三角形全等的重要模型-2021-2022學年北師大版七年級數學下冊專項突破（原卷版）

專題03三角形全等的重要模型

模型1、平移全等模型，如下圖:

條件不能是（）

A.ABIIDEB.ACHDFC.ACIDED.AC=DF

2.（2021?云南昆明市?八年級期末）如圖：已知=5。=￡/且5。〃￡尸，求證：AABC沿ADEF.

3.（2021?廣西百色市?八年級期末）如圖，已知點。是48的中點，CD//BE,且CD=BE.

（1）求證：AACD^ACBE.（2）若44=87°,ZD=32°,求NB的度數.

4.（2021?四川瀘州市?九年級月考）如圖，AB//CD,AB=CD點E、F在BC上,且BF=CE.

（1）求證：AABE義4DCF（2）求證:AE//DF.

5.（2021?襄城區(qū)期末）如圖，點2、E、C、下四點在一條直線上，N4=ND,AB//DE,老師說：再添加

一個條件就可以使△/BCg△。昉.下面是課堂上三個同學的發(fā)言，甲說：添加/5=D￡；乙說：添加/C

//DF-,丙說：添加3E=CF.（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是；

（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明.

6.（2021?富順縣校級月考）如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,HDE=AF,求證:

△4FC竺4DEB.如果將AD沿著邊的方向平行移動，如圖2,3時，其余條件不變，結論是否成立？

如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.

⑴Q)(3)

模型2.對稱（翻折）全等模型，如下圖:

1.（2021?安徽九年級專題練習）如圖，四邊形48CD的對角線/C,3。相交于點。，AABO2AADO,

下列結論：①②CB=CD；③A4BC咨乙ADC；@DA=DC,其中正確結論的序號是

2.（2020?浙江杭州市?八年級期末）如圖,已知ZACB=NDBC,若要使得ZUBCMADCB,則添加的一

個條件不能是（）

A.ZA=ZDB.NABC=NDCBC.AB=DCD.AC=DB

3.（2020?武漢市六中位育中學八年級）如圖，Z1=Z2,3C=EC,請補充一個條件：,能使用“4S“

方法判定△NBC名△DEC.

EB

4.（2021?西安市?陜西師大附中九年級二模）如圖，在A/BC中，點。，E分別是48、NC邊上的點,

BD=CE,NABE=NACD,BE與CD相交于點求證：AB=AC.

5.（2021?河南南陽市?八年級期末）如圖，已知/C=/F=90。，AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點O,

（1）求證：RtAABC^RtADEF；（2）若/A=51。，求NBOF的度數.

6.（2021?江蘇徐州市?八年級期末）已知：如圖，點C是線段43的中點，CD=CE,ZACD=ZBCE,求證:

(1)"DC沿ABEC；(2)DA=EB.

D

AB

模型3.旋轉全等模型，如下圖：

C

A'B'B

1.（2021?河北滄州市?八年級期末）如圖，AABC和AAED共頂點A,AD=AC,Z1=Z2,ZB=ZE.BC

交AD于M,DE交AC于N,甲說：“一定有AABC之Z\AED.”乙說：'△ABM^AAEN."那么（）

可

A.甲、乙都對B.甲、乙都不對C.甲對、乙不對D.甲不對、乙對

2.（2021?渝水區(qū)校級期中）如圖，AB=AC,AD=AE,NBAC=/D4E求證：ZABD=ZACE.

3.（2020?武漢市六中位育中學八年級）如圖，已知=,BC=DE,且/C/Z）=10。，Z3=ZD=25°,

ZEAB=120°,則NEG尸的度數為（）

A.120°B.135°C.115°D.125°

4.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級期末）如圖，AC±BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,

求證：（1）AACE=ABCD；（2）AE1BD.

5.(2021?四川廣元市?九年級期末)如圖，己知和A/E/中，NB=NE,AB=AE,BC=EF,

ZEAB=25°,ZF=57°,線段分別交//，EF于點、M，N.(1)請說明=NE4C的理

由；(2)可以經過圖形的變換得到A/所，請你描述這個變換；(3)求的度數.

6.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△48C和△/￡）￡■中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=90°.

(1)當點。在NC上時，如圖①，線段3D,CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；

(2)將圖①中的△4DE繞點/順時針旋轉a(00<a<90°),如圖②，線段AD,CE有怎樣的數量關系

和位置關系？請說明理由.

模型4、半角全等模型

【解題技巧】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半

角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一

邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線

段之間的數量關系。半角模型（題中出現角度之間的半角關系）利用旋轉一證全等一得到相關結論.

1.（2020?武漢市六中位育中學八年級）（1）如圖，在四邊形48。。中，AB=AD,ZS+ZJD=180°,E、

口分別是邊BC、上的點，且NE4尸=求證：EF=BE+FD；⑵如圖，在四邊形/BCD

中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、E分別是邊BC、3延長線上的點，S.ZEAF=^ZBAD.（1）

中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明.

BEC

BE

2.（2020?河南新鄉(xiāng)市?八年級期中）已知四邊形/BCD中，ABYAD,BC±CD,AB=BC,ZABC=120°,

NMBN=60°,NMBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交N。，DC（或它們的延長線）于E,F.

圖1

（1）當NVBN繞3點旋轉到4B=C尸時（如圖1）,求證：4ABE%ACBF.（2）當繞點5旋轉到

NErCF時，如圖2,猜想線段/E,CF,所有怎樣的數量關系，并證明你的猜想.（3）當NM3N繞點2旋

轉到圖3這種情況下，猜想線段NE,CF,M有怎樣的數量關系，并證明你的猜想.

3.（2020?江陰市夏港中學八年級月考）（1）問題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,且/EAF=60。，探究圖中線

段BE,EF,FD之間的數量關系.小明同學的方法是將AABE繞點A逆時針旋轉120。到AADG的位置，然

后再證明AAFEgZkAFG,從而得出結論：.

（2）探索延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是邊BC,CD上的

點，且N￡4/=-ZBAD.上述結論是否仍然成立？請說明理由.

2

（3）方法應用：如圖3,E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動點，連接AE、AF,并且始終保持

ZEAF=45°,連接EF并延長與AD的延長線交于點G,說明AG=EG.（正方形四邊相等，四個角均為90。）

BEC

4.(2022?四川綿陽市?八年級期末)已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=

180°,AB=BC(1)如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長度.

(2)如圖2,點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=ZABP+ZQBC

(3)若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+CQ,請寫出/

PBQ與/ADC的數量關系，并給出證明過程.

5.(2021?全國九年級專題練習)問題背景：如圖，A/8C是等邊三角形，△ADC是頂角為120。的等腰三角

形，以。為頂點作一個60。角，角的兩邊分別交48,NC邊于"、N兩點，連接探究線段即MN,

CN之間的數量關系.

嘉琪同學探究此問題的方法是：延長NC至點E,CE=BM,連接。E,先證明再證明

△MDN^XEDN,可得出線段的幺MN,CN之間的數量關系為—.請你根據嘉琪同學的做法，寫出證明

過程.

探索延伸：若點N分別是線段N3,C4延長線上的點，其他條件不變，再探索線段的%MN,NC之間

的關系，寫出你的結論，并說明理由.

圖1圖2

6.（2021?山東東營市?七年級期末）（1）問題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分別是BC,CD上的

點，且/EAF=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數量關系.

小明同學探究此問題的方法是延長FD到點G,使DG=BE,連結AG,先證明A48E三AADG,再證明

A4E產也AAGF,可得出結論，他的結論應是.

（2）探索延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD上的點，Z

EAF=-ZBAD,上述結論是否依然成立？并說明理由.

2

模型5、三垂直全等模型

如圖:

1.（2021?廣東中山市?八年級期末）如圖，在△/BC和中，若/ACB=/CED=9Q°,AB=CD,CE

AC,則下列結論中正確的是（）

A.￡為8c中點B.2BE=CDC.CB=CDD."BC妾ACDE

2.（2020?涿州市實驗中學八年級期中）在A/BC中，4DLBC于點D,點E為AD上一點,連接CE,CE

=AB,ED=BD.（1）求證：AABD沿ACED;（2）若44c￡=22°,則的度數為.

3.（2020?廣東省龍嶺初級中學初一期中）如圖，已知NDCE=90°,ZDAC=90°,BE_L4C于B,且DC=EC.

CDND和相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC之△3CE嗎？若全等，請說明理由；

（3）能否找到與N3+N。相等的線段，并說明理由。

4.（2020?河北省初三三模）如圖，AA8C和NDEF都是直角三角形，NACB=NDFE=90°,AB=DE

頂點/在上，邊。E經過點。，點/,E在5c同側，DELAB.

(1)求證：AABC=ADEF：(2)若/C=H,EF=6,CF=4,求的長.

DB

5.（2020?江西贛州市?八年級期末）已知：ABLBD,EDLBD,AC=CE,BC=DE.

（1）試猜想線段ZC與CE的位置關系，并證明你的結論.

（2）若將S沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由?

（3）若將S沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結論ZG還成立嗎？請說明理由?

6.（2021?廬江縣期末）如圖1,于點5,CDL2C于點C,點E在線段2C上，且

（I）求證：AEAB=ZCED-,（2）如圖2,AF、。9分別平分/A4E和/CDE,則/尸的度數是（直

接寫出答案即可）；（3）如圖3,EH平6NCED,的反向延長線交的平分線//于點G.求證：

EG_I_4F.（提不：三角形內角和等于180°）

CDCDCHD

圖1圖2圖3

模型6、一線三等角全等模型

1）.一線三直角全等模型，如圖:

1.（2021?廣西梧州市?八年級期末）如圖，在等腰直角三角形45。中，48=5C,NA8C=90°,點2在

直線/上，過/作4D_L/于D,過C作CE于￡.下列給出四個結論：①BD=CE；②NBAD與ZBCE

互余；③4D+CE=DE.其中正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2021?江蘇揚州市?八年級期末）如圖，ZS=ZC=90°,NBAE=NCED,且48=C￡.

（1）試說明：A4DE是等腰直角三角形；（2）若NCD￡=2乙8NE,求NCD￡的度數.

BEC

3.（2021?湖北鄂州市?八年級期末）將Rt448C的直角頂點。置于直線/上，AC=BC,分別過點/、

B作直線/的垂線，垂足分別為點。、E,連接NE.茗BE=3,DE=5.求△/CE的面積.

4.（2021?山東臨沂市?八年級期末）如圖，ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BELCE,垂足分別

為D,E,AD=2.5cm,求B￡=lcm,求的長.

5.（2021?河南商丘市?九年級期末）如圖（1）,已知A/BC中，/B4c=90。,AB=AC；/￡是過/的

一條直線，且2,。在/￡的異側，BDLAE于D,CE上AE于E.（1）求證：BD=DE+CE；（2）

若直線/E繞/點旋轉到圖（2）位置時（BD〈CE）,其余條件不變，問BD與DE,CE的數量關系如

何？請給予證明.（3）若直線AE繞4點旋轉到圖（3）位置時（8。＞C￡）,其余條件不變，問BD與DE,

CE的數量關系如何？請直接寫出結果，不需證明；（4）根據以上的討論，請用簡潔的語言表達直線NE在

不同位置時與DE,CE的位置關系.

圖1圖2圖3

6.(2020?浙江溫州市?八年級月考)在AABC中AAOB=90°,AO=BO,直線MN經過點O,且AC±MN

于C,BDLMN于D.(1)當直線MN繞點O旋轉到圖①的位置時，求證：CD=AC+BD；(2)當直線MN繞

點O旋轉到圖②的位置時，求證：CD=ACBD；(3)當直線MN繞點O旋轉到圖③的位置時，試問：CD、

AC、BD有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明.

2).一線三等角與一組對應邊相等全等模型，如圖:

1.（2021?安徽馬鞍山市?八年級期末）如圖，已知在△45C中，AC=BC=4D,ZCDE=ZB,

求證：AADE之ABCD.

2.（2021?黑龍江大慶市?七年級期末）如圖，在A/BC中，AB=AC,。、A、E三點都在直線加上,

并且有,求證：DE=BD+CE.

3.（2021?河南濮陽市?八年級期末）已知：D,A,E三點都在直線m上，在直線m的同一側作A/BC,

使=連接BD,CE.（1）如圖①，若NB/C=90。，BDLm,CE,求證△48。kA/CE；

（2）如圖②，若/BDA=/AEC=/BAC,請判斷BD,CE,DE三條線段之間的數量關系，并說明理由.

4.（2020?無錫市胡康中學八年級月考）（1）如圖1,直線加經過等腰直角A/BC的直角頂點4過點3、C

補充（用a表示），線段3D、CE與DE之間滿足8D+C￡=D￡,補充條件后并證明；

（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點N逆時針方向旋轉一個角度到如圖3的位置，并改變條件

=/AEC=（用a表示）.通過觀察或測量，猜想線段即、CE與DE之間滿足的數量關系，并

予以證明.

5.（2021?香坊區(qū)期末）如圖，在△48C中，點。是邊3C上一點，CO=/8,點￡在邊/C上，^.AD=DE,

ZBAD=ZCDE.(1)如圖1,求證：BD=CE；(2)如圖2,若DE平分//DC,在不添加輔助線的情況下,

請直接寫出圖中所有與//￡>￡相等的角除外).

(1)如圖①，已知：A/BC中，ABAC=90°,AB=AC,直線m經過點A,8。，加于D,CElm

于E,請?zhí)剿鱀E、BD、CE三條線段之間的數量關系，直接寫出結論；

(2)拓展：如圖2,將(1)中的條件改為：A/BC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線m上，并且

ABDA=ZAEC=ABAC=a,7為任意銳角或鈍角，請問(1)中結論是否還成立？如成立，請證明；

若不成立，請說明理由；

(3)應用：如圖③，在A/BC中，N3/C是鈍角，AB^AC,ZBAD>ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,

直線m與BC的延長線交于點F,若BC=2CF,A/BC的面積是16,求△45。與△CW的面積之和.

模型6、手拉手全等模型

1）.等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型

①如圖，AABC與4ADE均為等腰三角形，且NBAC=/DAE,連接BD、CE,則AABD之Z\ACE.

②兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉過程中（B、C、D不共線）始終有一：

①△BCDgZXACE；?BD±AE（位置關系）且BD=AE（數量關系）；③FC平分/BFE；

1.（2020?河南許昌市?九年級期中）問題發(fā)現：（1）如圖1,已知。為線段N3上一點，分別以線段/C,BC

為直角邊作等腰直角三角形，ZACD=90°,CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,BD之

間的數量關系為；位置關系為.

拓展探究：（2）如圖2,把RtzX/CD繞點C逆時針旋轉，線段NE,BD交于點、F,則4E與5。之間的

關系是否仍然成立？請說明理由.

2.（2020?黑龍江綏化市?八年級期末）兩塊等腰直角三角尺408與（不全等）如圖（1）放置，則有

結論：①4C=BD②ACLBD；若把三角尺繞著點。逆時針旋轉一定的角度后，如圖（2）所示,

判斷結論：①/C=80②5。是否都還成立？若成立請給出證明，若不成立請說明理由.

圖⑴

3.（2021?湖南常德市?八年級期末）在ANBC中，AB=AC,點。是直線3c上一點（不與2、。重合），以

4D為一邊在4D的右側作使4D=/E,NDAE=NBAC,連接CE.

（1）如圖1,當點。在線段上，如果/B/C=90。，則/BCE為多少？說明理由；

（2）設NA4C=a,NBCE=B.①如圖2,當點。在線段2C上移動，則a,￡之間有怎樣的數量關系？請說

明理由；②當點。在直線上移動，則a,4之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不需證明.

4.（2021?甘肅慶陽市?八年級期末）在學習全等三角形知識時、教學興趣小組發(fā)現這樣一個模型：它是由兩

個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成.在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形.通過資料查

詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下操究：

C1）如圖1、兩個等腰三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,連接BD、CE、如

果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大

手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和AADB全等的三角形是,此線BD和CE

的數量關系是

（2）如圖2、兩個等腰直角三角形AABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=90°,連接BD,

CE,兩線交于點P,請判斷線段BD和CE的數量關系和位置關系，并說明理由：

（3）如圖3,已知AABC、請完成作圖：以AB、AC為邊分別向AABC外作等邊AABD和等邊AACE（等

邊三角形三條邊相等，三個角都等于60。），連接BE,CD,兩線交于點P,并直接寫出線段BE和CD的數

量關系及/PBC+/PCB的度數、

5.（2021?內蒙古赤峰市?九年級期末）如圖，將兩塊含45。角的大小不同的直角三角板ACOD和AAOB如圖

①擺放，連結AC,BD.（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數量關系和位置關系，請寫出結論并

證明；（2）將圖①中的ACOD繞點O順時針旋轉一定的角度（如圖②），連結AC,BD,其他條件不變，線

段AC與BD存在（1）中的關系嗎？請寫出結論并說明理由.（3）將圖①中的ACOD繞點O逆時針旋轉一

定的角度（如圖③），連結AC,BD,其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關系？請直接寫出結論.

C

2）.等邊三角形中的手拉手全等模型如圖，AABC與4CDE均為等邊三角形，連接AE、BD,則△BCDgA

ACE.

圖1圖2

1.（2021?河南新鄉(xiāng)市?新鄉(xiāng)學院附屬中學八年級月考）如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），

在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與

CD交于點Q,連接PQ,有以下5個結論：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤NAOB=60°.其

中一定成立的結論有（）個

A.1B.2C.3D.4

2.（2020?湖南邵陽市?八年級期中）如圖1,若點P是線段Z5上的動點（尸不與2重合），分別以工尸、

PB為邊向線段N5的同一側作等邊AAPC和等邊APAD.

c

c

（1）圖1中，連接Z。、BC,相交于點。，設NZQC=a,那么a=。；（2）如圖2,若點P固

定，將繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時戊的大小是否發(fā)生變化？請說明理由.

3.（2020?江西上饒市?南屏中學八年級月考）如圖,AB=CB,BD=BE,ZABC=ZDBE=a.

圖①

圖②

（1）當a=60。，如圖①則，NDPE的度數.

（2）若ABDE繞點B旋轉一定角度，如圖②所示，求/DPE（用a表示）

4.(2021?費縣第二中學)如圖，AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,AC、

BD交于點M.(1)如圖1,求證：AC=BD,判斷AC與BD的位置關系并說明理由；

(2)如圖2,NAOB=NCOD=60。時，/AMD的度數為.

5.(2020?新疆八年級期中)如圖，點C為線段AB上一點，AACM,ACBN是等邊三角形，直線AN,MC

交于點E,直線BM、CN交于F點.(1)求證：AN=BM；(2)求證：aCEF為等邊三角形；(3)將AACM

繞點C按逆時針方向旋轉90。，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第(1)(2)兩小題

的結論是否仍然成立，不要求證明.

6.（2020?西華縣教研室八年級期中）如圖，B,C,E三點在一條直線上，AA8C和均為等邊三

角形，BD與4C交于點、M,AE與CD交于點、N.

（1）求證：AE=BD；（2）若把AZ5CE繞點C任意旋轉一個角度，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由.

3）.一般三角形中的手拉手全等模型

如圖，在任意^ABC中，分別以AB、AC為邊作等邊AADB、AACE,連接DC、BE,則△ADC^zXACE.

4）.正方形中的手拉手全等模型

如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG,連接EC、BG,則△AECgAABG.

1.（2020?遼寧丹東市?七年級期末）已知：如圖1,在A/45C和A4DE中，ZC=ZE,ZCAE=ZDAB,

5C=Q￡.(1)證明(2)如圖2,連接CE和2。，DE,/￡?與5C分別交于點M和

N,ZDMB=56°