n2+4二而/百'

直線QA與QB的斜率分別為=斗，kQB=3,

乂X］一乙(2一乙

干星々,卜=__________________________________Z1Z2_________

Q"QB(jny1+n—2)(my+n—2)2n—2

2my1y2+m(n—2)(y1+y2)+(2)

3九2一12

3降+4

一處人2）.蒙『（T）2

37nz+4

34一12

整理得r?+2n-8=0,解得n=-4或n=2,

4n2-16n+16

當〃=2時，直線x=my+2過點Q,不符合題意，因此〃=-4,

此時直線/：-4恒過定點尸（-4,0）；

24m36

（n）解:由（，）知,丫1+丫2=

需RM，'1%=赤彳'

2

則M-刃=7(yi+y2)-4yiy2=I藍］；2-繇^=玲+丁,

因此△Q4B的面積=2\pQ\\yi-Yzl=-「-2------=I----——

3(Jm2-4)z+163^7712-4+-=^=

當且僅當3由^=4=芳=即租=士亭時取等號,

Jm2—4

343

故△Q48面積的最大值為

【點評】本題考查圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，考查運算求解能力，是中檔題.

2.（2024?蘇州模擬）雙曲線Cj，一，=l（a,b>0）,Fi,放為兩焦點，Ai,A2為Ci的頂點，。為。

上不同于4,&2的一點.

（1）證明：ZF1DF2,ZDF1F2的角平分線的交點的軌跡為一對平行直線的一部分，并求出這對平行

線的方程；

（2）若平面上僅有Ci的曲線，沒有坐標軸和坐標原點，請給出確定Ci的兩個焦點的位置的方法并給

出作長為a,b的線段的方法.（敘述即可）

【考點】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點個數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）證明見解答，尤=-a和x=a；

（2）作圖方法見解答.

【分析】（1）利用內(nèi)切圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可證明所求交點在直線x=-。上或在直線x=a上；

（2）利用雙曲線的性質(zhì)先確定雙曲線的中心，再作圓確定坐標軸，最后直接根據(jù)雙曲線的方程即可確

定作法.

【解答】解：（1）證明：設(shè)NF1DF2,/。為尸2的角平分線的交點為/,則/就是△。尸1尸2的內(nèi)心，

設(shè)△。尸由2的內(nèi)切圓在邊向尸2,F1D,。尸1上的切點分別為M,N,P,

則眼巴-|MF2|=|PT1|-|NF2|=C\PFI\+\DP\)-(|N尸2|+|DV|)=\DFI\-\DFi\,

由|。八|TOF2|=2a^\DFi\-\DFi\=-2a,

知|MF1|TMF2|=2a或-|ME2|=-2a,

而|+|四放|=|乃乃|=2c,

故|M&|=2(|MF1|+|M&|)+2(|M&|+|MF2|)=c+a=|&&|,

或者|M&|=2(|M&|+幽以)+劑+|M&|)=c-a=

故M和人2重合，或者M和Al重合，

而M是/在x軸上的投影，故/的橫坐標是a或-a,

所以點/必定在直線x=-a或x=a上，結(jié)論得證.

(2)任意作一對平行線/1,12,使得它們和C1都有兩個公共點，

那么兩直線分別將0截得一條弦，取這兩條弦的中點S,T,并設(shè)直線ST交C1于點。，R,

取QR的中點O,則O是坐標原點，

以。為圓心，作一半徑足夠大的圓，使得該圓與Ci有四個公共點，這四個公共點構(gòu)成矩形,

過。作該矩形兩條相鄰邊的平行線，

則與Q有公共點的平行線是x軸，與Q無公共點的平行線是y軸，

這就得到了兩個實軸的端點Ai和A2,

然后在無軸上方基于點。，42作正方形OA2BE,并以。為圓心，

以|。8|為半徑作圓，交x軸正半軸于點K,再過K作x軸的垂線，在尤軸上方交G于點U,

則我們得到所求|O42|=a,\KU\=b,

最后以。為圓心，以|K5為半徑作圓，交y軸正半軸于點V,

再以。為圓心，以14M為半徑作圓，交無軸于點為，F(xiàn)2,則為，/2就是G的兩個焦點,

下面我們說明上面的作法是可行的，需要論證的地方有二：

①坐標原點。的確定；②最后F1,92的確定，

關(guān)于①，利用韋達定理，我們可以證明用斜率為左的直線>=丘+機截雙曲線我-言=1時,

弦的中點總在一條過原點的直線上，

(x2y2_

事實上，聯(lián)立｛a2戶一，可得(扇-足后)/-2a2kmx-0層-層序=3

(y=依+m

則兩交點(xi，yi)和(X2,>2)滿足%1+%2=”竽2,故7,

b-a2k2b2-a2k2

代入y=fcc+m可得弦的中點坐標為(

b-a2kzV-a2kz

,2

它總在直線y=看久上，這就證明了①；

關(guān)于②，根據(jù)后續(xù)的作法不難看出8(a,a),K(aa,0),

_(V2a)2t2

設(shè)Uga,t),則>0,7--=1,解得r=6,

從而|K5=b,故M/|=，a2+b2=c,

這就得到|0尸l|=|0尸2|=C,這就證明了②.

【點評】本題主要考查直線與雙曲線的綜合，考查邏輯推理能力，屬于難題.

X2V2

3.(2024?莆田模擬)已知橢圓C：—+—=1的右焦點為R過歹的直線/交C于A,B兩點，過尸與/

32

垂直的直線交C于E兩點，M,N分別為AB,OE的中點.

(1)證明：直線過定點；

(2)若直線AB,OE的斜率均存在，求面積的最大值.

【考點】橢圓的定點及定值問題.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)證明見解答；

4

(2)——.

25

【分析】(1)設(shè)的方程為y=A(尤-1),與橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系可表示出點"的坐標，

同理可表示出N的坐標，分上W±1和％=±1兩種情況即可證明直線過定點；

(2)由面積公式及基本不等式即可求解△FMN面積的最大值.

【解答】(1)證明：由題意知，F(xiàn)(1,0).

當直線AB,OE的斜率均存在時，設(shè)AB的斜率為匕則。E的斜率為-工

K

y=fc(x—1)

設(shè)AB的方程為了=左(尤-1).由x2y2,得(3武+2)/-62什(3廬-6)=0,

52=1

2

xA+xB_3k-2k

所以％M>VM=卜(久M—1)=2'

23fc2+23/c+2

3k2—2k

即M(:：)，

3fcZ+23fcZ+2

1

因為。所以直線。E：y=—1萬一1),

ft

32k

同理可得N(:：)，

2必+3'2fc2+3

2k2k

-2+~2

2/c+33/c+2_101(/+1)_5k

當女W±1時，k=—

MN3_3T-6-6kZ—3k7-3'

~2k2+3~3k2+2

2k-5k3-5/c(3、

此時直線MN的方程為y-)，即丫=(x—耳),

2必+33k2—32公+33k2-3

這表明，直線MN過定點0).

當無=±1時,M(|,-|),N(|,|)或叭|,|),N(|,

直線MN的方程均為K=I，直線MN過點0),

當直線AB或。E的斜率不存在時，易知直線為方程均為y=0,也過點G，0）.

綜上，直線過定點（5，0）.

（2）解：由（1）知直線過定點G1，0）,

所以S“MN=I-\GF\-\yM-yN\^^\*-----第|=1(/+？.

253〃+22〃+3(3〃+2)(2/+3)

_21kl(必+1)=2|川(^+1)=2(向+給

“MN~(3fc2+2)(2fc2+3)-6(fc4+l)+13fc2-6(1川2+人)+13

\k\

二2(四+笳2

―6(因+在Ri-6(|川+曲+啟'

1

因為在R,且20,所以網(wǎng)+向22,當且僅當左=1時等號成立,

所以6（|k|+擊）+77TTT26x2+^=學(xué)，

因陽+網(wǎng)22

所以5\FMNW白，當且僅當m=1時等號成立,

4

所以△FW面積的最大值為五.

【點評】本題主要考查橢圓的中恒過定點問題以及最值問題，考查運算求解能力，屬于難題.

工2y23

4.（2024?回憶版）已知橢圓C：—+—=l（a>b>0）的右焦點為R點M（1,-）在橢圓C上，且

J_x軸.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點尸（4,0）的直線與橢圓C交于A,B兩點,N為線段EP的中點，直線與心交于。，

證明：AQ_Ly軸.

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的標準方程；橢圓的幾何特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，以及勾股定理，求出。，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)，求出6,

即可求解；

（2）結(jié)合向量的坐標運算，推得?"2=4+4"-久1,再結(jié)合點A,B兩點位于橢圓上，求出等式，再

Uy2=-yi

結(jié)合直線與MF交于。，即可求解.

【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的左焦點為四,

3

點M(l,-)在橢圓。上，且軸，

2

則田田=2,|MF|=|,

由勾股定理可知，|Ma|=|,

故2a=|Af尸i|+|MF|=4,解得。2=4,b2=a2-1=3,

x2y2

故橢圓C的方程為了+—=1;

43

(2)證明：設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),

AP=APB,

往］+丘2_A

則春7喘二味八】①，

vl+A-u

又由廉+咨1產(chǎn)、2-2可得，3?筆空?W+4筆學(xué)?差竽=12②，

22

13(AX2)+4Gly2產(chǎn)=12A1+41一兒1+41一人

結(jié)合①②可得，5A-2Xr2+3=0,

P(4,0),F(1,0),N(|,0),B(如V2),

則直線NB的方程為y-0=▲(x-f),

%2-22

MFYx軸，直線NB與MF交于Q,

則XQ=1,

故為=5%==一川2=%，

故A0_Ly軸.

【點評】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

5.(2024?棗莊模擬)已知雙曲線C：6>0)的左、右焦點分別為乃、F1,直線/過右焦

點/2且與雙曲線C交于A、8兩點.

(1)若雙曲線C的離心率為百，虛軸長為2a,求雙曲線C的焦點坐標；

—>—>—>

(2)設(shè)a=l,b=W,若/的斜率存在，且(Fi4+&B)-aB=0,求/的斜率；

(3)設(shè)/的斜率為\OA+OB\=\OA-OB\=4,求雙曲線C的方程.

【考點】雙曲線與平面向量.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算.

【答案】⑴(±V3,0)；

V15

(2)±—.

5

(3)%2—=1.

【分析】(1)由題意可得：e.=1+,=8,26=2&,解得6,a,c,即可得出雙曲線C的焦點

坐標;

(2)cz=l,b=陋,可得雙曲線C的方程為彳2-[=1,c=2.設(shè)直線/的方程為y=%(x-2),A(尤i,

—?

yi),8(x2,y2),把y=A(x-2)代入雙曲線C的方程可得關(guān)于x的一元二次方程，A>0,由(&4+

FLB)-AB=0,可得(XI+X2+4)*(X2-XI)+(”+?)?(?-yi)=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.

―>—>—>―>―>―>IO

(3)由|04+。3|=|。4—。8|=4,可得。4?OB=0,OA±OB,\AB\=4.直線/的方程為y=Jj(x

-c),A(xi,yi),B(x2,j2),把直線/的方程代入雙曲線方程可得：(5廿-3/)x1+6a2cx-3a2c2-

562a2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

【解答】解：(1)由題意可得：e=^=J1+^=V3,2b=2近,

解得b=&,a=l,c=V3,

雙曲線C的焦點坐標為(土百，0)；

(2)〃=1,b=V3,；?雙曲線。的方程為了—專=1,c=Va2+b2=2.

設(shè)直線/的方程為(x-2),A(xi,yi),B(x2,>2),

把y=Z(x-2)代入雙曲線C的方程可得：(3-斤)_?+4&-4廬-3=0,

3-必#0,A=16/-4(3-1c)(-4必-3)=36(必+1)>0,

79

irt.i4k—4k—3

貝！JXl+X2=-------7,XIX2=--------n—

3—k"3—k'

—>—>T

???(&A+F$)?=0,

(XI+12+4,yi+y2),(12-xi,y2-yi)=0,

(xi+X2+4)*(x2-xi)+(yi+y2)?(>2-yi)=0,

.?.X1+X2+4+F(X1+X2-4)=0,

一當

??.4-4)=o,

3-r3-r

化為：Q二,，解得％=±J1=±￡^.

—>—>-?->

(3)由|02+0B\=\0A-0B\=4,

T—>

可得。2?。8=0,???0A_L05,|AB|=4.

直線/的方程為>=(x-c),A(xi,yi),B(必*),

把直線l的方程代入雙曲線方程可得：(5房-3/)/+6〃2cx-3〃2c2-5射/=0,

A、八6a2c—3。2c2—5。2b2

△>0,Xl+X2=------5------X1X2=-----------7-------——

5b—3a25b—3a2

.TT.3

VOA*OB=0,/.xix2+yiy2=0jxi12+lCxi-c)(%2-c)=0,

化為8x1X2-3c(X1+X2)+3。2=0,

.0—3a2c2—5a2b2?.,6a2cc2八

..8x-------o--------------3cx-n------)+3C2=0,

5b—3a25b-3a2

化為廬=3。2,C2=442.

b=V3tz，c=2〃,

6a2c—3a2c2—5a2b292

.*.xi+x2=—22—a,xix2=-------n-----------=--ra,

5b-3aSb-3a24

???4=J(l+|)[a2—4X(一，2力

解得4=1,b=V3,

???雙曲線c的方程為了—1=1.

【點評】本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的

關(guān)系、方程的解法、向量數(shù)量積性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

%2y2A/2

6.(2024?朝陽區(qū)一模)已知橢圓E：—+—=l(a>6〉0)的離心率為三，A,8分別是E的左、右頂點,

P是E上異于A,B的點，AAPB的面積的最大值為2金.

(I)求E的方程；

(II)設(shè)O為原點，點N在直線x=2上，N,尸分別在無軸的兩側(cè)，且△APB與ANB尸的面積相等.

(z)求證：直線ON與直線AP的斜率之積為定值；

(ii)是否存在點尸使得△APB絲△N8P,若存在，求出點尸的坐標，若不存在，說明理由.

【考點】橢圓的定點及定值問題.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算.

22

【答案】(I)丁x+-y=1；

42

(II)(z)證明過程見詳解；

（z7）不存在點P使得

【分析】（I）由△必B的面積的最大值可得"的值，再由離心率的值，可得。，6的關(guān)系，進而求出

a,6的值，即求出橢圓的方程;

（11）冊）設(shè)"，尸的坐標，由AAPB與△NBP的面積相等，可得N的縱坐標與P的坐標的關(guān)系，求出

直線ON,AP的斜率之積，整理可證得ON,AP的斜率之積為定值；

（z'z）存在點P使得AAPB0ANBP,由（力可得點P的橫坐標為-2,由題意可得點尸的橫坐標不等

于-2,可得假設(shè)不成立.

1

【解答】解：（I）由題知SAAPB的最大值為ax2axb=ab,

(ab=2V2

[e=￡=立，解得〃=2,b=V2,

Ia~2

Q2=b2+c2

x2y2

所以E的方程為：—+—=1；

42

(II)設(shè)N(2,力，P(xo,yo)GoW±2),貝Uyot<O9

證明：（力由題知SAAP5=SANBP,

11

所以；|4和州|=35代|（2-如）,

2/

即小駕,所以u考

設(shè)直線ON的斜率為kON,直線AP的斜率為kAP,

2%

所以々ON%P=?7^+2=2一：0?%^+2^0=-1,

乙九。十乙乙一XQ40十乙x0-4備4'

所以直線ON與直線AP的斜率之積為定值-1；

（?）假設(shè)存在點P使得△APBgZXNBP,因為|AB|,\AP\,\NP\>\NB\,\BP\=\BP\,所以|AP|=|A?],

由⑴可知t=有=出產(chǎn)，所以J（久。+2）2+據(jù)=2|辛即（久。+2）2+詔=曳一抖,

所以。o+2）2=言^,又羽=2—?，

2222

所以&+2）2=謂,所以&+2）2=（2+支？。）,

整理得3—=°，解得尤。=-2,與無o#-2矛盾，

8+2定

所以不存在點P使得△APB^ANBP.

【點評】本題考查橢圓的方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7.（2024?云南一模）已知拋物線C的焦點/在x軸的正半軸上，頂點是坐標原點。.P是圓。：/+9=3

與C的一個交點，A、8是C上的動點，且A、8在X軸兩側(cè)，直線48與圓。相切，線段。A、

線段0B分別與圓O相交于點M、N.

（1）求C的方程；

（2）△OMN的面積是否存在最大值？若存在，求使△OMN的面積取得最大值的直線AB的方程；若

不存在，請說明理由.

【考點】直線與拋物線的綜合.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）/=2x；

（2）存在，3K±巡丫-6=0.

【分析】（1）由拋物線的性質(zhì)結(jié)合已知條件列方程即可求解；

（2）設(shè)直線A3的方程為尸尹加，2辱當）,B辱%），由相切知12=嗎口，由面積公式分析得

知當。加，ON時面積最大，然后利用線線垂直與向量的關(guān)系即可求解.

【解答】解：⑴由已知，設(shè)拋物線C的方程為必=2px（p〉0）,xp=|PF|-1=

又P是拋物線C與圓。：/+『=3的一個交點，

-'-yp=2P（|一分琮+宓=（|一1）2+2P（|-1）=3,

：.p2-2/7+1=0,解方程得p=\,

；.c的方程為丁=2尤；

（2）由（1）知拋物線C的方程為/=2%，

由題設(shè)直線AB的方程為力（￥，%），B（冬，乃），

則04=（空，yi）>0B—（與，％），

聯(lián)立方程卜2=2久'得>2-2^-2m=0,則/=4t2+8m=+86一4>0,

（%=ty+mJ

?\yi+y2=2t,yiy2=-2m,

:直線AB與圓O相切,

-*.-7===化簡得產(chǎn)="可心，又A,8在x軸兩側(cè),，yiy2=-2m<0,

產(chǎn)=亨2。

則/=孚+8ni—4>0,解得mN裝,

%%=-2m<0

1

?』OMN=^\0M\?\ON\sin^MON

□

xV3xWsin(A0B=-^sinZ-AOB<

VO<ZAOB<ir,???當sinNA08=l,即4。8=*時取最大值,

此時0A_L03,貝IJOZ,OB=0,

2

又。Z?OB=+yry2=m-2m=0,

解得機=0或機=2,又THNb，則m=2,

此時解得"士亭,

...△OMN的面積存在最大值，此時直線AB的方程為x±^y-2=0,§P3x±V3y-6=0.

【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用，屬于難題.

3x2y2

8.(2024?回憶版)已知A(0,3)和尸(3,-)為橢圓C：—+—=](?>^>0)上兩點.

2a2b2

(1)求C的離心率；

(2)若過P的直線/交C于另一點8,且△ABP的面積為9,求/的方程.

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

112

【答案】(1)(2)y=[X或y=[X—3.

【分析】(1)根據(jù)聯(lián)立關(guān)于小。的方程組，再利用離心率公式得解；

(2)分直線/的斜率不存在及存在兩種情況，結(jié)合△ABP的面積為9,可得答案.

【解答】解：(1)依題意，1伐=19，解得？；2=￥，

b2=9

則離心率e=

Xv

(2)由(1)可知，橢圓C的方程為一+—=1,

129

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=3,易知此時B(3,-|),

1Q

點A到直線尸8的距禺為3,貝"AABP=2X3X3=2，與已知矛盾；

當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y-,=k(x-3),即丫=做久一3)+,

設(shè)尸（xi,yi）,B（x2,》2）,

\y-k（x—3）+5

2

聯(lián)立卜2y22,消去y整理可得，（4啟+3）/-（24后-12%）X+36A-36k-27=0,

+百=1

則與+”2=號譽，/久2=36fc2-36fc-27

4k?+3

由弦長公式可得，\PB\=Vl+k2-7（^i+^2）2-=Vl+k2-

24VJl+必-J3k2+9k+

,24戶一12k、？436/C-36/C-27圣

（——7----）—4X-----n------

軌'+3軌'+3加+3

點A到直線I的距離為d=卑地

J1+/C2

4V3-Vl+k2-j3k2+9fc+"+。|

,1T

則5x-----------------------x.....-=9,

4/C2+3V1+/C2

1Q

解得k=2或k=?

則直線I的方程為y=9或y=|x-3.

【點評】本題考查橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中

檔題.

工2y2

9.(2024?開封模擬)已知橢圓C：￡+記=l(a>b>0)的左，右焦點分別為為，放，上頂點為A,且

AFr-AF2=0.

(1)求C的離心率；

8

-

(2)射線A為與C交于點2,S.\AB\3求△48^2的周長.

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

V2

【答案】⑴—:

2

(2)8.

—>—>

【分析】(1)由橢圓可得?力/2=0,可得。，C的關(guān)系，進而求出橢圓的離心率；

(2)由(1)可得。與c,6與c的關(guān)系，設(shè)直線A乃的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點8的坐標，

求出|AB|的表達式，由題意可得c,a的值，由橢圓的性質(zhì)可得△48^2的周長為4。，即求出三角形的周

長.

—>—>

【解答】解：（1）上頂點為A,且AF「AF2=0,

可得（-c,-b）?（c,-b）=0,

即b2=c2,即a2-c1=c2,

所以離心率e=（=￥；

（2）由（1）可得Z?=c,a=V2c,

射線AFi的方程為y=^x+b=x-^-c,

y=x+c

聯(lián)立％2y2_,整理可得：3~+4cx=0,

（京+葭=1

4

-

解得％=0或%=3則y=c或y=x+c=-鏟,

41

--c

33

所以|A3|=](_全)2+(c+1c)2=tV2c=I，

解得c=V2,

則a—2,

所以△48/2的周長為4a=8.

【點評】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用及橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.(2024?商洛模擬)如圖，已知橢圓E：攝+1=l(a>b>0)的左頂點為-2,0),離心率為手，M,N

是直線/：x=l上的兩點，且。MLON,其中O為坐標原點，直線AM與E交于另外一點B,直線AN

與E交于另外一點C.

(1)記直線AM,AN的斜率分別為依、ki,求七乂2的值；

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算.

【答案】⑴-1;(2)<

【分析】(1)利用斜率公式及兩直線垂直的條件即可求解；

(2)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求得橢圓方程，當直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，并將其與

橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合(1)的結(jié)論，推出直線8c過定點；當直線8c的斜率不存在時,

寫出直線AM、AN的方程，從而得8,C的坐標，進而知直線8C的方程與所過定點，再求得該定點與

點。之間的距離，即可得解.

【解答】解：⑴設(shè)f),N(1,?),則=三=t,k0N=，=n,

因為OMLON,所以koM9koN=tn=-1,

k

因為燈=I-(L2)=三'2=1—左)=*

所以'W=_\

‘a(chǎn)=2

(2)由題意知，￡=堂，解得a=2,b=1,c=V3,

a2

<c2=a2—b2

x2

所以橢圓E的方程為T+y2=1,

當直線3C的斜率存在時，設(shè)直線3C的方程為了=丘+機，B(xi,yi),C(x2,”)，

y=kx-I-m

聯(lián)立%2,得(1+4^)x2+8^/nx+4m2-4=0,

匕+y2=i

m222

所以久i+%2=——8kxx-IZH_1,A=(8km)-4(l+^X4m-4)=16(4必-m+l)>0,

1+4/l+4r

租2_4k2

所以yiy2=(kx+m)(fcx+僧)=fc2%i%2+krnj+x)+=-----%,

1221+4/c

i

由(1)知A1,B=~gf

所以kAB，kAC=(%]+彳常2+2)=-/，整理得9yly2