新高考數(shù)學二輪復習：立體幾何常見壓軸小題全歸納（練習）（解析版）

專題14立體幾何常見壓軸小題全歸納

目錄

01球與截面面積問題1

02體積、面積、周長'角度、距離定值問題.............................................5

03體積、面積、周長、距離最值與范圍問題............................................15

04立體幾何中的交線問題...........................................................23

05空間線段以及線段之和最值問題....................................................26

06空間角問題.....................................................................31

07軌跡問題.......................................................................39

08以立體幾何為載體的情境題.......................................................45

09翻折問題.......................................................................47

一題蟄01球與截面面積問題

1（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知二面角尸一孫C的大小為丁球。與直線?目切，且平面

PAB、平面ABC截球0的兩個截面圓的半徑分別為1、則球0半徑的最大可能值為（）

A.72B.2-x/2C.3D.回

【答案】D

【解析】設(shè)點。在平面X4B、平面ABC內(nèi)的射影點分別為M、N,

設(shè)球。切A3于點E,連接建、NE、MN,如下圖所示：

因為OM_L平面ABu平面R4B,則AB_LOAf,

由球的幾何性質(zhì)可知，OELAB,

因為0暇口。￡=0,OM、OEu平面OME,則平面OME,

同理可知，平面ONE,

因為過點E作直線AB的垂面，有且只有一個，所以，平面?？?、平面ONE重合,

因為OM_L平面BIB,MEu平面E4S,則OM_LME,同理可知，ONA.NE,

所以，0、M、E、N四點共圓，

由已知條件可知，ME=1,NE=&

因為平面OME,NE、MEu平面OME,則ABLKE,AB±NE,

所以，二面角尸-AB-C的平面角為/MEN或其補角.

3jr

①當NMEN=一時，

4

由余弦定理可得MN?=ME2+NE2-2ME-NECOS現(xiàn)=1+2—2xlx0x|--

易知，0E為△初VE外接圓的一條弦，

MN—下

所以，球。半徑0E的最大值即為AMA石外接圓的直徑，即為sinNMEN=^5

jr

②當NMEN=一時,

由余弦定理可得皿2=朋/+律2-2ME-A?cos-=l+2-2xlx^x—=1

42

故肱V=l,

易知，0E為AMNE外接圓的一條弦，

MN=1=一

所以，球。半徑0E的最大值即為AMNE外接圓的直徑，即為sinNMEN變~.

小

綜上所述，球。的半徑的最大可能值為風.

故選：D.

2.（2023?海南海口?海南中學?？级＃﹤髡f古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一

個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，。2,a為圓柱上下底面

的圓心，。為球心，所為底面圓的一條直徑，若球的半徑〃=2,則平面0萬月截球所得的截面面積最

13-14c16

A.2兀B.——71C.---71D.——71

555

【答案】D

【解析】由球的半徑為人可知圓柱的底面半徑為小圓柱的高為2r,過。作。GLOO］于G,如圖所示:

2百

丁

設(shè)平面D所截得球的截面圓的半徑為6,

當所在底面圓周上運動時,

0到平面DEF的距離4<OG,

所以片=F-#=4一力>4-1=y

所以平面截得球的截面面積最小值為g兀，

故D正確；

故選：D.

3.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學校考模擬預測）已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三

角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=B=點￡是線段8c的中點，過點E

作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

,3兀2兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

【答案】A

【解析】如圖：

是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圓半徑r=W—x^=l.

sin60°2

由勾股定理得棱錐的高|AQ|=A/2^T=1設(shè)球。的半徑為R,

則尺2=（1_尺）2+1,解得R=1,

所以|00j=0,即Q與。重合，

所以當過點E作球。的截面垂直于0E時，截面面積最小，

此時截面半徑為憐E|=且，截面面積為手.

1124

故選：A.

4.（2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習）在正方體ABCD-A耳C.中，AB=2,M,N分別為AD,8C的中

點，該正方體的外接球為球0,則平面截球。得到的截面圓的面積為（）

A.&B.乂c.3D?也

5555

【答案】D

【解析】如圖，連接4%,由題意易知MNIIA與，

MN=AiBl,故四邊形A百為平行四邊形.

設(shè)耳CcBG=〃，取用G的中點K,連接NK,

在Rt△gKN中，B\N=&B、K=1,NK=2,

故點K到BXN的距離為平，故點H到B\N的距離為手，

因此圓心。到平面A政V的距離為手.由題易知球0的半徑R=6,

故平面&MN截球。得到的截面圓的半徑r=,故截面圓的面積S=兀產(chǎn)=￡7r.

題型02體積、面積、周長、角度、距離定值問題

5.（多選題）（2021?新高考I）在正三棱柱ABC-A4G中，AB=A4,=1,點尸滿足麗=彳就+〃西,

其中Xe[O,1],〃e[0,1],貝U()

A.當4=1時，△9P的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-A3C的體積為定值

C.當彳=；時，有且僅有一個點尸，使得

D.當〃=:時，有且僅有一個點P,使得43,平面做尸

【答案】BD

【解析】對于A,當4=1時，BP=BC+/2BBi,即而=〃甌，所以在//西,

故點P在線段CQ上，此時△AB.P的周長為AB.+B.P+AP,

當點P為CQ的中點時，△48尸的周長為百+a,

當點尸在點G處時，的周長為2魚+1,

故周長不為定值，故選項A錯誤；

對于3,當〃=1時，BP=XBC+BB,,即瓦A=2芯，所以瓦A//而,

故點p在線段用G上，

因為4G//平面ABC,

所以直線耳G上的點到平面ABC的距離相等，

又△ABC的面積為定值，

所以三棱錐尸-48c的體積為定值，故選項3正確；

對于C,當2時，取線段3C,4G的中點分別為“，陷，連結(jié)

因為而=3前+〃甌，即稱=〃甌，所以用//國，

則點尸在線段上，

當點P在加1處時，\M{±BJCJ,±BtB,

又用。1「|45=4，所以4必■平面BBGC,

又瀏么u平面3瓦￡(7,所以即4尸,臺2，

同理，當點P在M處，A.PLBP,故選項C錯誤；

對于。，當〃=：時，取CG的中點2，3片的中點。，

因為麗=4阮+L西，^DP=ABC,所以力P//限，

則點P在線的。2上，

當點P在點2處時，取AC的中點E,連結(jié)4片，BE,

因為BE_L平面ACGA，又ARu平面AC￡A，所以

在正方形ACGA中，AD.LA^E,

又BEP|AE=E,BE,AEu平面ABE,

故AR_L平面A3E，又ABu平面&BE,所以48_1_四，

在正方體形ABBiA中，A8_L做，

又做=A,ADX,AB{u平面ABQi,所以_L平面AB{D{,

因為過定點A與定直線AtB垂直的平面有且只有一個，

故有且僅有一個點尸，使得A3,平面物P，故選項。正確.

故選：BD.

6.（2023?全國?高三專題練習）正三棱柱ABC-A耳G的各條棱的長度均相等，。為的中點，M,

N分別是線段B瓦和線段CG上的動點（含端點），且滿足BM=GN,當〃，N運動時，下列結(jié)論正確的

是（）

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ASC平行的線段

B.平面。腦V_L平面2CGB]

C.三棱錐A-DMN的體積為定值

D.ADAW可能為直角三角形

【答案】ABC

【解析】取MN、BC的中點0、E,連接。。、0E、AE.

對于A選項，?.?3//CC]且陰=CG，BM=CtN,

:.BM+CN=ClN+CN=CCi=AAl,且BMMCNU隊,

易知四邊形BCW為梯形或平行四邊形，

因為。、E分別為MN、BC的中點，所以，OE//BM//CN,則。初/AD,

BM+CN

S.OE==-CCt=-AA，

QO為A4的中點，=4t=OE,

所以，四邊形AOOE為平行四邊形，，。。〃/歸，

平面ABC,AEu平面ABC,平面ABC,A選項正確；

對于B選項，?.?△ABC為等邊三角形，E為BC的中點，則AEL8C,

?.?3與，平面ABC,4￡匚平面前。，，4￡，叫，

QBCIBBt=B,.^.AE，平面3CG片，?.?。。〃AE,.^.OD，平面8CC4，

???ODu平面DMN,因此，平面。MN_L平面BCC4,B選項正確；

對于C選項，因為AADM的面積為定值，

C￡//44],CC1<z平面A^u平面所以，CC1〃平面的用8,

因為NeCC”所以，點N到平面的8出的距離為定值，進而可知，三棱錐A-DMN的體積為定值，C選

項正確；

對于D選項，?.?OD，平面84clC,肱7(=平面88℃,，00，血乂,

:。為MN的中點，則ZW=OV,

若ADMN為直角三角形，貝IUZMW為等腰直角三角形，則OD=OM=ON=g"N,

設(shè)正三棱柱ABC-A4G的棱長為2,則OD=AE=2sin60。=6，則跖V=275,

因為MNWBG=26,故MN片2出,所以，ADMN不可能為直角三角形，D選項錯誤.

故選：ABC.

7.（2023?湖南?邵陽市第二中學模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體A8C。-ABCR中，p為線段

上一動點（包括端點），則以下結(jié)論正確的有（）

B.三棱錐尸-ABD的體積為定值

c.過點尸平行于平面4BD的平面被正方體ABCO-A與GR截得的多邊形的面積為6

D.直線PA與平面48。所成角的正弦值的范圍為乎］

【答案】ABD

【解析】對于A選項，三棱錐A-8DG外接球即為正方體"8-A8CQ的外接球，

正方體ABCD-ABC2的外接球直徑為2R=代，

故三棱錐A-瓦媽外接球的表面積為4萬4=3%，A對；

對于B選項，因為2片//。2且故四邊形班刀刀為平行四邊形，

所以，B.DJ/BD,Q瓦2（Z平面AfO,加匚平面^^九二用/^/平面人田。，

VPeBR,所以點尸到平面A.BD的距離等于點Dt到平面A.BD的距離，

S^DDi?叩=~，Vp—&BD=V^—ABD==B對；

對于c選項，???A4〃CD且A4=cr>,則四邊形aqc。為平行四邊形,

所以，ADUB\C,

???BCO平面48。，AOu平面所以，21C〃平面A|B。，

又因為4R〃平面ABO,與Cc耳。=與，所以，平面BCR〃平面ABO,

所以，過點?平行于平面48。的平面被正方體ABCD-A與GD截得的多邊形為AB。。，

易知ABCR是邊長為應(yīng)的等邊三角形，該三角形的面積為序義（應(yīng)了=￥，c錯；

設(shè)點P到平面\BD的距離為h,由VP_ABD=%詠=:知，

C1

3V3x-rz

點P到平面ABD的距離為h=飛7處=Y=',

^/\A}BD75J

~2

當點?在線段用4上運動時，因為A耳=42,若尸為8也的中點時，p\1B.D,,

（尸4焉=:加=冬

當點P為線段的端點時，（出）1^=1,即#4尸441,

設(shè)直線尸4與平面4瓦）所成角為凡sin0=3eg,半，D正確.

尸433

8.（2023?廣東實驗中學高一期中）已知正四面體ABC。的棱長為3,其外接球的球心為。.點E滿足

AE=2AB（0</I<1）,過點E作平面。平行于AC和BZ）,設(shè)a分別與該正四面體的棱3C、CD、D4相交

于點尸、G、H,貝I］（）

A.四邊形及G”的周長為定值6

B.當4=g時，四邊形EFGH為正方形

C.當/l=g時，a截球。所得截面的周長為反

D.32e(0,1),使得四邊形EFGH為等腰梯形

【答案】ABC

【解析】對于A選項，因為AC//平面EfGH,ACu平面ABC,平面ABCCl平面EPGW,

:.EF//AC,同理可得GH〃AC,所以，EF//GH,同理E"〃/G,

所以，四邊形EFG”為平行四邊形，則砂=G",EH=FG,

因為即//AC,則叫考=1"同理由=第=彳，

所以，EF+EH=30—4)+34=3,因此，四邊形E9G”的周長為定值6,A對;

對于B選項，取線段8。的中點連接AM、CM,

因為AB=A￡>,以為80的中點，所以，AMrBD,同理BCCM,

因為AMcCM=Af,所以，8￡>_1平面4。0,：4(7<=平面4。0,.?.4。_1_8,

當;1=工時，貝IIEFMLACULBDME",

222

因為EFIIAC,EHHBD,AC±BD,EFYEH,

所以，四邊形瓦GH為正方形，B對；

對于C選項，將正四面體ABCD補成正方體APBQ-NCm,

則正方體APBQ-NCTD的棱長為"=走48=逑，

22

該正方體的體對角線為AT=6Ap=建，

2

所以，線段4T的中點。為正四面體ABCD的外接球球心，則球。的半徑為R=亞，

4

因為PB//DN且PB=DN,則四邊形尸班W為平行四邊形，所以，BD//PN,

因為瓦7/AC,EF(z平面APCN,ACu平面APCN,.,.即〃平面APGV,

因為EHHBD,馳EHIIPN,因為N平面APCN,尸Nu平面”CN,.^.￡H〃平面APCN,

因為歷口即=石，所以，平面瓦GH〃平面APCN,

設(shè)平面ERS”分別交棱CT、PB、AQ、DN于點、I、J、K、L,連接〃、JK、KL、LI,

因為平面EFGH〃平面"CN,平面平面瓦6"=店，平面平面APCV=AP,

JK//AP,

同理憶〃CN,因為APHCN,;.JKHIL,同理〃〃LK,

所以四邊形〃W為平行四邊形，

,AKAE11

?:JKIIAP,AP//QB,則JK〃Q5,則3=-=彳，,AK==注，

AQAB332

因為點。到平面APCN的距離為：AQ=孚，

易知平面IJKL與平面APCW之間的距離為AK上,

2

所以，球心。到平面EFG"的距離為"=逑-1=走，

424

所以，球。被平面EFG”所截的圓的半徑為r=獷方=巫，

2

因此，當2=g時，a截球。所得截面的周長為2萬廠=而%，C對；

對于D選項，由A選項可知，四邊形EFG"必為平行四邊形，D錯.

故選：ABC.

9.（2023?江蘇蘇州?模擬預測）在棱長為1的正方體中，點P滿足

DP=2DD1+juDA,2e[0,l],we[0,1],則（）

A.當2=〃時，BP±AQ

B.當〃=g時，三棱錐G-尸瓦C的體積為定值

C.當彳+〃=1時，PC+PB的最小值為+6

D.當分+〃2=1時，存在唯一的點尸，使得點尸到AB的距離等于到DR的距離

【答案】ABD

【解析】當彳=〃時，P的軌跡為線段連接AC80,貝UACL8D,

又GC-L平面ABCD，GC_LB。，ClCr>AC=C,

：.BD±平面ACG,BD1AC],

同理可得AG_L￡>4,。4cBO=。，

故AG，平面3Pu平面BOA，所以8PLAC，故A正確;

AB

當〃=；時，點尸的軌跡為線段斯（瓦廠為AD，4R的中點），直線EF〃平面3CG瓦，故三棱錐

G-PB{C的體積VC「PB、C=匕＞一GM為定值，故B正確；

當2+〃=1時，尸點軌跡為線段RA,將三角形C2A旋轉(zhuǎn)至平面。ABC1內(nèi)，可知CP+P32CB,由余弦

定理可得C2=Jl+2+2xlx0x#二后，故C錯誤；

當公+〃2=1時，p點軌跡為以。為為圓心，1為半徑的四分之一圓弧RA,

由點尸到AB的距離等于到DDX的距離，即點尸到點A的距離等于到DDl的距離,

則P點軌跡為以A為焦點，以。2為準線的拋物線上，

故存在唯一的點P,使得點P到AB的距離等于到DA的距離，故D正確.

故選：ABD.

一題型03體積、面積、周長、距離最值與范圍問題

10.（2022?乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該四

棱錐的體積最大時，其高為（）

A.1B.1C.3D.史

3232

【答案】C

【解析】對于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，

當且僅當AC,班＞為圓的直徑，且AC_L3D時，等號成立，此時四邊形ABCD為正方形,

二.當該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長為0,底面所在圓的半徑為r,

貝ljr=，

2

該四棱錐的高/?=

該四棱錐的體積丫=』/

3V23V44

當且僅當《=1-4，即時，等號成立,

423

,該四棱錐的體積最大時，其高人=

11.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長為上其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36%，且

3麴/3框,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

Q1B.3，當C苧爭

A.[18,—]D.[18,27]

444

【答案】C

【解析】如圖所示，正四棱錐P-ABCD各頂點都在同一球面上，連接AC與BD交于點E,連接PE,則球

心O在直線PE1上，連接Q4,

設(shè)正四棱錐的底面邊長為a,高為〃,

在RtAPAE中，P^=AE2+PE2,即尸=(苧了+后=(/+/,

?.?球。的體積為36萬，.?.球O的半徑尺=3,

在RtAOAE中，=OE2+AE2,BP7?2=(/z-3)2+(^)2,

-a2+川—6/z=0,—a2+/=6h,

22

/.l2=6h,又???3領(lǐng)J3』，/.

22

117

該正四棱錐體積V(h)=-a2h=-(12〃-2/)〃=一§/十助？，

V'(h)=-2h2+8/?=2/7(4-h),

3o

.?.當，無＜4時，V”7）＞0,V（/z）單調(diào)遞增；當4＜心=時，r（/z）＜0,丫⑶單調(diào)遞減,

22

,且巴以,

44

即該正四棱錐體積的取值范圍是，y],

12.（2023?四川省內(nèi)江市第六中學高二期中）已知四面體ABCD的所有棱長均為形,",N分別為棱

ARBC的中點，尸為棱AB上異于A,8的動點.有下列結(jié)論:

①線段的長度為1;②點C到面MFN的距離范圍為

③ARWN周長的最小值為亞+1；④的余弦值的取值范圍為0,

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】，??四面體ABCD所有棱長均為血，，四面體ABC。為正四面體;

對于①，作OD_L平面ABC,垂足為0,

2

,四面體ABC。為正四面體，為AABC的中心，.〔OeAN且4?=§AN；

取AO中點G,連接MG,則MG//DO,MG=LDO且MGL平面A3C；

2

=GN=-AN=—,:.MG=-D0=-x

3322

#=匕①正確;

平面ABC,GNu平面ABC,:.MG±GN,:.MN=

2

對于②，在A3上取點T,使得=則。T//3C,;.ANJ.OT,

則以。為坐標原點，討，兩，礪正方向為x,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

、

zz/沏<

至

在

至

<且

fr

則AooBNDaC

6-263

UL

\L,\L\L\

設(shè)尸(x,y,z),AF=2AB(O<Z<1),

..AF=[x,y+JiA群宙W，o],.“=旦,y=旦一亞z=0,

I3J122J2，23

,?“￥人曰”孚4,?,荷=1[4生-孚0/

設(shè)平面ACVF的法向量元=（々,瓦。）,

MN'n=^-b-^-c=O

33A/3-A/3A

令b=l,解得：c=6，a=--------------

]VF.n=—2tz+f—2-—^=02

222

‘昱旦1寶

i+4->i:S〈d〈昱,即點C到平面的距離的取值范圍為0,坐，②正確;

22

對于③，將等邊三角形45c與ABD沿AB展開，可得展開圖如下圖所示,

貝UMR+NF2KV（當且僅當歹為A8中點時取等號），

???四邊形AC3。為菱形，M,N於別為AD,BC中點、，：.MN=6,

:.MF+NF>y/2,

則在四面體A8CD中，AfMN周長的最小值為0+1，③正確；

對于④，設(shè)。為A8中點，若點/在線段8。上，設(shè)BF上一x,則4尸=變+x,其中OVx（變,

222

\2

在中,NF2=BF2+BN2-2BF-BNcos—=--一x+--

AB/W312J2

在AAMF中，同理可得：MF2=x2+-X+-,

22

MF+NF2-MN22尤2

，cos/MFN=

2MF-NF

當x=0時，cosZWW-0；

1cosZMFN=一]

當0<x（注時，—>2,1111

2x匕/5三+1

；

-4----尤r4H--2----尤-27+1>3,0<cosZMFN<—3

cosZMFN的取值范圍為

同理可得：當尸在線段AQ上時，cos/MFN的取值范圍為

綜上所述：/MFN的余弦值的取值范圍為0,,④正確.

故選：D.

13.（2023?全國?高三專題練習）已知棱長為2的正方體48a>-A4G2,棱。A中點為M,動點P、

Q、R分別滿足：點尸到異面直線8C、G2的距離相等，點。使得異面直線4。、BC所成角正弦值為定

值等,點R使得NAR8=午.當動點尸、。兩點恰好在正方體側(cè)面CDAG內(nèi)時，則多面體RMPGQ體積

最小值為（）

「V2

D,顯

26

【答案】A

【解析】由題意M，P^￡,。都在平面DDCC內(nèi)，其中M，G為定點.

點P到異面直線BC、GA的距離相等,

在正方體中，平面。RCC,故連接PC,有PC所以PC為點P到直線BC的距離.

所以在平面DD￡C上，點P滿足到點C的距離等于到直線GA的距離.

所以動點p的軌跡是為以C為焦點，以GA為準線的拋物線在正方體側(cè)面CDAG內(nèi)的部分.

由A2//BC,所以異面直線4。、8c所成角為NQAA（或其補角）

在正方體中,AQ1平面DDGC,又DtQ<=平面DD￡C,所以A,D,1D,Q

所以sinNQAQ=%J=粵,又HM=2

所以cos/QAA=,則tanNQAR==4

所以|QR|=A，即動點。的軌跡是為以2為圓心，5為半徑的!圓.

在四邊形“尸GQ中，SMPGQ=Sg。+Swcy,又|=Jl+2,=6

A

在平面。。C|C內(nèi)，取CG的中點。，連接M0,以CG為X軸，為y軸

則直線MG的方程為：x+1=-l,即2x+y+2=0,D,(-l,-2)

|-2-2+2|_2____J_

則點Q到直線MG的距離的最值為:

71+2f「飛忑飛

1L11

所以\?c12的最小值為5X行X方=5.

動點尸的軌跡方程為：y2=4x(y<0),設(shè)

2]3

所以點尸到直線MG的距離,號+'+2，(y+i)+，3

(當y=T時取得等號)

d=^^=忑E

1l33

所以S/C,M面積最小值SA?cj=5xgx麗=[

所以四邊形MPCQ面積SMPCiQ=SMCiQ+SMC1P>|

點R滿足NAR3=午，又|4邳=2血.

、冗TT

所以點R在以4B為弦的劣弧上，由/4版=彳，則圓心角為其半徑為2,圓心到48的距離為友.

所以圓弧上的點到AB的距離的最大值為2-夜.

當劣弧所在的平面垂直于平面。2GC時，圓弧上的點到平面DQGC的距離最小值為亞

所以動點R到面。2GC距離最小值為0，

所以多面體RMPC.Q體積最小值為\級&=述

3412

故選：A

■k題型04立體幾何中的交線問題

14.（2023?四川成都?高三校聯(lián)考期末）在正方體ABCD-44G。中，E為線段AD的中點，設(shè)平面

ABC1與平面CGE的交線為加，則直線機與AC所成角的余弦值為（）

?1R幣「Mn2>/5

A.D.C.L.）.

2255

【答案】B

【解析】設(shè)正方體ABCD-A4G2的棱長為2,

以點A為坐標原點，AB,AD,AA所在直線分別為x、y、z軸建系，如圖所示：

則A(0,0,2)、8(2,0,0)、G(2,2,2)、C(2,2,0)、￡(0,1,0).

設(shè)平面ABG的法向量為I=a,x,Z|),

甌=(-2,0,2),Bq=(0,2,2),

4"B\=一2%+2Z]=0

由<______，

勺?BCX=2M+24=0

?。?1可得%=(1,-1,1)；

設(shè)平面CCi石的法向量為E=（X2，%，Z2）,

反=(2,1,0),不=(0,0,2),

-——??

n2-EC=2X+%=0

由<—?----2

n2-CCX-lz2=0

取馬=1可得%=(1,—2,。)，

設(shè)直線機的方向向量為機=(x,y,z),

???直線加U平面,直線機U平面。。也，

j.mX-Yty,m_L幾2，

，—.

m-n^=x-y+z=0

??,——.’

m-n2=x-2y=0

取x=2可得加=,

已知AC=（2,2,0）,設(shè)直線形與AC所成角為。,

\m-AC\__6

|m|-|Ac|-76x2^2

即直線機與AC所成角的余弦值為由,

2

故選：B.

15.（2023?河北保定?高三統(tǒng)考期末）己知三棱錐ABC的所有棱長均為2,以BD為直徑的球面與

△ABC的交線為L則交線L的長度為（)

A2后口4岳2n兀4指兀

A.-----------o.-----------Vx.-----LJ.-----

9999

【答案】A

【解析】取8。的中點為。，所以。為球心，過。作￡＞尸1平面A3C于點廠,

即B為AABC的中心，延長8戶交所以所交AC于點E,則E為AC的中點，

所以B尸===3若，DF=（BD-BF?=4/也］二巫

333丫（3）3

取跳■的中點a,連接。a,?.?。。//。/，則。。1，平面ABC,

因為BEu平面ABC,即OO|_L2E,且。6\=：。尸=/，

F°i=次岑0F=J。。：+FO：==1，

所以F為以8。為直徑的球面上一點，

分別取ABIC的中點M,N,連接OM,ON,

且OM=ON=；OC=1,所以M,N也為以8。為直徑的球面上一點，

則"MN為等邊三角形，ABMN的外接圓即為四邊形BMFN的外接圓，

BO,為外接圓的半徑，所以NMO\N=2ZMBN=120°,

所以以為直徑的球面與AABC的交線L長為肱V外接圓周長的;，

所以乙=」x2?無=獨上

339

故選：A.

16.（2023?安徽?統(tǒng)考一模）安徽徽州古城與四川闔中古城、山西平遙古城、云南麗江古城被稱為中國四

大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體ABC。-4耳60.已知該正方體中，點

E,尸分別是棱AVCG的中點，過A，E,F三點的平面與平面A5CD的交線為/,則直線/與直線所成角

為（）

【答案】A

如圖所示，在平面A41A。中，連接與ZM交于H,則H4=AD,

在平面CCQQ中，連接2尸與DC交于G,則GC=CD,

則GH為平面，E尸與平面A5C。的交線/,且G〃〃AC,

而在等邊△4CQ中AC與AR所成的角為三，

故/與直線A2所成角,

故選：A

一題型05空間線段以及線段之和最值問題

17.（2023?河北?高一校聯(lián)考期末）已知四棱錐P-ASCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，底

面ABCD,PA=4A/2，則四棱錐P-ABCD外接球表面積為；若點。是線段AC上的動點，貝。

+同的最小值為.

【答案】40兀2y/13

【解析】如圖，

p

設(shè)尸c中點為。，

由PA_L底面ABCD,4。,3。,。。＜=底面488,所以PA_LAC,PA_LBC,PA_LCD,

又3cl.AB,ABC\PA=A,AS,PAU平面R45,所以8C1平面BIB,

又PBu平面E4B,所以BC_LP3,同理可得CDJ_PD,

因為PA=40，AC=20，所以尸C==j32+8=2而，

所以在RtAPAC,RtAPBC,RtAPCZ)中，

OP=OC=OD=OB=OA=y/10,

所以。為四棱錐P-ABCD外接球的球心，幅為該球半徑，

所以其表面積為4兀(J16)=40兀；

將△R4C繞AC翻折到與△ZMC所在面重合，此時產(chǎn)運動到P，處，連接P3,交AC于點。，如圖,

此時歸。|+|2目斗尸0+|08|最小，因為/PNC=90。，44c=45。,

所以/B4尸'=135°,又AB=2,AP'=A尸=40，

所以2尸'=+1APf-2143卜|AP[cos135。=+32—2x2x40x=2^/13.

所以|尸。|+|第的最小值為2&L

故答案為：40n；2岳

18.（2023?浙江紹興?高一統(tǒng)考期末）直三棱柱ABC-ABC中，/B=gAB=BB】=BC=1,P、Q

分別為線段A。、A4的動點，則△B/Q周長的最小值是.

[答案]4+2夜/也夜+4

將面A8G、面AAG沿著AC1延展為一個平面,

將面AA4、面A4G沿著A4延展為一個平面，連接3耳'，

此時，線段8耳'的長即為△用戶。周長的最小值，

則做=*2+83；=&71=應(yīng),AB：=AB1=6,

由于AB】=AC=,BjC,=CQ,AC]=ACX,則△AB]G也△ACC1，

延展后，則四邊形MG用為矩形，

因為A4J=A4'，A4J_L44'，則△4414,為等腰直角三角形，所以，441AB；=：,

TTTTiTT

延展后，則/耳A8；=/月A4,+幺AB；=萬+^=了，

由余弦定理可得BB；=JAB^+AB/2-2AB,■AB[cosy=2+2-2x（何乂一去="+20.

故答案為：“+2及.

19.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉膈.如圖，在

鱉席B4BC中，PA_L平面ABC,ABd,BC,A2=3,BC=45,B4=4,D,E分別為棱PC,PB上一點，

則AE+DE的最小值為.

R

D

6回+8?

【答案】

15

【解析】因為PA，平面4?C,3Cu平面ABC,所以R4_L3