2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列中的構(gòu)造問題

培優(yōu)點07數(shù)列中的構(gòu)造問題（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜

合提升練+拓展沖刺練）

D1【考試提醒】

數(shù)列中的構(gòu)造問題是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)，一般通過構(gòu)造新的

數(shù)列求數(shù)列的通項公式.

唱【核心題型】

題型一形如即+l=p〃〃+/（〃）型

形式構(gòu)造方法

an+1=pan+q引入?yún)?shù)C,構(gòu)造新的等比數(shù)列｛斯一C｝

1=P^n+9川十。引入?yún)?shù)X,y,構(gòu)造新的等比數(shù)列｛源+切+歹｝

[a]

1—+q"兩邊同除以夕〃+1,構(gòu)造新的數(shù)n列j

命題點1%+i=p〃〃+0（pWO,l,gW。）

【例題1】（2024?河南?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛〃/滿足」1123

一=4.丁+4，且&=1，貝U%011二

an+1°%°4

（）

01110111010

pY336D,已

bJ1+310111+310

【答案】c

11（:,從而得到數(shù)列-1，是以1

【分析】根據(jù)遞推公式求出外,再又得到——i=w?-

為首項，；為公比的等比數(shù)列，即可求出｛%｝的通項，

從而得解.

【詳解】因為-+i又。，一“令I(lǐng),可得丁丁解得％=5,

??+i3a,3

所以^---1=~f---1,

所以數(shù)列]是以，T=1為首項,g為公比的等比數(shù)列，

g%

1（1、〃-11〃-1^1010

所以_L_l=lx9,整理得a=—故.=」■.

10111010

an"1+3”T1+3

故選：C

【變式1］（2024?天津河西?三模）若數(shù)列｛為｝滿足%+1=2%-1,則稱｛%｝為“對奇數(shù)列已

知正項數(shù)列低+1｝為"對奇數(shù)列"，且4=2,則與網(wǎng)二（）

A.2x32023B.22023C.22024D.22025

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義可證得數(shù)列｛0｝是等比數(shù)列，從而可利用等比數(shù)列通項求解問題.

【詳解】因為正項數(shù)歹1｛"+1｝為"對奇數(shù)列"，所以，M+I=2（，+I）-1,

則bn+l=2b,,,即數(shù)列低｝是公比為2的等比數(shù)列，又因為乙=2,

20232024

所以%>24=2x2=2，

故選：C

【變式2］（2022?廣西柳州?三模）已知數(shù)列｛%｝的首項4=1,其前〃項和為S“，若

S?+1=2Sn+i,則%=.

【答案】16

【分析】由題設(shè)可得知M=S“+1,利用風(fēng),$“關(guān)系求數(shù)列通項公式，進(jìn)而求處.

【詳解】由題設(shè)，。m=5“+1，則%=S,T+1（〃22）,

所以%+i——Ei—a“,則an+l—2a”（n>2）,又％=1,則出=H+1=2=2%,

所以｛見｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則。"=2"已故%=16.

故答案為：16

【變式3］（23-24高三?山東青島?期末）已知數(shù)列｛。,,｝的前”項和為S"，%=2,

a“+i=S"+2-

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)2=1--------.----------,記數(shù)列上的前“項和為1,證明

log2a?-log,a?+24

【答案】⑴%=2”

（2）證明見解析

【分析】（1）依題意可得。用=2%,即可得到｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從

而求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

,1

（2）由（1）可得?=/利用裂項相消法求和，即可證明.

【詳解】（1）由。.=5“+2,

當(dāng)”22時，則a“=S,i+2,

可得an+i-an=Sn-S,T=an,則a?+l=2an；

當(dāng)〃=1時，則%=H+2=%+2=4,可得出=2%；

綜上所述：可得。加=2%嗎=1,可知｛〃“｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以｛%｝的通項公式為?！?2".

,11If11｝

（2）由（1）可矢口：bn=-_—訴=（「\=受|-----rL

log22-log22+2）2\nn+2）

命題點2%+i=p%+夕”+c（pWO,l,?W0）

【例題2】（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛%｝中，%=1,電=9,%+2=3。“+1-2%-10,則

｛%｝的前〃項和S"的最大值為（）

A.64B.53C.42D.25

【答案】B

【分析】令an+i-an=b?,貝I］由an+1=3a?+1-2%-10可得6角-10=2僅"一10）,所以數(shù)列

低-10｝是以-2為首項,2為公比的等比數(shù)歹U,可得到。用-氏=10-2",然后用累加法得到

冊=10"-2"-7,通過｛%｝的單調(diào)性即可求出S"的最大值

【詳解】由%+2=3%+1-2a“-10,得%+2-"“+1=2(a?+1-a?)-10,

令=6”,所以bn+l=26“-10,則10=2電-10),

所以數(shù)列也-10｝是以4-10=1-%T0=-2為首項,2為公比的等比數(shù)列，

所以，-10=-2x2"一=一2",即6“=-2"+10,即%=10-2",

由電—4=10—,生—七=10—,Q4—%=]0—2?,—?！ㄒ?=10—2〃?22),

將以上n-l個等式兩邊相加得°“一%=]0(1)_2(；:)=10”2"-8，

所以%=10〃-2"-7,〃22,

經(jīng)檢驗％=1滿足上式，故%=10〃-2"-7,

當(dāng)〃43時,%包一?！?10-2">0,即｛%｝單調(diào)遞增,當(dāng)〃24時,。用-a“=10-2"<0,即｛%｝單調(diào)

遞減，

因為%=10x3-23-7=15>0,%=10x4-2"-7=17>0,

56

a5=10x5-2-7=ll>0,a6=10x6-2-7=-11<0,

所以｛g｝的前“項和S”的最大值為1=1+9+15+17+11=53,

故選：B

【變式1](20-21高三上?天津濱海新?期中)已知數(shù)列｛4｝滿足%=0,。用=。“+2〃-1,則

數(shù)列｛4｝的一個通項公式為()

234

A.an=n-\B.an=(M-1)C.an=(n-1)D.a?=(M-1)

【答案】B

【分析】由遞推公式可用累加法求通項公式.

【詳解】由。用=%+2"-1得4.-%=2/1-1,

a—aaa42

二%=(??-i)+(?-i-n-2)—(&-%)+%=(2n-3)+(2n—5)-t----1-1+0=(?—I),

%=適用=("-1)2.

故選：B.

【點睛】本題考查由遞推公式求通項公式，解題方法是累加法，如果遞推式出現(xiàn)數(shù)列前后項

的差時可考慮用累加法求通項公式

【變式2](2024?寧夏石嘴山?三模)已知數(shù)列｛%｝的前，項和為若%=1,%+。“+]=2"+1,

貝!]Sl9=.

【答案】190

【分析】由分組求和法以及等差數(shù)列求和公式即可運算求解.

【詳解】由題意

/、/、/、10.(1+37)

S]9=%+(2+/)+()+…+(%8+。19)=1+5+9+…+37=-------------=190.

故答案為：190

【變式3](2024?湖南邵陽?一模)已知數(shù)列｛g｝的首項為2,%+a,M=2"+l(〃eN*),貝|

%0-?

【答案】9

【分析】當(dāng)”=1時，求出。2=1，由a"+a"+i=2〃+l(〃eN*)可得Ha什2=2〃+3(〃eN*),

兩式相減可得%+2-%=2,所以｛%｝的偶數(shù)項是以g=1為首相，公差為2的等差數(shù)列，即

可得出答案.

【詳解】因為4=2,+?！?1=2〃+l(〃eN*),

當(dāng)〃=1時，4+%=3,解得：a2=\,

a“+i+%+2=2〃+3(〃eN*),兩式相減可得：an+2-an=2,

所以｛““｝的偶數(shù)項是以&=1為首相，公差為2的等差數(shù)列，

所以％°=%+-1JX2=1+8=9.

故答案為：9.

命題點3an+1=pan+q"(p^0,i,夕W0,l)

+l

【例題3】(2022?河南?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛%｝中，若%=2,an+l=3an+2",則%=()

51

A.n-TB.—

C.2-3"-2B+1D.4?3"T-2"M

【答案】C

【分析】根據(jù)題干條件構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)行求解.

h42型善+21

【詳解】令6,=*+2,貝——=」-------=1,

222+22+22

2〃T

又優(yōu)=?+2=3,所以｛，｝是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，

所以或=/+2=得4=2-3"-2向.

故選：C

【變式1】（2024,湖南永州?三模）已知非零數(shù)列｛%｝滿足2"%+「2"+24=0,則詠=

%021

（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由條件可得。用=4%,再由等比數(shù)列的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】由2"0-2"+七“=0可得—=4%,則詠=4x4x4-=64.

°2021°2021

故選：D

【變式2】2024?四川南充?二模）已知數(shù)列｛4｝,滿足q=1,且anan+i=2"，貝|%.

【答案】24

【分析】由遞推關(guān)系求出的,T=1X2"T即可求解.

【詳解】％=1,且％一=2",

當(dāng)"22,an_xan=2-',所以^^=也=2；

an-i

故｛??｝的奇數(shù)項是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列,

即。21=1x2"、

27

故%=2?=8,/=—=16,貝!）。7+。8=24.

%

故答案為：24

【變式3］（23-24高三上?湖南婁底?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足%=2,%?%+i=2〃,則須的值

為.

【答案】32

【分析】由遞推式用=2"推導(dǎo)出｛的J構(gòu)成一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即

可求得（要注意下標(biāo)為連續(xù)的偶數(shù)，計算時項數(shù)應(yīng)是下標(biāo)的一半）.

【詳解】因為%y+i=2",所以％『%+2=2用，兩式相除得吐=2,故數(shù)列｛%#是公比

為2的等比數(shù)列，

由出=2,所以％°=電,25T=2,=32.

故答案為：32.

題型二相鄰項的差為特殊數(shù)列（形如斯+產(chǎn)”〃+夕即—1）

可以化為Q〃+l—為a='2（。”—其中%2是方程py—q=0的兩個根，若1是

方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列｛?一恁_1｝,若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個數(shù)列，采取消

元的方法求數(shù)列｛四｝

【例題4】（22-23高三上?湖北?階段練習(xí)）己知S”是數(shù)列｛%｝的前”項和，且4=%=1，

%=2%一+3%_2（?>3>,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛%-。用｝為等比數(shù)列B.數(shù)列｛。川+2a,｝為等比數(shù)列

C.S=^（320-l）D.3"一+（-1產(chǎn)

40a---------——--

【答案】D

【分析】A選項，計算出q一出=0,故｛。“-。向｝不是等比數(shù)列，A錯誤；

773

B選項，計算出｛。向+20"｝的前三項，得到三，B錯誤；

C選項，由題干條件得到。"+*=3（%+聯(lián)），故｛。用+4｝為等比數(shù)列，得到

238

%+1+%=2x3"T,故4+%=2,a4+a3=2x3,......,a40+a39=2x3,相加即可求出

340_i

540=^—,C錯誤；

D選項，在。用+〃”=2x3"T的基礎(chǔ)上，分奇偶項，分別得到通項公式，最后求出

3鵬+（-1廣

C1—-----------?

2

【詳解】由題意得：〃3=2出+3%=5,%=2%+3&=1。+3=13,

由于％-%=0,故數(shù)列｛%-%+J不是等比數(shù)列，A錯誤；

則2+2al=1+2=3,a3+2a2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,

773

由于：工亍，故數(shù)列｛。)+2%｝不為等比數(shù)列，B錯誤；

"23時，an=2a?_1+3a?_2,gpa?+an_x=3(a,,^+a?_2),

又%+出=1+1=2,

故｛。向+4｝為等比數(shù)列，首項為2,公比為3,

故%+i+%=2X3〃T，

238

故〃2+6=2,a4+a3=2x3,.....,a40+a39=2x3,

2438

以上20個式子相加得：540=2X(1+3+3+---+3)=2X^^-=^-^-,C錯誤；

因為。用+4=2x37,所以a“+2+%+i=2x3",兩式相減得：

%+2-%=2x3"-2x3"i=4x3"、

當(dāng)〃=2左時，。2左一。2左-2=4x3?"3,出心2一。2左-4=4x321,……,%一。2=4X3,

q左一]12A■一]o

以上式子相加得：--出=4><(3+33+...+327)=4*'19=2'

鼻2"1_a[2左-1_1[2左—1_1

故出左二三丁2+出二七^，而〃2=1也符和該式，故?！?匕二，

令22a=-1=3一+(一廠

〃22

當(dāng)〃=2左一1時，〃2"1一。2左一3=4x3?"4,"203一%—5=4X3?"6,……,生一=4x3°,

244246

以上式子相加得：a2k_｛-a,=4x(3-+3-+--+3°)=4x空/=與匚，

故而生=1也符號該式，故出『=土為土L

令2k-l=w得:a=尸+(-1)"’,

"2

綜上：a=3"，(-1)"',口正確.

2

故選：D

【點睛】當(dāng)遇到&+2一/=/(〃)時，數(shù)列往往要分奇數(shù)項和偶數(shù)項，分別求出通項公式，最

后再檢驗?zāi)懿荒芎喜橐粋€，這類題目的處理思路可分別令〃=2左-1和〃=2七用累加法進(jìn)

行求解

【變式1](2024?山西晉中?模擬預(yù)測)若數(shù)列｛%｝滿足q=1,%=4,且對任意的

*/、1111

(〃22)都有a〃+]_2%+a“_i=2,則----+----+----+…+-------=()

—1a、—16Z4—1〃2024一1

3If1111012

42120232024J2024

3If1111012

42120242025J2025

【答案】C

【分析】令由題意可證得數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，從而求得a,再利用累加法

求得見,進(jìn)而利用裂項相消法求即可得解.

【詳解】因為對于"€4("22)都有4+1-24+%_I=2,

則(。角-4)-一%)=2,令b“=an+l-an,

所以4-嘮1=2(〃22),又4=出-%=3,

所以數(shù)列｛"｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以，=3+("-1)-2=2"+1,gpan+l-an=2n+l,

貝U—%=3,tz3-a2=5,a4-a3=7,…，-an_x=2n-\,

累力口得%—q=3+5+7Hi-2n—1,7/>2,

77,(1+2n—1)0

所以?=1+3+5+7H----b2〃-l=-----------------=n2,n>2,

〃2

1111<11Y…

貝U-------=-5=7------77----r=---------------(〃N2),

Q〃-1n2-1+H+1J

1

所以+???+---------

出024.1

11111

----1----—I—+…+

32435奈/]

=1141-1

222024

故選：c

【變式2](2024高三?全國?專題練習(xí))已知數(shù)列

｛見｝，。1=1，/=2,。,+「5a,+4a,_]=0(?eN,,?>2),則｛%｝的通項公式為.

【分析】利用構(gòu)造法推得｛%+「%｝是等比數(shù)列，再利用累加法即可得解.

【詳解】因為當(dāng)“22時，。升1-5%+4%_]=0,所以。

4—-1,Cl?=2,貝lja2—%=1,

所以｛。向-｝是以1為首項，4為公比的等比數(shù)歹！J,

所以

從而%=(%-%1)+(%-1-%-2)+”,+(“2-4)+可

1—4〃T4/7-1+2

=4〃一2+4”】+…+d+4°+1=^^-+1=^^^,

1-43

當(dāng)〃=1時，4=1滿足上式，

4〃，2

所以%=1—.

_4,,-1+2

故答案為：3

【變式3](23-24高三上,四川,階段練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，%=1,%=2,%=3%-2%

(?22,力eN,).設(shè)6“=%+]_%.

⑴求證：數(shù)列｛“｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)記數(shù)列｛。“｝的前〃項和北，求證：Tn<\.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)把%口=3%-2al變形為%+「%=24-%+1),即6“=2勿_,根據(jù)等比數(shù)列的

定義證明即可；

2"

(2)由累加法求得。“=2'7,代入得C“二,利用裂項相消法求和，再利用

(1+2)(2+1)

2

的>0證明即可.

【詳解】⑴因為%+i=3a“-2%("Z2,〃eN*),所以％碌一%=2(%-%),

又"=%+「%，所以==2%,又。=%-%=1,

所以數(shù)列｛〃｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)歹！J.

（2）由（1）可得=2自，當(dāng)時，

1-2〃T

/?-1

an=（%一Q〃-1）+（。〃-1一%-2）+…+（出一％）+/=2〃一2+2〃"+???+2+1+1=—j——+1=2,

1—2

當(dāng)”=1時也成立,所以=—

所以C二。向2"一2.1______L）

"（1+”＞（2"+1）（l+2n-1）（2n+l）（2"一+12"+lJ，

…刁Jl111111Jl1-2

"（23352,,-1+12"+lJ（22"+1）2"+1

2

又2"+1＞°,所以（＜1.

題型三倒數(shù)為特殊數(shù)列（形如a“+i=蘭二型）

\ran-rsI

1sir1

兩邊同時取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為一=一一十一的形式，化歸為與+i=pb〃+q型，求出一的表達(dá)式,

斯+ipanpan

再求an.

【例題5】（2022?浙江?模擬預(yù)測）數(shù)列｛%｝滿足。華=馬?。?€1^）,%=1,則下列結(jié)論

錯誤的是（）

2111；

A.一=一十—B.2%是等比數(shù)列

C.（2n-l）6Zw=1D.3牝/7=〃49

【答案】D

【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得’的表達(dá)式，可

判斷C選項；利用等差中項的性質(zhì)可判斷A選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項；計

算出B%%、。49的值，可判斷D選項.

ana,?

【詳解】由％+1E'且%=i'則寸用T>°'%=E>°'

以此類推可知，對任意的〃eN*,a?>0,

11+2c11_11c1I

所以,-------t^l=——+2,所以-------=2,且一二1,

%+Ianan%+1an

所以,數(shù)列是等差數(shù)列,且該數(shù)列的首項為1,公差為2,

所以,—=1+2（H-1）=2TZ-1,則（2〃一1”〃=1,其中篦wN*,C對;

an

1

11

.=2」用=22=4,所以，數(shù)列2冊是等比數(shù)列，B對;

2%

211

由等差中項的性質(zhì)可得一—+—，A對;

由上可知%=c1;，貝IJ3〃5%7=3X11111

------x--------二—,“49==，

2w-l2x5-12x17-199492x49-197

所以，3〃5%7。。49，D錯.

故選：D

【變式1］（23-24高三上?山東青島?期末）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為已知

12a

a\=」，若㈤，則正整數(shù)上的值為（）

%+1

A.2024B.2023C.2022D.2021

【答案】B

1,11?-1---J求

【分析】由題設(shè)有——1=T（—-1）,等比數(shù)列定義求通項公式，進(jìn)而有4

°”+12an2^+1

Sn,再由g<5匕<，及放縮法確定$2024范圍求參數(shù)值?

1111I1/1I、1一

［詳角星］—=------1=7（----1）,又—1=1,

%+i2%2an+i2anq

所以｛,-1｝是首項為1,公比為;的等比數(shù)列，

??2

1,11,1,1

所以￡一二產(chǎn)一￡=1+聲—""=1-2"-+1'

故”-七+￡1111

1

由,一1<且〃23,

2〃2^+1

11

由--i---<---T，貝！

2^+12〃T

貝1〃-2+擊<5<〃一

<2023,

故52024G（2022,2023）,則正整數(shù)k的值為2023.

故選：B

33QV

【變式2］（2021?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足4=；,4用=二，若c“=一,則

2?！?3an

G+C2+…+%=.

【答案］（2〃+l>3"T

4

【分析】根據(jù)條件得到--1-----1=￡1,則數(shù)列f一1是1首項一1=公2，公差為:1的等差數(shù)列，得

a

%n3［an\?i33

至1!',則可得2,寫出q+c?+--+%,利用錯位相減法可求解.

an

33。

【詳解】解：因為a，，+i=f，

2%+3

1a+311

所以一二+一,

。"+13ati3an

111

即-------=”

4+1an3

所以數(shù)列是首項公差為1的等差數(shù)列，

UJ%33

121/八77+1

所以一=￡+［（〃T）二二一，

氏333

3〃

則4=—=(〃+1)31，

則G+C2+…+c“=2x3°+3x3i+4x32+-.+(〃+l)x3"T,

設(shè)7=2x30+3x31+4x3?+…+(“+1)x3"-@,

則37=2x31+3x32+4x33+…+("+1)x3"②，

①一②可得一27=2x3°+3i+32+--+3"T-("+l)><3"

3(1-3〃T)1

=2+-^--------^-5+l)x3〃=-一“x3",

1-32

則T=(2〃+l)3-l.

4

(2T7+1)-3W-1

即0Nq+C2+…+0〃=1——---------

4

故答案為：⑵7+l>3'T

4

【點睛】方法點睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消

法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解

，、48〃

【變式3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛。“｝的首項％=不，且滿足。用=了力,

,21

bn=-----T.

a?2

（1）求證：數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列；

（2）記c“=丁+",求數(shù)列｛c,｝的前〃項和S”.

【答案】①證明見詳解

⑵"=（〃一1）.2"+1+-^

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；

（2）求出｛c“｝的通項公式，利用分組求和和錯位相減法求和得解.

721

【詳解】（1）因為凡包=-7，2=--T,

4+4an2

8%

4-

4-%+i+4^T^L=^b"'〃eN",又4=/-g=l'

所以黑產(chǎn)

8。“4%2a1

2。”+12xx

4+4

所以數(shù)列也｝是以1為首項,以!為公比的等比數(shù)列.

n-1

（2）由（1）得“=cn=—+n=n-+n,

bn

=(1x2°+2x21+3x22+.■?+?-2n-1)+(l+2+...+n),

令4=lx20+2x2i+3x22+--+〃-2"T,①

則24=1X21+2X22+3X23+...+(〃-l)?2"T+〃2,②

i_2n

21

①-②得，-An=l+2+2+-2"--n-2"=---------n-2"=2"-1-n-2",

1—2

:.An=(n-l)-2"+l,

/、“n(n+l)

【課后強(qiáng)化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

1.（2022高三上■河南■專題練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足an+i-2n=%+2n（neN*）,

且q>0.若當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時，區(qū)取得最小值，且$皿日2=0,則符合條件的實數(shù)％組成的

n2

集合中的元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由累加法首先得匕=2〃+幺-2,進(jìn)一步結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)得12<q<24,結(jié)合

nn

rr

sin（5%）=。即可求解.

【詳解】由題意,得

故當(dāng)"22時，ctn—an_｛=4n—4,由%—q=4x2—4,%—a?=4x3—4,an—an_v=4n—4,

累力口可得a“-q=2/一2〃，故a“=2/-2〃+q,當(dāng)〃=1時，該式也成立，

故%=2”+幺-2.

nn

因為當(dāng)且僅當(dāng)"=3時，5取得最小值，又%>0,

n

&q%

6+-2<4+

&_<23-

即2

所以由"對勾函數(shù)"的單調(diào)性可得%4

-6+-2<8+￡14

1343

解得12<a「<24.

又sing%）=0,所以符合條件的實數(shù)6組成的集合為｛14,16,18,20,22｝,

該集合中的元素個數(shù)為5.

故選：C.

2.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,。用=上、，記2='+1，若存在

m,?eN\使得10g,4+10g"“=6,則當(dāng)"的最小值為（）

mn

【答案】c

【分析】解：由％=一；兩邊取倒數(shù)得到，+l=2+2=2p~+l],利用等比數(shù)列的定

%+2%an\<an）

義，得到4=2〃.再利用對數(shù)運算和指數(shù)運算得到加+〃=6,然后利用基本不等式求解.

aIQ”+212

【詳解】解：由。用=一n;兩邊取倒數(shù)可得-=—=1+一,

為+2an+1anan

貝+1=2+2=2（，+1],

-4^an）

所以數(shù)列｛"｝是首項為'+1=2,公比為2的等比數(shù)列，

a\

所以6“=2".

又唾2Xlog2（4也）=6,

所以"也=2"+"=2‘,即加+”=6,

▼…8加+69m+n911加〃[八

所以-----=------=—+—=_（（加+〃）-+—=—x——+—+10I

mnmnnm6\nmJ6ynm）

又％+2、2也工=6,當(dāng)且僅當(dāng)%=2,即加=：,時，等號成立.

nm\nm幾m22

因為如〃￡N*,所以等號取不到，

r/、r,?8加+6149-.8m+611

則當(dāng)加=1,〃=5時，-----=-；當(dāng)機(jī)=2,〃=44時，------=一,

mn5mn4

所以當(dāng)機(jī)=2,〃=4時，聞U取得最小值?，

mn4

故選：C.

3.（2023?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S“，a,=-l,an+l+an=?.n+l,

若S“M+S”=2399,則〃=（）

A.48B.49C.50D.51

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得到｛g-"｝是等比數(shù)列，求得氏=〃+2x（T）",結(jié)合

Sn+l+S?=2Sn+an+l,分〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)，列出方程，即可求解.

【詳解】因為《+i+a”=2〃+1,所以a咖一（力+1）=-（--"）,且％-l=-2,

所以數(shù)列｛&-"｝是以-2為首項，-1為公比的等比數(shù)列,

所以Q"-〃=一2.(-1)〃1=2x(一1)"，即4=幾+2x(-1)”，

當(dāng)〃為偶數(shù)時，J=亞則，當(dāng)〃為奇數(shù)時，月=幽卻_2,

〃22

又由S〃+i+S〃=2S〃+%+i，

+1

當(dāng)?為偶數(shù)時，由2Sa+an+l=2x”；+1)+(〃+1)+2x(-1)"=2399,

可得/+2"-2400=0,解得〃=48或??=-50(舍去)；

+1

當(dāng)“為奇數(shù)時，由2s“+a?+1=2x-4+(n+l)+2x(-1)"=2399,

可得"2+2"-2400=0,解得”=48(舍去)或"=-50(舍去).

綜上可知，〃=48.

故選：A.

4.(23-24高三上?河」匕?階段練習(xí))在數(shù)列｛/｝中，q=l,an+i=al-3an+t,且。，<2,則

實數(shù)/的最大值為()

A.4B.5C.4\/2D.6

【答案】A

【分析】由題意首先用反證法得/>4時，冊>2,與g42矛盾；進(jìn)一步”4滿足題意，由

此即可得解.

【詳解】由題意得an+i-an=a；-4an+1=(a*-2『+1-4,

若f>4,則%+i-a〃Nf-4.當(dāng)“22時，

an~a\=(a?+_%-2)+…+(“2_%)?("_1)('_4),

所以《Nl+("-l)?-4),當(dāng)“Al+^7時，l+("-l)?-4)>2,所以%>2,與gW2矛盾;

若/=4,貝必"+1=a；-3%+4,得%+j-2=(a,-1)(4-2),又％=1,所以的=2,a3=2,

所以當(dāng)時，??=2,所以實數(shù)，的最大值為4.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是當(dāng)f>4時，可以結(jié)合累加法證明%>2,與%42矛盾；由此即

可順利得解.

二、多選題

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛0“｝的前〃項和為$“，滿足0=1,4+i=2fl“+”,則下列

判斷正確的是（）

A.83=11B.“4=19C.§8=721D.佝=758

【答案】BCD

【分析】先利用配湊法求出數(shù)列｛%｝的通項公式，即可判斷選項A、B、D；再利用求和方法

即可判斷選項C.

【詳解】由%+i=2%+〃，可得：。"+1+（〃+1）+1=2（%+〃+1）

所以數(shù)列｛%+"+1｝是首項為q+1+1=3,公比為2的等比數(shù)列，

則?！?”+1=3x2"。

故。“=3x2"'—〃—1.

所以出=3x2—2—1=3

%=3x2?-3-1=8

%=3x23—4—1=19

49=3x28-9-1=758.

則?=4+&+V=1+3+8=12,

所以選項A錯誤，選項B、D正確.

1_788x（2+9）

因為$8-+出+…+/=3x（2°+2i+.."）-（2+3+...+9）=3x^^——^^=721

所以C正確.

故選：BCD.

6.（2023?遼寧朝陽?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,且%+i=*、，〃eN*,則下列說法正

%+1

確的是（）

A.數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列B.0<^<1

fl11

C.Io￡7■，=D.一<%<—

10（87）115010

【答案】ABD

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項即可判斷選項A和B；利用數(shù)列的單調(diào)性和累加法求出

__/1、29〃+7

2?+2<(—)2<——,進(jìn)而判斷選項C和D.

??+i4

【詳解】因為%+i=等、，"eN*和％=1可知，數(shù)列｛%｝的各項均為正值，

由?？傻?包=47T<二=1,所以4包<%,則數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，故

選項A正確；

由選項A的分析可知：數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，又因為％=1,所以故選項B正確;

由氏+1=等7，"€河兩邊同時取倒數(shù)可得」一=1+。"，

a?+1%%

則(^-了=(—+a?)2=(―)2+2+,所以(^―)2-(^-了=2+。；，

%+1%an6+1an

因為數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，

,a\1

2=

由q=1可得出=a+12，

c1_,1o1T_1

當(dāng)〃=2時，2<2+域=2+—，gp2<(—x)2-(z—x)2=2+-,

4。3