專題03平面向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖+5個(gè)考點(diǎn)清單+3種題型解讀）（教師版） 2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（滬教版）

PAGE1專題03平面向量的線性運(yùn)算（考點(diǎn)清單，知識(shí)導(dǎo)圖+5個(gè)考點(diǎn)清單+3種題型解讀）【清單01】實(shí)數(shù)與向量相乘設(shè)k是實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個(gè)向量，記作.若，則；若，則；【清單02】運(yùn)算律（1）實(shí)數(shù)與向量相乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律：；（2）實(shí)數(shù)與向量相乘對(duì)于向量加法的分配律：；（3）實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)合律：.【清單03】平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使.【清單04】單位向量長(zhǎng)度為1的向量；設(shè)與非零向量方向相同的單位向量為，則：，.【清單05】向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算.已知是兩個(gè)不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是實(shí)數(shù)）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解為兩個(gè)向量）；向量是向量分別在方向上的分向量，或者是向量關(guān)于的分解式.【考點(diǎn)題型一】實(shí)數(shù)與向量相乘【例1】（23-24九年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期中）下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．如果或，那么B．如果、為實(shí)數(shù)，那么C．如果（為實(shí)數(shù)），那么D．如果或，那么【答案】C【分析】本題主要考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：A．如果或，那么，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．B．如果、為實(shí)數(shù)，那么，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．C．如果（為實(shí)數(shù)），那么，錯(cuò)誤，時(shí)，不成立，故本選項(xiàng)符合題意．D．如果或，那么，正確，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·上海崇明·期中）已知（其中k為實(shí)數(shù)）．下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量C．若，那么與的方向相反 D．若是單位向量，那么的模是【答案】B【分析】本題考查了平面向量，根據(jù)零向量的意義，共線向量以及模的定義進(jìn)行判斷即可．解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的性質(zhì)，平面向量既有大小，也有方向．【詳解】解：A、若，那么，故本選項(xiàng)正確；B、若，則可能是零向量，也可能是非零向量，∴可能是零向量，也可能是非零向量，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若，那么與的方向相反，故本選項(xiàng)正確；D、若是單位向量，那么的模是，故本選項(xiàng)正確；故選：B．【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·上海閔行·期中）已知是非零向量，如果與同方向的單位向量記作，那么下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，A錯(cuò)誤，故不符合要求；，B錯(cuò)誤，故不符合要求；，C正確，故符合要求；，D錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握實(shí)數(shù)與向量相乘結(jié)果是向量．【變式1-3】（22-23九年級(jí)上·上海徐匯·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】直接利用實(shí)數(shù)與向量相乘及平面向量的加減運(yùn)算法則去括號(hào)求解即可求得答案．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則．注意掌握去括號(hào)時(shí)的符號(hào)變化是解此題的鍵．【變式1-4】（2024·上海普陀·一模）化簡(jiǎn)：．【答案】/【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘，根據(jù)其運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：故答案為：．【變式1-5】（23-24九年級(jí)上·上海楊浦·期中）已知向量與單位向量方向相反，且，那么．（用向量的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)單位向量與相反向量的知識(shí)，即可求得答案.【詳解】∵向量與單位向量方向相反，且故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí).此題難度不大，注意掌握單位向量與相反向量的定義.【變式1-6】（23-24九年級(jí)上·上海黃浦·期末）已知向量與是互不平行的非零向量，如果，那么向量與是否平行？答：．【答案】否【分析】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，若向量與平行，則（k為常數(shù)，且），據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴（k為常數(shù)，且），∴向量與不平行，故答案為：否．【變式1-7】（23-24九年級(jí)上·上海普陀·期中）如果向量與單位向量的方向相反，且長(zhǎng)度為4，那么，（用表示）【答案】【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答．【詳解】解：∵的長(zhǎng)度為4，向量是單位向量，∴，∵與單位向量的方向相反，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識(shí)，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，解決本題的關(guān)鍵是注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向．【變式1-8】（2024·上海楊浦·三模）已知在梯形中，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，設(shè)，那么．（用含的式子表示）【答案】【分析】本題考查了平面向量，梯形中位線定理；由梯形中位線定理即可求解．【詳解】解：∵，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；故答案為：．【變式1-9】（22-23九年級(jí)上·上海青浦·期中）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)如果，，試用、表示向量．【答案】(1)的長(zhǎng)為(2)【分析】（1）根據(jù)，可得，再由，求得；（2）根據(jù)向量的表示法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，且，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)和向量的表示，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】向量相關(guān)概念【例2】已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是（

）A．，B．，C．D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行向量的定義“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】A選項(xiàng)，由于，所以、的方向相同，由于，故、的方向相同，所以，不符題意；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符題意；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?、的方向相反，故的，不符題意；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?、的方向不能確定，故不能判定其位置關(guān)系，符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是向量平行向量的定義，理解向量的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-1】下列說法中不正確的是（

）A．B．對(duì)于非零向量、、，，，則C．若，那么或D．若、均為單位向量，那么【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】A．，說法正確，不符合題意；B．對(duì)于非零向量、、，，，則，說法正確，不符合題意；C．若，那么或，說法錯(cuò)誤，模相等的兩個(gè)向量不一定平行，符合題意；D．若、均為單位向量，那么，說法正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，平行向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式2-2】已知在四邊形中，記，，，．如果向量、、、都是單位向量，那么下列描述中，正確的是（

）A．向量與方向相同，且向量與方向相同B．向量與方向相同，且向量與方向相同C．向量與方向相反，且向量與方向相反D．向量與方向相反，且向量與方向相反【答案】D【分析】本題考查了向量的定義，根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)向量的定義及數(shù)形結(jié)合即可求解，熟練掌握向量的定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：向量與方向相反，且向量與方向相反，故選D．【變式2-3】已知是一個(gè)單位向量，、是非零向量，那么下列等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了向量的有關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的有關(guān)概念．根據(jù)向量相等的基本概念，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同．【詳解】解：A、與的方向不一定相同，無法推出，等式錯(cuò)誤，不符合題意；B、，即，等式正確，符合題意；C、與的方向不一定相同，無法推出，等式錯(cuò)誤，不符合題意；D、與的方向不一定相同，無法推出，等式錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式2-4】下列說法中正確的是（

）A．如果或，那么B．如果與均是單位向量，那么C．如果是單位向量，的長(zhǎng)度為5，那么D．如果、為非零實(shí)數(shù)，為非零向量，那么．【答案】A【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)一一判斷即可得到答案．【詳解】解：A、如果或，那么，原說法正確，符合題意，選項(xiàng)正確；B、如果與均是單位向量，那么，原說法錯(cuò)誤，模相等，方向不一定相同，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C、如果是單位向量，的長(zhǎng)度為5，那么，原說法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、如果、為非零實(shí)數(shù)，為非零向量，那么，原說法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了向量，熟練掌握向量的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2-5】已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果為單位向量，且，那么【答案】C【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、如果，那么，故本選正確；B、如果，那么，故本選正確；C、如果，沒法判斷與之間的關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤D、如果為單位向量，且，那么，故本選正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記單位向量、平行向量以及模的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】下列判斷不正確的是（

）A．；B．如果向量與均為單位向量，那么或；C．如果，那么；D．對(duì)于非零向量，如果，那么．【答案】B【分析】本題考查了平面向量、平行向量、單位向量，根據(jù)平面向量的性質(zhì)逐一判斷即可得出答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．【詳解】解：A、，計(jì)算正確，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、如果向量與均為單位向量，那么它們的模相等，即，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；C、如果，那么，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)于非零向量，如果，那么，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式2-7】向量和單位向量的方向相反，且，那么．（用表示）．【答案】【分析】本題考查了向量的定義，根據(jù)向量和單位向量的方向相反，且向量的長(zhǎng)度為即可求解．【詳解】解：由題意得：；故答案：．【變式2-8】如圖，在中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在和上，，將沿直線翻折，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)G處，若則=（用表示）【答案】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形是判定及比例的性質(zhì)求解．本題考查了翻折變換，掌握翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、相似三角形是判定及比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接交于，交于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，，，在中，，，，，∴故答案為：．【考點(diǎn)題型三】向量的線性運(yùn)算【例3】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，那么等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了向量的線性運(yùn)算，根據(jù)、、即可求解．【詳解】解：∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴∴故選：D【變式3-1】（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┰谥校c(diǎn)D、E分別為上的點(diǎn)，且，，用向量表示向?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線截線段成比例；根據(jù)，可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)，可得即可求解．【詳解】∵∴∴∵∴∴∵∴故選：C．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）已知四邊形是菱形，給出下列各式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，向量，根據(jù)大小和方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征和幾何特征，借助于向量可以實(shí)現(xiàn)某些代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化．【詳解】解：如圖，①由菱形圖象可知，的大小，方向一樣，故，①正確；②這兩個(gè)向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長(zhǎng)相等，得到②正確；③，，，故③正確；④，，，，成立，④正確，綜上所述，正確的有：①②③④，故選：D．【變式3-3】（20-21九年級(jí)上·上海虹口·階段練習(xí)）已知：向量、、滿足，試用、表示向量．【答案】【分析】根據(jù)向量的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：去括號(hào)得，移項(xiàng)得，，整理得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的計(jì)算，掌握其計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023·上海虹口·一模）如果向量、和滿足，那么【答案】/【分析】本題考查的是平面向量，正確利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)變形，得到答案．【詳解】解：，∴，∴，故答案為：．【變式3-5】（2023·上海奉賢·二模）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線，E是邊的中點(diǎn)，連接．如果設(shè)，，那么（含的式子表示）．【答案】【分析】由，可得，由E是邊的中點(diǎn)，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法運(yùn)算，理解運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2024九年級(jí)上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且設(shè)，，那么可用、表示為．【答案】【分析】首先由四邊形是平行四邊形，求得，又由點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，求得與，再利用三角形法則求解即可求得答案．此題考查了平面向量的知識(shí)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，，，．故答案為：．【變式3-7】（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┑妊菪沃?，，E、F分別是的中點(diǎn)，，設(shè)，則用向量表示可得=

【答案】【分析】本題考查了梯形中位線定理和平面向量的知識(shí)．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．由梯形中位線定理得到與的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)梯形中位線定理可知，則，在向量已知的情況下，可求出向量．【詳解】解：∵，E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【變式3-8】（23-24九年級(jí)上·上?！て谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，，如果，那么．（用表示）【答案】【分析】本題考查平面向量、相似三角形的性質(zhì)與判定，證明，可得，再根據(jù)，即求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，即，∴，故答案為：．【變式3-9】（23-24九年級(jí)下·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．為邊上一點(diǎn)，且，設(shè)=，．作中垂線交于F，則【答案】【分析】本題主要考查了平面向量的三角形法則，平行四邊形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．根據(jù)三角形法則以及平行四邊形法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，∵，∴，故答案為：【變式3-10】（23-24九年級(jí)下·上海閔行·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F在對(duì)角線上，且，如果把圖中線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段表示的向量中，與相等的向量是【答案】【分析】本題考查向量的線性計(jì)算，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，利用三角形法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴或；故答案為：【變式3-11】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，、分別是的兩條中線，設(shè)，那么向量用向量，表示為．

【答案】/【分析】根據(jù)、分別是的兩條中線得出，，再根據(jù)平面向量的減法運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：如圖，連接∵、分別是的兩條中線，∴，是的中位線∴，∴∴∴∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平面向量的的減法運(yùn)算法則，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)，平面向量的的減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-12】（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┤鐖D，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量．【答案】見詳解【分析】本題考查了向量的化簡(jiǎn)計(jì)算，三角形法則，分向量，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)向量，再根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的定義以及三角形法則即可畫出，則分向量也可找到．【詳解】解：，如圖，向量即為所作向量即為在向量方向上的分向量，向量即為在向量方向上的分向量．【變式3-13】（23-24九年級(jí)上·上?！て谥校┤鐖D，是平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．交于點(diǎn)，，設(shè)，．(1)用向量、分別表示下列向量：_____________，_____________，_____________．(2)在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法，但要寫出結(jié)論）【答案】(1)，，(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，向量的線性運(yùn)算和平行四邊形法則等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用向量的線性運(yùn)算，求解即可；（2）過點(diǎn)分別作、的平行線，即可求解．【詳解】（1）解：，，，由題意得：；由平行四邊形的性質(zhì)可得：，，，，，，，，；，，，，，，；故答案為：，，；（2）如圖：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則向量、是向量分別在、方向上的分向量．【變式3-14】（23-24九年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，設(shè)，．(1)試用，的式子表示向量；(2)