海南省澄邁縣澄邁中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

高二年級第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題命題人：王福雄審題人：李傳斌一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知空間向量，，若，則（）A.1 B. C. D.32.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的為（）A.，， B.，，C.，， D.，，4.已知直線：，：，若，則實數(shù)（）A.或0 B.0 C.或0 D.5.如圖，為的中點(diǎn)，以為基底，，則實數(shù)組于（）A. B. C. D.6.已知，，且，則（）A.， B.， C.， D.，7.已知為直線的方向向量，，分別為平面，的法向量（，不重合），有下列說法：①；②；③；④.其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，，動點(diǎn)在體對角線上，則頂點(diǎn)到平面距離的最大值為（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分）9.（多選）下列說法正確的是（）A.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則點(diǎn)在第三象限B.直線過定點(diǎn)C.過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為D.斜率為，在軸上的截距為3的直線的方程為10.已知點(diǎn)，在軸上求一點(diǎn)，使，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.11.如圖，在正方體中，為棱上的動點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項不正確的是（）A.直線與直線相交B.當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C.存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為30°D.三棱錐的體積為定值三、填空題（每小題5分，共15分）12.在直線上，當(dāng)時，恰好，則此直線的一般式方程為______.13.已知空間四邊形中，向量，，，且，，，則______.14.如圖，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，且，若平面上存在一點(diǎn)使得平面，寫出一個滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為______.四、解答題（共77分）15.（13分）已知空間三點(diǎn)，，，設(shè).（1）求，；（2）求與的夾角.16.（15分）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是的中點(diǎn)，在棱上，且，是的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的余弦值.17.（15分）已知四邊形是平行四邊形，，，，且為線段的中點(diǎn).（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，且，求在軸上的截距.18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.（17分）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上的一點(diǎn).（1）求證：；（2）線段上是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成面面夾角為.若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

高二年級第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案題號1234567891011答案BAACABBABCACABC1.B【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為，，且，所以，解得，故選：B.2.A【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因為直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，，則有，解得，所以其傾斜角為.故選：A.3.A【分析】根據(jù)向量共面的條件對選項逐一分析即可.【詳解】構(gòu)成空間的一組基底，則，不共線，假設(shè)，，共面，則存在不全為零的實數(shù)，，使，即，則，，則，，與，不共線矛盾，故，，共不共面；，故，，共面；，故，，共面；，故，，共面.故選：A.4.C【分析】根據(jù)及線線垂直公式，即可求的值【詳解】因為：，：且所以解得：或故選：C5.A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，，故選：A.6.B【分析】由題得，即解方程組即得解.【詳解】由題意知，，.∵，∴存在實數(shù)，使，∴，解得故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間平行位置關(guān)系的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.【分析】利用空間向量法分別判斷即可得到答案.【詳解】因為，不重合，對①，平面，平行等價于平面，的法向量平行，故①正確；對②，平面，垂直等價于平面，的法向量垂直，故②正確；對③，若，故③錯誤；對④，或，故④錯誤.故選：B.8.A【分析】連接交于點(diǎn)，由題意得，接著建立空間直角坐標(biāo)系求出向量和平面的法向量即可根據(jù)向量法的點(diǎn)到平面距離公式求解.【詳解】連接交于點(diǎn)，由題意，得，，，如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)（），所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)頂點(diǎn)到平面距離為，則，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以當(dāng)即時點(diǎn)到平面距離最大為.故選：A.9.BC【分析】利用直線方程的斜截式、點(diǎn)斜式，以及直線過定點(diǎn)問題進(jìn)行逐個選項判斷即可.【詳解】因為直線經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線的斜率，截距.故點(diǎn)在第二象限，所以A中說法錯誤.由整理得.所以無論取何值，都滿足方程.所以B中說法正確.由點(diǎn)斜式方程可知，過點(diǎn)且斜率為的直線的方程為.所以C中說法正確.由斜截式方程可知，斜率為，在軸上的截距為3的直線的方程為.所以D中說法錯誤.故選：BC10.AC【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式列式求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由空間兩點(diǎn)間距離公式可得，解得或10，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：AC.11.ABC【分析】根據(jù)面面平行性質(zhì)判斷，反證法得出與矛盾判斷，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，再應(yīng)用向量法計算數(shù)量積解得，不符合題意，判斷C，應(yīng)用等體積得出三棱錐體積為定值判斷 D.【詳解】對于A，因為平面平面，所以平面與平面無公共點(diǎn)，平面,平面，直線與直線不相交，A選項錯誤；對于B，若點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)，則平面，則，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，，與矛盾，B選項錯誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，若存在點(diǎn)（）使得與所成角為30°，則，，，所以，，所，又，得，解得，不符合題意，故不存在點(diǎn)使得與所成角為30°，故C錯誤.對于D：設(shè)正方體的棱長為，，D選項正確.故選：ABC.12.或【分析】方程化為（），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分為和來討論，利用單調(diào)性求最值即可求解.【詳解】方程化為（），當(dāng)時，為增函數(shù)，則，解得，此時方程為，即；當(dāng)時，為減函數(shù)，則，解得，此時方程為，即；綜上：此直線的一般式方程為或.故答案為：或.13.【分析】根據(jù)向量的加法和減法即可求得.【詳解】因為，所以，則，所以.故答案為：.14.（答案不唯一）【分析】先求出平面的法向量，根據(jù)法向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題，，，得，，設(shè)，平面的法向量為，則即令，則，，，即.取，則，故點(diǎn).故答案為：（答案不唯一）15.（1）；.（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可；（2）根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】（1）由題意，，，所以，；（2）由（1）可知，又，，所以，即與的夾角為.16.（1）證明見解析；（2）【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，首先求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明，故.（2）利用空間向量法，利用向量的夾角公式求異面直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，所以，所以，故.（2）因為，所以.因為，且，所以.17.（1）；（2）6【分析】（1）設(shè)，由列方程求出、的值，再求的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求出的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.（2）由題意求出直線的斜率，利用平行關(guān)系得出的斜率，再寫出的方程，即可求出在軸上的截距.【詳解】（1）（1）設(shè)，因為，所以，解得，即.設(shè)，則，即.又因為，所以的斜率為2，方程為，化簡得；（2）由（1）知，，，所以；因為，所以的斜率為，所以的方程為，整理得，所以在軸上的截距為6.18.（1）證明見解析；（2）；（3）存在；【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，再利用空間向量夾角公式、線面角的定義進(jìn)行求解即可；（3）要使平面，則，由此列式求解可得.【詳解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，，平面，∴平面；（2）取中點(diǎn)為，連接，，又∵，∴.則，∵，∴，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，，則，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則由，得，令，則.設(shè)與平面的夾角為，則；（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面.設(shè)，，由（2）知，，，，則，，，由（2）知平面的一個法向量.若平面，則，解得，又平面，故在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，此時.19.（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析【分析】（1）建立空間直角