2024學(xué)年揭陽(yáng)市惠來(lái)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試卷附答案解析

學(xué)年揭陽(yáng)市惠來(lái)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次段考試卷滿分150分，時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．43．設(shè)的平均數(shù)為與的平均數(shù)為與的平均數(shù)為.若，則與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．不能確定4．已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（

）A． B． C． D．5．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對(duì)這三道題的概率分別為，，，且各題答對(duì)與否互不影響，若他恰好能答對(duì)兩道題的概率為，則他三道題都答錯(cuò)的概率為（

）A． B． C． D．6．已知，，且恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折疊，使，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．48．是定義在R上的函數(shù)，若，且對(duì)任意，滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分。9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面10．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镈．若方程在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為11．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12．電影《孤注一擲》的上映引發(fā)了電信詐騙問(wèn)題熱議，也加大了各個(gè)社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行等比例的分層隨機(jī)抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多人13．邢臺(tái)一中高二年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組為了實(shí)地測(cè)量某塔的高度，選取與塔底中心O在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與B，在A點(diǎn)測(cè)得：塔頂P的仰角為45°，O在A的北偏東60°處，B在A的正東方向36米處，且在B點(diǎn)測(cè)得O與A的張角為45°，則此塔的高度約為米（四舍五入，保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，）.14．已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有4個(gè)解，分別為，，，，其中，則，的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知空間中三點(diǎn)，設(shè)(1)已知，求的值；(2)若，且，求的坐標(biāo).16．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.17．某年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組組織游戲闖關(guān)活動(dòng)，共設(shè)置了20道數(shù)學(xué)問(wèn)題，滿分100分.結(jié)束后在所有的答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)分成六段：，，……，90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該年級(jí)全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(2)活動(dòng)中，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立參加競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)了12道，乙同學(xué)答對(duì)了8道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問(wèn)題難度相當(dāng)，被答對(duì)的可能性都相同.任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率.18．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正切值；(3)求與平面所成角的正弦值．19．已知是指數(shù)函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)(1)求的值；(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍參考答案：題號(hào)12345678910答案DCBCCBCCABDBCD題號(hào)11答案ABD1．D【分析】先求得集合，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】由題可知，，所以，故選：D．2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.【詳解】由得，兩邊乘以得，所以.故選：C3．B【分析】根據(jù)題意可得，利用作差法比較大小.【詳解】由題意可知：，則，因?yàn)椋瑒t，可得，即.故選：B.4．C【分析】設(shè)相應(yīng)長(zhǎng)度，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和軸截面面積列式可得，再結(jié)合線面夾角運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.5．C【分析】根據(jù)條件，先求的有關(guān)值，再求對(duì)應(yīng)事件的概率.【詳解】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨(dú)立，且.恰好能答對(duì)兩道題為事件，且兩兩互斥，所以，整理得，他三道題都答錯(cuò)為事件，故.故選：C.6．B【分析】先利用“1”的代換求得的最小值，再由求解.【詳解】解：設(shè)，則，解得，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，又因?yàn)閷?duì)，，且恒成立，所以，故選：B7．C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的數(shù)量積求出，再利用三棱錐體積公式計(jì)算即得.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，而平面，于是平面，，，又，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C

8．C【分析】首先推導(dǎo)出，從而得到，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，所以，又，所以，所?故選：C9．ABD【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯(cuò)誤，得出向量共面判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因?yàn)椋?，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯(cuò)誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10．BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可利用平移以及奇函數(shù)的性質(zhì)求解，由周期公式即可求解A，代入驗(yàn)證即可求解B，利用整體法求解即可判斷CD.【詳解】由，得，故，由于為奇函數(shù)，故，由于，故取，則，故，對(duì)于A，最小正周期為，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，故，故的值域?yàn)?,2，C正確，對(duì)于D，時(shí)，則，要使在區(qū)間上恰有六個(gè)不等實(shí)根，則，解得，故D正確，

故選：BCD11．ABD【分析】A選項(xiàng)，考慮錐體的底面積、高均未變，故體積不變；B選項(xiàng)，找出異面直線所成的角，在三角形中判斷角的大小；CD選項(xiàng)，找到點(diǎn)軌跡，計(jì)算可得.【詳解】對(duì)A：如圖：

當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的底面面積為定值4，高為點(diǎn)到平面的距離為定值2，所以為定值.故A正確；對(duì)B：如圖

當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角就是與所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?dāng)點(diǎn)與線段的端點(diǎn)重合時(shí)，與所成的角最小，為，當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與所成的角最大，為.故B正確；對(duì)C：如圖：

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，所在的平面為如圖正六邊形，正六邊形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)與中點(diǎn)重合時(shí)，最小，為.故C錯(cuò)誤；對(duì)D：如圖：

使直線與平面所成的角為的點(diǎn)P的軌跡為對(duì)角線、以及平面內(nèi)以為圓心，以2為半徑的圓的，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為：.故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：與立體幾何有關(guān)的軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵是要弄清楚動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀.12．9【分析】根據(jù)題意可以計(jì)算出分層隨機(jī)抽樣的抽樣比例，進(jìn)而計(jì)算出中年人和青年人的人數(shù)，最后計(jì)算出中年人比青少年多多少個(gè).【詳解】設(shè)中年人抽取人，青少年抽取人，由分層隨機(jī)抽樣可知，，解得，，故中年人比青少年多9人，故答案為：9.13．26【分析】中,運(yùn)用正弦定理，先求出，再根據(jù)等腰直角三角形知識(shí)得到即可.【詳解】中，，,.所以.在中，運(yùn)用正弦定理，可得，代入值求得，由于為等腰直角三角形，則，則此塔的高度約為米.故答案為：26.14．1【分析】作出圖象，將方程有4個(gè)解，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得的、的范圍與關(guān)系，結(jié)合圖象，可得m的范圍，綜合分析，即可得答案.【詳解】作出圖象，由方程有4個(gè)解，可得圖象與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且，如圖所示：由圖象可知：且因?yàn)椋?，由，可得，因?yàn)椋运?，整理得；?dāng)時(shí)，令，可得，由韋達(dá)定理可得所以，因?yàn)榍?，所以或，則或，所以故答案為：1，．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是將函數(shù)求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圖象與圖象求交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合二次函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可，考查數(shù)形結(jié)合，分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.15．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，又，所以，得?（2）因?yàn)椋?，所以，解得或，所以的坐?biāo)為或.16．【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，化?jiǎn)可得，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，B∈0,π，所以.（2）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故其外接圓半徑為，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻霉?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.17．【詳解】（1）由頻率分布直方圖有，解得，因?yàn)?，所以中位?shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為x，則有，得，所以估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為75；（2）設(shè)“任選一道題，甲答對(duì)”，“任選一道題，乙答對(duì)”，“任選一道題，丙答對(duì)”，則由古典概型概率計(jì)算公式得：，，所以有，記“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)”，則有，且有與互斥，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)獨(dú)立作答，所以A，B互相獨(dú)立，則A與，與B，與均相互獨(dú)立，所以，所以任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率.18．【詳解】（1）由已知，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.（2）由已知平面，平面，所以，又，所以直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，所以，取，可得，，所以為平面的一個(gè)法向量，又為平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，所以，觀察可得，所以，所以，所以二面角的正切值為.（3）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，為平面的一個(gè)法向量，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，所以，所以與平面所成角的正弦值為.19．【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)過(guò)，代入，即，解