導數(shù)壓軸突破-切線放縮（含答案及解析）

第37講切線放縮

【典型例題】

例L已知%,a29a39%成等比數(shù)列，且q+%+/+%=歷（4+g+%），若%>1,

則（）

A.%<〃3，//B.%>。3，a2<a4C.%<〃3，%>。4D.4>%，%>/

例2.已知/(x)=3M，xe[0,3],已知數(shù)列｛%｝滿足0<%,,3,neN*，且

1+X

%+%+…+々2010=670,貝1J/(%)+/(4)+???+f(^2010)有()

A.最大值6030B.最大值6027C.最小值6027D.最小值6030

例3.已知不等式歷（％+1）-L,依對一切犬>-1都成立，則2的最小值是（）

a

A.1—eB.eC.l—e~3D.1

例4.若存在不￡(0,1),滿足In">2a(v-1),則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(一,+oo)B.[_,4-oo)C.(_co,_)D.(_oo,一]

4444

例5.已知函數(shù)/(x)=2/〃(尤+l)+sinx+l,函數(shù)g(x)=ar—1—6/nr(a,beR,ab^O).

(1)討論g(x)的單調性;

(2)證明：當x..O時，/(x)?3x+l.

(3)證明：當x>—l時,f(x)<(x2+2x+2)esmx.

例6.已知函數(shù)/(x)=2mr+sinx+1,函數(shù)g(x)=,b&R,ab^=O).

(1)討論g(x)的單調性；

(2)證明：當a=b=l時，g(x)..O.

(3)證明：/(x)<(x2+l)esinx.

【同步練習】

一.選擇題

1.已知函數(shù)/'⑴=/*--法-辦，aG(-00,—y],函數(shù)/(X)的最小值Af,則實數(shù)M的

e

最小值是()

A.—1B.—C.0D.——

ee

二.填空題

2.若x,y是實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)，，+>+2—3,,/〃(>一2尤+1)+3元，貝|2尤+>=

3.若x,y是實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e""2-3,,/〃(y—2x+l)+3x,貝|x+y=.

4.已知不等式歷(x+l)-L,辦+6對一切x>-l都成立,則々的最小值是.

a

5.已知函數(shù)/(x)=e，-l,g(x)=/〃(x+l),直線/與y=/(x)的圖象相切，與y=g(x)的圖

象也相切，則直線的/方程是.

6.已知實數(shù)a,b,c滿足/。+02-二,。+2匕+1(6為自然對數(shù)的底數(shù))，則的最小

值是.

7.已知實數(shù)a,b,c滿足e"+c+e4~，,a+46+l(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則合+k的

最小值是.

xa

8.函數(shù)f(x)-e~+x,g(x)=/w(x+2)-4e"r,若玉°使得f(x0')-g(x0)=3,則

a=.

三.解答題

9.已知函數(shù)/(x)-ax+Inx+1.

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)討論函數(shù)/(x)零點的個數(shù)；

(3)對任意的x>0,f(x),,Ke?'恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

第37講切線放縮

【典型例題】

例L已知%,a29a39%成等比數(shù)列，且q+%+/+%=歷(4+g+%)，若%>1，

則()

a<a

A.%<〃3，//B.%>。3，24C.%<〃3，%>。4D.%>/，%>/

【解析】解：4,%,生，%成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質可知，奇數(shù)項符號相同，偶

數(shù)項符號相同，

%>1,設公比為,，

當q>0時，令4+%+/=，，-a4=t-Int..1,即一〃4.」，故4<0,不成立，

即：a1>a3,a2>a｛<a3,a2<a4,不成立，排除A、D.

當q=-1時，4+a?+4+4—0,(q+%+叼)>。，等式不成”*，所以q豐—1；

當4<一1時，％+々2+。3+。4<°，歷(4+々2+々3)>°，4+々2+。3+。4=歷(。1+。2+。3)不成

立，

當qw(—l,O)時，a2<a4<0,并且q+/+%+%=加(4+%+。3)，能夠成立，

故選：B.

例2.已知人>)=亙1心[0,3],已知數(shù)列｛氏｝滿足0<%,,3,neN：且

1+X

%+。2+...+〃2oio=670，則f(%)+/(出)+?…+?/*(%oio)有()

A.最大值6030B.最大值6027C.最小值6027D.最小值6030

【解析】解：：/(g)=3,當q=%=…=%)10=g時，

/(%)+/3)+…+/Qcno)=6030,

對于函數(shù)/(x)=二,xe[0,3],k=f'(^)=~,

1Q1

在x=處的切線方程為y-3=京(%.),

即y=—(11-x),

10

貝U/(x)=g”^(11-x)=(x-3)(x-1)2,,0成立，

3

/.0<an?3,〃cN+時，有/(4),,記(11-3a〃),

3

f(4)+/(%)+...+</*(%01()),,—[11x2010—3(%+%+??.+〃2oio)]=6。3。?

故選：A.

例3.已知不等式加(X+l)-L,依+》對一切%>-1都成立，則2的最小值是()

a

A.1—eB.eC.l-e~3D.1

【解析】解：令y=加(％+1)—雙一6一1,貝=---a,

1+x

若4,0,則V>0恒成立，%>-1時函數(shù)遞增，無最值.

1—n

右a>0,由y'=0得：x=----，

a

當時，y>o,函數(shù)遞增；

a

當天>匕4時，y<o,函數(shù)遞減.

a

則X=—處取得極大值，也為最大值-Ina+a-b-2,

a

—Ina+a—b—2,0，

b...—Inci+a—2,

b—Ina+a—2盡_—Ina+a—2

aaa

,Ina+1

.」=—，

a

：.(0,e-1)±,t'<0,(e-1,+oo)上，f>0,

a^e',tmin=l-e.

的最小值為l-e.

a

故選：A.

例4.若存在x°e(0,l),滿足友尤。-1),則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—,+℃>)B.[―,+oo)C.(—co,：)D,(—<?,—]

4444

丫411

【解析】解：設飄工)=歷土1，%￡(0,1),則〃⑴是單調增函數(shù)，且九⑴的值域為(無L0)；

22

設g(x)=2a(x-1),則g(%)恒過定點(1,0),

又h(x)=ln(x+1)-ln2,

/.hr(x)=」一，且〃(%)..〃(1)=L

x+12

y=2a(x-\)

即V尤e(O,l),不等式歷——,,2a(x-l)不成立，

2

由止匕得—<2(?,解得a>—,

24

所以。的取值范圍是

4

故選：A.

例5.已知函數(shù)/(尤)=2歷(x+l)+sinx+l,函數(shù)g(x)=依一1一,beR,QZ?WO).

(1)討論g(x)的單調性；

(2)證明：當x..O時，/(x)?3x+1.

(3)證明：當時，/(x)<(x2+2x+2)esin".

【解析】解：(1)g(x)的定義域為(0,+oo),g《x)=竺心,

X

當a>0,hvO時，g'(%)>0,則g(%)在(0,+00)上單調遞增；

b

當a>0,Z?>0時，令g'(X)>0,得x>—,

a

令g'(x)<o,得。<尤<2,則g。)在(0勺上單調遞減，在(2,+oo)上單調遞增；

aaa

當a<0,6>0時，g'(x)<0，則g(x)在(0,+oo)上單調遞減；

當avO,〃vO時，令g'(%)>0,得0<%<一,

a

令g’(x)<0,得x,，則g(x)在(0造)上單調遞增，在&+8)上單調遞減；

aaa

(2)證明：設函數(shù)%(x)=/(%)-(3x+l),則/(%)=----FCOSX-3.

x+1

2

x..0,「.----E(0,2],COSXG[-1,1],

x+1

則"(無),,0,從而/z(x)在［0,+00)上單調遞減，

h(x)=f(.x)-(3x+1)?/?(0)=0,即/(x)?3x+l.

(3)證明：方法一：當a=6=l時，g(x)=x-l-lnx.

由(1)矢口，g(x),”j.=g(1)=0,g(x)=x-l-Im..0,即x..l+/nx.

當x>-1時,(x+l)2>0,(%+l)2este>0,貝U(尤+1)209..1+山［(尤+1)2*力，

即(x+1)2esinx..2出(x+1)+sinx+1,X(x2+2x+2)esinv>(x+l)2esinv,

(x2+2x+2)esmx>21n(x+1)+sinx+1,

即/(x)<(Y+2x+2)e皿.

方法二：當x>—l時，要證/(幻<(_?+2尤+2)0皿，

只需證(x+1)2esinv一［2歷(尤+l)+sinx］-l+esin%>0

即證e'"Wsi"一⑵〃(x+i)+sin幻-1+6而,>。，

F(x)=ex-x-1,易證尸(x)..O*

故產劃2一⑵心+1)+sin幻-1+*,>0,

所以當x>-l時，/(x)<(f+2無+2)網1

例6.已知函數(shù)/(x)=2/nr+sinx+l,函數(shù)g(x)=辦-1一6加(。，beR,ab^O).

(1)討論g(x)的單調性；

(2)證明：當a=6=l時，g(x)..0.

(3)證明：/(x)<(x2+lksinv.

【解析】解：(1)函數(shù)g(x)的定義域Q”)，81期二絲也，

X

當a>0,bvO時，g\x)>0,則g(%)在(0,+00)上單調遞增；

hh

當a>0,b>0時，由<(x)>0可得x>—,止匕時函數(shù)單調遞增，令g，(x)<0可得0<%<—,

aa

此時函數(shù)單調遞減，

當avO,人>0時，g\x)<0,函數(shù)在(0,y)單調遞減，

A_A

當a<0,bvO時，由，(X)>0可得0<x<—,止匕時函數(shù)單調遞增，令/(X)<0可得x>—,

aa

此時函數(shù)單調遞減，

(2)當々=6=1時，g(x)=x-l-lnx,

由(1)知，g(%)*=g(1)=0,

所以gO)..o,

(3)因為龍>0,所以fe而,>0,

由(2)可得x2esinx-l-Zn(x2esin%)..O,

即YeMn，..i+2仇x+sinx,

X(x2+l>sin'>x2esinv.

(x2+l)esmj:>21nx+sinx+1,

即/(x)<(%2+l)esinx.

【同步練習】

一.選擇題

1.已知函數(shù)/(幻=無-_加_辦，ae(-oo,-4]>函數(shù)/(x)的最小值M，則實數(shù)M的

e

最小值是()

A.-1B.--C.0D.-士

ee

【解析】解：?.?函數(shù)/(%)=比小一/"一利，々￡(-00,―y],

e

f\x)=-+axe^-a--(ax+1)(^--)，

xx

由滑T—L=0,解得：Q=1ZZ竺，

XX

設雙X)=^竺，

X

貝1")=蛆=，

X

當尤>/時，y(%)>o,當Ovxvf,y(%)<o,

從而p(%)在(0,f)上單調遞減，在(/,+8)上單調遞增，

21

P(x)mi〃=p(e)=-7，

、l/,11—日nax—\1八

當④一一-,④-----，即e以1一一?0,

exx

在(0,-L)上，ax+l>0,f(x)?0,g(x)單調遞減，

a

在(_,，+8)上，ax+l<0,f'(xy.O,g(x)單調遞增，

a

a

設/=-L?(0,e2],M=hit)=^--lnt+l,(0<t?e2),

ae

//(f)=X_l?0,/z(x)在xe(0,e?]上單調遞減，

et

/z(?)../?(e2)=0,的最小值為0.

故選：C.

二.填空題

2.若x,y是實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù),產一3?歷(y-2x+l)+3x,貝U2x+y=

【解析】解：?.?比gx—1，(當x=l時取等號)，

:.ln(y-2x+l)?y-2x+l-l=y-2x，

ln(y—2x+1)+3不，y+x,

此時y—2x+l=l時取等號，

???e"..x+l,(當x=0時取等號)，

...ex+y+2-3..X+y+2+l—3=x+y,

止匕時x+y+2=0取等號，

又ex+y+2—3?ln(y—2x+1)+3x,

/.ex+y+2-3=x+y=ln(y-2x+l)+3x,

故有y—2x+l=l且％+y+2=0同時成立，

74?

解可得，x=—?y=――止匕時2x+y=_§.

故答案為：-9

3

3.若尤，y是實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)，*>2—3,,歷(y—2]+1)+3無，則x+y=

【解析】解：令/(%)=加:一％+1(%>0),則尸(無)=工一1,

x

當Ov%vl時，f\x)>0；當元>1時，fr(x)<0,

則/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，

即V%>0,/(x)?f(1)=0,即/喝x-l,當且僅當％=1時取“=”，

于是歷(丁一2%+1)+3兀，(y一2%+1)—1+3元=%+丁，當且僅當,一2%+1=1時取"二

顯然即然Lx,所以/..x+1,當且僅當％=0時取“=

所以,+丹2一3..(%+y+2)+l—3=x+y,當且僅當無+y+2=0時取“=

即無+諼上+尸2-3ln(y-2x+1)+3光？x+y,

[Y_2v—f)

所以e，+y+2_3=/〃(y_2x+l)+3,當且僅當..一時取''"

[x+y+2=0

y-2x=0解得x=-2,y=一3，

由

x+y+2=033

此時x+y=—2.

故答案為：-2.

4.已知不等式加(X+1)-L,0￥+人對一切%>-1都成立，則2的最小值是

a

【解析】解：y=ln(x+l)-ax-b-l,貝ljy=^a,

x+1

若&o,則y>o恒成立，%>—1時函數(shù)遞增，無最值.

1—a

若Q>0,由y'=0得：x=----，

a

當t<尤<匕色時，y>o,函數(shù)遞增；

a

當天>匕￡時，y<o,函數(shù)遞減.

a

則x=j處取得極大值，也為最大值-松+a-%-2,

a

—Ina+ci—b—2,0，

b...-Irici+〃-2,

b—Ina+a—2

..—..；----------,

aa

tIna+a-2

a

,lna+1

/.f=-丁，

a

(0,-)±,t'<0,(-,+oo)上，f>0,

ee

1i

「?a=—，%n=l-e?

e

的最小值為l-e.

a

故答案為：l-e.

5.已知函數(shù)f(x)=e"-1,g(x)=ln(x+1),直線/與y=/(%)的圖象相切，與y=g(%)的圖

象也相切，則直線的/方程是.

【解析】解：/(x)=e“-1與趴%)=加(％+1)互為反函數(shù)，其圖象如圖，

其公共點為0(0,0),

由/(尤)=e*-l,得/(x)=e*',

曲線/(x)=e'-1在0(0,0)處的切線方程為y=x,

由g(x)=ln(x+1),得g'(x)=」一，

x+1

“'(。)=1，

曲線g(x)=/"(x+l)在0(0,0)處的切線方程為y=x,

曲線/(尤)=e"-1與曲線g(x)=/〃(x+l)的公切線為y=x.

故答案為：y=x.

y=e-l/1

A/^y=Zn(x+l)

6.已知實數(shù)a,b,c滿足00+。+02~\。+26+13為自然對數(shù)的底數(shù)），則儲+后的最小

值是.

【解析】解：由題意設新函數(shù)"（X）,

設w(x)=ex-(x+1),則u\x)=ex-1,

可知u(x)..〃(0)=0,即e"..x+1；

由不等式性質可知/+°+/人,一1..々+。+1+2〃—。=〃+2/?+1,當且僅當a+c=2&—c—1=0時

取等號；

ve°+c+/人”、a+2〃+l（e為自然對數(shù)的底數(shù)），

即有：ea+c+e2b-c-l^a+c+l,

即：a+c=2Z?—c—1=0；

fl=-C;6=山

2

...fl2+Z,^c2+(￡+l)i=51

443+95

當且僅當時，取等號，

5

則儲+〃的最小值是：1

5

故答案為：-

5

7.已知實數(shù)。，b,。滿足0。+。+04~7,,0+46+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則"+。2的

最小值是.

【解析】解：構造函數(shù)/a）=e'-x-l,

r(x)=e'-l,令r(x)>0解得：x>0,

故函數(shù)/(x)在(-8,0)遞減，(0,+<?)遞增,

故了⑺的最小值為/(0)=。，

故，(元)..0在r上恒成立，

e*..x+1,

:.ea+c..a+c+i,eiM.Ab-c-\+\,

故小+?*--+46-1,

當且僅當：a+c=O,46-c-l=O時取等號,

b=^

故。=-c，

4

故/+/=/+/+2c+117211

——c+-c-\---

1616816

觀察可得/+/可表示為關于C的二次函數(shù)，故在對稱軸。=-上取最小值，最小值為工,

1717

故答案為：:

xaax

8.函數(shù)f(x)=e~+x,g(x)=ln(x+2)-4e~,若比使得f(x0')-g(x0')=3,則

【解析】解：4*/(x)-g(x)=x+ex~a-ln(x+2)+4ea~x,

1y1

令y=x-ln(x+2),/=1------=----,

x+2x+2

故y=x-加(x+2)在(-2,-1)上是減函數(shù)，(-1,”)上是增函數(shù)，

故當x=-l時，y有最小值—1—0=-1,

而ei+4e“r..4(當且僅當ei=4e"f,即x=/〃2+a時，等號成立);

故/(x)-g(x)..3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時，等號成立)；

故x=a+m2=—1,

即a=—l—ln2.

故答案為：-1-加2

三.解答題

9.已知函數(shù)/(x)=ar+/nr+l.

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)討論函數(shù)/(尤)零點的個數(shù)；

(3)對任意的x>0,〃瓊,撫2工恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【