2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)試題匯編：空間向量與立體幾何

（7）空間向量與立體幾何

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯編

一、選擇題

1.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高

均為百，則圓錐的體積為（）

A.2后B.3扃C.6石兀D.9后

2.[2024年新課標(biāo)H卷高考真題]已知正三棱臺(tái)ABC-4與。]的體積為半，AB=6,4片=2,

則A/與平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.[2024屆.合肥一六八中學(xué).模擬考試]設(shè)。，。表示兩條直線，a,，表示兩個(gè)平面，則下列

命題正確的是（）

A.若切/a，cua,則匕〃cB.若/JUQT，bile，則cutz

C.若c〃二,a1/3,則。_1_尸D.若c〃a，c_!_/?,則。_L/?

4.[2024屆?浙江溫州?二模]在正三棱臺(tái)A8C-A用G中，下列結(jié)論正確的是（）

A.V.CY出?=3匕「陰G平面ABC

C.A.B±B]CD.AA11BC

5.[2024屆.山東臨沂.二模]已知正方體ABC。-AqGA中，M，N分別為CC1，G。的中點(diǎn),

則（）

A.直線MN與A,C所成角的余弦值為無(wú)

3

B.平面BMN與平面BCR夾角的余弦值為叵

10

C.在g上存在點(diǎn)Q,使得4Q±BD]

D.在BQ上存在點(diǎn)P,使得PAII平面BMN

6.［2024屆.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué).模擬考試］將邊長(zhǎng)為夜的正方形ABC。沿對(duì)角線AC折起，使得

BD=>/2,則異面直線AB和CD所成角的余弦值為（）

A」B.正C至D.逅

2223

7.［2024屆.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué).模擬考試］已知正四棱錐尸-ABCD各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正

四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,體積為三64,則該球表面積為（）

4冗

A.9兀B.3671C.4KD.——

3

二、多項(xiàng)選擇題

8.［2024屆.河北邢臺(tái).模擬考試聯(lián)考］在△ABC中，B=~,AB=2,3C=3,E為AC的中點(diǎn)，

2

點(diǎn)R在線段上，且CF=25尸，將△回（?以直線為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐，D

為底面圓上一點(diǎn)，滿足4。=兀，貝!!（）

A.BA1BD

B.而在荏上的投影向量是!麗

2

C.直線EF與直線CD所成角的余弦值為運(yùn)

65

D.直線EF與平面ACD所成角的正弦值為生黑

9.［2024屆.河南.模擬考試聯(lián)考］將圓柱的下底面圓。1置于球。的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好

使得。］與水平截面圓的圓心重合，圓柱OR的上底面圓。2的圓周始終與球0的內(nèi)壁相接（球

心。在圓柱002內(nèi)部）.已知球。的半徑為3,00,=|.若R為上底面圓。2的圓周上任意一點(diǎn)，

設(shè)R。與圓柱002的下底面所成的角為a，圓柱OQ2的體積為V，則（）

A.a可以取到，某中的任意一個(gè)值

B.V=cos2a(1+2sina)

C.y的值可以是任意小的正數(shù)

8171

D.V

max4

三、填空題

10.[2024屆.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué).模擬考試]如圖，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD,且

PA=AB=2,M是線段PB的中點(diǎn)，則異面直線DW與己4所成角的正切值為.

11.[2024屆.海南.模擬考試?？糫米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行的必備的

用具.為使堅(jiān)固耐用，米斗多用上好的木料制成.米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征,

帶有濃郁的民間文化韻味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品.如圖的米斗可以看作一個(gè)正四

棱臺(tái)，已知該米斗的側(cè)棱長(zhǎng)為5&，兩個(gè)底邊長(zhǎng)分別為4虎和3&，則該米斗的外接球的表面

積是.

四、雙空題

12.[2024屆.福建?階段性考試]已知圓錐SO的母線&!=5,側(cè)面積為15兀，則圓錐SO的內(nèi)切球

半徑為;若正四面體4-能在圓錐SO內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體A-5lG2的

最大棱長(zhǎng)為.

五、解答題

13.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]如圖，四棱錐P-ABCD中，上4_L底面ABCD,PA=AC=2,

BC=l,AB=6.

p

(1)若ADLPB,證明：AD〃平面P3C；

⑵若ADLOC'且二面角人一。一0的正弦值為年'求AD

14.[2024年新課標(biāo)H卷高考真題]如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=56,

ZADC=90°,ZBAD=30。，點(diǎn)E,R滿足通=—M,通=—通，將ZxAEF沿ER翻折至4PEF,

52

(1)證明：EFLPD：

(2)求平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值.

15.[2024屆.湖北.模擬考試聯(lián)考]如圖，在三棱錐尸-ABC中，與△ABC都為等邊三角

形，平面平面ABC,M,。分別為Q4,A3的中點(diǎn)，且。0「創(chuàng)/=3,N在棱上,

且滿足5N=2NC,連接GN.

(1)求證：GN〃平面PAC；

(2)設(shè)AB=2,求直線PN與平面BGN所成角的正弦值.

參考答案

1.答案：B

解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為廣，因?yàn)樗鼈兊母呔鶠榘?，且?cè)面積相等，所以

2Tirx6=Tir，(6)2+戶，得產(chǎn)=9,所以圓錐的體積V=g兀產(chǎn)義6=3岳，故選B.

2.答案：B

解析：設(shè)正三棱臺(tái)ABC-45cl的高為人，三條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P,作POL平面ABC于

點(diǎn)。，尸。交平面431cl于點(diǎn)。J連接。4,@4，如圖所示.由=,可得尸a=；/z,

2

尸。=J又S?c=gx22x#=GSAABC=1X6X^=973,所以正三棱臺(tái)ABC-4用G

的體積V=%.BC—匕"G=396x，—；x百義?=三,解得八#,故PO='h=26

由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，。為底面A3C的中心，則。4=2義而與=26，因?yàn)镻OL平面

3

PC

ABC,所以NPAO是4A與平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=-^=1,故選B.

3.答案：D

解析：若Z?//a，cua,則b//c或〃與。異面，故A錯(cuò)誤；

若〃uiz，bl1c?則cua或clla故B錯(cuò)誤；

若〃/a，al/3,則cu分或c〃尸或c與，相交，相交也不一定垂直，故C錯(cuò)誤;

若clla,過(guò)c的平面與a相交，設(shè)交線為a,則c//a又c1(3,則a_L，,而aua,則tz_L，,

故D正確.

故選：D.

4.答案：D

解析：

5.答案：C

解析：

6.答案：A

分別取AC,BD,中點(diǎn)為E,F,G,

連接BD,EF,EG,FG,DE,EB,

則EG//CD,EG//AB,

所以NFGE為異面直線AB與CO所成的角，

因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為0,則FG=正，EG=YZ,

22

在等腰直角三角形ABC中，

因?yàn)锳B=BC=0,

所以AC=2.

因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

所以3E」AC=1,

2

同理可得，DE=1.

因?yàn)樽?+￡）彥=2=BD?,

所以△BED是等腰直角三角形.

又因?yàn)辄c(diǎn)R為3。的中點(diǎn)，

所以=

22

在4跖6中，F(xiàn)G=EG=EF=匚,

2

所以是等邊三角形，

所以NFGE=60。，

所以cos/FGE=cos60°=

2

故選：A.

7.答案：B

解析：如圖，設(shè)P在底面ABCD的射影為H,則平面ABCD,

且“為AC,的交點(diǎn).

因?yàn)檎睦忮F底面邊長(zhǎng)為4,故底面正方形的面積可為16,且AH=』x40=2VJ,

2

164

故一xP〃xl6=—,故PW=4.

33

由正四棱錐的對(duì)稱性可知0在直線PH上，設(shè)外接球的半徑為R,

則OH=|4—/，故A?=8+（4—火）2,故火=3,

故正四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4x7ix9=36兀，

故選：B.

8.答案：ABD

解析：△ABC旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點(diǎn)為C,底面圓心為3,半徑AB=2,所以所對(duì)的

圓心角為NABD=巴，A正確.易知B正確.以3為原點(diǎn)，

2

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（020）,0（2,0,0）,C（0,0,3），E[1，|]，/（0,0,1）

E

所以而=1o,—L—g),CD=(2,0,-3),C4=(O,2,-3)

二匚I、I/廠K/^r\\EF，CD3,65

所以cos(EF,CD}=?“I彳=-,C錯(cuò)誤.

\EF\\CD\65

2x—3z—0,.rr->/\

設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則令z=2,則“=(3,3,2).

2y—3z=0,')

嚶,D正確.

設(shè)直線EF與平面ACD所成的角為。，則sind=

9.答案：BCD

解析：過(guò)R作圓柱OQ?的軸截面PQRS,過(guò)。作MN，a.交圓柱軸截面的邊于〃，N,

由R。與圓柱的下底面所成的角為a,則。M=3cosa,MR=3sina,所以

277T

222

V-TI-OM-QR=71?(3coscif)(OO1+3sincif)=cosdf(l+2sincif)，

即y=^^cos2a(l+2sina)=^^(l—sin2a).(l+2sina),故B正確;

當(dāng)點(diǎn)P,Q均在球面上時(shí)，角a取得最小值，此時(shí)=oa=|，所以a=弓，

所以aj30,故A錯(cuò)誤;

[62；

令sina=teg，l]，所以V=—=2/—/+2/+1

所以展學(xué)(―)，

6"2t+2另—6?—2，+2=0,

解得兩根/=1y/13,>=]+"7^,

1222

所以乙等（-6*2f+2）W等x一6義用-2x1+2=-等<0,

）在

—/+2/+1feg,l]時(shí)單調(diào)遞減,

所以匕ax=2x-f-1+2xf-Ll=—,0<V<—，故CD正確；

max2[UJUJ^2jJ44

故選：BCD.

10.答案：V5

解析：因?yàn)樯?，平面ABCD,則B4_L4),PA±AB,又四邊形ABCD是正方形,

則ABLAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP,AB,而分別為x,?z軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且B4=AB=2,則￡>(0,0,2),

尸(2,0,0),5(0,2,0),又航是線段Pfi的中點(diǎn)，則2(1,1,0),

APDM276

則加=(1,1,—2),衣=(2,0,0)則cos（亞麗'）=

|AP|.|W|2766

設(shè)異面直線DM與上4所成角為，，即COS，=COS<IAM〉=Y^,

6

則sin0=71-cos20-,所以tan。="""_6，

6cos<9

即異面直線DM與PA所成角的正切值為百.

故答案為：卮

11?答案：100兀

解析：由題意，米斗的示意圖如下：設(shè)棱臺(tái)上底面中心為下底面中心為。2,

由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，外接球的球心。落在直線002上，

由題意該四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為4虎和3&，側(cè)棱長(zhǎng)為5a，

則|。刈=4,|Q4=3，|AB|=5近，

所以laakJWM'（DAHQMY=「

設(shè)外接球的半徑為凡設(shè)|0Q|=/z,

若。在線段002上，則10011=7—/?,

因?yàn)?02垂直于上下底面，

所以|0Q『+|Q3「=叱，即/+32=R2,

又=R2,即（7-獷+42=叱，

聯(lián)立解得h=4,E2=25，

所以該米斗的外接球的表面積為4兀氏2=ioO7t-

若。在aa的延長(zhǎng)線上，則I1=7+丸，

同理有（7+獷+4?=/?+9，解得力=T（舍）.

故答案為：100兀.

12.答案：①②.卡

解析：如圖，在圓錐SO中，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為/,底面圓半徑為廠,

因?yàn)閭?cè)面積為15兀，所以?！?15兀，即力=15.

因?yàn)?=&1=5，所以r=3，所以SO=j52-32=4?

棱長(zhǎng)為。的正四面體4-如圖所示，

則正方體的棱長(zhǎng)為正。，體對(duì)角線長(zhǎng)為逅q,

22

所以棱長(zhǎng)為a的正四面體4-四￡2的外接球半徑為亞a.

取軸截面SAB，設(shè)△&LB內(nèi)切圓的半徑為八

則、4乂6=工(6+5+5)廠，解得「=』，

22'，2

即圓錐SO的內(nèi)切球半徑為3.

2

因?yàn)檎拿骟w4-耳￡〃能在圓錐SO內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以即aw?，

42

所以正四面體4-與G2的最大棱長(zhǎng)為n-

故答案為：-；V6.

2

13.答案：(1)證明見(jiàn)解析

(2)AD=#)

解析：(1)由于底面ABC。，A￡)u底面ABCD,:.PA±AD,

又ADLP5,PAC[PB=P,PA,P5u平面B4B,平面以3,

又ABu平面B4B,:.AD±AB.

AB-+BC2AC2,：.AB±BC,：.BC//AD,

???AD,平面PBC,BCu平面PBC,.-.AD//￥ffiPBC.

(2)由題意知DC,AD,AP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，DC所在直

線為y軸，過(guò)點(diǎn)。且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則￡>(0,0,0),

設(shè)A(a,0,0),a>Q,

CP=(a,-J4—ci~,2).

設(shè)平面CPD的法向量為〃=(x,y,z),

,CD-n=0一14—a?y=0_

貝I一，即｛/,可取〃=(2,0,—a).

CPn=0ax-\4-a2y+2z=0

設(shè)平面ACP的法向量為/n=(%,%,zj,

r?m-CP=0ax,—《4—a2y,+2z.=0一宣/----r

則<_.,即｛____,可取帆=(“一。2,。,0).

2

m-AC=0-axr+A/4-a=0

二面角A-CP-D的正弦值為四，

7

二余弦值的絕對(duì)值為五，

7

痂/\|\mn\244-Y幣

故|cos〈》i,〃〉|=------=/,=——，

\m\-\n\,“+,27

又a>0,:.a=6即AD=技

14.答案：（1）證明見(jiàn)解析

8765

65

解析：（1）由題，AE=-AD=2y/3,AF=-AB=4,又4AZ）=30。，

52

所以由余弦定理得"2:4^+人嚴(yán)―2鉉.4/40530。=4,故EF=2.

EF~+AE~=AF2,所以EFLAE.

由EFLAE及翻折的性質(zhì)知EFLED,

又EDCPE=E,ED,PEu面PED,所以EFL面PED

又？Du面PED,所以EF_L?D.

（2）如圖，連接CE,由題，DE=36CD=3,NCDE=90°,ijuCE=y/DE2+CD2=6.

又PE=AE=2百，PC=4A/3,PE2+CE2PC2,故PELCE.

又PELEF,CE^EF=E,CE,EFABCD,所以PE,面A3CD

EF,ED,PE兩兩垂直，故以E為原點(diǎn)，EF,ED,PE所在直線分別為x,?z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

則P（0,0,2石），￡>（0,3百,0）,尸（2,0,0）,A（0,—26,0）,。（3,3百,0）,

p,

y

連接出，則兩=(0,36,—20)，DC=(3,0,0),AP=(0,2y/3,2y/3),AF=(2,2y/3,0).

設(shè)面PCD的法向量為4=(%,%,zj,

n.-PD=3y/3y.—2>j3z,=0

則為一上1,可取名=(0,2,3).

nx-DC—3元］=0

設(shè)面P3R即面以R的法向量為%=(程為/2)，

則U-AP=2?+上2