甘肅省定西市某中學(xué)2025屆高三年級上冊暑假開放日教學(xué)測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

定西市渭源一中教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期暑假開放日教學(xué)測試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-3,-1,0,2,5},3={%|/<5},則力nB=()

A.{-3,-1}B.{-1,0,2}C.{-3,-1,2}D.{0,2,5}

2.已知復(fù)數(shù)z=(2-i)(3+i),其中i為虛數(shù)單位，貝Uz的虛部為()

A.-1B.1C.-7D.7

3.已知圓臺的軸截面為上底為4,下底為8的等腰梯形，且圓臺的母線長為4,則圓臺的高為()

A.73B.3C.273D.4

4.在數(shù)列{廝}中，己知的=1,且冊+1+a7t=2n,則其前31項和S31的

值為()

A.361B.423C.481D.523

5.現(xiàn)在流行網(wǎng)約車出行，已知某人習(xí)慣在4,B,C三個網(wǎng)約車平臺打車，且根據(jù)以往經(jīng)驗，在4B,C三

個網(wǎng)約車平臺能順利打到車的概率分別為9，《.己知此人先選擇4平臺打車，若不能順利打到車，則進(jìn)而

236

選擇B平臺，最后選擇C平臺.則此人在一次出行中，能順利打到車的概率為()

35137

A-4B6C.而D.-

6.已知函數(shù)/是定義在R上的奇函數(shù)，且/(X)單調(diào)遞增，則/(靖-1)+/((I-e)x)<0的解集為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(l,e)

7.已知4B是拋物線C：P=位上關(guān)于x軸對稱的兩點，。是拋物線C的準(zhǔn)線與％軸的交點，若直線BD與拋

物線C的另一個交點為E(4,4),則直線4E的方程為()

A.2%—y—4=0B.4%—3y—4=0C.%—2y+4=0D.4%—5y+4=0

8.如圖所示，在正萬體2BCD-4/1的。1中，E,F分別為4B上的中點，且EF=展，P點是正萬形

4BB14內(nèi)的動點，若G,P〃平面CD]EF,貝葉點的軌跡長度為（）

A.2，^B.37rC.D.n

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知向量五=（x,2-x）,b=（-1,-%）,則下列說法中正確的是（）

A.若必/B,則x=—2或1

B.若21b,則x=0或—3

C.若同=\b\,貝!=1或3

D.若刀=-1,則向量出反夾角的余弦值為唱

10.劉女士的網(wǎng)店經(jīng)營堅果類食品，2019年各月份的收入、支出（單位：百元）情況的統(tǒng)計如圖所示，下列

說法中正確的是（）

80

70

60

50g

丁

40,I

307

201±_

10

07891O2月

注

支

收

.入

A.4至5月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B.支出最高值與支出最低值的比是5:1

C.第三季度平均收入為5000元

D.利潤最高的月份是3月份和10月份

11.已知函數(shù)/'（久）=/]n久，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)％>1時，/(%)>0；當(dāng)0<x<1時，/(%)<0

B.函數(shù)/(%)的減區(qū)間為(0,保)，增區(qū)間為(正,+8)

C.函數(shù)/(%)的值域［一］,+8)

D./(%)>x—1恒成立

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2%+口)5的展開式中，/的系數(shù)是.

13.已知三角函數(shù)f(x)=sin(3久+以3>04€(0,幼的圖象關(guān)于(0,0)對稱，且其相鄰對稱軸之間的距

離為》則9=.

14.已知雙曲線卷―A=1Q>0">0)的離心率為YZ,虛軸長為2形，&、4為左、右焦點，則焦點心

到漸近線的距離為；設(shè)點B為。P：/-2%+y2-4y+1=0上一點，動點力為雙曲線左支上一點，

則|四2|+|4用的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在團(tuán)4BC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)回4BC的面積為S,且滿足S=f(a?+一?2).

(1)求角C的大??；

(2)求sinAsinB的最大值.

16.(本小題12分)

r2

設(shè)/(久)=x3---2x+5

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)x6時，/(x)<ni恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—2BCD中，底面4BCD為直角梯形，AD//BC.ABLAD,PAIJgffiXBCD,且24=

y［2AB=yJl.BC,AD=2BC,E,F分別為PB,PC中點.

p

(1)證明：EF〃平面PAD；

(2)求平面AEF與平面PBC所成角的正弦值.

18.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M(x,y)到點尸(1,0)與到直線％=5的距離之比為g,記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若點P是圓/+*=5上的一點(不在坐標(biāo)軸上)，過點P作曲線C的兩條切線，切點分別為48,記直線

P4PB的斜率分別為七#2，且七=—4-七，求直線OP的方程.

19.(本小題12分)

甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為《乙射擊一次命中的概率為最比賽共進(jìn)行幾

輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊九次，每次命中得2分，未命中得0

分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止

射擊.

(1)設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊71輪次總得分為隨機變是Xn,求E(X20)；

(2)甲、乙同學(xué)分別選取方案一、方案二進(jìn)行比賽，試確定N的最小值，使得當(dāng)nNN時，甲的總得分期望

大于乙.

參考答案

l.B

2.A

3.C

4.C

5.C

6.5

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.10

14.76；2y/~5+2<3-2

15.⑴

由S=孕(a?+b2—c2)可知，^-absinC=孕x2abcosC.

4L4

所以tanC=V_3.

因為0<C<TT,所以。=半

(2)

由已知sinZsinB=sinZsinQ-C—A)

121

V3..1,1-n7r-+-

=—sm2Q4--cosQ2A+-2si2464

444

因為0<a<奈所以<<24-<勺，

3666

所以當(dāng)22—1=J即A=g時，sinAsinB取最大值,,

oZ54

所以sinZsinB的最大值是,.

4

16.(1)/'(%)=3x2—x—2,

令f'Q)=0,解得%=1或%=一|，

當(dāng)》〈一,或%>1時，/'(%)>0,/(%)為增函數(shù)，

當(dāng)—I(尤<1時，f(x)<0,/(x)為減函數(shù)

綜上：函數(shù)〃久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-|］和［1,+8),遞減區(qū)間為卜Q］.

(2)當(dāng)%6［—1,2］時，/(%)<m恒成立，

只需使/(%)在上最大值小于m即可

由⑴知“久)最大值為f(一I)=5+11、端點值f(-l)=54(2)=7中的較大者.

???f⑺在上的最大值為"2)=7,

?。.m>7,

所以實數(shù)6的取值范圍是爪>7

17.(1)

因為E,F分別為PB,PC的中點，所以EF〃BC,

在直角梯形48CD中，因為力D〃BC,所以

又因為ADu平面PAD,EFC平面PAD,

所以EF〃平面24。；

(2)

由P4，平面ABC。，AB,ADu平面48CD,得P41AB,PA1AD,又481AD,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)力B=2,

貝|B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2/2),D(0,4,0),F(l,0,VI),F(l,l,72),

所以荏=(l,0,72),AF=(1,1,72),PC=(2,2,-2/2),PB=(2,0,-2/2),

設(shè)平面的法向量為記=(x],yi，Zi),

則，H-AE=x1+Zi=0

\m-AF=+y[+z1=o'

取比i=則Z]=-1,%=o,即沅=(Y2,o,—i),

設(shè)平面PBC的法向量為元=(如乃應(yīng))，

則，？?PC=2X2+2y2—2A/-2ZI-0

In-RD=2X2—2V~^Z2=0

取Z2=貝卜2=2,丫2=0，即有=(2,0,V~2)，

設(shè)平面4E尸與平面PBC所成角為仇

\m-n\_|2/2-/2|_1

則|cos6|=\cos(jn,n)\=

|m|-|n|-/2+T-/TF2-3,

18.⑴

根據(jù)題意可得粵=?，即耳受=?,

\x-5\5|x-5|5

整理可得1,

54

因此曲線C的方程為合+4=1；

54

(2)

如下圖所示：

設(shè)P(zn,ti),4(%Lyi),8(%2，y2)，則/+n2=5,

又點尸不在坐標(biāo)軸上，所以mW0且九W0；

因此直線PA的方程為y=kr(x—m)+n,直線尸B的方程為y=k2(x—m)+n,

又直線R4與橢圓相切與點4

y=fci(%—m)+n

聯(lián)立x2y2整理可得(4+5般)%之+(lO/qn—10klm)x+S(klm2+n2—2klmn-4)=0

—+—=1

54

可得4=0,即(10k1九—10好m)2_4(4+5般)x5(蜉血2+九2_2klmn-4)=0,

22

整理可得(5—m)fc2+2krmn+4—n=0,

2

又血2+彥=5,可得九2好_|_2mnkr+4—n=0；

2

直線PB與橢圓相切與點8,同理可得必反+2mnk2+4-n=0,

所以七水2是關(guān)于々的一元二次方程九2A:?+2mnk+4-n2=0的兩個不同的實數(shù)根，

2mn2m

因此七十%=一

n2n

再由七=—4—七可得七+B=—~=—4,即:=2；

所以直線8的斜率為k=2=3,

因此直線OP的方程為y=

19.解：⑴設(shè)冬=爭,故Z.Bjng),

所以E(Xn)=2E(Zn)=n,

故￡(X20)=20；

(2)由(1)知E(Xn)=九，

設(shè)乙同學(xué)的總得分為隨機